menu_bookRBSE · Mathematics (गणित)

RBSE कक्षा 8 गणित नोट्स हिंदी में

Class 8 Mathematics Notes

downloadDownload TopperApp Free Class 8 सिलेबस

सभी अध्याय — chapter-wise पढ़ें

मुफ्त अध्याय (पूरे नोट्स)

परिमेय संख्याएं

परिमेय संख्याएं (Rational Numbers)

एक नज़र में:

परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p तथा q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 होता है। इस अध्याय में परिमेय संख्याओं की परिभाषा, गुण, संक्रियाएँ, और उनका उपयोग विस्तार से समझाया गया है।

Rational numbers are those numbers that can be expressed in the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0. This chapter covers the definition, properties, operations, and applications of rational numbers in detail.

📌 अध्याय का परिचय

परिमेय संख्याएँ गणित की मूलभूत संख्याओं में से एक हैं। ये वे संख्याएँ हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात (p/q) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ हर विभाजक (q) शून्य से भिन्न होता है।

Rational numbers are fundamental numbers in mathematics. They are numbers that can be written as the ratio (p/q) of two integers, where the denominator (q) is not zero.

परिमेय संख्याएँ अंश (numerator) और हर (denominator) द्वारा दर्शाई जाती हैं। ये संख्याएँ वास्तविक जीवन में मापन, बंटवारा, अनुपात आदि में उपयोग की जाती हैं। इस अध्याय में हम इनका विस्तार से अध्ययन करेंगे।

Rational numbers are represented by a numerator and denominator. They are used in real life for measurement, division, ratio, etc. In this chapter, we will study them in detail.

📖 मुख्य विषय-वस्तु (Main Topics)

1. परिमेय संख्याओं की परिभाषा (Definition of Rational Numbers)

परिभाषा: वह संख्या जिसे p/q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है, परिमेय संख्या कहलाती है।

A number that can be expressed in the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0, is called a rational number.

उदाहरण (Examples):

5/3 (पाँच बटे तीन)
-4/7 (ऋणात्मक चार बटे सात)
0/1 (शून्य बटे एक)
8 (8/1 के रूप में)
-2 (−2/1 के रूप में)

नोट: 0 भी परिमेय संख्या है क्योंकि इसे 0/1, 0/2, 0/−5 आदि किसी भी q ≠ 0 के साथ लिखा जा सकता है।

Note: 0 is also a rational number as it can be written as 0/1, 0/2, 0/−5, etc. with any q ≠ 0.

2. परिमेय संख्याओं का समुच्चय (Set of Rational Numbers)

परिमेय संख्याओं के समुच्चय को Q से दर्शाते हैं।

The set of rational numbers is denoted by Q.

Q = {p/q | p, q ∈ Z, q ≠ 0}

यहाँ Z पूर्णांकों का समुच्चय है।

Here, Z is the set of integers.

Q के सदस्य (Members of Q): ... −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ... सभी पूर्णांक और उनके अनुपात जिनका हर शून्य नहीं है।

All integers and their ratios with non-zero denominators.

3. परिमेय संख्याओं के प्रकार (Types of Rational Numbers)

(i) धनात्मक परिमेय संख्याएँ (Positive Rational Numbers)

वे परिमेय संख्याएँ जिनका मान शून्य से अधिक होता है।

Rational numbers whose value is greater than zero.

उदाहरण: 3/5, 7/9, 12/1, 4/13 आदि।

(ii) ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ (Negative Rational Numbers)

वे परिमेय संख्याएँ जिनका मान शून्य से कम होता है।

Rational numbers whose value is less than zero.

उदाहरण: −2/7, −1/3, −9/11, −5/2 आदि।

(iii) शून्य परिमेय संख्या (Zero as a Rational Number)

0 को किसी भी पूर्णांक (q ≠ 0) के साथ लिखा जा सकता है।

0 can be written with any integer (q ≠ 0) as denominator.

उदाहरण: 0/2, 0/−9, 0/100 आदि।

4. परिमेय संख्याओं को समान हर में लाना (Expressing Rational Numbers with the Same Denominator)

किसी भी दो या अधिक परिमेय संख्याओं को जोड़ने, घटाने या तुलना करने के लिए, उन्हें समान हर (common denominator) में लाना आवश्यक है।

To add, subtract, or compare rational numbers, they need to be expressed with a common denominator.

उदाहरण: 1/3 और 2/5 को समान हर में लाना है।

1/3 = 5/15
2/5 = 6/15

समान हर: 15

5. परिमेय संख्याओं के मानचित्रण (Representation of Rational Numbers)

(i) रेखा पर मानचित्रण (Representation on Number Line)

एक रेखा पर 0 को केंद्र मानते हैं।
धनात्मक संख्याएँ दाईं ओर, ऋणात्मक बाईं ओर दर्शायी जाती हैं।
किसी परिमेय संख्या p/q को दर्शाने के लिए, 0 से दाईं (यदि धनात्मक) या बाईं (यदि ऋणात्मक) ओर q बराबर भाग बनाते हैं और pवें भाग पर बिंदु लगाते हैं।

उदाहरण: 3/4 को रेखा पर दर्शाएँ।

0 और 1 के बीच 4 बराबर भाग करें।
तीसरे भाग पर बिंदु लगाएँ।

(ii) दशमलव रूपांतरण (Decimal Representation)

परिमेय संख्याएँ दशमलव के रूप में दो प्रकार की होती हैं:

समाप्त होने वाली दशमलव (Terminating Decimal)
आवर्ती दशमलव (Recurring Decimal)

उदाहरण: 1/2 = 0.5 (समाप्त) 2/3 = 0.666... (आवर्ती)

6. परिमेय संख्याओं के गुण (Properties of Rational Numbers)

(a) बंदता गुण (Closure Property)

जोड़, घटाव, गुणा, और भाग (q ≠ 0) में परिमेय संख्याएँ बंद होती हैं।

Rational numbers are closed under addition, subtraction, multiplication, and division (except division by zero).

