menu_bookRBSE · गणित (Mathematics) · अध्याय 10

ठोस आकारों का चित्रण

Visualising Solid Shapes

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ठोस आकारों का चित्रण (Visualising Solid Shapes)

एक नज़र में:

यह अध्याय ठोस (त्रिविमीय) आकारों की पहचान, उनके विभिन्न दृश्यों, प्रक्षेपों, एवं उनके 2D और 3D प्रतिनिधित्व को समझने में सहायता करता है। इसमें आपको ठोस आकृतियों के नेटवर्क, प्रक्षेप (projection), छाया (shadow), और उनके विभिन्न आयामों की जानकारी दी जाएगी।

This chapter helps in understanding the identification, visualization, and representation of 3D solid shapes, their projections, shadows, nets, and their various views.

📌 अध्याय का परिचय

Chapter Introduction

गणित में हम प्रायः दो प्रकार के आकारों का अध्ययन करते हैं – द्विविमीय (2D) और त्रिविमीय (3D)। द्विविमीय आकारों की केवल लंबाई और चौड़ाई होती है, जबकि त्रिविमीय आकारों में लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई – तीनों आयाम होते हैं।

Mathematics deals mainly with two kinds of shapes – Two-Dimensional (2D) and Three-Dimensional (3D). 2D shapes have only length and breadth, while 3D shapes have length, breadth, and height.

इस अध्याय में हम ठोस आकारों के विभिन्न दृश्य, उनके नेटवर्क (net), छाया (shadow), तथा प्रक्षेप (projection) आदि के विषय में विस्तार से पढ़ेंगे।

In this chapter, we will study various views of solid shapes, their nets, shadows, and projections in detail.

📖 1. द्विविमीय (2D) और त्रिविमीय (3D) आकृतियाँ

Two-Dimensional and Three-Dimensional Shapes

परिभाषा (Definition)

द्विविमीय आकार (2D Shapes): वे आकृतियाँ जिनमें केवल लंबाई और चौड़ाई होती है।

Shapes having only length and breadth.

उदाहरण: त्रिभुज (Triangle), वर्ग (Square), आयत (Rectangle), वृत्त (Circle) आदि।

Examples: Triangle, Square, Rectangle, Circle, etc.

त्रिविमीय आकार (3D Shapes): वे आकृतियाँ जिनमें लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई तीनों आयाम होते हैं।

Shapes having length, breadth, and height.

उदाहरण: घन (Cube), घनाभ (Cuboid), बेलन (Cylinder), शंकु (Cone), गोला (Sphere) आदि।

Examples: Cube, Cuboid, Cylinder, Cone, Sphere, etc.

तुलना (Comparison Table)

| द्विविमीय (2D) आकृति | त्रिविमीय (3D) आकृति | |---------------------|---------------------| | केवल लंबाई और चौड़ाई | लंबाई, चौड़ाई, ऊँचाई | | क्षेत्रफल होता है | आयतन होता है | | उदाहरण: वर्ग, वृत्त | उदाहरण: घन, गोला |

📖 2. सामान्य ठोस आकृतियाँ (Common Solid Shapes)

2.1 घन (Cube)

सभी भुजाएँ समान (All edges equal)
6 समकोणीय वर्गीय फलक (6 square faces)
8 शीर्ष (8 vertices)
12 भुजाएँ (12 edges)

2.2 घनाभ (Cuboid)

विपरीत फलक समान (Opposite faces equal)
6 समकोणीय आयताकार फलक (6 rectangular faces)
8 शीर्ष (8 vertices)
12 भुजाएँ (12 edges)

2.3 बेलन (Cylinder)

2 समांतर वृत्तीय आधार (2 parallel circular bases)
1 वक्र पृष्ठ (1 curved surface)
0 शीर्ष (0 vertices)
2 धार (2 edges)

2.4 शंकु (Cone)

1 वृत्तीय आधार (1 circular base)
1 शीर्ष (1 vertex)
1 वक्र पृष्ठ (1 curved surface)
1 धार (1 edge)

2.5 गोला (Sphere)

केवल वक्र पृष्ठ (Only curved surface)
न कोई आधार, न शीर्ष, न धार (No base, vertex, or edge)

