menu_bookRBSE · गणित (Mathematics) · अध्याय 11

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Constructions

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रचनाएं (Constructions)

एक नज़र में:

यह अध्याय ज्यामितीय रचनाओं की विधियों को विस्तार से समझाता है। इसमें त्रिभुज, कोण, समांतर रेखाएँ आदि बनाने के सटीक तरीके, कदम-दर-कदम उदाहरणों के साथ दिए गए हैं। यह अध्याय विद्यार्थियों को रचनाओं के पीछे की तर्कसंगत प्रक्रिया और उनके उपयोग में दक्ष बनाता है।

This chapter explains the methods of geometric constructions in detail. It covers step-by-step techniques to construct triangles, angles, parallel lines, etc., along with solved examples. It helps students master the logical process behind constructions and their practical usage.

📌 अध्याय का परिचय (Chapter Introduction)

रचना (Construction) का अर्थ है – ज्यामितीय यंत्रों (जैसे स्केल, कम्पास, प्रोटेक्टर, आदि) की सहायता से आकृतियाँ बनाना।

Construction means creating geometric figures using tools like ruler, compass, protractor, etc.

NCERT और RBSE के अनुसार, इस अध्याय में बिना प्रोटेक्टर का उपयोग किए, केवल स्केल और कम्पास की मदद से विभिन्न आकृतियाँ बनाना सिखाया जाता है।

According to NCERT and RBSE, this chapter focuses on constructing various figures using only ruler and compass, without using a protractor.

उद्देश्य (Objective):

  • आधारभूत रचनात्मक कौशल का विकास।
  • कोण, समांतर रेखाएँ, त्रिभुज आदि की सही रचना।
  • तर्कशीलता का विकास।

रचनाओं के लिए आवश्यक उपकरण (Required Tools for Constructions):

  1. स्केल (Scale/Ruler)
  2. कम्पास (Compass)
  3. ज्यामितीय पेंसिल (Geometrical Pencil)
  4. इरेजर (Eraser)
  5. (केवल आवश्यकता पड़ने पर) प्रोटेक्टर (Protractor, only if allowed)

📖 मुख्य विषय (Major Topics)

1. कोणों की रचना (Construction of Angles)

(A) दिए गए कोण का रचना (To Construct a Given Angle)

परिभाषा (Definition): किसी दिए गए कोण की प्रतिलिपि (copy) बनाना।

Copying a given angle using compass and ruler.

विधि (Method): मान लीजिए कोण ABC = 50°, इसकी प्रतिलिपि बनानी है।

चरण (Steps):

  1. एक रेखा खींचें और उस पर बिंदु P चुनें। (Draw a line and mark point P on it.)
  2. कम्पास को कोण ABC के बिंदु B पर रखकर एक चाप खींचें, जो दोनों भुजाओं को काटे। (Place compass at B and draw an arc cutting both arms.)
  3. वही चाप P पर कम्पास से खींचें। (Draw the same arc from P.)
  4. ABC के चाप से जहाँ भुजाएँ कटती हैं, उन दो बिंदुओं के बीच की दूरी कम्पास से नापें। (Measure the distance between the two intersection points using compass.)
  5. P पर खींचे चाप पर, उसी दूरी से एक बिंदु Q चिन्हित करें। (With the same distance, mark point Q on arc from P.)
  6. P को Q से मिलाएँ। यही वांछित कोण है। (Join P and Q. This is the required angle.)

हल किया उदाहरण (Solved Example): प्रश्न: 60° का कोण रचिए। उत्तर:

  • रेखा खींचें, बिंदु A लें।
  • कम्पास को A पर रखकर चाप बनाएं, जो रेखा को B पर काटे।
  • उसी त्रिज्या से कम्पास को B पर रखकर चाप को दुबारा काटें, बिंदु C मिले।
  • A को C से जोड़ें। यह 60° का कोण होगा।

(B) कोणों का समायोजन (Bisecting an Angle)

परिभाषा (Definition): दिए गए कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करना।

To divide a given angle into two equal parts.

