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परिमेय संख्याएं

Rational Numbers

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परिमेय संख्याएं (Rational Numbers)

एक नज़र में:

परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p तथा q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 होता है। इस अध्याय में परिमेय संख्याओं की परिभाषा, गुण, संक्रियाएँ, और उनका उपयोग विस्तार से समझाया गया है।

Rational numbers are those numbers that can be expressed in the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0. This chapter covers the definition, properties, operations, and applications of rational numbers in detail.

📌 अध्याय का परिचय

परिमेय संख्याएँ गणित की मूलभूत संख्याओं में से एक हैं। ये वे संख्याएँ हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात (p/q) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ हर विभाजक (q) शून्य से भिन्न होता है।

Rational numbers are fundamental numbers in mathematics. They are numbers that can be written as the ratio (p/q) of two integers, where the denominator (q) is not zero.

परिमेय संख्याएँ अंश (numerator) और हर (denominator) द्वारा दर्शाई जाती हैं। ये संख्याएँ वास्तविक जीवन में मापन, बंटवारा, अनुपात आदि में उपयोग की जाती हैं। इस अध्याय में हम इनका विस्तार से अध्ययन करेंगे।

Rational numbers are represented by a numerator and denominator. They are used in real life for measurement, division, ratio, etc. In this chapter, we will study them in detail.

📖 मुख्य विषय-वस्तु (Main Topics)

1. परिमेय संख्याओं की परिभाषा (Definition of Rational Numbers)

परिभाषा: वह संख्या जिसे p/q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है, परिमेय संख्या कहलाती है।

A number that can be expressed in the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0, is called a rational number.

उदाहरण (Examples):

5/3 (पाँच बटे तीन)
-4/7 (ऋणात्मक चार बटे सात)
0/1 (शून्य बटे एक)
8 (8/1 के रूप में)
-2 (−2/1 के रूप में)

नोट: 0 भी परिमेय संख्या है क्योंकि इसे 0/1, 0/2, 0/−5 आदि किसी भी q ≠ 0 के साथ लिखा जा सकता है।

Note: 0 is also a rational number as it can be written as 0/1, 0/2, 0/−5, etc. with any q ≠ 0.

2. परिमेय संख्याओं का समुच्चय (Set of Rational Numbers)

परिमेय संख्याओं के समुच्चय को Q से दर्शाते हैं।

The set of rational numbers is denoted by Q.

Q = {p/q | p, q ∈ Z, q ≠ 0}

यहाँ Z पूर्णांकों का समुच्चय है।

Here, Z is the set of integers.

Q के सदस्य (Members of Q): ... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... सभी पूर्णांक और उनके अनुपात जिनका हर शून्य नहीं है।

All integers and their ratios with non-zero denominators.

3. परिमेय संख्याओं के प्रकार (Types of Rational Numbers)

(i) धनात्मक परिमेय संख्याएँ (Positive Rational Numbers)

वे परिमेय संख्याएँ जिनका मान शून्य से अधिक होता है।

Rational numbers whose value is greater than zero.

उदाहरण: 3/5, 7/9, 12/1, 4/13 आदि।

(ii) ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ (Negative Rational Numbers)

वे परिमेय संख्याएँ जिनका मान शून्य से कम होता है।

Rational numbers whose value is less than zero.

उदाहरण: −2/7, −1/3, −9/11, −5/2 आदि।

(iii) शून्य परिमेय संख्या (Zero as a Rational Number)

0 को किसी भी पूर्णांक (q ≠ 0) के साथ लिखा जा सकता है।

0 can be written with any integer (q ≠ 0) as denominator.

उदाहरण: 0/2, 0/−9, 0/100 आदि।

4. परिमेय संख्याओं को समान हर में लाना (Expressing Rational Numbers with the Same Denominator)

किसी भी दो या अधिक परिमेय संख्याओं को जोड़ने, घटाने या तुलना करने के लिए, उन्हें समान हर (common denominator) में लाना आवश्यक है।

To add, subtract, or compare rational numbers, they need to be expressed with a common denominator.

