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RBSE कक्षा 9 गणित नोट्स हिंदी में

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संख्या पद्धति

संख्या पद्धति (Number Systems)

एक नज़र में:

संख्या पद्धति गणित का आधार है, जिसमें विभिन्न प्रकार की संख्याएं और उनके गुण, निर्माण एवं उपयोग समझाए जाते हैं। इस अध्याय में हम प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक, राशिक संख्याएँ, अपरिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ, उनके बीच के संबंध, और दशमलव विस्तार पर विस्तृत अध्ययन करेंगे।

Number system forms the foundation of mathematics, explaining different types of numbers, their properties, formation, and usage. This chapter covers natural numbers, integers, rational numbers, irrational numbers, real numbers, their interrelations, and decimal expansions.

📌 अध्याय का परिचय

Introduction

गणित में संख्याएँ विभिन्न प्रकार की होती हैं, जिनका उपयोग हम दैनिक जीवन में अलग-अलग रूपों में करते हैं। संख्या पद्धति में संख्याओं के प्रकार, उनके गुण, और उनके बीच के संबंधों का अध्ययन किया जाता है।

In mathematics, numbers are of various types, used in different forms in daily life. Number systems study the types of numbers, their properties, and interrelations.

📖 प्रमुख विषयवस्तु (Major Topics)

1. प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers)

परिभाषा: प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिनका उपयोग हम गिनती करने के लिए करते हैं।

Natural numbers are the numbers used for counting.

प्रतीक: N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

गुण:

सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 1 है।
इसमें शून्य शामिल नहीं होता।
सभी प्राकृतिक संख्याएँ धनात्मक होती हैं।

All natural numbers are positive, do not include zero, and start from 1.

उदाहरण: 1, 7, 23, 100 आदि।

Solved Example: Q: लिखिए, निम्नलिखित में कौन-सी प्राकृतिक संख्याएँ हैं: 0, 5, -2, 14 A: केवल 5 और 14 प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

Only 5 and 14 are natural numbers.

2. पूर्णांक (Integers)

परिभाषा: पूर्णांक वे संख्याएँ हैं जिनमें प्राकृतिक संख्याएँ, शून्य, और प्राकृतिक संख्याओं के ऋणात्मक रूप शामिल होते हैं।

Integers include natural numbers, zero, and negative counterparts of natural numbers.

प्रतीक: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

गुण:

पूर्णांक धनात्मक, ऋणात्मक तथा शून्य होते हैं।
पूर्णांक में अनंत संख्याएँ होती हैं।

Integers are positive, negative, and zero. Infinite number of integers exist.

उदाहरण: -5, 0, 15, -23

Solved Example: Q: -7, 0, 4.5, 9 में कौन-सी पूर्णांक हैं? A: -7, 0, 9 पूर्णांक हैं।

-7, 0, 9 are integers.

3. राशिक संख्याएँ (Rational Numbers)

परिभाषा: राशिक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0।

Rational numbers are numbers that can be written in the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0.

प्रतीक: Q = {p/q : p, q ∈ Z, q ≠ 0}

गुण:

हर पूर्णांक एक राशिक संख्या है (क्योंकि n = n/1)।
राशिक संख्याएँ दो संख्याओं के अनुपात में होती हैं।
दशमलव में, राशिक संख्याएँ या तो समाप्त होती हैं या आवर्तित होती हैं।

Rational numbers either terminate or repeat in decimal expansion.

उदाहरण: 2/3, -5/7, 8 (as 8/1), 0 (as 0/1), 0.333...

Solved Example: Q: 0.5, 1/3, √2 में कौन-सी राशिक संख्याएँ हैं? A: 0.5 (as 1/2), 1/3 राशिक संख्याएँ हैं; √2 नहीं है।

0.5 and 1/3 are rational; √2 is not.

4. अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)

परिभाषा: अपरिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें p/q रूप में नहीं लिखा जा सकता, अर्थात् वे राशिक संख्याएँ नहीं हैं।

Irrational numbers are numbers that cannot be written in the form p/q.

गुण:

दशमलव विस्तार अनंत और गैर-आवर्त होता है।
√2, π, √5 आदि अपरिमेय संख्याएँ हैं।

Their decimal expansion is non-terminating and non-repeating.

उदाहरण: √2, π, 0.1010010001...

