menu_bookRBSE · गणित (Mathematics) · अध्याय 13

सीधा और प्रतिलोम समानुपात

Direct and Inverse Proportions

schedule~30 मिनट

downloadDownload TopperApp Free सभी नोट्स

सीधा और प्रतिलोम समानुपात (Direct and Inverse Proportions)

एक नज़र में:

सीधा और प्रतिलोम समानुपात गणित के दो महत्वपूर्ण अनुपात हैं, जिनका उपयोग दैनिक जीवन की कई समस्याओं के हल में किया जाता है। इस अध्याय में, हम सीखेंगे कि दो राशियों के बीच कब सीधा और कब प्रतिलोम समानुपात होता है, इनके सूत्र, और इन्हें कैसे पहचानें व प्रश्न हल करें।

In a nutshell: Direct and Inverse Proportions are two important relationships in mathematics, widely used to solve real-life problems. In this chapter, we learn when two quantities are directly or inversely proportional, their formulas, and how to identify and solve related questions.

📌 अध्याय का परिचय

Chapter Introduction

गणित में, जब दो राशियों के बीच ऐसा संबंध होता है कि एक राशि के बढ़ने या घटने पर दूसरी भी उसी अनुपात में बढ़ती या घटती है, तो उसे सीधा समानुपात (Direct Proportion) कहते हैं। वहीं, जब एक राशि के बढ़ने पर दूसरी राशि उसी अनुपात में घटती है (या इसके विपरीत), तो उसे प्रतिलोम समानुपात (Inverse Proportion) कहते हैं।

In mathematics, when two quantities increase or decrease in the same ratio, they are in Direct Proportion. When one quantity increases and the other decreases in the same ratio, they are in Inverse Proportion.

सीधा और प्रतिलोम समानुपात का उपयोग व्यापार, विज्ञान, निर्माण, दैनिक जीवन आदि के अनेक क्षेत्रों में किया जाता है।

📖 मुख्य विषयवस्तु (Major Topics)

1. अनुपात (Ratio)

परिभाषा (Definition)

दो समान प्रकार की राशियों की तुलना को अनुपात कहते हैं।

Ratio is the comparison of two quantities of the same kind.

सूत्र (Formula): यदि दो राशियाँ a और b हैं, तो उनका अनुपात a:b या a/b होता है।

If two quantities are a and b, their ratio is a:b or a/b.

उदाहरण (Example): अगर एक कक्षा में 20 लड़के और 30 लड़कियाँ हैं, तो लड़कों और लड़कियों का अनुपात = 20:30 = 2:3

2. समानुपात (Proportion)

परिभाषा (Definition)

जब दो अनुपात आपस में बराबर होते हैं, तो उन्हें समानुपात में कहा जाता है।

When two ratios are equal, they are said to be in proportion.

सूत्र (Formula): a:b = c:d ⇒ a, b, c, d समानुपात में हैं।

a:b = c:d ⇒ a, b, c, d are in proportion.

उदाहरण (Example): 2:3 = 4:6, अर्थात् 2, 3, 4, 6 समानुपात में हैं।

3. सीधा समानुपात (Direct Proportion)

परिभाषा (Definition)

जब दो राशियाँ इस प्रकार संबंधित हों कि एक राशि के बढ़ने पर दूसरी भी उसी अनुपात में बढ़े (या घटने पर घटे), तो उन्हें सीधा समानुपात में कहा जाता है।

When two quantities are related such that increase in one results in an increase in the other in the same ratio (or decrease in one results in decrease in the other), they are in direct proportion.

गणितीय निरूपण (Mathematical Representation)

यदि x और y दो राशियाँ हैं, और x₁ : x₂ = y₁ : y₂ अर्थात् x₁ / x₂ = y₁ / y₂ या x₁ / y₁ = x₂ / y₂ तो x और y सीधा समानुपात में हैं।

If x and y are two quantities such that x₁:x₂ = y₁:y₂ or x₁/y₁ = x₂/y₂, then x and y are in direct proportion.