विधि (Method):

  1. कोण O का केंद्र लें, भुजाओं OA और OB।
  2. कम्पास को O पर रखें, चाप बनाएं जो OA और OB को क्रमशः P और Q पर काटे।
  3. कम्पास को पहले P फिर Q पर रखकर दो चाप बनाएं, जो एक-दूसरे को R पर काटें।
  4. O को R से जोड़ें। यही कोण का समायोजन (angle bisector) है।

हल किया उदाहरण:

प्रश्न: 70° के कोण का समायोजन कीजिए।

उत्तर:

  • 70° का कोण बनाएं (ऊपर बताए अनुसार)।
  • समायोजन की विधि (angle bisecting method) अपनाएँ।
  • O से R को जोड़ें। दोनों प्राप्त कोण 35°-35° होंगे।

2. समांतर रेखा की रचना (Construction of Parallel Lines)

परिभाषा (Definition): किसी दी गई रेखा के एक बिंदु के बाहर से, दी गई रेखा के समांतर रेखा खींचना।

To draw a line parallel to a given line through a point outside it.

विधि (Method):

  1. रेखा l और उसके बाहर बिंदु P लें।
  2. रेखा l पर कोई बिंदु Q लें।
  3. QP को जोड़ें।
  4. कोण निर्माण की विधि से Q पर एक कोण बनाएं, जिसकी प्रतिलिपि P पर बनाएं।
  5. P से बने कोण की भुजा को बढ़ाएँ। यही वांछित समांतर रेखा है।

हल किया उदाहरण:

प्रश्न: रेखा AB के बाहर बिंदु P से, AB के समांतर एक रेखा बनाइए।

उत्तर:

  • रेखा AB खींचें, बाहर बिंदु P लें।
  • AB पर कोई बिंदु Q लें।
  • QP जोड़ें।
  • कोण Q पर बनाएं, उसकी प्रतिलिपि P पर बनाएं।
  • P से बनी भुजा को बढ़ाएँ, यही समांतर रेखा है।

3. त्रिभुजों की रचना (Construction of Triangles)

त्रिभुज रचना के मुख्य तीन प्रकार हैं:

(A) SSS (तीनों भुजाएँ ज्ञात)

Construction of Triangle when all three sides are given.

विधि (Method):

  1. सबसे लंबी भुजा को आधार (base) मानें, रेखा खींचें – AB = BC.
  2. कम्पास को A पर रखकर दूसरी भुजा के बराबर चाप बनाएं।
  3. कम्पास को B पर रखकर तीसरी भुजा के बराबर चाप बनाएं।
  4. दोनों चाप जहाँ मिलें, वही तीसरा बिंदु C है।
  5. AC और BC को जोड़ें।
  6. त्रिभुज ABC बन गया।

हल किया उदाहरण:

प्रश्न: भुजाएँ 5 cm, 6 cm, 7 cm की त्रिभुज बनाइए।

उत्तर:

  • AB = 7 cm आधार खींचें।
  • कम्पास को A पर रखकर 5 cm का चाप बनाएं।
  • कम्पास को B पर रखकर 6 cm का चाप बनाएं।
  • दोनों चाप जहाँ मिलें, उसे C मानें।
  • AC और BC जोड़ें।

(B) SAS (दो भुजाएँ व उनके बीच का कोण ज्ञात)

Construction of Triangle when two sides and the included angle are given.

विधि (Method):

  1. एक भुजा आधार मानें, AB = ज्ञात लंबाई।
  2. A पर दिया गया कोण बनाएं।
  3. उस कोण पर दूसरी भुजा की लंबाई लें, बिंदु C प्राप्त करें।
  4. BC को जोड़ें।
  5. त्रिभुज ABC बन गया।

हल किया उदाहरण:

प्रश्न: AB = 5 cm, AC = 4 cm, ∠BAC = 60° की त्रिभुज रचिए।

उत्तर:

  • AB = 5 cm आधार खींचें।
  • A पर 60° का कोण बनाएं।
  • AC = 4 cm लें, बिंदु C पर चिन्ह लगाएँ।
  • BC जोड़ें।

(C) ASA (दो कोण व उनके बीच की भुजा ज्ञात)

Construction of Triangle when two angles and the included side are given.