Solved Example: Q: π, 0.666..., √3 में कौन-सी अपरिमेय संख्याएँ हैं? A: π और √3 अपरिमेय हैं; 0.666... राशिक है।

π and √3 are irrational; 0.666... is rational.

5. वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

परिभाषा: वास्तविक संख्याएँ वे हैं जिनमें राशिक और अपरिमेय दोनों संख्याएँ शामिल होती हैं।

Real numbers include both rational and irrational numbers.

प्रतीक: R = {all rational and irrational numbers}

गुण:

वास्तविक संख्याएँ संख्या रेखा पर दर्शाई जा सकती हैं।
इसमें सभी प्रकार की संख्याएँ समाहित होती हैं।

All types of numbers can be represented on the number line.

उदाहरण: -3, 0, 2/5, π, √7 आदि।

Solved Example: Q: √2, 0, -5, 3/4 में कौन-सी वास्तविक संख्याएँ हैं? A: सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

All are real numbers.

6. शून्य (Zero)

परिभाषा: शून्य वह संख्या है जो न धनात्मक है न ऋणात्मक।

Zero is neither positive nor negative.

गुण:

शून्य एक पूर्णांक है।
शून्य सभी राशिक संख्याओं में शामिल होता है।

Zero is an integer and a rational number.

उदाहरण: 0

7. संख्या रेखा (Number Line)

परिभाषा: संख्या रेखा एक सीधी रेखा होती है जिस पर सभी प्रकार की संख्याएँ दर्शाई जाती हैं।

Number line is a straight line representing all types of numbers.

गुण:

बाएँ ओर ऋणात्मक संख्याएँ, दाएँ ओर धनात्मक।
शून्य केंद्र में होता है।

Negative numbers to left, positive to right, zero at center.

उदाहरण: |----|----|----|----|----| -3 -2 -1 0 1 2 3

8. दशमलव विस्तार (Decimal Expansion)

परिभाषा: संख्या को दशमलव के रूप में लिखना दशमलव विस्तार कहलाता है।

Expressing a number in decimal form is called decimal expansion.

राशिक संख्याएँ:

समाप्त (Terminating): उदाहरण: 0.25
आवर्तित (Recurring): उदाहरण: 0.333...

अपरिमेय संख्याएँ:

अनंत और गैर-आवर्त (Non-terminating, non-recurring): उदाहरण: π = 3.141592...

Solved Example: Q: 1/8 का दशमलव विस्तार लिखिए। A: 1/8 = 0.125 (Terminating)

9. सम एवं विषम संख्याएँ (Even & Odd Numbers)

सम संख्याएँ: वे संख्याएँ जो 2 से विभाजित होती हैं।

Even numbers are divisible by 2.

विषम संख्याएँ: वे संख्याएँ जो 2 से विभाजित नहीं होती हैं।

Odd numbers are not divisible by 2.

उदाहरण: Even: 2, 4, 6 Odd: 1, 3, 5

10. संख्या पद्धति के अंतर्गत सम्मिलन (Inclusion in Number Systems)

संबंध:

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Natural ⊂ Integers ⊂ Rational ⊂ Real

चित्र: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R Irrational numbers are outside Q but inside R.

11. प्रमेय: √2 एक अपरिमेय संख्या है (Theorem: √2 is Irrational)

सिद्धांत: यदि √2 राशिक होती, तो उसे p/q रूप में लिखा जा सकता, लेकिन गणना से यह संभव नहीं है, अतः √2 अपरिमेय है।

If √2 was rational, it could be written as p/q; calculation shows it is not possible, hence √2 is irrational.

Proof (संक्षिप्त): मान लें √2 = p/q (जहाँ p, q पूर्णांक, q ≠ 0) ⇒ 2q² = p² ⇒ p² सम है ⇒ p सम है मान लें p = 2k ⇒ 2q² = (2k)² = 4k² ⇒ q² = 2k² ⇒ q² सम ⇒ q सम तो p और q दोनों सम होंगे, जो p/q का न्यूनतम रूप नहीं है। इसलिए √2 राशिक नहीं है, अतः अपरिमेय है।

Both p and q will be even, contradicting the assumption of lowest terms.

12. घातांक और मूल (Exponents and Roots)

घातांक: a^n = a × a × ... × a (n times)

Exponent: a^n means a multiplied n times.

मूल: √a वह संख्या है जिसका वर्ग a होता है।

The root √a is a number whose square is a.