सूत्र (Formula)

x₁ / y₁ = x₂ / y₂ = k (जहाँ k एक नियतांक है।)

x₁ / y₁ = x₂ / y₂ = k, where k is a constant.

पहचान (How to Identify)

जब एक राशि के बढ़ने पर दूसरी भी बढ़ती है।
जब एक राशि के घटने पर दूसरी भी घटती है।
दोनों राशियों का अनुपात स्थिर रहता है।

When increase in one leads to increase in other, or decrease in one leads to decrease in other, and their ratio remains constant.

दैनिक जीवन के उदाहरण (Real Life Examples)

1 किलोग्राम चीनी की कीमत ₹40 है, तो 2 किलोग्राम की कीमत ₹80 होगी।

If 1 kg sugar costs ₹40, 2 kg will cost ₹80.

एक कार 1 घंटे में 60 किमी चलती है, तो 2 घंटे में 120 किमी चलेगी।

A car covers 60 km in 1 hour, so in 2 hours it will cover 120 km.

हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1: 5 मीटर कपड़े की कीमत ₹250 है। 8 मीटर कपड़े की कीमत कितनी होगी?

The cost of 5 meters of cloth is ₹250. What will be the cost of 8 meters?

हल: मान लें, 8 मीटर कपड़े की कीमत ₹x है। यह सीधा समानुपात का मामला है, क्योंकि कपड़े की मात्रा बढ़ने पर कीमत भी बढ़ेगी।

तो, 5 मीटर / 8 मीटर = ₹250 / ₹x ⇒ 5/8 = 250/x Cross-multiplied: 5x = 8 × 250 5x = 2000 x = 2000/5 = ₹400

उत्तर: 8 मीटर कपड़े की कीमत ₹400 होगी।

4. प्रतिलोम समानुपात (Inverse Proportion)

परिभाषा (Definition)

जब दो राशियों के बीच ऐसा संबंध हो कि एक के बढ़ने पर दूसरी उसी अनुपात में घटे (या इसके विपरीत), तो उन्हें प्रतिलोम समानुपात में कहा जाता है।

When two quantities are related such that increase in one results in decrease in the other in the same ratio, they are in inverse proportion.

गणितीय निरूपण (Mathematical Representation)

यदि x और y दो राशियाँ हैं, और x₁ : x₂ = y₂ : y₁ अर्थात् x₁ / x₂ = y₂ / y₁ या x₁ × y₁ = x₂ × y₂ तो x और y प्रतिलोम समानुपात में हैं।

If x₁:x₂ = y₂:y₁ or x₁ × y₁ = x₂ × y₂, then x and y are in inverse proportion.

सूत्र (Formula)

x₁ × y₁ = x₂ × y₂ = k (जहाँ k नियतांक है।)

x₁ × y₁ = x₂ × y₂ = k, where k is a constant.

पहचान (How to Identify)

जब एक राशि के बढ़ने पर दूसरी घटती है।
जब एक राशि के घटने पर दूसरी बढ़ती है।
दोनों राशियों का गुणनफल स्थिर रहता है।

When increase in one leads to decrease in other or vice versa, and their product remains constant.

दैनिक जीवन के उदाहरण (Real Life Examples)

4 मजदूर एक काम को 6 दिनों में करते हैं, तो 8 मजदूर वही काम 3 दिनों में करेंगे।

4 workers complete a work in 6 days, so 8 workers will finish the same work in 3 days.

एक टंकी 10 लीटर/मिनट की दर से 15 मिनट में भरती है, तो 5 लीटर/मिनट की दर से 30 मिनट में भरेगी।

A tank fills in 15 minutes at 10 L/min; at 5 L/min, it will fill in 30 minutes.

हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 2: 6 मजदूर किसी दीवार को 12 दिनों में बनाते हैं। यदि मजदूरों की संख्या 9 कर दी जाए, तो दीवार कितने दिनों में बनेगी?

6 workers build a wall in 12 days. If the number of workers is increased to 9, in how many days will the wall be built?