सारणी (Table): ठोस आकृतियों की विशेषताएँ (Properties Table)

| आकृति (Shape) | फलक (Faces) | शीर्ष (Vertices) | धार (Edges) | |---------------|-------------|------------------|-------------| | घन (Cube) | 6 | 8 | 12 | | घनाभ (Cuboid) | 6 | 8 | 12 | | बेलन (Cylinder)| 3 | 0 | 2 | | शंकु (Cone) | 2 | 1 | 1 | | गोला (Sphere) | 1 | 0 | 0 |

📖 3. ठोस आकृतियों के विभिन्न दृश्य (Different Views of Solid Shapes)

3.1 शीर्ष दृश्य (Top View)

जब किसी ठोस आकृति को ऊपर से देखा जाता है, तो उसे शीर्ष दृश्य कहते हैं।

When a solid shape is viewed from above, it is called the top view.

3.2 अग्र दृश्य (Front View)

जब किसी ठोस आकृति को सामने से देखा जाता है, तो उसे अग्र दृश्य कहा जाता है।

When a solid is viewed from the front, it is called the front view.

3.3 पार्श्व दृश्य (Side View)

जब किसी ठोस आकृति को बाईं या दाईं ओर से देखा जाता है, तो उसे पार्श्व दृश्य कहते हैं।

When a solid is viewed from the left or right side, it is called the side view.

उदाहरण (Example):

एक घन (cube) को विभिन्न दिशाओं से देखने पर उसके दृश्य अलग-अलग हो सकते हैं।

If you look at a cube from different sides, the views will be different.

| दृश्य (View) | घन का स्वरूप (Appearance of Cube) | |--------------|-----------------------------------| | शीर्ष | वर्ग (Square) | | अग्र | वर्ग (Square) | | पार्श्व | वर्ग (Square) |

चित्रण का महत्व (Importance of Visualisation)

ठोस आकृति के विभिन्न दृश्य परीक्षा में पूछे जाते हैं। इससे हमें किसी भी 3D आकृति को 2D में चित्रित करना आता है।

Visualising different views of solids is important for exams, as it helps in drawing 3D shapes in 2D.

📖 4. ठोस आकृतियों के नेटवर्क (Nets of Solid Shapes)

परिभाषा (Definition)

नेट वह द्विविमीय आकृति है, जिसे मोड़कर किसी त्रिविमीय आकृति का निर्माण किया जा सकता है।

A net is a two-dimensional figure which can be folded to form a three-dimensional solid.

उदाहरण (Example):

घन का नेटवर्क (Net of Cube) – 6 वर्गीय पृष्ठों का संयोजन
घनाभ का नेटवर्क (Net of Cuboid) – 6 आयताकार पृष्ठों का संयोजन
बेलन का नेटवर्क (Net of Cylinder) – 2 वृत्त + 1 आयत (2 circles + 1 rectangle)
शंकु का नेटवर्क (Net of Cone) – 1 वृत्त + 1 वक्र त्रिज्या (sector of a circle + 1 circle)