विधि (Method):

  1. आधार BC = ज्ञात लंबाई लें।
  2. B पर पहला कोण बनाएं।
  3. C पर दूसरा कोण बनाएं।
  4. दोनों कोणों की भुजाएँ जहाँ मिलें, वही तीसरा बिंदु A है।
  5. AB और AC जोड़ें।

हल किया उदाहरण:

प्रश्न: BC = 6 cm, ∠B = 40°, ∠C = 60° की त्रिभुज रचिए।

उत्तर:

  • BC = 6 cm आधार लें।
  • B पर 40° का कोण बनाएं।
  • C पर 60° का कोण बनाएं।
  • दोनों कोणों की भुजाएँ जहाँ मिलें, वही A है।
  • AB और AC जोड़ें।

4. रेखा का समायोजन (Bisecting a Line Segment)

परिभाषा (Definition): किसी रेखाखंड को दो बराबर भागों में विभाजित करना।

To bisect a line segment into two equal parts.

विधि (Method):

  1. रेखाखंड AB खींचें।
  2. कम्पास को A पर रखकर AB से बड़ी त्रिज्या से चाप बनाएं।
  3. यही चाप B पर रखें।
  4. दोनों ओर दो बिंदु मिलेंगे (P और Q)।
  5. P और Q को जोड़ें।
  6. जहाँ PQ, AB को काटे, वही समायोजन बिंदु (midpoint) है।

हल किया उदाहरण:

प्रश्न: 8 cm के रेखाखंड को समायोजित कीजिए।

उत्तर:

  • AB = 8 cm खींचें।
  • ऊपर दी गई विधि अपनाएँ।
  • समायोजन बिंदु M प्राप्त होगा, जहाँ AM = MB = 4 cm।

5. लम्ब रेखा की रचना (Construction of Perpendicular)

परिभाषा (Definition): किसी बिंदु से, दी गई रेखा पर लम्ब (90°) रेखा खींचना।

To draw a line perpendicular to a given line from a given point.

विधि (Method):

(A) रेखा के बाहर के बिंदु से

From a point outside the line

  1. रेखा l और उस पर बाहर बिंदु P लें।
  2. कम्पास को P पर रखकर रेखा l को दो बिंदुओं (A, B) पर काटें।
  3. कम्पास को A, फिर B पर रखकर समान त्रिज्या से दो चाप बनाएं, जो एक-दूसरे को Q पर काटें।
  4. P और Q को जोड़ें। यही वांछित लम्ब रेखा है।

(B) रेखा के ऊपर के बिंदु से

From a point on the line

  1. रेखा l पर बिंदु P लें।
  2. कम्पास को P पर रखें, रेखा l के दोनों ओर दो बिंदु (A, B) पर चाप काटें।
  3. कम्पास को A, फिर B पर रखकर दो चाप बनाएं, जो रेखा के दूसरी ओर Q पर मिलें।
  4. P और Q को जोड़ें।

6. वृत्त की रचना (Construction of a Circle)

परिभाषा (Definition): दिए गए केंद्र और त्रिज्या से वृत्त बनाना।

To construct a circle with given centre and radius.

विधि (Method):

  1. केंद्र O चिन्हित करें।
  2. कम्पास को O पर रखें, वांछित त्रिज्या लें।
  3. कम्पास घुमाकर वृत्त बनाएं।

हल किया उदाहरण:

प्रश्न: केंद्र O और त्रिज्या 3 cm से वृत्त बनाइए।

उत्तर:

  • केंद्र O लें।
  • कम्पास को O पर रखें, 3 cm लें।
  • वृत्त बनाएं।

7. एक निश्चित दूरी पर समांतर रेखा की रचना (Construction of Parallel Line at a Given Distance)

विधि (Method):

  1. रेखा AB खींचें।
  2. कम्पास को A पर रखें, वांछित दूरी लें (जैसे 2 cm)।
  3. रेखा के एक ओर चाप बनाएं।
  4. इसी प्रकार, रेखा पर कई बिंदुओं पर चाप बनाएं।
  5. सब बिंदुओं को सीधी रेखा से जोड़ें।
  6. यह वांछित समांतर रेखा है।