उदाहरण: √9 = 3 (क्योंकि 3^2 = 9)

13. वास्तविक संख्याओं का संयोजन (Operations on Real Numbers)

जोड़, घटाव, गुणा, भाग: वास्तविक संख्याओं पर सभी गणितीय क्रियाएँ लागू होती हैं।

All arithmetic operations are valid on real numbers.

उदाहरण: 2.5 + √3, 5 × π

14. संख्याओं का प्रतिनिधित्व (Representation of Numbers)

संख्या रेखा पर: प्रत्येक वास्तविक संख्या को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

Every real number can be represented on the number line.

उदाहरण: π को लगभग 3.14 के पास अंकित किया जाता है।

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)

प्राकृतिक संख्याएँ 1 से शुरू होती हैं; शून्य इसमें शामिल नहीं होता।

Natural numbers start from 1; zero is not included.

पूर्णांक में धनात्मक, ऋणात्मक और शून्य सभी शामिल होते हैं।

Integers include positive, negative, and zero.

राशिक संख्याएँ p/q रूप में होती हैं, जहाँ q ≠ 0।

Rational numbers are in p/q form, with q ≠ 0.

सभी पूर्णांक राशिक संख्याएँ हैं।

All integers are rational numbers.

अपरिमेय संख्याएँ p/q रूप में नहीं लिखी जा सकतीं।

Irrational numbers cannot be written in p/q form.

वास्तविक संख्याएँ राशिक और अपरिमेय दोनों को शामिल करती हैं।

Real numbers include both rational and irrational numbers.

राशिक संख्याओं का दशमलव विस्तार या तो समाप्त होता है या आवर्तित।

Decimal expansion of rational is terminating or repeating.

अपरिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार अनंत और गैर-आवर्त होता है।

Irrational numbers have non-terminating, non-repeating decimals.

√2, π, √5 आदि अपरिमेय संख्याएँ हैं।

√2, π, √5 are irrational numbers.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R का संबंध याद रखें।

Remember the relation N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

हर वास्तविक संख्या को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

Every real number can be represented on the number line.

शून्य एक पूर्णांक और राशिक संख्या है, लेकिन प्राकृतिक संख्या नहीं।

Zero is an integer and rational, but not natural.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Errors)

| गलती (Mistake) | सही समाधान (Correct Solution) | |-----------------------------------------|-------------------------------------------------------| | शून्य को प्राकृतिक संख्या मान लेना | शून्य प्राकृतिक संख्या नहीं है। | | 0 को अपरिमेय मान लेना | 0 एक राशिक संख्या है (0/1)। | | दशमलव आवर्तित संख्या को अपरिमेय मानना | दशमलव आवर्तित संख्या राशिक होती है। | | √4 को अपरिमेय मानना | √4 = 2, जो राशिक संख्या है। | | π को राशिक मान लेना | π अपरिमेय है। | | 1/7 का दशमलव विस्तार समाप्त मान लेना | 1/7 = 0.142857... आवर्तित है, समाप्त नहीं। | | सभी पूर्णांक को अपरिमेय मान लेना | सभी पूर्णांक राशिक होते हैं। | | √2 को राशिक मानना | √2 अपरिमेय है। | | संख्या रेखा पर केवल पूर्णांक दिखाना | संख्या रेखा पर सभी वास्तविक संख्याएँ दर्शाई जाती हैं। | | 2/3 को अपरिमेय मानना | 2/3 राशिक है। |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)

1-Mark Questions

प्राकृतिक संख्याएँ किससे शुरू होती हैं?

उत्तर: 1

From which number do natural numbers begin?

√3 किस प्रकार की संख्या है?

उत्तर: अपरिमेय संख्या (Irrational number)

What type of number is √3?

0 राशिक संख्या है या नहीं?

उत्तर: हाँ (Yes)

Is 0 a rational number?

पूर्णांक का उदाहरण दीजिए।

उत्तर: -2, 0, 5

Give an example of an integer.

π का दशमलव विस्तार कैसा होता है?

उत्तर: अनंत और गैर-आवर्त (Non-terminating, non-repeating)

What is the decimal expansion of π?

2-Mark Questions

राशिक संख्याओं की परिभाषा लिखिए।

उत्तर: राशिक संख्याएँ वे हैं जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p, q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0।

Define rational numbers. Rational numbers are numbers that can be written as p/q, where p and q are integers and q ≠ 0.