उदाहरण: 1/3 और 2/5 को समान हर में लाना है।

1/3 = 5/15
2/5 = 6/15

समान हर: 15

5. परिमेय संख्याओं के मानचित्रण (Representation of Rational Numbers)

(i) रेखा पर मानचित्रण (Representation on Number Line)

एक रेखा पर 0 को केंद्र मानते हैं।
धनात्मक संख्याएँ दाईं ओर, ऋणात्मक बाईं ओर दर्शायी जाती हैं।
किसी परिमेय संख्या p/q को दर्शाने के लिए, 0 से दाईं (यदि धनात्मक) या बाईं (यदि ऋणात्मक) ओर q बराबर भाग बनाते हैं और pवें भाग पर बिंदु लगाते हैं।

उदाहरण: 3/4 को रेखा पर दर्शाएँ।

0 और 1 के बीच 4 बराबर भाग करें।
तीसरे भाग पर बिंदु लगाएँ।

(ii) दशमलव रूपांतरण (Decimal Representation)

परिमेय संख्याएँ दशमलव के रूप में दो प्रकार की होती हैं:

समाप्त होने वाली दशमलव (Terminating Decimal)
आवर्ती दशमलव (Recurring Decimal)

उदाहरण: 1/2 = 0.5 (समाप्त) 2/3 = 0.666... (आवर्ती)

6. परिमेय संख्याओं के गुण (Properties of Rational Numbers)

(a) बंदता गुण (Closure Property)

जोड़, घटाव, गुणा, और भाग (q ≠ 0) में परिमेय संख्याएँ बंद होती हैं।

Rational numbers are closed under addition, subtraction, multiplication, and division (except division by zero).

उदाहरण: 1/2 + 1/3 = 5/6 (परिमेय संख्या) 2/5 × 3/4 = 6/20 = 3/10 (परिमेय संख्या)

(b) संघटन गुण (Associative Property)

(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)

उदाहरण: (1/2 + 1/3) + 1/4 = 1/2 + (1/3 + 1/4)

(c) प्रतिस्थापन गुण (Commutative Property)

a + b = b + a
a × b = b × a

उदाहरण: 2/3 + 4/5 = 4/5 + 2/3

(d) पहचान तत्व (Identity Element)

जोड़ के लिए : 0 (a + 0 = a)
गुणा के लिए : 1 (a × 1 = a)

(e) व्युत्क्रम (Inverse)

जोड़ का व्युत्क्रम (Additive Inverse): a + (−a) = 0
गुणा का व्युत्क्रम (Multiplicative Inverse): a × (1/a) = 1, a ≠ 0

उदाहरण: 2/5 का जोड़ात्मक व्युत्क्रम −2/5 होगा। 3/7 का गुणात्मक व्युत्क्रम 7/3 होगा।

(f) वितरण गुण (Distributive Property)

a × (b + c) = a × b + a × c

उदाहरण: 2/3 × (1/2 + 1/6) = 2/3 × 1/2 + 2/3 × 1/6

7. परिमेय संख्याओं पर संक्रियाएँ (Operations on Rational Numbers)

(i) जोड़ (Addition)

समान हर: केवल अंश जोड़ें।
भिन्न हर: पहले समान हर बनाएं, फिर अंश जोड़ें।

उदाहरण: 1/4 + 2/4 = (1+2)/4 = 3/4 1/3 + 1/5 = (5+3)/15 = 8/15

(ii) घटाव (Subtraction)

समान हर: केवल अंश घटाएँ।
भिन्न हर: पहले समान हर बनाएं, फिर अंश घटाएँ।

उदाहरण: 3/5 − 1/5 = (3−1)/5 = 2/5 5/6 − 1/4 = (10−3)/12 = 7/12

(iii) गुणा (Multiplication)

अंश × अंश, हर × हर

उदाहरण: 2/3 × 4/5 = (2×4)/(3×5) = 8/15

(iv) भाग (Division)

प्रथम संख्या को यथावत रखें, दूसरी संख्या का व्युत्क्रम करें और गुणा करें।

उदाहरण: 3/5 ÷ 2/7 = 3/5 × 7/2 = 21/10

8. एक परिमेय संख्या के बीच में दूसरी परिमेय संख्या ज्ञात करना (Finding Rational Numbers Between Two Rational Numbers)

दो परिमेय संख्याओं के मध्य अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।

There are infinite rational numbers between any two rational numbers.

तरीका:

औसत विधि: (a + b)/2

उदाहरण: 1/4 और 1/2 के बीच में परिमेय संख्या: = (1/4 + 1/2)/2 = (1/4 + 2/4)/2 = (3/4)/2 = 3/8

9. परिमेय और अपरिमेय संख्याओं में अंतर (Difference Between Rational and Irrational Numbers)

| परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) | अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) | |--------------------------------------|------------------------------------------| | p/q रूप में लिखी जा सकती हैं, q ≠ 0 | p/q रूप में नहीं लिखी जा सकती | | दशमलव रूप सीमित या आवर्ती होता है | दशमलव रूप अनंत और गैर-आवर्ती होता है | | उदाहरण: 2/3, −5, 0.333... | √2, π, 0.1010010001... |

10. परिमेय संख्याओं का उपयोग (Applications of Rational Numbers)

अनुपात एवं समानुपात (Ratio and Proportion)
मापन (Measurement)
वित्तीय गणना (Financial Calculations)
विभाजन (Division)
दैनिक जीवन की समस्याएँ (Daily Life Problems)

उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1: 1/3 + 2/5 का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समान हर = 15 1/3 = 5/15 2/5 = 6/15 योग = 5/15 + 6/15 = 11/15

Example 2: Subtract −5/9 from 2/3.