हल: यह प्रतिलोम समानुपात का मामला है, क्योंकि मजदूरों की संख्या बढ़ने पर समय घटेगा।

मजदूर × दिन = मजदूर × दिन 6 × 12 = 9 × x 72 = 9x x = 72/9 = 8 दिन

उत्तर: 9 मजदूर दीवार को 8 दिनों में बनाएंगे।

5. सीधा और प्रतिलोम समानुपात के बीच अंतर (Difference between Direct and Inverse Proportion)

| पहलू (Aspect) | सीधा समानुपात (Direct) | प्रतिलोम समानुपात (Inverse) | |-------------------------------|----------------------------------------|-----------------------------------------| | संबंध (Relation) | दोनों एक साथ बढ़ते/घटते हैं। | एक बढ़े तो दूसरा घटता है। | | स्थिरता (Constant) | अनुपात (Ratio) स्थिर रहता है। | गुणनफल (Product) स्थिर रहता है। | | सूत्र (Formula) | x₁/y₁ = x₂/y₂ | x₁ × y₁ = x₂ × y₂ | | उदाहरण (Example) | दूरी के अनुसार खर्च | मजदूर × दिन |

6. अनुप्रयोग (Applications)

व्यापार में क्रय-विक्रय
कार्य और समय
गति, दूरी और समय
विज्ञान प्रयोग
निर्माण कार्य

Applications: Commerce, Work and Time, Speed-Distance-Time, Science experiments, Construction, etc.

7. मिश्रित प्रश्नों का हल (Solving Mixed Questions)

उदाहरण 3:

एक बस 60 किमी/घंटा की गति से 5 घंटे में दूरी तय करती है। यदि गति 75 किमी/घंटा कर दी जाए, तो वही दूरी कितने समय में तय होगी?

A bus covers a distance in 5 hours at 60 km/h. If speed is increased to 75 km/h, how much time will it take to cover the same distance?

हल: यह गति और समय का प्रतिलोम समानुपात है (Speed ∝ 1/Time for constant distance).

Speed₁ × Time₁ = Speed₂ × Time₂ 60 × 5 = 75 × x 300 = 75x x = 300/75 = 4 घंटे

उत्तर: 4 घंटे में तय होगी।

8. अनुपात, समानुपात, सीधा और प्रतिलोम समानुपात में अंतर (Difference among Ratio, Proportion, Direct and Inverse Proportion)

अनुपात (Ratio): दो राशियों की तुलना।
समानुपात (Proportion): दो अनुपातों की समानता।
सीधा समानुपात (Direct): दोनों राशियाँ एक साथ बढ़ती/घटती हैं।
प्रतिलोम समानुपात (Inverse): एक बढ़े तो दूसरी घटती है।

9. प्रश्नों को हल करने की प्रक्रिया (Steps to Solve Questions)

पहले समस्या को ध्यान से पढ़ें।
यह पहचानें कि सीधा या प्रतिलोम समानुपात का मामला है।
उपयुक्त सूत्र लिखें।
मान स्थापित करें।
समीकरण हल करें।
उत्तर जाँचें।

10. अनुप्रयोग आधारित प्रश्न (Application-based Questions)

उदाहरण 4:

यदि 9 लोग 12 दिनों में एक पुल बना सकते हैं, तो 6 लोग वही पुल कितने दिनों में बनाएंगे?

If 9 people can build a bridge in 12 days, how long will 6 people take to build the same bridge?

हल: यह प्रतिलोम समानुपात है।

9 × 12 = 6 × x 108 = 6x x = 108/6 = 18 दिन

उत्तर: 18 दिन।

11. तालिका आधारित प्रश्न (Table-based Questions)

उदाहरण: नीचे दी गई तालिका में खाली स्थान भरें, मानते हुए कि x और y प्रतिलोम समानुपात में हैं:

| x | 4 | 6 | 8 | 12 | |---|---|---|---|----| | y | ? | 8 | ? | 2 |

हल: x × y = k (स्थिर)

4 × y₁ = 6 × 8 = 48 तो, 4 × y₁ = 48 ⇒ y₁ = 12

8 × y₃ = 12 × 2 = 24 ⇒ y₃ = 24/8 = 3

तो तालिका होगी:

| x | 4 | 6 | 8 | 12 | |---|---|---|---|----| | y |12 | 8 | 3 | 2 |

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)