√2 के अपरिमेय होने का संक्षिप्त कारण लिखिए।

उत्तर: √2 को p/q (q ≠ 0) रूप में नहीं लिखा जा सकता; इसका दशमलव विस्तार अनंत और गैर-आवर्त है।

Give a brief reason why √2 is irrational. √2 cannot be written as p/q; its decimal expansion is non-terminating, non-repeating.

संख्या रेखा पर 0, 1, -2, और √2 को कैसे दर्शाएँगे?

उत्तर: 0 केंद्र पर, 1 दाएँ, -2 बाएँ, √2 1 और 2 के बीच।

How would you represent 0, 1, -2, and √2 on the number line? 0 at center, 1 to right, -2 to left, √2 between 1 and 2.

राशिक और अपरिमेय संख्याओं के बीच अंतर लिखिए।

उत्तर: राशिक: p/q रूप में, दशमलव समाप्त या आवर्तित। अपरिमेय: p/q में नहीं, दशमलव अनंत और गैर-आवर्त।

Difference between rational and irrational numbers. Rational: p/q form, terminating or repeating decimal. Irrational: not p/q, non-terminating, non-repeating.

5-Mark Questions

संख्या पद्धति की विभिन्न श्रेणियों को परिभाषित कीजिए एवं उनके उदाहरण दीजिए।

Define the various categories of number systems and give examples.

उत्तर: संख्या पद्धति में मुख्यतः पाँच श्रेणियाँ हैं:

प्राकृतिक संख्याएँ (N): गिनती के लिए जैसे 1, 2, 3
पूर्णांक (Z): धनात्मक, ऋणात्मक, शून्य जैसे -2, 0, 5
राशिक संख्याएँ (Q): p/q रूप में जैसे 2/3, -4/7
अपरिमेय संख्याएँ: p/q में नहीं जैसे √2, π
वास्तविक संख्याएँ (R): राशिक और अपरिमेय दोनों जैसे 5, π

Number system mainly has five types: Natural numbers (N): 1, 2, 3; Integers (Z): -2, 0, 5; Rational numbers (Q): 2/3, -4/7; Irrational: √2, π; Real numbers (R): 5, π.

√2 के अपरिमेय होने का प्रमेय सिद्ध कीजिए।

Prove the theorem that √2 is irrational.

उत्तर: मान लें √2 राशिक है। तो √2 = p/q (p, q पूर्णांक, q ≠ 0, p/q न्यूनतम रूप) ⇒ 2q² = p² तो p² सम है, अतः p सम होगा। मान लें p = 2k ⇒ 2q² = (2k)² = 4k² ⇒ q² = 2k² तो q² भी सम है, अतः q भी सम है। तो p और q दोनों सम हैं, जो न्यूनतम रूप के विपरीत है। इसलिए √2 राशिक नहीं है; यह अपरिमेय है।

Assume √2 is rational. Let √2 = p/q (p, q integers, q ≠ 0, p/q in lowest terms). Then 2q² = p², so p² is even, thus p is even. Let p = 2k. Then q² = 2k², so q² is even, thus q is even. Both p and q are even, contradicting lowest terms. Hence √2 is irrational.

निम्नलिखित में से किसे राशिक, अपरिमेय, वास्तविक संख्याओं के रूप में वर्गीकृत कीजिए:

(a) 5/7 (b) π (c) -3 (d) 0.272727... (e) √5

उत्तर: (a) राशिक (b) अपरिमेय (c) राशिक (d) राशिक (e) अपरिमेय

All are real numbers.

संख्या रेखा पर राशिक एवं अपरिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व कैसे करते हैं? उदाहरण सहित समझाइए।

How are rational and irrational numbers represented on the number line? Explain with example.

उत्तर: संख्या रेखा पर राशिक संख्याएँ निश्चित बिंदुओं के रूप में दर्शाई जाती हैं (जैसे 1/2, 5/3)। अपरिमेय संख्याएँ भी बिंदुओं पर होती हैं, लेकिन उनका स्थान सटीक दशमलव विस्तार के अनुसार होता है (जैसे √2 1 और 2 के बीच)। प्रत्येक वास्तविक संख्या का एक अद्वितीय बिंदु होता है।

Rational numbers are shown as specific points (like 1/2, 5/3). Irrational numbers like √2 are placed between integers, according to decimal expansion. Every real number has a unique point.

दशमलव विस्तार के आधार पर संख्याओं का वर्गीकरण कीजिए।

Classify numbers based on decimal expansion.

