menu_bookRBSE · गणित (Mathematics) · अध्याय 1

संख्या पद्धति

Number Systems

schedule~30 मिनट

downloadDownload TopperApp Free सभी नोट्स

संख्या पद्धति (Number Systems)

एक नज़र में:

संख्या पद्धति गणित का आधार है, जिसमें विभिन्न प्रकार की संख्याएं और उनके गुण, निर्माण एवं उपयोग समझाए जाते हैं। इस अध्याय में हम प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, राशिक संख्याएँ, अपरिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ, उनके बीच के संबंध, और दशमलव विस्तार पर विस्तृत अध्ययन करेंगे।

Number system forms the foundation of mathematics, explaining different types of numbers, their properties, formation, and usage. This chapter covers natural numbers, integers, rational numbers, irrational numbers, real numbers, their interrelations, and decimal expansions.

📌 अध्याय का परिचय

Introduction

गणित में संख्याएँ विभिन्न प्रकार की होती हैं, जिनका उपयोग हम दैनिक जीवन में अलग-अलग रूपों में करते हैं। संख्या पद्धति में संख्याओं के प्रकार, उनके गुण, और उनके बीच के संबंधों का अध्ययन किया जाता है।

In mathematics, numbers are of various types, used in different forms in daily life. Number systems study the types of numbers, their properties, and interrelations.

📖 प्रमुख विषयवस्तु (Major Topics)

1. प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers)

परिभाषा: प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम गिनती करने के लिए करते हैं।

Natural numbers are the numbers used for counting.

प्रतीक: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

गुण:

सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 1 है।
इसमें शून्य शामिल नहीं होता।
सभी प्राकृतिक संख्याएँ धनात्मक होती हैं।

All natural numbers are positive, do not include zero, and start from 1.

उदाहरण: 1, 7, 23, 100 आदि।

Solved Example: Q: लिखिए, निम्नलिखित में कौन-सी प्राकृतिक संख्याएँ हैं: 0, 5, -2, 14 A: केवल 5 और 14 प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

Only 5 and 14 are natural numbers.

2. पूर्णांक (Integers)

परिभाषा: पूर्णांक वे संख्याएँ हैं जिनमें प्राकृतिक संख्याएँ, शून्य, और प्राकृतिक संख्याओं के ऋणात्मक रूप शामिल होते हैं।

Integers include natural numbers, zero, and negative counterparts of natural numbers.

प्रतीक: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

गुण:

पूर्णांक धनात्मक, ऋणात्मक तथा शून्य होते हैं।
पूर्णांक में अनंत संख्याएँ होती हैं।

Integers are positive, negative, and zero. Infinite number of integers exist.

उदाहरण: -5, 0, 15, -23

Solved Example: Q: -7, 0, 4.5, 9 में कौन-सी पूर्णांक हैं? A: -7, 0, 9 पूर्णांक हैं।

-7, 0, 9 are integers.

3. राशिक संख्याएँ (Rational Numbers)

परिभाषा: राशिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0।

Rational numbers are numbers that can be written in the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0.

प्रतीक: Q = {p/q : p, q ∈ Z, q ≠ 0}

गुण:

हर पूर्णांक एक राशिक संख्या है (क्योंकि n = n/1)।
राशिक संख्याएँ दो संख्याओं के अनुपात में होती हैं।
दशमलव में, राशिक संख्याएँ या तो समाप्त होती हैं या आवर्तित होती हैं।

Rational numbers either terminate or repeat in decimal expansion.

उदाहरण: 2/3, -5/7, 8 (as 8/1), 0 (as 0/1), 0.333...

Solved Example: Q: 0.5, 1/3, √2 में कौन-सी राशिक संख्याएँ हैं? A: 0.5 (as 1/2), 1/3 राशिक संख्याएँ हैं; √2 नहीं है।

0.5 and 1/3 are rational; √2 is not.

4. अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)

परिभाषा: अपरिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें p/q रूप में नहीं लिखा जा सकता, अर्थात् वे राशिक संख्याएँ नहीं हैं।

Irrational numbers are numbers that cannot be written in the form p/q.