चित्र (Diagram):

``` [यहाँ अध्यापक ब्लैकबोर्ड पर घन के नेटवर्क का चित्र बनाते हैं, जिसमें 6 वर्ग जुड़े हुए हैं।] [Here, the teacher draws the net of a cube on the blackboard, showing 6 joined squares.] ```

नेटवर्क पहचानने के नियम (Rules to Identify Nets)

सभी फलक (faces) पूरी तरह जुड़े होने चाहिए।
मोड़ने पर कोई भी फलक ओवरलैप (overlap) न करे।
ठोस आकृति का हर फलक नेटवर्क में होना चाहिए।

उदाहरण:

यदि 6 वर्गों को उचित क्रम में जोड़ा जाए, तो घन का नेटवर्क बनेगा।

If 6 squares are joined in a proper sequence, they will form a net of a cube.

📖 5. ठोस आकृतियों की छाया (Shadows of Solid Shapes)

परिभाषा (Definition)

जब किसी ठोस आकृति पर प्रकाश पड़ता है, तो उसके विपरीत दिशा में बनने वाली आकृति को छाया कहते हैं।

When light falls on a solid object, the figure formed on the opposite side is called its shadow.

छाया के गुण (Properties of Shadows)

छाया द्विविमीय होती है। (Shadow is two-dimensional.)
छाया का आकार प्रकाश के कोण (angle) और वस्तु की स्थिति पर निर्भर करता है।

Shadow’s shape depends on the angle of light and position of the object.

उदाहरण (Example):

यदि घन को प्रकाश के सामने रखा जाए, तो उसकी छाया वर्ग या आयत की तरह दिखेगी।

If a cube is placed in front of light, its shadow will appear as a square or rectangle.

गतिविधि (Activity)

एक टॉर्च लें और एक बेलन (cylinder) पर प्रकाश डालें। उसकी छाया दीवार पर वृत्त या आयत के रूप में दिख सकती है।

Take a torch and shine it on a cylinder. Its shadow on the wall may appear as a circle or rectangle.

📖 6. ठोस आकृतियों का प्रक्षेप (Projections of Solid Shapes)

परिभाषा (Definition)

जब किसी त्रिविमीय आकृति के किसी एक भाग को किसी समतल पर दर्शाया जाता है, तो उसे प्रक्षेप कहते हैं।

When a part of a three-dimensional solid is represented on a plane, it is called projection.

प्रकार (Types)

शीर्ष प्रक्षेप (Top projection)
अग्र प्रक्षेप (Front projection)
पार्श्व प्रक्षेप (Side projection)

उदाहरण (Example)

एक बेलन का शीर्ष प्रक्षेप – वृत्त (Top projection of a cylinder is a circle)
एक बेलन का अग्र प्रक्षेप – आयत (Front projection of a cylinder is a rectangle)

📖 7. ठोस आकृतियों का 2D व 3D चित्रण (2D and 3D Representation of Solids)

द्विविमीय चित्रण (2D Representation)

केवल लंबाई और चौड़ाई को दर्शाता है।
जैसे: कागज़ पर वर्ग या वृत्त बनाना।

त्रिविमीय चित्रण (3D Representation)

लंबाई, चौड़ाई, और ऊँचाई – तीनों दिखती हैं।
जैसे: एक घन का स्केच जिसमें तीनों आयाम प्रतीत होते हैं।

चित्रण (Drawing)

2D चित्रण में केवल आकृति की सीमा रेखाएँ होती हैं।
3D चित्रण में गहराई (depth) का आभास देने के लिए डैश्ड (dashed) या डबल रेखाएँ प्रयोग होती हैं।

📖 8. यूलर का सूत्र (Euler's Formula)

सूत्र (Formula)

फलक (Faces) + शीर्ष (Vertices) – धार (Edges) = 2

Faces + Vertices – Edges = 2

किन आकृतियों पर लागू?

यह सूत्र केवल घन, घनाभ, पिरामिड, प्रिज्म जैसी ठोस आकृतियों पर लागू होता है।

This formula applies only to solid shapes like cubes, cuboids, pyramids, prisms, etc.

उदाहरण (Example)

घन के लिए – फलक = 6, शीर्ष = 8, धार = 12 6 + 8 – 12 = 2

📖 9. ठोस आकृतियों के प्रश्न हल करने की रणनीति (Strategy for Solving Problems)

सबसे पहले आकृति के प्रकार की पहचान करें।
उसके फलक, शीर्ष, धार की संख्या पता करें।
यदि नेटवर्क दिया है, तो सही नेटवर्क की पहचान करें।
छाया या प्रक्षेप का प्रश्न हो, तो प्रकाश/दृष्टि की दिशा का ध्यान रखें।