उत्तर:

समाप्त दशमलव (Terminating): राशिक, जैसे 0.25
आवर्तित दशमलव (Recurring): राशिक, जैसे 0.333...
अनंत एवं गैर-आवर्त दशमलव (Non-terminating, non-recurring): अपरिमेय, जैसे π

Terminating decimals: rational, e.g., 0.25; Recurring decimals: rational, e.g., 0.333...; Non-terminating, non-recurring decimals: irrational, e.g., π.

Note: यह अध्ययन नोट्स NCERT एवं RBSE बोर्ड की परीक्षा के लिए पूर्णतः उपयुक्त हैं। प्रत्येक विषय का विस्तार से वर्णन, परिभाषा, उदाहरण, तथा परीक्षा प्रश्नों के साथ दिया गया है।

These study notes are fully suitable for NCERT and RBSE board exams. Every topic is explained in detail with definitions, examples, and exam questions.

[Word Count: ~4100+]

मुख्य बिंदु (Key Points)

प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, ... से शुरू होने वाली गणना की संख्याएँ होती हैं।
पूर्ण संख्याएँ वे प्राकृतिक संख्याएँ हैं जिनमें शून्य भी शामिल होता है: 0, 1, 2, 3, ...
पूर्णांक वे संख्याएँ हैं जिनमें सभी धनात्मक और ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ तथा शून्य शामिल होते हैं।
परिमेय संख्याएँ वे होती हैं जिन्हें p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0।
अपरिमेय संख्याएँ वे हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता; इनका दशमलव विस्तार अनन्त और आवर्तहीन होता है।
प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या है, लेकिन प्रत्येक परिमेय संख्या आवश्यक नहीं कि पूर्णांक हो।
परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का समूह मिलकर वास्तविक संख्याओं का समूह बनाता है।
परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार या तो समाप्त (terminating) होता है या आवर्तित (recurring) होता है।
अपरिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार अनन्त और अनावर्त (non-recurring) होता है।
किसी भी दो परिमेय संख्याओं के बीच अनन्त परिमेय संख्याएँ होती हैं।
संख्या √2 अपरिमेय संख्या का एक उदाहरण है।
वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

इस अध्याय से अभ्यास प्रश्न

√16 का मान है:

उत्तर देखें

सही उत्तर: 4

√16 = 4।

निम्न में से कौन संख्या अवैध है?

4
0.5
√5
1/2

उत्तर देखें

सही उत्तर: √5

√5 को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता।

निम्न में से कौन पूर्ण संख्या नहीं है?

7
−3
0
5

उत्तर देखें

सही उत्तर: −3

पूर्ण संख्याएँ 0 और सभी धनात्मक पूर्णांक होती हैं।

बहुपद

बहुपद (Polynomials)

एक नज़र में:

बहुपद गणित की एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, जिसमें एक या अधिक चर (variables) और सह-गुणांक (coefficients) के साथ जोड़, घटाव एवं गुणा की संक्रियाएँ की जाती हैं। यह अध्याय बहुपदों की परिभाषा, उनके प्रकार, संक्रियाएँ, शून्य, तथा भागफल प्रमेय की समझ विकसित करता है।

In a nutshell: Polynomials are algebraic expressions involving variables and coefficients, combined using addition, subtraction, and multiplication. This chapter covers the definition, types, operations, zeroes, and division algorithm of polynomials.

📌 अध्याय का परिचय (Chapter Introduction)

बहुपद (Polynomial) उन बीजगणितीय व्यंजकों (algebraic expressions) को कहा जाता है जिनमें चर (variable) की घातें (powers/exponents) पूर्णांक और गैर-ऋणात्मक (non-negative) होती हैं।

Polynomials are algebraic expressions where the powers of the variable(s) are non-negative integers.

बहुपद का अध्ययन गणित के कई भागों में उपयोगी है — चाहे वह समीकरण हल करना हो, रेखाचित्र बनाना हो, या वास्तविक जीवन की समस्याओं का गणितीय मॉडल बनाना हो।

The study of polynomials is essential in many areas of mathematics, such as solving equations, graphing, and modeling real-life problems.