उदाहरण: 1/2 + 1/3 = 5/6 (परिमेय संख्या) 2/5 × 3/4 = 6/20 = 3/10 (परिमेय संख्या)

(b) संघटन गुण (Associative Property)

(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)

उदाहरण: (1/2 + 1/3) + 1/4 = 1/2 + (1/3 + 1/4)

(c) प्रतिस्थापन गुण (Commutative Property)

a + b = b + a
a × b = b × a

उदाहरण: 2/3 + 4/5 = 4/5 + 2/3

(d) पहचान तत्व (Identity Element)

जोड़ के लिए : 0 (a + 0 = a)
गुणा के लिए : 1 (a × 1 = a)

(e) व्युत्क्रम (Inverse)

जोड़ का व्युत्क्रम (Additive Inverse): a + (−a) = 0
गुणा का व्युत्क्रम (Multiplicative Inverse): a × (1/a) = 1, a ≠ 0

उदाहरण: 2/5 का जोड़ात्मक व्युत्क्रम −2/5 होगा। 3/7 का गुणात्मक व्युत्क्रम 7/3 होगा।

(f) वितरण गुण (Distributive Property)

a × (b + c) = a × b + a × c

उदाहरण: 2/3 × (1/2 + 1/6) = 2/3 × 1/2 + 2/3 × 1/6

7. परिमेय संख्याओं पर संक्रियाएँ (Operations on Rational Numbers)

(i) जोड़ (Addition)

समान हर: केवल अंश जोड़ें।
भिन्न हर: पहले समान हर बनाएं, फिर अंश जोड़ें।

उदाहरण: 1/4 + 2/4 = (1+2)/4 = 3/4 1/3 + 1/5 = (5+3)/15 = 8/15

(ii) घटाव (Subtraction)

समान हर: केवल अंश घटाएँ।
भिन्न हर: पहले समान हर बनाएं, फिर अंश घटाएँ।

उदाहरण: 3/5 − 1/5 = (3−1)/5 = 2/5 5/6 − 1/4 = (10−3)/12 = 7/12

(iii) गुणा (Multiplication)

अंश × अंश, हर × हर

उदाहरण: 2/3 × 4/5 = (2×4)/(3×5) = 8/15

(iv) भाग (Division)

प्रथम संख्या को यथावत रखें, दूसरी संख्या का व्युत्क्रम करें और गुणा करें।

उदाहरण: 3/5 ÷ 2/7 = 3/5 × 7/2 = 21/10

8. एक परिमेय संख्या के बीच में दूसरी परिमेय संख्या ज्ञात करना (Finding Rational Numbers Between Two Rational Numbers)

दो परिमेय संख्याओं के मध्य अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।

There are infinite rational numbers between any two rational numbers.

तरीका:

औसत विधि: (a + b)/2

उदाहरण: 1/4 और 1/2 के बीच में परिमेय संख्या: = (1/4 + 1/2)/2 = (1/4 + 2/4)/2 = (3/4)/2 = 3/8

9. परिमेय और अपरिमेय संख्याओं में अंतर (Difference Between Rational and Irrational Numbers)

| परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) | अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) | |--------------------------------------|------------------------------------------| | p/q रूप में लिखी जा सकती हैं, q ≠ 0 | p/q रूप में नहीं लिखी जा सकती | | दशमलव रूप सीमित या आवर्ती होता है | दशमलव रूप अनंत और गैर-आवर्ती होता है | | उदाहरण: 2/3, −5, 0.333... | √2, π, 0.1010010001... |

10. परिमेय संख्याओं का उपयोग (Applications of Rational Numbers)

अनुपात एवं समानुपात (Ratio and Proportion)
मापन (Measurement)
वित्तीय गणना (Financial Calculations)
विभाजन (Division)
दैनिक जीवन की समस्याएँ (Daily Life Problems)

उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1: 1/3 + 2/5 का योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर: समान हर = 15 1/3 = 5/15 2/5 = 6/15 योग = 5/15 + 6/15 = 11/15

Example 2: Subtract −5/9 from 2/3.

Solution: 2/3 − (−5/9) = 2/3 + 5/9 = (6/9) + (5/9) = 11/9

उदाहरण 3: 3/7 × (−2/5) का मान ज्ञात करें।

उत्तर: = (3 × −2)/(7 × 5) = (−6)/35

Example 4: Divide 7/10 by −2/3.

Solution: 7/10 ÷ (−2/3) = 7/10 × (−3/2) = (7 × −3)/(10 × 2) = (−21)/20

उदाहरण 5: 1/4 और 1/2 के बीच में तीन परिमेय संख्याएँ लिखिए।

उत्तर: दोनों को समान हर में लिखें: 1/4 = 2/8, 1/2 = 4/8 बीच में: 3/8 औसत विधि से: (1/4 + 1/2)/2 = 3/8 अन्य: (1/4 + 3/8)/2 = (2/8 + 3/8)/2 = 5/16 (3/8 + 1/2)/2 = (3/8 + 4/8)/2 = 7/16 तो तीन संख्याएँ: 5/16, 3/8, 7/16

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

हर परिमेय संख्या p/q में p, q पूर्णांक होते हैं और q ≠ 0 होता है।

In every rational number p/q, p and q are integers and q ≠ 0.

हर पूर्णांक भी एक परिमेय संख्या है।

Every integer is also a rational number.

0 भी एक परिमेय संख्या है।

Zero is also a rational number.

दो परिमेय संख्याओं के बीच में अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।

There are infinite rational numbers between any two rational numbers.

परिमेय संख्याओं का दशमलव रूप सीमित या आवर्ती होता है।

Decimal representation of rational numbers is either terminating or recurring.