Solution: 2/3 − (−5/9) = 2/3 + 5/9 = (6/9) + (5/9) = 11/9

उदाहरण 3: 3/7 × (−2/5) का मान ज्ञात करें।

उत्तर: = (3 × −2)/(7 × 5) = (−6)/35

Example 4: Divide 7/10 by −2/3.

Solution: 7/10 ÷ (−2/3) = 7/10 × (−3/2) = (7 × −3)/(10 × 2) = (−21)/20

उदाहरण 5: 1/4 और 1/2 के बीच में तीन परिमेय संख्याएँ लिखिए।

उत्तर: दोनों को समान हर में लिखें: 1/4 = 2/8, 1/2 = 4/8 बीच में: 3/8 औसत विधि से: (1/4 + 1/2)/2 = 3/8 अन्य: (1/4 + 3/8)/2 = (2/8 + 3/8)/2 = 5/16 (3/8 + 1/2)/2 = (3/8 + 4/8)/2 = 7/16 तो तीन संख्याएँ: 5/16, 3/8, 7/16

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

हर परिमेय संख्या p/q में p, q पूर्णांक होते हैं और q ≠ 0 होता है।

In every rational number p/q, p and q are integers and q ≠ 0.

हर पूर्णांक भी एक परिमेय संख्या है।

Every integer is also a rational number.

0 भी एक परिमेय संख्या है।

Zero is also a rational number.

दो परिमेय संख्याओं के बीच में अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।

There are infinite rational numbers between any two rational numbers.

परिमेय संख्याओं का दशमलव रूप सीमित या आवर्ती होता है।

Decimal representation of rational numbers is either terminating or recurring.

परिमेय संख्याएँ जोड़, घटाव, गुणा, और भाग (q ≠ 0) के लिए बंद होती हैं।

Rational numbers are closed under addition, subtraction, multiplication, and division (except division by zero).

परिमेय संख्याओं का जोड़ात्मक व्युत्क्रम −a/q होता है।

Additive inverse of a rational number a/q is −a/q.

परिमेय संख्याओं का गुणात्मक व्युत्क्रम q/a (a ≠ 0) होता है।

Multiplicative inverse of a rational number a/q is q/a (a ≠ 0).

हर परिमेय संख्या को रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

Every rational number can be represented on the number line.

सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं, परंतु सभी वास्तविक संख्याएँ परिमेय नहीं होतीं।

All rational numbers are real numbers, but not all real numbers are rational.

परिमेय संख्याएँ p/q और q/p (p, q ≠ 0) गुणात्मक व्युत्क्रम होती हैं।

Rational numbers p/q and q/p (p, q ≠ 0) are multiplicative inverses of each other.

परिमेय संख्याओं में हर कभी भी शून्य नहीं हो सकता।

The denominator of a rational number can never be zero.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक | गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Method) | |--------|---------------------------------------------------------|--------------------------------------------------------------------------| | 1 | हर को शून्य लेना (Taking denominator as zero) | हर (denominator) हमेशा शून्य से भिन्न होना चाहिए (Denominator ≠ 0) | | 2 | जोड़/घटाव में हर जोड़ना/घटाना (Adding/Subtracting denominators) | हर को समान बनाकर केवल अंश जोड़ें/घटाएँ (Make denominators equal, add/subtract numerators only) | | 3 | व्युत्क्रम निकालते समय ऋण चिह्न को भूल जाना | व्युत्क्रम में भी ऋण चिह्न का ध्यान रखें (Take care of negative sign in inverse) | | 4 | दशमलव रूपांतरण में गलत विभाजन | सही तरीके से विभाजन करें (Divide correctly for decimal conversion) | | 5 | गुणा में हर-हर और अंश-अंश ना गुणा करना | हमेशा अंश × अंश, हर × हर करें (Always multiply numerator with numerator, denominator with denominator) | | 6 | भाग में व्युत्क्रम लेना भूल जाना | भाग में दूसरी संख्या का व्युत्क्रम लेकर गुणा करें (Multiply by reciprocal in division) | | 7 | समुच्चय में q=0 लेना | Q में q ≠ 0 होना चाहिए (In Q, q ≠ 0 should always be maintained) | | 8 | पूर्णांक को परिमेय संख्या न मानना | सभी पूर्णांक परिमेय होते हैं (All integers are rational numbers) | | 9 | तुलना में केवल अंश की तुलना करना | तुलना के लिए संख्याओं को समान हर में लाएँ (Bring to common denominator before comparison) | | 10 | ऋणात्मक हर को नकारात्मक अंश में न बदलना | हर ऋणात्मक हो तो उसे अंश में स्थानांतरित करें (If denominator is negative, shift sign to numerator) |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1 अंक वाले प्रश्न (1 Mark Questions)