यूलर सूत्र का प्रयोग करें जहाँ आवश्यक हो।

📖 10. हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1

प्रश्न: एक घन के कितने फलक, शीर्ष और धार होते हैं?

How many faces, vertices, and edges does a cube have?

उत्तर: फलक = 6, शीर्ष = 8, धार = 12

Faces = 6, Vertices = 8, Edges = 12

उदाहरण 2

प्रश्न: एक बेलन का नेटवर्क (net) बनाइए।

Draw the net of a cylinder.

उत्तर: एक बेलन का नेटवर्क – दो वृत्त (circular bases) और एक आयत (rectangle)

The net of a cylinder consists of two circles and one rectangle.

उदाहरण 3

प्रश्न: यूलर का सूत्र घनाभ पर सत्यापित कीजिए।

Verify Euler’s formula for a cuboid.

उत्तर: Cuboid: Faces = 6, Vertices = 8, Edges = 12 Euler’s formula: 6 + 8 – 12 = 2 Hence, it is verified.

उदाहरण 4

प्रश्न: यदि घन के नेटवर्क में 6 वर्गीय पृष्ठ जुड़े हैं, तो क्या वह घन बनेगा?

If 6 square faces are joined in a net, will it always form a cube?

उत्तर: केवल तभी, जब सभी वर्ग उचित क्रम में जुड़े हों और मोड़ने पर ओवरलैप न हो।

Only if all squares are joined in the correct arrangement and do not overlap when folded.

उदाहरण 5

प्रश्न: एक शंकु की छाया कैसी दिखेगी?

What will the shadow of a cone look like?

उत्तर: प्रकाश की दिशा पर निर्भर करता है; ऊपर से देखने पर वृत्त, किनारे से देखने पर त्रिभुज या समद्विबाहु त्रिभुज।

Depends on the light’s direction; from the top it’s a circle, from the side it appears as a triangle.

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

ठोस आकृतियों में तीन आयाम – लंबाई, चौड़ाई, ऊँचाई होते हैं।

Solids have three dimensions – length, breadth, height.

घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला – सबसे सामान्य ठोस आकृतियाँ हैं।

Cube, cuboid, cylinder, cone, and sphere are the most common solids.

ठोस आकृति के फलक, शीर्ष और धार की गिनती परीक्षा में अक्सर पूछी जाती है।

Counting the faces, vertices, and edges is often asked in exams.

यूलर का सूत्र: फलक + शीर्ष – धार = 2

Euler’s formula: Faces + Vertices – Edges = 2

नेटवर्क (Net) वह 2D आकृति है जिसे मोड़कर ठोस आकृति बनाई जा सकती है।

Net is a 2D shape that can be folded to form a solid.

शीर्ष, अग्र, एवं पार्श्व दृश्य से ठोस आकृति को 2D में दर्शाया जाता है।

Top, front, and side views represent solids in 2D.

छाया द्विविमीय होती है और प्रकाश की दिशा पर निर्भर करती है।

Shadow is 2D and depends on the direction of light.

प्रक्षेप समतल पर त्रिविमीय आकृति का आभास देता है।

Projection gives a sense of a 3D object on a plane.

ठोस आकृतियों के नेटवर्क पहचानने के लिए सभी फलक जुड़े होने चाहिए।

All faces must be connected to identify nets of solids.

2D और 3D चित्रण में अंतर को समझना आवश्यक है।

It is important to understand the difference between 2D and 3D representation.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Way) | |----------------|------------------------| | घन के फलक, शीर्ष, धार गिनने में उलझन | घन के 6 फलक, 8 शीर्ष, 12 धार होते हैं | | बेलन के 3 फलक बताने में भूल | बेलन के 2 आधार (वृत्त) और 1 वक्र पृष्ठ, कुल 3 फलक होते हैं | | नेटवर्क में फलक ओवरलैप कर देना | नेटवर्क में कोई भी फलक ओवरलैप नहीं करना चाहिए | | यूलर सूत्र में गलत मान रखना | सही मान: फलक + शीर्ष – धार = 2 | | छाया और प्रक्षेप में अंतर न समझना | छाया प्रकाश से बनती है, प्रक्षेप दृष्टि से | | शीर्ष, अग्र, पार्श्व दृश्य में भ्रम | शीर्ष – ऊपर से, अग्र – सामने से, पार्श्व – बगल से देखना | | 2D और 3D चित्रण में अंतर भूलना | 2D – लंबाई, चौड़ाई; 3D – लंबाई, चौड़ाई, ऊँचाई | | घन और घनाभ में अंतर न जानना | घन – सभी भुजाएँ समान; घनाभ – विपरीत फलक समान | | बेलन के शीर्ष और धार गिनने में गलती | बेलन – कोई शीर्ष नहीं, 2 धार होती हैं | | नेटवर्क के सभी प्रकार याद न रखना | सभी आकृतियों के नेटवर्क की पहचान अभ्यास करें |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1 अंक (1-mark) प्रश्न