परिमेय संख्याएँ जोड़, घटाव, गुणा, और भाग (q ≠ 0) के लिए बंद होती हैं।

Rational numbers are closed under addition, subtraction, multiplication, and division (except division by zero).

परिमेय संख्याओं का जोड़ात्मक व्युत्क्रम −a/q होता है।

Additive inverse of a rational number a/q is −a/q.

परिमेय संख्याओं का गुणात्मक व्युत्क्रम q/a (a ≠ 0) होता है।

Multiplicative inverse of a rational number a/q is q/a (a ≠ 0).

हर परिमेय संख्या को रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

Every rational number can be represented on the number line.

सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं, परंतु सभी वास्तविक संख्याएँ परिमेय नहीं होतीं।

All rational numbers are real numbers, but not all real numbers are rational.

परिमेय संख्याएँ p/q और q/p (p, q ≠ 0) गुणात्मक व्युत्क्रम होती हैं।

Rational numbers p/q and q/p (p, q ≠ 0) are multiplicative inverses of each other.

परिमेय संख्याओं में हर कभी भी शून्य नहीं हो सकता।

The denominator of a rational number can never be zero.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक | गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Method) | |--------|---------------------------------------------------------|--------------------------------------------------------------------------| | 1 | हर को शून्य लेना (Taking denominator as zero) | हर (denominator) हमेशा शून्य से भिन्न होना चाहिए (Denominator ≠ 0) | | 2 | जोड़/घटाव में हर जोड़ना/घटाना (Adding/Subtracting denominators) | हर को समान बनाकर केवल अंश जोड़ें/घटाएँ (Make denominators equal, add/subtract numerators only) | | 3 | व्युत्क्रम निकालते समय ऋण चिह्न को भूल जाना | व्युत्क्रम में भी ऋण चिह्न का ध्यान रखें (Take care of negative sign in inverse) | | 4 | दशमलव रूपांतरण में गलत विभाजन | सही तरीके से विभाजन करें (Divide correctly for decimal conversion) | | 5 | गुणा में हर-हर और अंश-अंश ना गुणा करना | हमेशा अंश × अंश, हर × हर करें (Always multiply numerator with numerator, denominator with denominator) | | 6 | भाग में व्युत्क्रम लेना भूल जाना | भाग में दूसरी संख्या का व्युत्क्रम लेकर गुणा करें (Multiply by reciprocal in division) | | 7 | समुच्चय में q=0 लेना | Q में q ≠ 0 होना चाहिए (In Q, q ≠ 0 should always be maintained) | | 8 | पूर्णांक को परिमेय संख्या न मानना | सभी पूर्णांक परिमेय होते हैं (All integers are rational numbers) | | 9 | तुलना में केवल अंश की तुलना करना | तुलना के लिए संख्याओं को समान हर में लाएँ (Bring to common denominator before comparison) | | 10 | ऋणात्मक हर को नकारात्मक अंश में न बदलना | हर ऋणात्मक हो तो उसे अंश में स्थानांतरित करें (If denominator is negative, shift sign to numerator) |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1 अंक वाले प्रश्न (1 Mark Questions)

2/5 क्या परिमेय संख्या है? क्यों?

Is 2/5 a rational number? Why?

0 को परिमेय संख्या के रूप में कैसे लिखा जा सकता है?

How can 0 be expressed as a rational number?

क्या −3 एक परिमेय संख्या है?

Is −3 a rational number?

5/0 क्या परिमेय संख्या है?

Is 5/0 a rational number?

p/q में q का मान क्या नहीं हो सकता?

What value q cannot take in p/q?

2 अंक वाले प्रश्न (2 Mark Questions)

1/2 और 3/4 के बीच कोई एक परिमेय संख्या लिखिए।

Write a rational number between 1/2 and 3/4.

7/9 का जोड़ात्मक व्युत्क्रम क्या होगा?

What is the additive inverse of 7/9?

4/5 × (−2/3) का मान ज्ञात कीजिए।

(Find the value of 4/5 × (−2/3).)

2/7 और −3/5 को समान हर में लिखिए।

Express 2/7 and −3/5 with the same denominator.

3/8 और 5/8 को जोड़िए।

(Add 3/8 and 5/8.)

5 अंक वाले प्रश्न (5 Mark Questions)

1/3, 2/5, और 4/7 का योग और औसत ज्ञात कीजिए।

Find the sum and average of 1/3, 2/5, and 4/7.

परिमेय संख्याओं के चार मुख्य गुणों का वर्णन उदाहरण सहित कीजिए।

Explain four main properties of rational numbers with examples.

निम्नलिखित का मान ज्ञात कीजिए:

(a) 3/5 + (−4/9) (b) 7/8 − (−3/4) (c) 2/3 × (−5/6) (d) 4/11 ÷ 2/7

Find the value of the following: ...

1/4 और 1/2 के बीच में पाँच परिमेय संख्याएँ लिखिए।

Write five rational numbers between 1/4 and 1/2.

दो परिमेय संख्याओं के बीच में अनंत परिमेय संख्याएँ कैसे ज्ञात की जा सकती हैं? उदाहरण सहित समझाइए।

How can infinite rational numbers be found between two rational numbers? Explain with example.

अध्याय का सारांश (Chapter Summary)

परिमेय संख्याएँ p/q रूप में होती हैं, जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है।
परिमेय संख्याओं के सभी गुण (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) परिमेय संख्याओं में ही रहते हैं।
दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
परिमेय संख्याएँ दैनिक जीवन में बहुत उपयोगी हैं।
इनकी विशेषताओं एवं संक्रियाओं को समझना आवश्यक है।

Rational numbers are of the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0. All operations (addition, subtraction, multiplication, division) on rational numbers result in rational numbers. There are infinite rational numbers between any two rational numbers. Rational numbers are highly useful in daily life. Understanding their properties and operations is essential.

अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

2/3, 4/5, और 7/9 का गुणनफल ज्ञात कीजिए। (Find the product of 2/3, 4/5, and 7/9.)
5/6 और −1/3 को जोड़िए। (Add 5/6 and −1/3.)
3/8 से 1/4 घटाइए। (Subtract 1/4 from 3/8.)
1/2 और 3/4 के बीच दो परिमेय संख्याएँ लिखिए। (Write two rational numbers between 1/2 and 3/4.)
12/15 और −8/20 को समान हर में लिखिए। (Express 12/15 and −8/20 with the same denominator.)
5/7 का गुणात्मक व्युत्क्रम क्या होगा? (What is the multiplicative inverse of 5/7?)
0 को p/q रूप में कैसे दर्शाएँगे? (How will you represent 0 in the form p/q?)
क्या √2 परिमेय संख्या है? क्यों? (Is √2 a rational number? Why?)
3/5 ÷ (−2/3) का मान ज्ञात कीजिए। (Find the value of 3/5 ÷ (−2/3).)
निम्नलिखित को दशमलव रूप में व्यक्त कीजिए: (Express the following in decimal form:)

(a) 1/4 (b) 2/3 (c) −5/8

यह नोट्स RBSE कक्षा 8 गणित बोर्ड परीक्षा के लिए पूर्ण, सटीक एवं परीक्षा-उपयुक्त हैं। सभी परिभाषाएँ, सूत्र, उदाहरण, संभावित प्रश्न और गलतियाँ NCERT स्तर की गुणवत्ता के साथ तैयार की गई हैं।

These notes are complete, accurate, and exam-oriented for RBSE Class 8 Mathematics Board Exam. All definitions, formulas, examples, possible questions, and mistakes are prepared with NCERT-level quality.

If you need more solved examples, explanations, or specific topic elaboration, please ask!

मुख्य बिंदु (Key Points)

परिमेय संख्या वह संख्या है जिसे p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0।
प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या है क्योंकि उसे p/1 के रूप में लिखा जा सकता है।
शून्य (0) एक परिमेय संख्या है क्योंकि इसे 0/q (जहाँ q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सकता है।
परिमेय संख्याओं के समूह को Q से दर्शाया जाता है।
यदि p/q एक परिमेय संख्या है, तो -p/q, p/(-q) और -p/(-q) भी परिमेय संख्याएँ हैं।
किसी भी दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
दो परिमेय संख्याओं का योग, अंतर तथा गुणनफल हमेशा परिमेय संख्या होता है।
शून्य को छोड़कर किसी भी परिमेय संख्या p/q का व्युत्क्रम q/p होता है।
यदि किसी परिमेय संख्या के हर का चिन्ह धनात्मक हो और अंश तथा हर का कोई सामान्य गुणनखंड 1 के अतिरिक्त न हो, तो उसे मानक रूप में कहा जाता है।
परिमेय संख्याओं को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।
परिमेय संख्याओं की तुलना क्रॉस-गुणन विधि से की जा सकती है।
किसी परिमेय संख्या p/q का योगात्मक व्युत्क्रम -p/q होता है।

इस अध्याय से अभ्यास प्रश्न

7/9 का गुणात्मक व्युत्क्रम क्या है?

9/7
-7/9
-9/7
7/9

उत्तर देखें

सही उत्तर: 9/7

a/b का गुणात्मक व्युत्क्रम b/a होता है।

2/5 और 3/5 के बीच कौन-सी परिमेय संख्या है?

7/10
1/2
1/4
4/5

उत्तर देखें

सही उत्तर: 1/2

1/2 = 5/10, 2/5 = 4/10, 3/5 = 6/10, अतः 1/2 इनके बीच है।

निम्नलिखित में से कौन -4/6 के समतुल्य है?

-6/4
4/6
-2/3
2/3

उत्तर देखें

सही उत्तर: -2/3

-4/6 को 2 से विभाजित करने पर -2/3 प्राप्त होता है।

एक चर में रैखिक समीकरण

एक चर में रैखिक समीकरण (Linear Equations in One Variable)

एक नज़र में: इस अध्याय में हम एक चर वाले रैखिक समीकरणों को समझेंगे, उन्हें हल करना सीखेंगे, उनकी वास्तविक जीवन में उपयोगिता जानेंगे और संबंधित प्रश्नों का अभ्यास करेंगे। (In this chapter, we will understand linear equations in one variable, learn how to solve them, know their real-life applications, and practice related questions.)

📌 अध्याय का परिचय (Chapter Introduction)

रैखिक समीकरण गणित का एक महत्वपूर्ण विषय है, जो आगे की कक्षाओं में भी आधार बनाता है। इसमें हम ऐसे समीकरणों का अध्ययन करते हैं, जिनमें केवल एक चर (variable) होता है और चर की घात (power) अधिकतम 1 होती है।

Linear equations are an important topic in mathematics and form the base for higher classes. Here, we study equations containing only one variable, and the highest power of the variable is 1.

उदाहरण: \( x + 5 = 9 \) \( 2y - 3 = 7 \)

📖 प्रमुख विषयवस्तु (Major Topics)

1. समीकरण क्या है? (What is an Equation?)

परिभाषा: दो व्यंजकों (expressions) को बराबरी के चिन्ह (=) से जोड़कर बनी संक्रिया को समीकरण कहते हैं। समीकरण में एक या एक से अधिक चर (variables) हो सकते हैं।

An equation is a statement formed by equating two expressions with an equal sign (=). An equation may have one or more variables.

उदाहरण:

\( x + 5 = 9 \)
\( 3y = 12 \)

यहाँ \( x \) और \( y \) चर हैं।

Here, \( x \) and \( y \) are variables.