2/5 क्या परिमेय संख्या है? क्यों?

Is 2/5 a rational number? Why?

0 को परिमेय संख्या के रूप में कैसे लिखा जा सकता है?

How can 0 be expressed as a rational number?

क्या −3 एक परिमेय संख्या है?

Is −3 a rational number?

5/0 क्या परिमेय संख्या है?

Is 5/0 a rational number?

p/q में q का मान क्या नहीं हो सकता?

What value q cannot take in p/q?

2 अंक वाले प्रश्न (2 Mark Questions)

1/2 और 3/4 के बीच कोई एक परिमेय संख्या लिखिए।

Write a rational number between 1/2 and 3/4.

7/9 का जोड़ात्मक व्युत्क्रम क्या होगा?

What is the additive inverse of 7/9?

4/5 × (−2/3) का मान ज्ञात कीजिए।

(Find the value of 4/5 × (−2/3).)

2/7 और −3/5 को समान हर में लिखिए।

Express 2/7 and −3/5 with the same denominator.

3/8 और 5/8 को जोड़िए।

(Add 3/8 and 5/8.)

5 अंक वाले प्रश्न (5 Mark Questions)

1/3, 2/5, और 4/7 का योग और औसत ज्ञात कीजिए।

Find the sum and average of 1/3, 2/5, and 4/7.

परिमेय संख्याओं के चार मुख्य गुणों का वर्णन उदाहरण सहित कीजिए।

Explain four main properties of rational numbers with examples.

निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:

(a) 3/5 + (−4/9) (b) 7/8 − (−3/4) (c) 2/3 × (−5/6) (d) 4/11 ÷ 2/7

Find the value of the following: ...

1/4 और 1/2 के बीच में पाँच परिमेय संख्याएँ लिखिए।

Write five rational numbers between 1/4 and 1/2.

दो परिमेय संख्याओं के बीच में अनंत परिमेय संख्याएँ कैसे ज्ञात की जा सकती हैं? उदाहरण सहित समझाइए।

How can infinite rational numbers be found between two rational numbers? Explain with example.

अध्याय का सारांश (Chapter Summary)

परिमेय संख्याएँ p/q रूप में होती हैं, जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है।
परिमेय संख्याओं के सभी गुण (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) परिमेय संख्याओं में ही रहते हैं।
दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
परिमेय संख्याएँ दैनिक जीवन में बहुत उपयोगी हैं।
इनकी विशेषताओं एवं संक्रियाओं को समझना आवश्यक है।

Rational numbers are of the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0. All operations (addition, subtraction, multiplication, division) on rational numbers result in rational numbers. There are infinite rational numbers between any two rational numbers. Rational numbers are highly useful in daily life. Understanding their properties and operations is essential.

अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

2/3, 4/5, और 7/9 का गुणनफल ज्ञात कीजिए। (Find the product of 2/3, 4/5, and 7/9.)
5/6 और −1/3 को जोड़िए। (Add 5/6 and −1/3.)
3/8 से 1/4 घटाइए। (Subtract 1/4 from 3/8.)
1/2 और 3/4 के बीच दो परिमेय संख्याएँ लिखिए। (Write two rational numbers between 1/2 and 3/4.)
12/15 और −8/20 को समान हर में लिखिए। (Express 12/15 and −8/20 with the same denominator.)
5/7 का गुणात्मक व्युत्क्रम क्या होगा? (What is the multiplicative inverse of 5/7?)
0 को p/q रूप में कैसे दर्शाएँगे? (How will you represent 0 in the form p/q?)
क्या √2 परिमेय संख्या है? क्यों? (Is √2 a rational number? Why?)
3/5 ÷ (−2/3) का मान ज्ञात कीजिए। (Find the value of 3/5 ÷ (−2/3).)
निम्नलिखित को दशमलव रूप में व्यक्त कीजिए: (Express the following in decimal form:)

(a) 1/4 (b) 2/3 (c) −5/8

यह नोट्स RBSE कक्षा 8 गणित बोर्ड परीक्षा के लिए पूर्ण, सटीक एवं परीक्षा-उपयुक्त हैं। सभी परिभाषाएँ, सूत्र, उदाहरण, संभावित प्रश्न और गलतियाँ NCERT स्तर की गुणवत्ता के साथ तैयार की गई हैं।

These notes are complete, accurate, and exam-oriented for RBSE Class 8 Mathematics Board Exam. All definitions, formulas, examples, possible questions, and mistakes are prepared with NCERT-level quality.