गुण:

दशमलव विस्तार अनंत और गैर-आवर्त होता है।
√2, π, √5 आदि अपरिमेय संख्याएँ हैं।

Their decimal expansion is non-terminating and non-repeating.

उदाहरण: √2, π, 0.1010010001...

Solved Example: Q: π, 0.666..., √3 में कौन-सी अपरिमेय संख्याएँ हैं? A: π और √3 अपरिमेय हैं; 0.666... राशिक है।

π and √3 are irrational; 0.666... is rational.

5. वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

परिभाषा: वास्तविक संख्याएँ वे हैं जिनमें राशिक और अपरिमेय दोनों संख्याएँ शामिल होती हैं।

Real numbers include both rational and irrational numbers.

प्रतीक: R = {all rational and irrational numbers}

गुण:

वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर दर्शाई जा सकती हैं।
इसमें सभी प्रकार की संख्याएँ समाहित होती हैं।

All types of numbers can be represented on the number line.

उदाहरण: -3, 0, 2/5, π, √7 आदि।

Solved Example: Q: √2, 0, -5, 3/4 में कौन-सी वास्तविक संख्याएँ हैं? A: सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

All are real numbers.

6. शून्य (Zero)

परिभाषा: शून्य वह संख्या है जो न धनात्मक है न ऋणात्मक।

Zero is neither positive nor negative.

गुण:

शून्य एक पूर्णांक है।
शून्य सभी राशिक संख्याओं में शामिल होता है।

Zero is an integer and a rational number.

उदाहरण: 0

7. संख्या रेखा (Number Line)

परिभाषा: संख्या रेखा एक सीधी रेखा होती है जिस पर सभी प्रकार की संख्याएँ दर्शाई जाती हैं।

Number line is a straight line representing all types of numbers.

गुण:

बाएँ ओर ऋणात्मक संख्याएँ, दाएँ ओर धनात्मक।
शून्य केंद्र में होता है।

Negative numbers to left, positive to right, zero at center.

उदाहरण: |----|----|----|----|----| -3 -2 -1 0 1 2 3

8. दशमलव विस्तार (Decimal Expansion)

परिभाषा: संख्या को दशमलव के रूप में लिखना दशमलव विस्तार कहलाता है।

Expressing a number in decimal form is called decimal expansion.

राशिक संख्याएँ:

समाप्त (Terminating): उदाहरण: 0.25
आवर्तित (Recurring): उदाहरण: 0.333...

अपरिमेय संख्याएँ:

अनंत और गैर-आवर्त (Non-terminating, non-recurring): उदाहरण: π = 3.141592...

Solved Example: Q: 1/8 का दशमलव विस्तार लिखिए। A: 1/8 = 0.125 (Terminating)

9. सम एवं विषम संख्याएँ (Even & Odd Numbers)

सम संख्याएँ: वे संख्याएँ जो 2 से विभाजित होती हैं।

Even numbers are divisible by 2.

विषम संख्याएँ: वे संख्याएँ जो 2 से विभाजित नहीं होती हैं।

Odd numbers are not divisible by 2.

उदाहरण: Even: 2, 4, 6 Odd: 1, 3, 5

10. संख्या पद्धति के अंतर्गत सम्मिलन (Inclusion in Number Systems)

संबंध:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Natural ⊂ Integers ⊂ Rational ⊂ Real

चित्र: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Irrational numbers are outside Q but inside R.

11. प्रमेय: √2 एक अपरिमेय संख्या है (Theorem: √2 is Irrational)

सिद्धांत: यदि √2 राशिक होती, तो उसे p/q रूप में लिखा जा सकता, लेकिन गणना से यह संभव नहीं है, अतः √2 अपरिमेय है।

If √2 was rational, it could be written as p/q; calculation shows it is not possible, hence √2 is irrational.