2. एक चर में रैखिक समीकरण (Linear Equation in One Variable)

परिभाषा: ऐसा समीकरण जिसमें केवल एक चर हो, और उस चर की घात 1 हो, उसे एक चर में रैखिक समीकरण कहते हैं।

An equation having only one variable and the highest power of the variable is 1 is called a linear equation in one variable.

सामान्य रूप (General Form): \( ax + b = 0 \), जहाँ \( a \) और \( b \) वास्तविक संख्याएँ हैं, और \( a \neq 0 \)

\( ax + b = 0 \), where \( a \) and \( b \) are real numbers, and \( a \neq 0 \)

उदाहरण:

\( x + 7 = 15 \)
\( 3x - 4 = 2 \)
\( 5y = 25 \)

3. समीकरण का हल (Solution of an Equation)

परिभाषा: किसी समीकरण में चर के उस मान को, जिससे दोनों पक्ष (LHS & RHS) बराबर हो जाएँ, समीकरण का हल कहते हैं।

The value of the variable that satisfies the equation, i.e., makes LHS = RHS, is called the solution of the equation.

उदाहरण: \( x + 7 = 15 \) अगर \( x = 8 \) रखें: LHS = \( 8 + 7 = 15 \) RHS = 15 दोनों बराबर हैं, अतः \( x = 8 \) समीकरण का हल है।

If we put \( x = 8 \), LHS = 15, RHS = 15, so \( x = 8 \) is the solution.

4. समीकरण को हल करने के तरीके (Methods of Solving Equations)

समीकरण को हल करने के मुख्यतः दो तरीके हैं:

(A) संतुलन विधि (Method of Balancing)

समीकरण के दोनों पक्षों (sides) में समान संक्रिया (operation) करने से समीकरण संतुलित रहता है।

Performing the same operation on both sides keeps the equation balanced.

उदाहरण: \( x + 5 = 9 \) दोनों तरफ 5 घटाएँ: \( x + 5 - 5 = 9 - 5 \) \( x = 4 \)

(B) स्थानांतरण विधि (Transposition Method)

समीकरण के एक पक्ष की राशि को दूसरे पक्ष में स्थानांतरित करते समय चिन्ह बदल जाता है।

When shifting a term from one side to another, its sign changes.

उदाहरण: \( x + 5 = 9 \) 5 को दाहिने स्थानांतरित करें: \( x = 9 - 5 \) \( x = 4 \)

5. समीकरण को हल करने के चरण (Steps to Solve a Linear Equation)

समीकरण को सरल रूप में लिखें।

Write the equation in its simplest form.

चर वाले पदों को एक पक्ष में और संख्यात्मक पदों को दूसरे पक्ष में लाएँ।

Bring variable terms to one side and constant terms to the other.

आवश्यक संक्रियाएँ करके चर का मान ज्ञात करें।

Perform required operations to find the value of the variable.

हल को जाँचें।

Check the solution.

6. विभिन्न प्रकार के रैखिक समीकरण (Types of Linear Equations)

(i) साधारण समीकरण (Simple Equations)

जैसे, \( x + 5 = 12 \), \( y - 3 = 7 \)

(ii) गुणांक वाले समीकरण (Equations with Coefficient)

जैसे, \( 3x = 15 \), \( 4y - 8 = 0 \)

(iii) भिन्न रूप वाले समीकरण (Equations Involving Fractions)

जैसे, \( \frac{x}{2} + 3 = 7 \), \( \frac{y-4}{5} = 2 \)

(iv) समीकरणों में ब्रैकेट (Equations with Brackets)

जैसे, \( 2(x + 3) = 10 \), \( 3(y - 2) + 4 = 13 \)

7. वास्तविक जीवन में रैखिक समीकरण (Linear Equations in Real Life)

रैखिक समीकरण का उपयोग विभिन्न वास्तविक जीवन की समस्याओं जैसे - आयु, दूरी, गति, धन, आदि में किया जाता है।

Linear equations are used in various real-life problems like age, distance, speed, money, etc.

उदाहरण: किसी व्यक्ति की वर्तमान आयु \( x \) वर्ष है। 5 वर्ष बाद उसकी आयु 25 वर्ष होगी। समीकरण बनेगा: \( x + 5 = 25 \)

8. हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1 (Example 1)

सवाल: \( x + 7 = 15 \) का हल ज्ञात करें।

Solve \( x + 7 = 15 \).

हल: \( x + 7 = 15 \) दोनों तरफ 7 घटाएँ: \( x = 15 - 7 \) \( x = 8 \)

उदाहरण 2 (Example 2)

सवाल: \( 3x - 4 = 8 \) का हल ज्ञात करें।

Solve \( 3x - 4 = 8 \).

हल: \( 3x - 4 = 8 \) दोनों तरफ 4 जोड़ें: \( 3x = 8 + 4 \) \( 3x = 12 \) दोनों तरफ 3 से भाग दें: \( x = \frac{12}{3} \) \( x = 4 \)

उदाहरण 3 (Example 3)

सवाल: \( 2(x - 3) = 10 \) का हल ज्ञात करें।

Solve \( 2(x - 3) = 10 \).

हल: \( 2(x - 3) = 10 \) दोनों तरफ 2 से भाग दें: \( x - 3 = 5 \) दोनों तरफ 3 जोड़ें: \( x = 5 + 3 \) \( x = 8 \)

उदाहरण 4 (Example 4)

सवाल: \( \frac{x}{3} + 2 = 5 \) का हल ज्ञात करें।

Solve \( \frac{x}{3} + 2 = 5 \).

हल: \( \frac{x}{3} + 2 = 5 \) दोनों तरफ 2 घटाएँ: \( \frac{x}{3} = 3 \) दोनों तरफ 3 से गुणा करें: \( x = 3 \times 3 \) \( x = 9 \)

उदाहरण 5 (Example 5)

सवाल: \( \frac{2x - 4}{5} = 6 \) का हल ज्ञात करें।

Solve \( \frac{2x - 4}{5} = 6 \).

