गुणनखंडन
Factorisation
गुणनखंडन (Factorisation)
एक नज़र में:
गुणनखंडन वह प्रक्रिया है जिसमें किसी बीजगणितीय व्यंजक (algebraic expression) को उसके अवयव गुणनखंडों (factors) में विभाजित किया जाता है। यह अध्याय बहुपदों (polynomials) के गुणनखंडन के विविध तरीकों को विस्तार से समझाता है, जो गणितीय समस्याओं को सरल रूप में हल करने में सहायक है।
Factorisation is the process of expressing an algebraic expression as a product of its factors. This chapter explains various methods of factorising polynomials, which helps in simplifying and solving mathematical problems easily.
📌 अध्याय का परिचय (Introduction)
गुणनखंडन बीजगणित का एक अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है, जिसमें हम किसी बहुपद या व्यंजक को दो या दो से अधिक सरल व्यंजकों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं।
Factorisation is a very important topic in algebra, where we write a polynomial or expression as a product of two or more simpler expressions.
यह प्रक्रिया गणित की कई शाखाओं जैसे समीकरण हल करना, सरलीकरण, क्षेत्रफल ज्ञात करना आदि में उपयोगी है।
This process is useful in various branches of mathematics like solving equations, simplification, finding area, etc.
📖 मुख्य विषय-वस्तु (Major Topics)
1. गुणनखंडन क्या है? (What is Factorisation?)
परिभाषा: गुणनखंडन वह प्रक्रिया है जिसमें किसी संख्यात्मक या बीजगणितीय व्यंजक को उसके अवयव भागों (factors) में विभाजित किया जाता है, ताकि इनके गुणनफल से वह मूल व्यंजक पुनः प्राप्त हो जाए।
Factorisation is the process of breaking down a numerical or algebraic expression into its constituent parts (factors), so that their product gives back the original expression.
उदाहरण (Example): 12 = 2 × 2 × 3 x² + 3x = x(x + 3)
2. संख्याओं का गुणनखंडन (Factorisation of Numbers)
संख्याओं के गुणनखंडन के लिए हम उसे अभाज्य संख्याओं (prime numbers) के गुणनफल के रूप में लिखते हैं।
For factorisation of numbers, we write it as a product of prime numbers.
उदाहरण: 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2² × 3²
3. बीजगणितीय व्यंजकों का गुणनखंडन (Factorisation of Algebraic Expressions)
(A) साधारण गुणनखंडन (By Taking Out Common Factors)
सिद्धांत: यदि किसी व्यंजक के सभी पदों में कोई समान गुणनखंड हो, तो उसे बाहर निकाल लेते हैं।
If all the terms of an expression have a common factor, we take it out.
सूत्र (Formula): ab + ac = a(b + c)
उदाहरण: 8xy + 12x = 4x(2y + 3)
Steps:
- सभी पदों के गुणनखंड ज्ञात करें।
- सबसे बड़ा सामान्य गुणनखंड (HCF) बाहर निकालें।
- शेष पदों को कोष्ठक में लिखें।
(B) सारणी विधि (By Grouping)
जब किसी व्यंजक के सभी पदों में कोई एक गुणनखंड सामान्य न हो, तो पदों के समूह बनाकर गुणनखंडित किया जाता है।
When there is no single common factor in all terms, we make groups and factorise by grouping.
उदाहरण (Example): ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y)
Steps:
- पदों के उपयुक्त समूह बनाएं।
- प्रत्येक समूह में सामान्य गुणनखंड निकालें।
- दोनों समूहों में कोष्ठक समान हो, तो बाहर निकालें।
(C) पहचान सूत्र विधि (By Using Identities)
बीजगणितीय सूत्रों का उपयोग कर गुणनखंडन किया जाता है।
We use algebraic identities to factorise expressions.
मुख्य सूत्र (Key Identities):
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- a² - b² = (a + b)(a - b)
- a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
- a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
उदाहरण: x² - 9 = (x + 3)(x - 3) a² + 2ab + b² = (a + b)²
(D) त्रय पद बहुपद (Factorisation of Quadratic Trinomials)
रूप (Form): ax² + bx + c
विधि: b के ऐसे दो पद खोजें जिनका गुणनफल ac के बराबर हो और उनका योग b हो।
Find two numbers such that their product is ac and their sum is b.