Proof (संक्षिप्त): मान लें √2 = p/q (जहाँ p, q पूर्णांक, q ≠ 0) ⇒ 2q² = p² ⇒ p² सम है ⇒ p सम है मान लें p = 2k ⇒ 2q² = (2k)² = 4k² ⇒ q² = 2k² ⇒ q² सम ⇒ q सम तो p और q दोनों सम होंगे, जो p/q का न्यूनतम रूप नहीं है। इसलिए √2 राशिक नहीं है, अतः अपरिमेय है।

Both p and q will be even, contradicting the assumption of lowest terms.

12. घातांक और मूल (Exponents and Roots)

घातांक: a^n = a × a × ... × a (n times)

Exponent: a^n means a multiplied n times.

मूल: √a वह संख्या है जिसका वर्ग a होता है।

The root √a is a number whose square is a.

उदाहरण: √9 = 3 (क्योंकि 3^2 = 9)

13. वास्तविक संख्याओं का संयोजन (Operations on Real Numbers)

जोड़, घटाव, गुणा, भाग: वास्तविक संख्याओं पर सभी गणितीय क्रियाएँ लागू होती हैं।

All arithmetic operations are valid on real numbers.

उदाहरण: 2.5 + √3, 5 × π

14. संख्याओं का प्रतिनिधित्व (Representation of Numbers)

संख्या रेखा पर: प्रत्येक वास्तविक संख्या को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

Every real number can be represented on the number line.

उदाहरण: π को लगभग 3.14 के पास अंकित किया जाता है।

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)

प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू होती हैं; शून्य इसमें शामिल नहीं होता।

Natural numbers start from 1; zero is not included.

पूर्णांक में धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य सभी शामिल होते हैं।

Integers include positive, negative, and zero.

राशिक संख्याएँ p/q रूप में होती हैं, जहाँ q ≠ 0।

Rational numbers are in p/q form, with q ≠ 0.

सभी पूर्णांक राशिक संख्याएँ हैं।

All integers are rational numbers.

अपरिमेय संख्याएँ p/q रूप में नहीं लिखी जा सकतीं।

Irrational numbers cannot be written in p/q form.

वास्तविक संख्याएँ राशिक और अपरिमेय दोनों को शामिल करती हैं।

Real numbers include both rational and irrational numbers.

राशिक संख्याओं का दशमलव विस्तार या तो समाप्त होता है या आवर्तित।

Decimal expansion of rational is terminating or repeating.

अपरिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार अनंत और गैर-आवर्त होता है।

Irrational numbers have non-terminating, non-repeating decimals.

√2, π, √5 आदि अपरिमेय संख्याएँ हैं।

√2, π, √5 are irrational numbers.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R का संबंध याद रखें।

Remember the relation N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

हर वास्तविक संख्या को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

Every real number can be represented on the number line.

शून्य एक पूर्णांक और राशिक संख्या है, लेकिन प्राकृतिक संख्या नहीं।

Zero is an integer and rational, but not natural.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Errors)

| गलती (Mistake) | सही समाधान (Correct Solution) | |-----------------------------------------|-------------------------------------------------------| | शून्य को प्राकृतिक संख्या मान लेना | शून्य प्राकृतिक संख्या नहीं है। | | 0 को अपरिमेय मान लेना | 0 एक राशिक संख्या है (0/1)। | | दशमलव आवर्तित संख्या को अपरिमेय मानना | दशमलव आवर्तित संख्या राशिक होती है। | | √4 को अपरिमेय मानना | √4 = 2, जो राशिक संख्या है। | | π को राशिक मान लेना | π अपरिमेय है। | | 1/7 का दशमलव विस्तार समाप्त मान लेना | 1/7 = 0.142857... आवर्तित है, समाप्त नहीं। | | सभी पूर्णांक को अपरिमेय मान लेना | सभी पूर्णांक राशिक होते हैं। | | √2 को राशिक मानना | √2 अपरिमेय है। | | संख्या रेखा पर केवल पूर्णांक दिखाना | संख्या रेखा पर सभी वास्तविक संख्याएँ दर्शाई जाती हैं। | | 2/3 को अपरिमेय मानना | 2/3 राशिक है। |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)

1-Mark Questions

प्राकृतिक संख्याएँ किससे शुरू होती हैं?