हल: दोनों तरफ 5 से गुणा करें: \( 2x - 4 = 30 \) दोनों तरफ 4 जोड़ें: \( 2x = 30 + 4 = 34 \) दोनों तरफ 2 से भाग दें: \( x = \frac{34}{2} = 17 \)

उदाहरण 6 (Example 6)

सवाल: \( 5(x + 2) = 3(x + 10) \) का हल ज्ञात करें।

Solve \( 5(x + 2) = 3(x + 10) \).

हल: \( 5x + 10 = 3x + 30 \) \( 5x - 3x = 30 - 10 \) \( 2x = 20 \) \( x = \frac{20}{2} = 10 \)

उदाहरण 7 (Example 7)

सवाल: यदि किसी संख्या का तीन गुना 15 से 9 अधिक है, तो संख्या ज्ञात करें।

If three times a number exceeds 15 by 9, find the number.

हल: मान लें संख्या = \( x \) तीन गुना = \( 3x \) 15 से 9 अधिक = \( 15 + 9 = 24 \) तो, \( 3x = 24 \) \( x = \frac{24}{3} = 8 \)

उदाहरण 8 (Example 8)

सवाल: किसी व्यक्ति की वर्तमान आयु \( x \) वर्ष है। 10 वर्ष बाद उसकी आयु 35 वर्ष होगी। उसकी वर्तमान आयु ज्ञात करें।

A man's present age is \( x \) years. After 10 years, his age will be 35 years. Find his present age.

हल: 10 वर्ष बाद आयु = \( x + 10 = 35 \) \( x = 35 - 10 = 25 \) वर्ष

उदाहरण 9 (Example 9)

सवाल: \( x - \frac{3}{5} = 2 \) का हल ज्ञात करें।

Solve \( x - \frac{3}{5} = 2 \).

हल: दोनों तरफ \( \frac{3}{5} \) जोड़ें: \( x = 2 + \frac{3}{5} \) \( x = \frac{10}{5} + \frac{3}{5} = \frac{13}{5} \)

उदाहरण 10 (Example 10)

सवाल: \( \frac{y}{3} - 4 = 2 \) का हल ज्ञात करें।

Solve \( \frac{y}{3} - 4 = 2 \).

हल: दोनों तरफ 4 जोड़ें: \( \frac{y}{3} = 6 \) दोनों तरफ 3 से गुणा करें: \( y = 6 \times 3 = 18 \)

9. शब्द समस्याएँ (Word Problems)

उदाहरण 11 (Example 11)

सवाल: एक संख्या में 5 जोड़ने पर परिणाम 13 आता है। संख्या ज्ञात करें।

When 5 is added to a number, the result is 13. Find the number.

हल: मान लें संख्या = \( x \) समीकरण: \( x + 5 = 13 \) \( x = 13 - 5 = 8 \)

उदाहरण 12 (Example 12)

सवाल: एक संख्या का दोगुना 20 के बराबर है। संख्या ज्ञात करें।

Twice a number equals 20. Find the number.

हल: मान लें संख्या = \( x \) समीकरण: \( 2x = 20 \) \( x = \frac{20}{2} = 10 \)

उदाहरण 13 (Example 13)

सवाल: एक संख्या में 7 घटाने पर परिणाम 18 मिलता है। संख्या ज्ञात करें।

A number minus 7 gives 18. Find the number.

हल: मान लें संख्या = \( x \) समीकरण: \( x - 7 = 18 \) \( x = 18 + 7 = 25 \)

उदाहरण 14 (Example 14)

सवाल: एक संख्या का तीन गुना उसके दोगुने से 5 अधिक है। संख्या ज्ञात करें।

Three times a number is 5 more than its double. Find the number.

हल: मान लें संख्या = \( x \) तीन गुना = \( 3x \) दोगुना = \( 2x \) समीकरण: \( 3x = 2x + 5 \) \( 3x - 2x = 5 \) \( x = 5 \)

उदाहरण 15 (Example 15)

सवाल: किसी संख्या को 4 से भाग देने पर 6 प्राप्त होता है। संख्या ज्ञात करें।

Dividing a number by 4 gives 6. Find the number.

हल: मान लें संख्या = \( x \) समीकरण: \( \frac{x}{4} = 6 \) \( x = 6 \times 4 = 24 \)

उदाहरण 16 (Example 16)

सवाल: एक आयु समस्या: राम की आयु 5 वर्ष बाद 18 वर्ष होगी। राम की वर्तमान आयु ज्ञात करें।

Ram's age after 5 years will be 18 years. Find his present age.

हल: वर्तमान आयु = \( x \) 5 वर्ष बाद = \( x + 5 = 18 \) \( x = 18 - 5 = 13 \) वर्ष

उदाहरण 17 (Example 17)

सवाल: एक संख्या के 1/3 और 5 के योगफल से 8 प्राप्त होता है। संख्या ज्ञात करें।

One-third of a number added to 5 gives 8. Find the number.

हल: मान लें संख्या = \( x \) समीकरण: \( \frac{x}{3} + 5 = 8 \) \( \frac{x}{3} = 8 - 5 = 3 \) \( x = 3 \times 3 = 9 \)

उदाहरण 18 (Example 18)

सवाल: किसी संख्या में 10 जोड़ने पर उसका दोगुना 50 के बराबर हो जाता है। संख्या ज्ञात करें।

When 10 is added to a number, its double becomes 50. Find the number.

हल: मान लें संख्या = \( x \) समीकरण: \( 2(x + 10) = 50 \) \( x + 10 = 25 \) \( x = 25 - 10 = 15 \)

उदाहरण 19 (Example 19)

सवाल: एक संख्या का चौगुना 36 से 8 कम है। संख्या ज्ञात करें।

Four times a number is 8 less than 36. Find the number.