उदाहरण (Example): x² + 5x + 6 यहाँ a = 1, b = 5, c = 6 ac = 6 ऐसे दो संख्याएँ: 2 और 3 (2 × 3 = 6, 2 + 3 = 5) = x² + 2x + 3x + 6 = x(x + 2) + 3(x + 2) = (x + 2)(x + 3)
Steps:
- ac का मान ज्ञात करें।
- ऐसे दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल ac और योग b हो।
- b को दो पदों में विभाजित करें।
- समूहीकरण कर सामान्य गुणनखंड निकालें।
(E) पूर्ण वर्ग बहुपद (Perfect Square Polynomials)
किसी बहुपद का गुणनखंडन करना जो पूर्ण वर्ग रूप में हो।
Factorising a polynomial which is a perfect square.
उदाहरण: a² + 2ab + b² = (a + b)² x² - 6x + 9 = (x - 3)²
(F) अंतर के वर्ग का गुणनखंडन (Difference of Squares)
a² - b² = (a + b)(a - b)
उदाहरण: 4x² - 25 = (2x)² - 5² = (2x + 5)(2x - 5)
(G) घनों का गुणनखंडन (Factorisation of Cubes)
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
उदाहरण: x³ + 8 = x³ + 2³ = (x + 2)(x² - 2x + 4)
4. बहुपदों का भाजक से गुणनखंडन (Factorisation by Division)
जब कोई बहुपद किसी रेखीय बहुपद (Linear Polynomial) से पूर्णतः विभाजित हो, तो उसे भाजक से विभाजित कर शेषफल 0 प्राप्त किया जाता है।
When a polynomial is completely divisible by a linear polynomial, we divide and get the remainder zero.
उदाहरण: x³ - 6x² + 11x - 6 को (x - 1) से विभाजित करें।
Stepwise Solution: यहाँ (x - 1) एक गुणनखंड है, शेषफल 0 प्राप्त होता है।
5. बहुपदों के गुणनखंडन की विविध विधियाँ (Various Methods of Factorisation)
- सामान्य गुणनखंड निकालना (Taking out common factors)
- समूहीकरण (Grouping)
- पहचान सूत्र (Identities)
- त्रय पद बहुपद (Quadratic trinomials)
- भाजक से विभाजन (Division by a factor)
- विशेष रूपों का उपयोग (Use of special forms)
🔢 हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 1:
प्रश्न: 6x²y + 9xy² का गुणनखंडन कीजिए। समाधान: 6x²y + 9xy² = 3xy(2x + 3y)
Taking 3xy as common factor
उदाहरण 2:
प्रश्न: x² - 16 का गुणनखंडन कीजिए। समाधान: x² - 16 = (x)² - (4)² = (x + 4)(x - 4)
Difference of squares
उदाहरण 3:
प्रश्न: x² + 7x + 12 का गुणनखंडन कीजिए। समाधान: x² + 7x + 12 = x² + 3x + 4x + 12 = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)
उदाहरण 4:
प्रश्न: a³ - 27 का गुणनखंडन कीजिए। समाधान: a³ - 27 = a³ - 3³ = (a - 3)(a² + 3a + 9)
उदाहरण 5:
प्रश्न: x²y + xy² का गुणनखंडन कीजिए। समाधान: x²y + xy² = xy(x + y)
उदाहरण 6:
प्रश्न: 4x² + 12x + 9 का गुणनखंडन कीजिए। समाधान: 4x² + 12x + 9 = (2x + 3)² (यह एक पूर्ण वर्ग बहुपद है)
उदाहरण 7:
प्रश्न: 2x² + 5x + 2 का गुणनखंडन कीजिए। समाधान: 2x² + 5x + 2 = 2x² + 4x + x + 2 = 2x(x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(2x + 1)
उदाहरण 8:
प्रश्न: x³ + x² - 6x का गुणनखंडन कीजिए। समाधान: x(x² + x - 6) = x[(x + 3)(x - 2)] = x(x + 3)(x - 2)
उदाहरण 9:
प्रश्न: 8x³ + 27y³ का गुणनखंडन कीजिए। समाधान: 8x³ + 27y³ = (2x)³ + (3y)³ = (2x + 3y)[(2x)² - 2x×3y + (3y)²] = (2x + 3y)(4x² - 6xy + 9y²)
उदाहरण 10:
प्रश्न: ab - a + b - 1 का गुणनखंडन कीजिए। समाधान: ab - a + b - 1 = (ab - a) + (b - 1) = a(b - 1) + 1(b - 1) = (a + 1)(b - 1)
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)
- गुणनखंडन में व्यंजक को दो या दो से अधिक सरल गुणनखंडों के रूप में लिखा जाता है।
Factorisation expresses an expression as a product of two or more simpler factors.