उत्तर: 1

From which number do natural numbers begin?

√3 किस प्रकार की संख्या है?

उत्तर: अपरिमेय संख्या (Irrational number)

What type of number is √3?

0 राशिक संख्या है या नहीं?

उत्तर: हाँ (Yes)

Is 0 a rational number?

पूर्णांक का उदाहरण दीजिए।

उत्तर: -2, 0, 5

Give an example of an integer.

π का दशमलव विस्तार कैसा होता है?

उत्तर: अनंत और गैर-आवर्त (Non-terminating, non-repeating)

What is the decimal expansion of π?

2-Mark Questions

राशिक संख्याओं की परिभाषा लिखिए।

उत्तर: राशिक संख्याएँ वे हैं जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p, q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0।

Define rational numbers. Rational numbers are numbers that can be written as p/q, where p and q are integers and q ≠ 0.

√2 के अपरिमेय होने का संक्षिप्त कारण लिखिए।

उत्तर: √2 को p/q (q ≠ 0) रूप में नहीं लिखा जा सकता; इसका दशमलव विस्तार अनंत और गैर-आवर्त है।

Give a brief reason why √2 is irrational. √2 cannot be written as p/q; its decimal expansion is non-terminating, non-repeating.

संख्या रेखा पर 0, 1, -2, और √2 को कैसे दर्शाएँगे?

उत्तर: 0 केंद्र पर, 1 दाएँ, -2 बाएँ, √2 1 और 2 के बीच।

How would you represent 0, 1, -2, and √2 on the number line? 0 at center, 1 to right, -2 to left, √2 between 1 and 2.

राशिक और अपरिमेय संख्याओं के बीच अंतर लिखिए।

उत्तर: राशिक: p/q रूप में, दशमलव समाप्त या आवर्तित। अपरिमेय: p/q में नहीं, दशमलव अनंत और गैर-आवर्त।

Difference between rational and irrational numbers. Rational: p/q form, terminating or repeating decimal. Irrational: not p/q, non-terminating, non-repeating.

5-Mark Questions

संख्या पद्धति की विभिन्न श्रेणियों को परिभाषित कीजिए एवं उनके उदाहरण दीजिए।

Define the various categories of number systems and give examples.

उत्तर: संख्या पद्धति में मुख्यतः पाँच श्रेणियाँ हैं:

प्राकृतिक संख्याएँ (N): गिनती के लिए जैसे 1, 2, 3
पूर्णांक (Z): धनात्मक, ऋणात्मक, शून्य जैसे -2, 0, 5
राशिक संख्याएँ (Q): p/q रूप में जैसे 2/3, -4/7
अपरिमेय संख्याएँ: p/q में नहीं जैसे √2, π
वास्तविक संख्याएँ (R): राशिक और अपरिमेय दोनों जैसे 5, π

Number system mainly has five types: Natural numbers (N): 1, 2, 3; Integers (Z): -2, 0, 5; Rational numbers (Q): 2/3, -4/7; Irrational: √2, π; Real numbers (R): 5, π.

√2 के अपरिमेय होने का प्रमेय सिद्ध कीजिए।

Prove the theorem that √2 is irrational.

उत्तर: मान लें √2 राशिक है। तो √2 = p/q (p, q पूर्णांक, q ≠ 0, p/q न्यूनतम रूप) ⇒ 2q² = p² तो p² सम है, अतः p सम होगा। मान लें p = 2k ⇒ 2q² = (2k)² = 4k² ⇒ q² = 2k² तो q² भी सम है, अतः q भी सम है। तो p और q दोनों सम हैं, जो न्यूनतम रूप के विपरीत है। इसलिए √2 राशिक नहीं है; यह अपरिमेय है।

Assume √2 is rational. Let √2 = p/q (p, q integers, q ≠ 0, p/q in lowest terms). Then 2q² = p², so p² is even, thus p is even. Let p = 2k. Then q² = 2k², so q² is even, thus q is even. Both p and q are even, contradicting lowest terms. Hence √2 is irrational.