हल: मान लें संख्या = \( x \) चौगुना = \( 4x \) 36 से 8 कम = \( 36 - 8 = 28 \) समीकरण: \( 4x = 28 \) \( x = \frac{28}{4} = 7 \)

उदाहरण 20 (Example 20)

सवाल: एक संख्या के 2/5 भाग में 7 जोड़ने पर 15 प्राप्त होता है। संख्या ज्ञात करें।

Adding 7 to 2/5 of a number gives 15. Find the number.

हल: मान लें संख्या = \( x \) समीकरण: \( \frac{2x}{5} + 7 = 15 \) \( \frac{2x}{5} = 15 - 7 = 8 \) \( 2x = 8 \times 5 = 40 \) \( x = \frac{40}{2} = 20 \)

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

एक चर में रैखिक समीकरण की सामान्य रूपरेखा \( ax + b = 0 \) है, जहाँ \( a \neq 0 \)।

The general form is \( ax + b = 0 \), where \( a \neq 0 \).

समीकरण को हल करने के लिए दोनों पक्षों पर एक जैसी संक्रिया करें।

Always perform the same operation on both sides to keep the equation balanced.

समीकरण में चर की घात (power) 1 से अधिक नहीं होनी चाहिए।

The power of the variable must not exceed 1.

समीकरण का हल वह मान होता है, जिससे LHS = RHS हो जाता है।

The solution is the value that makes LHS = RHS.

समीकरण में पदों को एक पक्ष से दूसरे में ले जाते समय उनका चिन्ह बदल जाता है।

When transposing terms, their sign changes.

समीकरण को हल करने के बाद हल को समीकरण में रखकर सत्यापन अवश्य करें।

Always verify your solution by substituting it back into the equation.

शब्द समस्याओं को समीकरण में बदलकर ही हल करें।

Convert word problems into equations before solving.

भिन्न, ब्रैकेट, गुणांक आदि को हल करते समय सावधानी रखें।

Be careful while dealing with fractions, brackets, and coefficients.

समीकरण को सरल रूप में लाना जरूरी है।

Always simplify the equation before solving.

गणना में त्रुटि से बचने के लिए हर चरण को साफ-साफ लिखें।

Write each step clearly to avoid calculation mistakes.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक (No.) | गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Method) | |---------------|----------------|----------------------------| | 1 | समीकरण के एक पक्ष पर ही संक्रिया करना | दोनों पक्षों पर एक जैसी संक्रिया करें (Perform the same operation on both sides) | | 2 | स्थानांतरण करते समय चिन्ह न बदलना | स्थानांतरण पर चिन्ह बदलें (Change the sign while transposing) | | 3 | चर की घात 1 से अधिक ले लेना | केवल घात 1 तक ही रैखिक समीकरण मान्य है (Power of variable must be 1) | | 4 | हल को सत्यापित न करना | हल को समीकरण में रखकर जाँचें (Verify the solution by substitution) | | 5 | भिन्नों के साथ गलत गणना | भिन्न को सही तरीके से हल करें (Solve fractions carefully) | | 6 | ब्रैकेट खोलते समय गलती | ब्रैकेट खोलते समय सभी पदों पर गुणा करें (Multiply all terms when opening brackets) | | 7 | गुणांक के साथ गलत संक्रिया | गुणांक से सही भाग या गुणा करें (Divide or multiply correctly with coefficients) | | 8 | शब्द समस्या को गलत समीकरण में बदलना | शब्दों को ठीक से समीकरण में रूपांतरित करें (Translate word problems accurately) | | 9 | सभी पदों को एक पक्ष में न लाना | चर वाले और संख्यात्मक पदों को अलग-अलग पक्षों में रखें (Group variable and constant terms correctly) | | 10 | चरणबद्ध हल न लिखना | हर चरण को साफ-साफ लिखें (Write each step clearly) |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1 अंक (1-mark Questions)

\( x + 8 = 13 \) का हल लिखिए।

Solve \( x + 8 = 13 \).

एक चर में रैखिक समीकरण का सामान्य रूप क्या है?

What is the general form of a linear equation in one variable?

\( 2x = 14 \) में \( x \) का मान क्या है?

Find the value of \( x \) in \( 2x = 14 \).

समीकरण \( x - 5 = 0 \) का हल ज्ञात करें।

Solve \( x - 5 = 0 \).

यदि \( y = 4 \), तो \( y + 3 \) का मान क्या होगा?

If \( y = 4 \), what is the value of \( y + 3 \)?

2 अंक (2-mark Questions)

\( 3x + 5 = 17 \) का हल कीजिए।

Solve \( 3x + 5 = 17 \).

\( \frac{x}{4} - 2 = 3 \) का हल कीजिए।

Solve \( \frac{x}{4} - 2 = 3 \).

एक संख्या के 1/2 और 7 के योगफल से 15 प्राप्त होता है। संख्या ज्ञात कीजिए।

One-half of a number added to 7 gives 15. Find the number.

\( 2(x - 5) = 18 \) का हल कीजिए।

Solve \( 2(x - 5) = 18 \).

किसी संख्या में 8 जोड़ने पर उसका तीन गुना 27 के बराबर हो जाता है। संख्या ज्ञात कीजिए।

When 8 is added to a number, its triple becomes 27. Find the number.

5 अंक (5-mark Questions)

निम्नलिखित समीकरणों को हल कीजिए:

(a) \( 5(x + 3) = 2(x + 9) \) (b) \( \frac{2x - 1}{3} + \frac{x + 2}{2} = 5 \)

शब्द समस्या:

एक पिता की आयु अपने पुत्र से 5 गुना अधिक है। 6 वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र से 3 गुना होगी। वर्तमान में दोनों की आयु ज्ञात कीजिए।

A father's age is five times that of his son. Six years later, the father's age will be three times that of his son. Find their present ages.