सीधा समानुपात में: x/y = स्थिर (constant)
प्रतिलोम समानुपात में: x × y = स्थिर (constant)
सीधा समानुपात: एक बढ़े तो दूसरा बढ़े, घटे तो घटे।
प्रतिलोम समानुपात: एक बढ़े तो दूसरा घटे।
सीधे समानुपात में अनुपात स्थिर रहता है।
प्रतिलोम समानुपात में गुणनफल स्थिर रहता है।
प्रश्न को पढ़ते समय पहचानें कि कौन सा अनुपात लागू होता है।
तालिका आधारित प्रश्नों में स्थिरता (constant) का प्रयोग करें।
सही सूत्र का चयन अति आवश्यक है।
उत्तर की पुनः जाँच करें।

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| त्रुटि (Mistake) | सही तरीका (Correct Approach) | |----------------------------------------|---------------------------------------------------------------| | सीधा और प्रतिलोम समानुपात में भ्रम | समस्या को ध्यानपूर्वक पढ़ें; बढ़ने-घटने के संबंध को पहचानें। | | गलत सूत्र का प्रयोग | सीधा में x/y, प्रतिलोम में x×y स्थिर रखें। | | अनुपात और समानुपात में अंतर न समझना | अनुपात तुलना है, समानुपात बराबरी है। | | पूर्णांक की जगह दशमलव में गलती | गणना करते समय दशमलव व पूर्णांक का ध्यान रखें। | | इकाइयों का मिलान न करना | दोनों राशियों की इकाइयाँ एक जैसी रखें। | | उत्तर की जाँच न करना | हमेशा अंतिम उत्तर को प्रश्न में पुनः स्थापित कर जाँचें। | | प्रश्न में दी गई जानकारी का गलत उपयोग | सभी दी गई सूचनाओं का सही प्रयोग करें। | | तालिका में गलत मान भरना | स्थिरता का सही उपयोग कर तालिका भरें। | | अनुपात को सीधे गुणा कर देना | अनुपात की परिभाषा अनुसार हल करें। | | समीकरण में गलत स्थान पर मान रखना | समीकरण बनाते समय सही मान सही स्थान पर रखें। |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1-Mark Questions (1 अंक)

Q1: 8 मजदूर एक काम को 6 दिनों में करते हैं। 12 मजदूर वही काम कितने दिनों में करेंगे?

8 workers complete a task in 6 days. In how many days will 12 workers complete the same task?

उत्तर: 8 × 6 = 12 × x x = (8×6)/12 = 4 दिन

Q2: यदि x और y प्रतिलोम समानुपात में हैं, x = 5, y = 12, तो जब x = 15, तो y = ?

If x and y are in inverse proportion, x = 5, y = 12, then when x = 15, find y.

उत्तर: 5 × 12 = 15 × y y = (5×12)/15 = 4

Q3: 2 किलोग्राम की कीमत ₹80 है। 5 किलोग्राम की कीमत क्या होगी?

If 2 kg costs ₹80, what will be the cost of 5 kg?

उत्तर: 2/5 = 80/x x = (5×80)/2 = ₹200

2-Mark Questions (2 अंक)

Q1: एक कार 60 किमी/घंटा की गति से 4 घंटे में दूरी तय करती है। यदि गति 80 किमी/घंटा कर दी जाए, तो दूरी तय करने में कितना समय लगेगा?

A car covers a distance in 4 hours at 60 km/h. If speed is increased to 80 km/h, how much time will it take?

उत्तर: 60×4 = 80×x x = (60×4)/80 = 3 घंटे

Q2: नीचे दी गई तालिका में x और y प्रतिलोम समानुपात में हैं। खाली स्थान भरेंः

| x | 3 | 4 | 6 | 12 | |---|---|---|---|----| | y |12 | ? | 6 | ? |

हल: 3×12 = 4×y ⇒ y = 36/4 = 9 6×6 = 12×y ⇒ y = 36/12 = 3

| x | 3 | 4 | 6 | 12 | |---|---|---|---|----| | y |12 | 9 | 6 | 3 |

5-Mark Questions (5 अंक)

Q1: एक स्कूल में 24 विद्यार्थी एक कार्य को 15 दिनों में पूरा करते हैं। यदि विद्यार्थी की संख्या 20 कर दी जाए, तो वही कार्य कितने दिनों में पूरा होगा? यदि कार्य 16 दिनों में पूरा करना हो, तो कितने विद्यार्थियों की आवश्यकता होगी?