- सभी पदों में सामान्य गुणनखंड को बाहर निकालना सबसे आसान विधि है।
Taking out the common factor from all terms is the simplest method.
- समूहीकरण विधि का उपयोग तब किया जाता है जब सभी पदों में कोई एक सामान्य गुणनखंड न हो।
Grouping is used when there is no single common factor in all terms.
- पहचान सूत्रों का अभ्यास करना गुणनखंडन को आसान बनाता है।
Practice of identities makes factorisation easier.
- त्रय पद बहुपद का गुणनखंडन करते समय ac विधि अपनाई जाती है।
While factorising quadratic trinomials, ac method is used.
- अंतर के वर्ग का सूत्र (a² - b² = (a + b)(a - b)) अति महत्वपूर्ण है।
Difference of squares identity is very important.
- गुणनखंडन के बाद प्राप्त सभी गुणनखंडों को पुनः गुणा कर मूल व्यंजक प्राप्त हो जाना चाहिए।
After factorisation, multiplying the factors should give the original expression.
- किसी बहुपद में से अधिकतम सामान्य गुणनखंड निकालना चाहिए।
Always take out the highest common factor from a polynomial.
- पूर्ण वर्ग एवं पूर्ण घन बहुपदों की पहचान करें।
Identify perfect square and perfect cube polynomials.
- गुणनखंडन से समीकरणों को हल करना सरल होता है।
Factorisation makes solving equations easier.
- बहुपद के सभी पदों को ठीक प्रकार से लिखना एवं चिन्हों का ध्यान रखना चाहिए।
Write all terms of the polynomial properly and take care of signs.
- यदि कोई बहुपद एक अन्य बहुपद से विभाज्य है, तो उसका भाजक एक गुणनखंड होता है।
If a polynomial is divisible by another polynomial, the divisor is a factor.
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| क्रमांक | गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Way) | |--------|----------------|-------------------------| | 1 | सभी पदों में से समान गुणनखंड निकालना भूल जाना | प्रत्येक पद में गुणनखंड जाँचें व निकालें | | 2 | चिन्ह (+/-) की गलती | हर पद के चिन्ह पर ध्यान दें | | 3 | पहचान सूत्रों का गलत उपयोग | सूत्रों को ध्यान से लागू करें | | 4 | ac विधि में गलत संख्याएँ चुनना | ac के लिए सही संख्याएँ चुनें | | 5 | गुणनखंडन के बाद उत्तर की जाँच न करना | गुणनफल लेकर मूल व्यंजक की पुष्टि करें | | 6 | समूहीकरण में गलत समूह बनाना | सही समूह बनाकर सामान्य गुणनखंड निकालें | | 7 | पूर्ण वर्ग बहुपद को पहचान न पाना | पूर्ण वर्ग का स्वरूप पहचानें | | 8 | बचे हुए पदों को कोष्ठक में न लिखना | शेष पदों को कोष्ठक में लिखें | | 9 | बहुपद के सभी पद न लिखना | सभी पद सही क्रम में लिखें | | 10 | भाजक से विभाजन में शेषफल गलत आना | विभाजन को सावधानी से करें |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)
1 अंक के प्रश्न (1-Mark Questions)
- 6x²y + 9xy² का गुणनखंड लिखिए।
Write the factors of 6x²y + 9xy².
- x² - 25 का गुणनखंड लिखिए।
Write the factors of x² - 25.
- a² + 2ab + b² किसका पूर्ण वर्ग है?
a² + 2ab + b² is the perfect square of which expression?
- a³ - b³ का सूत्र लिखिए।
Write the formula for a³ - b³.
- x² + 6x + 9 का गुणनखंड लिखिए।
Write the factors of x² + 6x + 9.
2 अंक के प्रश्न (2-Mark Questions)
- निम्नलिखित का गुणनखंडन कीजिए:
(i) x² + 7x + 12 (ii) 8x³ + 27y³
- ab - a + b - 1 का गुणनखंडन कीजिए।
Factorise ab - a + b - 1.
- 2x² + 5x + 2 का गुणनखंडन कीजिए।
Factorise 2x² + 5x + 2.