शब्द समस्या:

रामु की आयु उसके बेटे की आयु से 12 वर्ष अधिक है। 4 वर्ष बाद रामु की आयु बेटे की आयु से दोगुनी होगी। वर्तमान में दोनों की आयु ज्ञात करें।

Ramu is 12 years older than his son. Four years later, Ramu's age will be twice his son's age. Find their present ages.

समीकरण हल कीजिए:

(a) \( 4x - 7 = 9 \) (b) \( \frac{3x - 4}{2} = 5 \) (c) \( 6(x - 2) = 3x + 12 \)

शब्द समस्या:

एक व्यक्ति की वर्तमान आयु उसके पुत्र की आयु से 24 वर्ष अधिक है। 6 वर्ष बाद उसकी आयु पुत्र की आयु से दोगुनी होगी। वर्तमान में दोनों की आयु ज्ञात करें।

A man's present age is 24 years more than his son's age. Six years later, his age will be twice his son's age. Find their present ages.

नोट:

सभी हल के लिए चरणबद्ध विधि अपनाएँ।

Use stepwise method for all solutions.

हल को समीकरण में रखकर सत्यापन करें।

Verify your solution by substitution.

शब्द समस्याओं को पहले समीकरण में बदलें, फिर हल करें।

Translate word problems into equations before solving.

अध्याय सारांश (Chapter Summary)

एक चर में रैखिक समीकरण की पहचान, हल करने की विधि, शब्द समस्याएँ, तथा उनकी उपयोगिता इस अध्याय में विस्तार से समझाई गई है।
परीक्षा हेतु सभी हल किए गए उदाहरणों का अभ्यास करें।
महत्वपूर्ण बिंदुओं और सामान्य गलतियों को ध्यान में रखें।

अभ्यास करें, आत्मविश्वास बढ़ाएँ, और गणित में निपुण बनें!

Practice well, boost your confidence, and excel in mathematics!

मुख्य बिंदु (Key Points)

एक चर में रैखिक समीकरण वह समीकरण है, जो ax + b = 0 के रूप में होता है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a ≠ 0।
रैखिक समीकरण का हल वह चर का मान है, जो समीकरण को संतुष्ट करता है।
स्थानांतरण का अर्थ है, समीकरण के एक पक्ष से दूसरे पक्ष में पद को ले जाना और उसका चिन्ह बदलना।
समीकरण के दोनों पक्षों में समान रूप से जोड़, घटाव, गुणा या भाग करने से समीकरण का हल नहीं बदलता।
यदि समीकरण के दोनों पक्षों में एक ही संख्या जोड़ी या घटाई जाए, तो समीकरण में कोई परिवर्तन नहीं होता।
यदि समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही शून्य से भिन्न संख्या से गुणा या भाग किया जाए, तो समीकरण अपरिवर्तित रहता है।
रैखिक समीकरणों में चर दोनों पक्षों में हो सकते हैं, जैसे: 2x + 3 = x + 7।
दोनों पक्षों में चर वाले समीकरणों को हल करने के लिए, सभी चर वाले पदों को एक पक्ष में और संख्यात्मक पदों को दूसरे पक्ष में लाते हैं।
एक चर में रैखिक समीकरण का केवल एक ही हल होता है।
हल को जाँचने के लिए चर के मान को मूल समीकरण में रखकर जाँचा जा सकता है।
भिन्नों वाले समीकरणों को हल करने के लिए, दोनों पक्षों को हरों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गुणा किया जाता है।
शब्द समस्याओं को दिए गए तथ्यों के आधार पर समीकरण बनाकर एक चर में रैखिक समीकरण के रूप में हल किया जा सकता है।

इस अध्याय से अभ्यास प्रश्न

समीकरण x + 7 = 12 का हल क्या है?

x = 19
x = 5
x = 7
x = -5

उत्तर देखें

सही उत्तर: x = 5

दोनों पक्षों से 7 घटाएँ: x = 12 - 7 = 5।

निम्नलिखित में से कौन-सा एक चर में रैखिक समीकरण है?

y + z = 5
2x + 3 = 7
2xy = 6
x^2 + 3 = 7

उत्तर देखें

सही उत्तर: 2x + 3 = 7

2x + 3 = 7 एक चर x में रैखिक समीकरण है।

यदि x - 4 = 10, तो x का मान क्या है?

उत्तर देखें

RBSE कक्षा 8 गणित के ये नोट्स किसके लिए हैं?

ये नोट्स RBSE (राजस्थान बोर्ड) कक्षा 8 के हिंदी माध्यम के विद्यार्थियों के लिए हैं, जो गणित को आसान भाषा में समझना चाहते हैं।

क्या पूरे नोट्स मुफ्त हैं?

पहले अध्याय के पूरे नोट्स यहाँ मुफ्त उपलब्ध हैं। बाकी अध्याय TopperApp में मुफ्त पढ़ सकते हैं।

क्या ये नोट्स नवीनतम RBSE सिलेबस के अनुसार हैं?

हाँ, ये नोट्स RBSE के वर्तमान सिलेबस और परीक्षा पैटर्न के अनुसार तैयार किए गए हैं।

TopperApp के साथ और आगे बढ़ें

bolt BoosterNotes

परीक्षा से पहले तेज़ रिवीजन के लिए संक्षिप्त बूस्टर नोट्स।

खोलें

description 10 मॉडल पेपर

पूरे हल सहित 10 मॉडल पेपर — App में अभ्यास करें।

खोलें

smartphone TopperApp

पूरा कोर्स, वीडियो व टेस्ट सीरीज़ — मुफ्त शुरू करें।

खोलें

workspace_premium Premium

सभी विषय, सभी अध्याय — Premium के साथ।

खोलें

TopperApp Download करें — पढ़ाई आज से smart करो

RBSE & CBSE Class 6-12, plus REET, RAS & vacancy test series — सब Hindi और English में। Free start करो।

Get it onGoogle Play

Coming soon onApp Store