8. समकोण त्रिभुज की रचना (Construction of Right-Angled Triangle)

विधि (Method):

  1. आधार BC = ज्ञात लें।
  2. B पर 90° का कोण बनाएं।
  3. B से लंबाई लें (जैसे AB = ज्ञात)।
  4. C से A को जोड़ें।

9. समरूप त्रिभुज की रचना (Construction of Similar Triangle)

विधि (Method):

  1. त्रिभुज ABC बनाएं।
  2. आधार BC को किसी अनुपात (जैसे 3:2) में विभाजित करें।
  3. समांतर रेखा खींचें।
  4. नया त्रिभुज A'B'C' बनेगा, जो ABC के समानुपाती होगा।

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points) (कम-से-कम 10 बिंदु)

  1. सभी रचनाएँ केवल स्केल व कम्पास से करनी होती हैं।

All constructions should be done using compass and ruler only.

  1. कम्पास की त्रिज्या बदलते समय सावधानी बरतें।

Be careful while adjusting compass radius.

  1. कोण निर्माण में कोण की प्रतिलिपि बनाना आवश्यक है।

Copying an angle is essential in angle construction.

  1. त्रिभुज रचना में सही क्रम (SSS, SAS, ASA) का पालन करें।

Follow the correct sequence in triangle construction.

  1. समायोजन (Bisector) हमेशा दो बराबर भागों में विभाजित करता है।

Bisector always divides into two equal parts.

  1. समांतर रेखा रचना में कोण की प्रतिलिपि विधि का प्रयोग करें।

Use angle copying method for constructing parallel lines.

  1. रचना करते समय हल्के हाथ से पेंसिल चलाएँ।

Draw lightly with pencil during construction.

  1. हर चरण को साफ-सुथरा व क्रमबद्ध लिखें।

Write each step neatly and sequentially.

  1. गलत बन जाने पर इरेजर का उपयोग करें, लेकिन रेखाएँ दोबारा ठीक से खींचें।

Use eraser if wrong, but redraw lines properly.

  1. हर रचना के बाद, अंतिम आकृति को नामांकित करें।

Label the final figure after each construction.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक (No.) | गलती (Mistake in Hindi) | Correction (English) | |---------------|----------------------------------------------------|---------------------------------------------| | 1 | कम्पास की त्रिज्या बदलना भूल जाना | Forgetting to keep compass radius same | | 2 | कोण की प्रतिलिपि बनाते समय गलत बिंदु लेना | Marking wrong points while copying angle | | 3 | रेखा को ठीक से नापना | Not measuring lines accurately | | 4 | चाप को कम या अधिक बनाना | Drawing arc too small or big | | 5 | अंतिम रेखाओं/त्रिभुजों को नामांकित न करना | Not labeling final lines/triangles | | 6 | हल्के या गहरे पेंसिल का प्रहार | Drawing too light or too dark | | 7 | समायोजन के बिंदु को ठीक से नहीं जोड़ना | Not joining bisector point properly | | 8 | कम्पास के पैरों को ढीला छोड़ना | Leaving compass legs loose | | 9 | प्रश्न में माँगी गई रचना के अतिरिक्त रेखाएँ बनाना | Drawing unnecessary lines not asked | | 10 | रचना के क्रम (steps) को क्रम से नहीं लिखना | Not writing construction steps sequentially |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)

1-Mark Questions (1 अंक के प्रश्न)

  1. प्रश्न: 90° के कोण को समायोजित करने पर प्रत्येक भाग का मान कितना होगा?

What will be the value of each part after bisecting a 90° angle?

उत्तर: 45°

  1. प्रश्न: कोण समायोजन में कितने चाप खींचे जाते हैं?

How many arcs are drawn in angle bisector construction?

उत्तर: तीन

  1. प्रश्न: SSS रचना में कितनी भुजाओं की लंबाई ज्ञात होती है?