- x³ + x² - 6x का गुणनखंडन कीजिए।
Factorise x³ + x² - 6x.
- 4x² - 25 का गुणनखंडन कीजिए।
Factorise 4x² - 25.
5 अंक के प्रश्न (5-Mark Questions)
- निम्नलिखित बहुपदों का गुणनखंडन कीजिए:
(i) x² + 10x + 21 (ii) x³ - 8 (iii) 3x²y + 6xy² + 9x²z + 18xz²
उत्तर: (i) x² + 10x + 21 = x² + 3x + 7x + 21 = x(x + 3) + 7(x + 3) = (x + 3)(x + 7) (ii) x³ - 8 = x³ - 2³ = (x - 2)(x² + 2x + 4) (iii) 3x²y + 6xy² + 9x²z + 18xz² = [3x²y + 6xy²] + [9x²z + 18xz²] = 3xy(x + 2y) + 9xz(x + 2z) = 3x(x + 2y)y + 3x(x + 2z)3z = 3x(x + 2y)y + 3x(x + 2z)3z = 3x(x + 2y + 3z)(y + z)
- x² + 15x + 44 का गुणनखंडन कीजिए एवं जाँच कीजिए।
Factorise x² + 15x + 44 and verify your answer.
उत्तर: x² + 15x + 44 = x² + 11x + 4x + 44 = x(x + 11) + 4(x + 11) = (x + 11)(x + 4) जाँच: (x + 11)(x + 4) = x² + 4x + 11x + 44 = x² + 15x + 44 (सही)
- निम्नलिखित का गुणनखंडन कीजिए:
(i) a² - 2ab + b² - 9 (ii) y³ + 27
उत्तर: (i) a² - 2ab + b² - 9 = (a - b)² - 3² = [(a - b) + 3][(a - b) - 3] = (a - b + 3)(a - b - 3) (ii) y³ + 27 = y³ + 3³ = (y + 3)(y² - 3y + 9)
- निम्न का गुणनखंडन कीजिए एवं steps स्पष्ट कीजिए:
(i) x² - 3x - 18 (ii) 4x² - 12x + 9
उत्तर: (i) x² - 3x - 18 = x² - 6x + 3x - 18 = x(x - 6) + 3(x - 6) = (x - 6)(x + 3) (ii) 4x² - 12x + 9 = (2x - 3)²
- 6x² + 11x + 3 का गुणनखंडन कीजिए।
(Factorise 6x² + 11x + 3.)
उत्तर: ac = 6 × 3 = 18 दो संख्याएँ: 9 और 2 (9 × 2 = 18, 9 + 2 = 11) 6x² + 9x + 2x + 3 = 3x(2x + 3) + 1(2x + 3) = (2x + 3)(3x + 1)
अध्याय सारांश (Chapter Summary)
- गुणनखंडन बीजगणितीय व्यंजकों को सरल गुणनखंडों में विभाजित करने की प्रक्रिया है।
- यह गणित की कई समस्याओं को हल करने में सहायक है।
- गुणनखंडन की विभिन्न विधियाँ हैं: सामान्य गुणनखंड निकालना, समूहीकरण, पहचान सूत्र, त्रय पद बहुपद, भाजक से विभाजन आदि।
- अभ्यास, सूत्रों की समझ और गलती से बचाव द्वारा गुणनखंडन में दक्षता प्राप्त की जा सकती है।
यह अध्याय बोर्ड परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण है। सभी विधियों का नियमित अभ्यास करें और उपरोक्त उदाहरणों को स्वयं हल करने का प्रयास करें।
This chapter is extremely important for board exams. Practice all methods regularly and try to solve the above examples yourself.