In a school, 24 students complete a task in 15 days. If the number of students is increased to 20, in how many days will the work be completed? If the work is to be completed in 16 days, how many students are required?

उत्तर: Part 1: 24×15 = 20×x x = (24×15)/20 = 18 दिन

Part 2: 24×15 = y×16 y = (24×15)/16 = 22.5 ≈ 23 विद्यार्थी (पूरा संख्या)

Q2: एक पाइप टंकी को 30 मिनट में भरता है। दूसरा पाइप उसी टंकी को 20 मिनट में भरता है। दोनों पाइप एक साथ चलाएं, तो टंकी कितने मिनट में भरेगी?

One pipe fills a tank in 30 minutes, another in 20 minutes. If both are opened together, in how many minutes will the tank be filled?

उत्तर: पहले पाइप की दर = 1/30 टंकी/मिनट दूसरे की दर = 1/20 टंकी/मिनट दोनों की कुल दर = 1/30 + 1/20 = (2+3)/60 = 5/60 = 1/12 तो, पूरी टंकी = 12 मिनट में भरेगी।

Q3: एक ट्रक 1500 किमी की दूरी 50 किमी/घंटे की गति से तय करता है। यदि गति 60 किमी/घंटा कर दी जाए, तो समय में कितनी बचत होगी?

A truck covers 1500 km at 50 km/h. If speed is increased to 60 km/h, how much time is saved?

उत्तर: समय (पहले) = 1500/50 = 30 घंटे समय (बाद में) = 1500/60 = 25 घंटे बचत = 30 - 25 = 5 घंटे

Q4: नीचे दी गई तालिका में x और y प्रतिलोम समानुपात में हैं। खाली स्थान भरें और समीकरण द्वारा सिद्ध करें।

| x | 2 | 3 | 4 | 6 | |---|---|---|---|---| | y |12 | ? | 6 | ? |

हल: 2×12 = 3×y ⇒ y = 24/3 = 8 4×6 = 6×y ⇒ y = 24/6 = 4

| x | 2 | 3 | 4 | 6 | |---|---|---|---|---| | y |12 | 8 | 6 | 4 |

समीकरण: x×y = 24 (स्थिर)

Q5: एक किसान के पास 60 लीटर दूध है, जिसे वह 4 बोतलों में बराबर बाँटता है। यदि बोतलों की संख्या 5 कर दे, तो प्रत्येक बोतल में कितना दूध होगा?

A farmer has 60 liters of milk, divided equally into 4 bottles. If the number of bottles is increased to 5, how much milk will be in each bottle?

उत्तर: 4 बोतल में प्रत्येक = 60/4 = 15 लीटर 5 बोतल में प्रत्येक = 60/5 = 12 लीटर

या, 4×15 = 5×x x = 60/5 = 12 लीटर

अध्याय सारांश (Summary)

अनुपात दो समान राशियों की तुलना है।
समानुपात दो अनुपातों की समानता है।
सीधा समानुपात में दोनों राशियाँ एक साथ बढ़ती या घटती हैं।

In direct proportion, both quantities increase or decrease together.

प्रतिलोम समानुपात में एक के बढ़ने पर दूसरी घटती है।

In inverse proportion, increase in one leads to decrease in the other.

सूत्रों का सही प्रयोग कर प्रश्न हल करें।
ध्यानपूर्वक पढ़कर सही अनुपात पहचानना आवश्यक है।

नोट: परीक्षा में सफलता हेतु, उदाहरणों का अभ्यास करें, सूत्र याद रखें, और प्रश्नों को हल करने की विधि पर ध्यान दें।

For exam success, practice examples, remember formulas, and focus on the method of solving questions.