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मुख्य बिंदु (Key Points)

परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0।
प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या है क्योंकि उसे p/1 के रूप में लिखा जा सकता है।
शून्य (0) एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे 0/q (जहाँ q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सकता है।
परिमेय संख्याओं के समूह को Q से दर्शाया जाता है।
यदि p/q एक परिमेय संख्या है, तो -p/q, p/(-q) और -p/(-q) भी परिमेय संख्याएँ हैं।
किसी भी दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
दो परिमेय संख्याओं का योग, अंतर तथा गुणनफल हमेशा परिमेय संख्या होता है।
शून्य को छोड़कर किसी भी परिमेय संख्या p/q का व्युत्क्रम q/p होता है।
यदि किसी परिमेय संख्या के हर का चिन्ह धनात्मक हो और अंश तथा हर का कोई सामान्य गुणनखंड 1 के अतिरिक्त न हो, तो उसे मानक रूप में कहा जाता है।
परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।
परिमेय संख्याओं की तुलना क्रॉस-गुणन विधि से की जा सकती है।
किसी परिमेय संख्या p/q का योगात्मक व्युत्क्रम -p/q होता है।

Key Points

A rational number is a number that can be expressed in the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0.
Every integer is a rational number because it can be written as p/1.
Zero (0) is a rational number as it can be written as 0/q, where q ≠ 0.
The set of rational numbers is denoted by Q.
If p/q is a rational number, then -p/q, p/(-q), and -p/(-q) are also rational numbers.
Between any two rational numbers, there are infinitely many rational numbers.
The sum, difference, and product of two rational numbers is always a rational number.
The reciprocal of a non-zero rational number p/q is q/p.
A rational number is said to be in standard form if its denominator is positive and the numerator and denominator have no common factor except 1.
Rational numbers can be represented on a number line.
Rational numbers can be compared using the cross-multiplication method.
The additive inverse of a rational number p/q is -p/q.

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

परिमेय संख्याओं का योगात्मक पहचानांक है:

2/5 और 3/5 के बीच कौन-सी परिमेय संख्या है?

7/9 का गुणात्मक व्युत्क्रम क्या है?

निम्नलिखित में से कौन -4/6 के समतुल्य है?

निम्नलिखित में से कौन-सी गुणा परिमेय संख्याओं के योग के लिए सत्य नहीं है?

महत्वपूर्ण विषयपरक प्रश्न

अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)

2/5 क्या परिमेय संख्या है? क्यों? 1 अंक नोट्स
0 को परिमेय संख्या के रूप में कैसे लिखा जा सकता है? 1 अंक नोट्स
क्या −3 एक परिमेय संख्या है? 1 अंक नोट्स
5/0 क्या परिमेय संख्या है? 1 अंक नोट्स
p/q में q का मान क्या नहीं हो सकता? 1 अंक नोट्स

लघु उत्तरीय प्रश्न

1/2 और 3/4 के बीच कोई एक परिमेय संख्या लिखिए 2 अंक नोट्स
7/9 का जोड़ात्मक व्युत्क्रम क्या होगा? 2 अंक नोट्स
4/5 × (−2/3) का मान ज्ञात कीजिए। .) 2 अंक नोट्स
2/7 और −3/5 को समान हर में लिखिए 2 अंक नोट्स
3/8 और 5/8 को जोड़िए 2 अंक नोट्स

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

1/3, 2/5, और 4/7 का योग और औसत ज्ञात कीजिए 5 अंक नोट्स
परिमेय संख्याओं के चार मुख्य गुणों का वर्णन उदाहरण सहित कीजिए 5 अंक नोट्स
निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए: (a) 3/5 + (−4/9) (b) 7/8 − (−3/4) (c) 2/3 × (−5/6) (d) 4/11 ÷ 2/7 5 अंक नोट्स
1/4 और 1/2 के बीच में पाँच परिमेय संख्याएँ लिखिए 5 अंक नोट्स
दो परिमेय संख्याओं के बीच में अनंत परिमेय संख्याएँ कैसे ज्ञात की जा सकती हैं? उदाहरण सहित समझाइए 5 अंक नोट्स