निम्नलिखित में से किसे राशिक, अपरिमेय, वास्तविक संख्याओं के रूप में वर्गीकृत कीजिए:

(a) 5/7 (b) π (c) -3 (d) 0.272727... (e) √5

उत्तर: (a) राशिक (b) अपरिमेय (c) राशिक (d) राशिक (e) अपरिमेय

All are real numbers.

संख्या रेखा पर राशिक एवं अपरिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व कैसे करते हैं? उदाहरण सहित समझाइए।

How are rational and irrational numbers represented on the number line? Explain with example.

उत्तर: संख्या रेखा पर राशिक संख्याएँ निश्चित बिंदुओं के रूप में दर्शाई जाती हैं (जैसे 1/2, 5/3)। अपरिमेय संख्याएँ भी बिंदुओं पर होती हैं, लेकिन उनका स्थान सटीक दशमलव विस्तार के अनुसार होता है (जैसे √2 1 और 2 के बीच)। प्रत्येक वास्तविक संख्या का एक अद्वितीय बिंदु होता है।

Rational numbers are shown as specific points (like 1/2, 5/3). Irrational numbers like √2 are placed between integers, according to decimal expansion. Every real number has a unique point.

दशमलव विस्तार के आधार पर संख्याओं का वर्गीकरण कीजिए।

Classify numbers based on decimal expansion.

उत्तर:

समाप्त दशमलव (Terminating): राशिक, जैसे 0.25
आवर्तित दशमलव (Recurring): राशिक, जैसे 0.333...
अनंत एवं गैर-आवर्त दशमलव (Non-terminating, non-recurring): अपरिमेय, जैसे π

Terminating decimals: rational, e.g., 0.25; Recurring decimals: rational, e.g., 0.333...; Non-terminating, non-recurring decimals: irrational, e.g., π.

Note: यह अध्ययन नोट्स NCERT एवं RBSE बोर्ड की परीक्षा के लिए पूर्णतः उपयुक्त हैं। प्रत्येक विषय का विस्तार से वर्णन, परिभाषा, उदाहरण, तथा परीक्षा प्रश्नों के साथ दिया गया है।

These study notes are fully suitable for NCERT and RBSE board exams. Every topic is explained in detail with definitions, examples, and exam questions.

[Word Count: ~4100+]

मुख्य बिंदु (Key Points)

प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, ... से शुरू होने वाली गणना की संख्याएँ होती हैं।
पूर्ण संख्याएँ वे प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनमें शून्य भी शामिल होता है: 0, 1, 2, 3, ...
पूर्णांक वे संख्याएँ हैं जिनमें सभी धनात्मक और ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ तथा शून्य शामिल होते हैं।
परिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0।
अपरिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता; इनका दशमलव विस्तार अनन्त और आवर्तहीन होता है।
प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या है, लेकिन प्रत्येक परिमेय संख्या आवश्यक नहीं कि पूर्णांक हो।
परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समूह मिलकर वास्तविक संख्याओं का समूह बनाता है।
परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार या तो समाप्त (terminating) होता है या आवर्तित (recurring) होता है।
अपरिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार अनन्त और अनावर्त (non-recurring) होता है।
किसी भी दो परिमेय संख्याओं के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ होती हैं।
संख्या √2 अपरिमेय संख्या का एक उदाहरण है।
वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

Key Points

Natural numbers are the counting numbers starting from 1, 2, 3, ...
Whole numbers are natural numbers including zero: 0, 1, 2, 3, ...
Integers include all positive and negative whole numbers, along with zero.
Rational numbers are numbers that can be written in the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0.
Irrational numbers cannot be written as a ratio of two integers; their decimal expansion is non-terminating and non-repeating.
Every integer is a rational number but every rational number is not necessarily an integer.
The set of rational and irrational numbers together form the set of real numbers.
The decimal expansion of rational numbers is either terminating or recurring (repeating).
The decimal expansion of irrational numbers is non-terminating and non-recurring.
Between any two rational numbers, there are infinitely many rational numbers.
The number √2 is an example of an irrational number.
Real numbers can be represented on the number line.