How many sides are known in SSS construction?

उत्तर: तीन

2-Mark Questions (2 अंक के प्रश्न)

  1. प्रश्न: 6 cm के रेखाखंड को समायोजित करने की विधि लिखिए।

Write the steps to bisect a line segment of 6 cm.

उत्तर:

  • AB = 6 cm खींचें।
  • कम्पास को A पर रखें, AB से बड़ी त्रिज्या से चाप बनाएं।
  • कम्पास को B पर रखें, समान त्रिज्या से चाप बनाएं।
  • दोनों चाप ऊपर व नीचे P और Q पर मिलें।
  • PQ को जोड़ें, जहाँ AB को काटे, वही समायोजन बिंदु है।
  1. प्रश्न: समांतर रेखा की रचना में कोण की प्रतिलिपि क्यों बनानी होती है?

Why do we need to copy an angle in construction of parallel lines?

उत्तर:

  • क्योंकि समांतर रेखा बनाने के लिए दोनों रेखाओं के बीच कोण समान होना आवश्यक है।

Because to make parallel lines, the corresponding angles must be equal.

5-Mark Questions (5 अंक के प्रश्न)

  1. प्रश्न:

निम्नलिखित मापों के अनुसार त्रिभुज ABC रचिए: AB = 6 cm, AC = 5 cm, ∠BAC = 50°।

Construct triangle ABC with: AB = 6 cm, AC = 5 cm, ∠BAC = 50°.

उत्तर: कदम:

  1. स्केल से AB = 6 cm आधार खींचें।
  2. बिंदु A पर 50° का कोण बनाएं (कोण की प्रतिलिपि विधि से)।
  3. कम्पास से AC = 5 cm लें, कोण की भुजा पर चिन्ह लगाएँ – बिंदु C प्राप्त करें।
  4. BC को जोड़ें।
  5. त्रिभुज ABC बन गया।

आकृति बनाएं और नामांकन करें।

  1. प्रश्न:

दिए गए रेखाखंड PQ = 8 cm को समायोजित कीजिए तथा समायोजन बिंदु को R से नामांकित कीजिए।

Bisect the line segment PQ = 8 cm and name the midpoint as R.

उत्तर:

  • PQ = 8 cm खींचें।
  • कम्पास को P पर रखें, PQ से बड़ी त्रिज्या लें, ऊपर-नीचे चाप बनाएं।
  • यही चाप Q पर रखें, चाप काटें।
  • ऊपर-नीचे दो बिंदु मिलेंगे – A और B।
  • A और B को जोड़ें, जहाँ PQ को काटे, वही R है।
  • PR = RQ = 4 cm।
  1. प्रश्न:

एक रेखा l के बाहर बिंदु P से, r रेखा को समांतर रेखा खींचिए।

Draw a line parallel to line l from a point P outside it.

उत्तर:

  • रेखा l खींचें, बाहर बिंदु P लें।
  • l पर Q बिंदु लें, QP जोड़ें।
  • Q पर कोई कोण बनाएं, उसकी प्रतिलिपि P पर बनाएं।
  • P से बनी भुजा को बढ़ाएँ, यही वांछित समांतर रेखा है।
  • आकृति बनाएं और नामांकन करें।

अध्याय सारांश (Chapter Summary)

  • इस अध्याय में विद्यार्थियों ने सीखा कि केवल स्केल व कम्पास से कोण, समांतर रेखा, त्रिभुज, समायोजन, लम्ब, वृत्त आदि की रचनाएँ कैसे की जाती हैं।
  • प्रत्येक रचना के स्पष्ट चरण, हल किए उदाहरण, और परीक्षा के दृष्टिकोण से प्रश्न दिए गए।
  • रचनात्मक कौशल के साथ-साथ, तर्कशक्ति और सटीकता का भी विकास होता है।

[These detailed, exam-oriented, and bilingual notes comprehensively cover all RBSE and NCERT requirements for Chapter: Constructions (रचनाएं), Class 9 Mathematics.]