घन में कितने फलक होते हैं?

How many faces does a cube have?

बेलन के कितने शीर्ष होते हैं?

How many vertices does a cylinder have?

शंकु की छाया का आकार क्या होगा?

What is the shape of the shadow of a cone?

यूलर का सूत्र लिखिए।

Write Euler’s formula.

2D आकृति की कोई एक उदाहरण लिखिए।

Give one example of a 2D shape.

2 अंक (2-mark) प्रश्न

घनाभ और घन में क्या अंतर है?

Differentiate between cuboid and cube.

बेलन का नेटवर्क बनाइए।

Draw the net of a cylinder.

एक घन का शीर्ष दृश्य और अग्र दृश्य बनाइए।

Draw the top view and front view of a cube.

कोई भी एक ठोस आकृति चुनकर उसके फलक, शीर्ष, और धार की संख्या लिखिए।

Choose a solid shape and write the number of its faces, vertices, and edges.

यदि किसी ठोस आकृति के 6 फलक, 8 शीर्ष, 12 धार हैं, वह कौन-सी आकृति है?

If a solid has 6 faces, 8 vertices, and 12 edges, which shape is it?

5 अंक (5-mark) प्रश्न

ठोस आकृतियों का नेटवर्क क्या है? घन और घनाभ के नेटवर्क का चित्र बनाइए एवं समझाइए।

What are nets of solid shapes? Draw and explain the nets of a cube and a cuboid.

ठोस आकृतियों के विभिन्न दृश्य (शीर्ष, अग्र, पार्श्व) क्या हैं? किसी घनाभ का चित्र बनाकर समझाइए।

What are different views [top, front, side] of solid shapes? Draw and explain for a cuboid.

यूलर के सूत्र को समझाइए एवं इसे घनाभ और पिरामिड पर सत्यापित कीजिए।

Explain Euler’s formula and verify it for cuboid and pyramid.

छाया एवं प्रक्षेप में क्या अंतर है? किसी बेलन की छाया व प्रक्षेप का चित्र बनाकर समझाइए।

Differentiate between shadow and projection. Draw and explain shadow and projection of a cylinder.

निम्नलिखित आकृतियों के फलक, शीर्ष, और धार की संख्या ज्ञात कीजिए: घन, शंकु, बेलन, गोला।

Find the number of faces, vertices, and edges of the following: cube, cone, cylinder, sphere.

अध्याय का सारांश (Chapter Summary)

ठोस आकारों को पहचानना, उनके नेटवर्क बनाना, विभिन्न दृश्यों को चित्रित करना, छाया और प्रक्षेप को समझना, तथा यूलर सूत्र का प्रयोग करना – ये सभी इस अध्याय के मुख्य बिंदु हैं।
परीक्षा में चित्रण, नेटवर्क, फलक-शीर्ष-धार गिनना, तथा सूत्र आधारित प्रश्न अवश्य पूछे जाते हैं।
अभ्यास के लिए स्वयं नेटवर्क बनाएं, विभिन्न दृश्यों के चित्र बनाएं, और यूलर सूत्र को अलग-अलग आकृतियों पर प्रयोग करें।

Practice drawing nets, visualising views, and using Euler’s formula for different solids.

यह नोट्स RBSE कक्षा 8 गणित, अध्याय "ठोस आकारों का चित्रण" की परीक्षा की पूरी तैयारी के लिए पर्याप्त हैं।

These notes are sufficient for complete preparation of RBSE Class 8 Mathematics, Chapter 'Visualising Solid Shapes'.

मुख्य बिंदु (Key Points)

ठोस आकारों के तीन आयाम होते हैं: लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई।
सामान्य ठोस आकारों में घन, घनाभ, गोला, बेलन और शंकु शामिल हैं।
ठोसों की समतल सतहों को फलक (फेस) कहते हैं।
जहाँ दो फलक मिलते हैं, वह रेखा खंड किनारा (एज) कहलाता है।