मुख्य बिंदु (Key Points)
- किसी बीजगणितीय व्यंजक को उसके गुणकों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करने की प्रक्रिया को गुणनखंडन कहते हैं।
- गुणक वह संख्या या बीजगणितीय व्यंजक है जो किसी अन्य संख्या या व्यंजक को शेषफल शून्य के साथ विभाजित करता है।
- व्यंजक के प्रत्येक पद से समान गुणक बाहर निकालकर गुणनखंडन किया जा सकता है।
- सभी पदों से महत्तम समापवर्त्य (HCF) निकालकर भी गुणनखंडन किया जा सकता है।
- बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ जैसे a² - b² = (a + b)(a - b) गुणनखंडन में सहायक होती हैं।
- मध्यम पद विभाजन विधि का प्रयोग ax² + bx + c के रूप वाले द्विघात व्यंजकों के गुणनखंडन हेतु किया जाता है।
- चार या अधिक पदों वाले व्यंजकों के गुणनखंडन के लिए समूहण विधि का प्रयोग किया जाता है।
- प्राप्त गुणकों का गुणन करके गुणनखंडन की पुष्टि की जा सकती है।
- अविभाज्य गुणक वे होते हैं जिन्हें और अधिक गुणनखंडित नहीं किया जा सकता।
- सामान्य त्रुटियों में समान गुणक निकालना भूल जाना या सर्वसमिकाओं का गलत प्रयोग करना शामिल है।
- गुणनखंडन व्यंजकों को सरल बनाने और समीकरणों को हल करने में उपयोगी है।
- गुणनखंडन की विभिन्न विधियों में निपुणता प्राप्त करने के लिए अभ्यास अत्यंत आवश्यक है।
Key Points
- Factorisation is the process of expressing an algebraic expression as a product of its factors.
- A factor is a number or algebraic expression that divides another exactly, without remainder.
- Common factors can be taken out from each term to factorise an expression.
- Factorisation can be done by taking out the Highest Common Factor (HCF) from all terms.
- Algebraic identities like a² - b² = (a + b)(a - b) help in factorisation.
- Middle term splitting is used to factorise quadratic expressions of the form ax² + bx + c.
- Grouping method is used to factorise expressions with four or more terms.
- Factorisation can be verified by multiplying the obtained factors.
- Irreducible factors are those which cannot be factorised further.
- Common errors include missing out common factors or incorrect application of identities.
- Factorisation is useful in simplifying expressions and solving equations.
- Practice is essential to master different methods of factorisation.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
गुणनखंडन करें: 3xy + 6x
गुणनखंडन करें: x^2 + 2x
2x + 4 का गुणनखंडन है:
a^2 - b^2 का गुणनखंडन क्या है?
निम्न में से कौन x^2 - 4x का एक गुणनखंड है?
महत्वपूर्ण विषयपरक प्रश्न
अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
- 6x²y + 9xy² का गुणनखंड लिखिए 1 अंक नोट्स
- x² - 25 का गुणनखंड लिखिए 1 अंक नोट्स
- a² + 2ab + b² किसका पूर्ण वर्ग है? 1 अंक नोट्स
- a³ - b³ का सूत्र लिखिए 1 अंक नोट्स
- x² + 6x + 9 का गुणनखंड लिखिए 1 अंक नोट्स
लघु उत्तरीय प्रश्न
- निम्नलिखित का गुणनखंडन कीजिए: (i) x² + 7x + 12 (ii) 8x³ + 27y³ 2 अंक नोट्स
- ab - a + b - 1 का गुणनखंडन कीजिए 2 अंक नोट्स
- 2x² + 5x + 2 का गुणनखंडन कीजिए 2 अंक नोट्स
- x³ + x² - 6x का गुणनखंडन कीजिए 2 अंक नोट्स
- 4x² - 25 का गुणनखंडन कीजिए 2 अंक नोट्स
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
- निम्नलिखित बहुपदों का गुणनखंडन कीजिए: (i) x² + 10x + 21 (ii) x³ - 8 (iii) 3x²y + 6xy² + 9x²z + 18xz² 5 अंक नोट्स
- x² + 15x + 44 का गुणनखंडन कीजिए एवं जाँच कीजिए 5 अंक नोट्स
- निम्नलिखित का गुणनखंडन कीजिए: (i) a² - 2ab + b² - 9 (ii) y³ + 27 5 अंक नोट्स
- निम्न का गुणनखंडन कीजिए एवं steps स्पष्ट कीजिए: (i) x² - 3x - 18 (ii) 4x² - 12x + 9 5 अंक नोट्स
- 6x² + 11x + 3 का गुणनखंडन कीजिए 5 अंक नोट्स
उत्तर कुंजी (Answer Key)
प्रश्न 11 का उत्तर
प्रश्न 12 का उत्तर
प्रश्न 13 का उत्तर
प्रश्न 14 का उत्तर
प्रश्न 15 का उत्तर
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गुणनखंडन (Factorisation) एक नज़र में: गुणनखंडन वह प्रक्रिया है जिसमें किसी बीजगणितीय व्यंजक (algebraic expression) को उसके अवयव गुणनखंडों (factors) में विभाजित…
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