समाप्त

End

मुख्य बिंदु (Key Points)

यदि दो राशियाँ इस प्रकार बढ़ती या घटती हैं कि उनका अनुपात स्थिर रहता है, तो वे सीधे समानुपात में होती हैं।
सीधे समानुपात में, यदि एक राशि बढ़ती है, तो दूसरी भी उसी अनुपात में बढ़ती है।
सीधे समानुपात का सूत्र है: x1/y1 = x2/y2।
यदि दो राशियाँ एक साथ उसी अनुपात में घटती हैं, तो वे भी सीधे समानुपात में होती हैं।
सीधे समानुपात के उदाहरण: स्थिर गति पर दूरी और समय, वस्तुओं की मात्रा और लागत।
यदि दो राशियाँ इस प्रकार बदलती हैं कि उनका गुणनफल स्थिर रहता है, तो वे प्रतिलोम समानुपात में होती हैं।
प्रतिलोम समानुपात में, यदि एक राशि बढ़ती है तो दूसरी उसी अनुपात में घटती है।
प्रतिलोम समानुपात का सूत्र है: x1 × y1 = x2 × y2।
प्रतिलोम समानुपात के उदाहरण: कार्य करने वाले श्रमिकों की संख्या और कार्य पूरा करने में लगा समय, निश्चित दूरी के लिए गति और समय।
सीधा और प्रतिलोम समानुपात अनुपात और समानुपात से संबंधित दैनिक जीवन की समस्याओं को हल करने में उपयोग किए जाते हैं।
सीधे समानुपात की जांच के लिए अनुपात निकालें; यदि वे बराबर हों तो यह सीधा समानुपात है।
प्रतिलोम समानुपात की जांच के लिए युग्मों का गुणनफल निकालें; यदि सभी का गुणनफल समान हो, तो यह प्रतिलोम समानुपात है।

Key Points

If two quantities increase or decrease in such a way that their ratio remains constant, they are in direct proportion.
In direct proportion, if one quantity increases, the other also increases in the same ratio.
The formula for direct proportion is: x1/y1 = x2/y2.
If two quantities decrease together in the same ratio, they are also in direct proportion.
Examples of direct proportion: Distance and time at constant speed, cost and quantity of goods.
If two quantities change in such a way that their product remains constant, they are in inverse proportion.
In inverse proportion, if one quantity increases, the other decreases in the same ratio.
The formula for inverse proportion is: x1 × y1 = x2 × y2.
Examples of inverse proportion: Number of workers and time taken to complete a work, speed and time for a fixed distance.
Direct and inverse proportions are used to solve daily life problems related to ratios and proportions.
To check direct proportion, calculate the ratios; if they are equal, it is direct proportion.
To check inverse proportion, multiply the pairs; if the product is same, it is inverse proportion.

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

यदि 6 मजदूर एक कार्य को 8 दिनों में पूरा करते हैं, तो 12 मजदूर वही कार्य कितने दिनों में पूरा करेंगे (प्रतिलोम समानुपात मानते हुए)?

यदि एक कार 2 घंटे में 60 किमी चलती है, तो वही गति से 5 घंटे में कितनी दूरी तय करेगी?

यदि 5 पेन की कीमत ₹50 है, तो 8 पेन की कीमत क्या होगी?

यदि 3 मशीनें 5 घंटे में 150 वस्तुएँ बनाती हैं, तो 6 मशीनें उतने ही समय में कितनी वस्तुएँ बनाएँगी?

यदि x और y सीधा समानुपात में हैं और x = 4 पर y = 10 है, तो x = 8 पर y का मान क्या होगा?

App में अगला अध्याय / पूरा कोर्स

सीधा और प्रतिलोम समानुपात lock

सीधा और प्रतिलोम समानुपात (Direct and Inverse Proportions) एक नज़र में: सीधा और प्रतिलोम समानुपात गणित के दो महत्वपूर्ण अनुपात हैं, जिनका उपयोग दैनिक जीवन की…

schedule ~30 मिनट

smartphoneApp में पढ़ें