जहाँ किनारे मिलते हैं, वह बिंदु शीर्ष (वर्टेक्स) कहलाता है।
नेट एक द्विविमीय आकृति है जिसे मोड़कर ठोस आकार बनाया जा सकता है।
विभिन्न ठोसों के फलक, किनारे और शीर्षों की संख्या अलग-अलग होती है।
घन के 6 फलक, 12 किनारे और 8 शीर्ष होते हैं।
घनाभ के 6 फलक, 12 किनारे और 8 शीर्ष होते हैं, लेकिन उसके फलक आयताकार होते हैं।
गोले के न तो फलक, न किनारे, न ही शीर्ष होते हैं।
ठोसों का चित्रण करने से उनकी विशेषताओं और संरचना को समझने में मदद मिलती है।
ठोस के विभिन्न दृश्य (सामने, बगल, ऊपर से) बनाकर उसके आकार को पहचानना आसान होता है।
अभ्यास के लिए स्वयं नेटवर्क बनाएं, विभिन्न दृश्यों के चित्र बनाएं, और यूलर सूत्र को अलग-अलग आकृतियों पर प्रयोग करें।
परीक्षा में चित्रण, नेटवर्क, फलक-शीर्ष-धार गिनना, तथा सूत्र आधारित प्रश्न अवश्य पूछे जाते हैं।

Key Points

Solid shapes have three dimensions: length, breadth, and height.
Common solid shapes include cube, cuboid, sphere, cylinder, and cone.
The flat surfaces of solids are called faces.
The line segments where two faces meet are called edges.
The point where edges meet is called a vertex.
A net is a two-dimensional figure that can be folded to form a solid shape.
Different solids have different numbers of faces, edges, and vertices.
A cube has 6 faces, 12 edges, and 8 vertices.
A cuboid has 6 faces, 12 edges, and 8 vertices, but its faces are rectangles.
A sphere has no faces, edges, or vertices.
Visualising solids helps in understanding their properties and structure.
Drawing different views (front, side, top) of a solid helps in recognising its shape.
अभ्यास के लिए स्वयं नेटवर्क बनाएं, विभिन्न दृश्यों के चित्र बनाएं, और यूलर सूत्र को अलग-अलग आकृतियों पर प्रयोग करें।
परीक्षा में चित्रण, नेटवर्क, फलक-शीर्ष-धार गिनना, तथा सूत्र आधारित प्रश्न अवश्य पूछे जाते हैं।

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

घन में कितनी धाराएँ होती हैं?

कौन सा ठोस आकार केवल एक शीर्ष रखता है?

किस ठोस में 8 शीर्ष, 12 किनारे और 6 फलक होते हैं?

निम्न में से कौन सा बहुफलक नहीं है?

किस ठोस आकार में केवल एक वक्रित सतह होती है?

महत्वपूर्ण विषयपरक प्रश्न

अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)

घन में कितने फलक होते हैं? 1 अंक नोट्स
बेलन के कितने शीर्ष होते हैं? 1 अंक नोट्स
शंकु की छाया का आकार क्या होगा? 1 अंक नोट्स
यूलर का सूत्र लिखिए 1 अंक नोट्स
2D आकृति की कोई एक उदाहरण लिखिए 1 अंक नोट्स

लघु उत्तरीय प्रश्न

घनाभ और घन में क्या अंतर है? 2 अंक नोट्स
बेलन का नेटवर्क बनाइए 2 अंक नोट्स
एक घन का शीर्ष दृश्य और अग्र दृश्य बनाइए 2 अंक नोट्स
कोई भी एक ठोस आकृति चुनकर उसके फलक, शीर्ष, और धार की संख्या लिखिए 2 अंक नोट्स
यदि किसी ठोस आकृति के 6 फलक, 8 शीर्ष, 12 धार हैं, वह कौन-सी आकृति है? 2 अंक नोट्स

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

ठोस आकृतियों का नेटवर्क क्या है? घन और घनाभ के नेटवर्क का चित्र बनाइए एवं समझाइए 5 अंक नोट्स
ठोस आकृतियों के विभिन्न दृश्य (शीर्ष, अग्र, पार्श्व) क्या हैं? किसी घनाभ का चित्र बनाकर समझाइए 5 अंक नोट्स
यूलर के सूत्र को समझाइए एवं इसे घनाभ और पिरामिड पर सत्यापित कीजिए 5 अंक नोट्स
छाया एवं प्रक्षेप में क्या अंतर है? किसी बेलन की छाया व प्रक्षेप का चित्र बनाकर समझाइए 5 अंक नोट्स
निम्नलिखित आकृतियों के फलक, शीर्ष, और धार की संख्या ज्ञात कीजिए: घन, शंकु, बेलन, गोला 5 अंक नोट्स

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