मुख्य बिंदु (Key Points)

  • ज्यामिति में रचना का अर्थ है केवल परकार और बिना माप के स्केल की सहायता से रेखाएँ, कोण और आकार सही-सही बनाना।
  • लंब समद्विभाजक किसी रेखाखंड को 90° के कोण पर दो बराबर भागों में विभाजित करता है।
  • कोण समद्विभाजक की रचना का अर्थ है दिए गए कोण को दो बराबर कोणों में विभाजित करना।
  • रेखाखंड की नकल करने का अर्थ है परकार और स्केल से दिए गए रेखाखंड के बराबर लंबाई का रेखाखंड बनाना।
  • त्रिभुज की रचना के लिए विशेष माप जैसे भुजाएँ या कोण आवश्यक होते हैं (जैसे SSS, SAS, ASA मापदंड)।
  • ज्यामितीय आकृतियों की रचना करते समय कोणमापी या मापने वाला स्केल का प्रयोग नहीं करें, केवल सीधी रेखा खींचने के लिए स्केल का प्रयोग करें।
  • जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी हों (SSS), आधार खींचें, फिर परकार की सहायता से शेष दो भुजाएँ बनाएँ।
  • जब त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण दिया हो (SAS), एक भुजा खींचें, कोण बनाएँ, फिर परकार से तीसरा बिंदु चिन्हित करें।
  • जब त्रिभुज के दो कोण और उनके बीच की भुजा दी हो (ASA), भुजा खींचें, उसके सिरों पर दोनों कोण बनाएँ और तीसरा शिखर प्राप्त करें।
  • किसी बिंदु से रेखा पर लंब खींचने के लिए, उस बिंदु से परकार द्वारा रेखा को काटती हुई चापें बनाएँ, फिर उस खंड का समद्विभाजन करें।
  • रचनाओं में सफाई का ध्यान रखें और सभी महत्वपूर्ण बिंदुओं (शीर्ष, प्रतिछेदन बिंदु आदि) को स्पष्ट रूप से अंकित करें।
  • रचना के प्रत्येक चरण का औचित्य लिखना आवश्यक है; हल में प्रत्येक चरण का कारण अवश्य लिखें।

Key Points

  • Construction in geometry involves drawing shapes, angles, and lines accurately using only a compass and a straightedge (ruler without measurement markings).
  • A perpendicular bisector divides a line segment into two equal parts at 90°.
  • To construct an angle bisector means to divide a given angle into two equal angles.
  • Copying a line segment means drawing a line segment equal in length to a given segment, using only compass and straightedge.
  • To construct a triangle, specific measurements like sides or angles are required (e.g., SSS, SAS, ASA criteria).
  • When constructing geometric figures, do not use protractors or scales for measurement, only for drawing straight lines.
  • To construct a triangle when three sides are given (SSS), draw the base, then use compass to mark the other two sides.
  • To construct a triangle when two sides and the included angle are given (SAS), draw one side, construct the angle, and mark the third point using compass.
  • To construct a triangle when two angles and the included side are given (ASA), draw the side, construct both angles at its ends, and locate third vertex.
  • For constructing a perpendicular from a point to a line, use compass to draw arcs from the point intersecting the line, then bisect the segment.
  • Practice neatness and label all important points (vertices, intersection points, etc.) clearly in constructions.
  • Justification of each construction step is important; always write the reason for each step in the solution.

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

दिए गए कोण को समद्विभाजित करने के लिए कौन सा चरण आवश्यक नहीं है?

जब आप समकोण को समद्विभाजित करते हैं, तब बने प्रत्येक कोण का मान क्या होगा?

निम्नलिखित में से किसे केवल कम्पास और स्केल से बनाया जा सकता है?

दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण ज्ञात होने पर त्रिभुज निर्माण की कौन सी विधि प्रयोग होती है?

60° का कोण बनाने के लिए कौन सा उपकरण आवश्यक है?

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रचनाएं (Constructions) एक नज़र में: यह अध्याय ज्यामितीय रचनाओं की विधियों को विस्तार से समझाता है। इसमें त्रिभुज, कोण, समांतर रेखाएँ आदि बनाने के सटीक तरीके,…

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