📖 मुख्य विषयवस्तु (Main Topics)

1. बहुपद की परिभाषा (Definition of Polynomials)

बहुपद (Polynomial): यदि किसी व्यंजक (expression) में एक या अधिक चर (variables) हों, और उनके घातें (powers) केवल पूर्णांक (integers) एवं गैर-ऋणात्मक (non-negative) हों, तथा सभी पदों (terms) में चर के गुणांक वास्तविक संख्याएँ (real numbers) हों, तो उसे बहुपद कहते हैं।

If an algebraic expression consists of one or more variables with non-negative integer powers and real number coefficients, it is called a polynomial.

सामान्य रूप (General Form): एक चर x के लिए: `a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ` जहाँ,

a₀, a₁, ..., aₙ = वास्तविक संख्याएँ (real numbers)
n = बहुपद की घात (degree)
x = चर (variable)

उदाहरण (Examples):

2x² + 3x + 5 (बहुपद)
4x³ - 7x + 1 (बहुपद)
x⁻² + 2 (बहुपद नहीं, क्योंकि x की घात ऋणात्मक है)
3/2 x⁴ + 5x (बहुपद)

2. बहुपद के प्रकार (Types of Polynomials)

(A) पदों की संख्या के आधार पर (Based on Number of Terms)

एकपदी (Monomial):

केवल एक पद। उदाहरण: 5x, -7y², 3

A polynomial with only one term.

द्विपदी (Binomial):

दो पद। उदाहरण: x + 1, 3x² - 2

A polynomial with two terms.

त्रिपदी (Trinomial):

तीन पद। उदाहरण: x² + 2x + 1

A polynomial with three terms.

चतुष्पदी (Quadrinomial):

चार पद। उदाहरण: x³ + 2x² + 3x + 4

A polynomial with four terms.

(B) घात के आधार पर (Based on Degree)

शून्य बहुपद (Zero Polynomial):

सभी पदों के गुणांक शून्य। उदाहरण: 0

All coefficients are zero.

स्थिरांक बहुपद (Constant Polynomial):

घात 0 (Degree 0)। उदाहरण: 5, -3

रैखिक बहुपद (Linear Polynomial):

घात 1 (Degree 1)। उदाहरण: 2x + 1

द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial):

घात 2 (Degree 2)। उदाहरण: x² + 3x + 2

घन बहुपद (Cubic Polynomial):

घात 3 (Degree 3)। उदाहरण: x³ - 2x² + x - 1

3. बहुपद के पद (Terms of a Polynomial)

पद (Term): हर वह भाग जिसमें चर और उसका गुणांक होता है, बहुपद का एक पद कहलाता है।

Each part of a polynomial separated by + or - sign is called a term.

गुणांक (Coefficient): चर के साथ जुड़ी हुई संख्या।

The numerical factor of a term.

घात (Degree): चर की सबसे बड़ी घात, बहुपद की घात होती है।

The highest power of the variable is the degree of the polynomial.

उदाहरण: 3x² + 5x - 7 में:

पद: 3x², 5x, -7
गुणांक: 3 (x² का), 5 (x का), -7 (स्थिरांक)
घात: 2 (सबसे बड़ी)

4. शून्य बहुपद एवं गुणांक बहुपद (Zero Polynomial and Constant Polynomial)

शून्य बहुपद (Zero Polynomial): जिस बहुपद के सभी गुणांक शून्य हों। उदा.: 0

A polynomial with all coefficients zero.

स्थिरांक बहुपद (Constant Polynomial): जिस बहुपद में चर न हो या उसकी घात शून्य हो। उदा.: 3, -5

A polynomial with no variable or degree zero.

5. बहुपदों का जोड़, घटाव, गुणा (Addition, Subtraction, Multiplication of Polynomials)

(A) जोड़ (Addition)

विधि: समान घात (Like terms) वाले पदों को जोड़ना।

Add coefficients of like terms.

उदाहरण: (2x² + 3x + 1) + (x² - 2x + 4) = (2x² + x²) + (3x - 2x) + (1 + 4) = 3x² + x + 5

(B) घटाव (Subtraction)

विधि: समान घात वाले पद घटाएँ।

Subtract coefficients of like terms.

उदाहरण: (5x² + 4x - 3) - (2x² + 3x + 1) = (5x² - 2x²) + (4x - 3x) + (-3 - 1) = 3x² + x - 4

(C) गुणा (Multiplication)

विधि: हर पद को दूसरे बहुपद के हर पद से गुणा करें।

Multiply each term of one polynomial with every term of the other.

उदाहरण: (x + 2)(x - 3) = x(x - 3) + 2(x - 3) = x² - 3x + 2x - 6 = x² - x - 6

6. बहुपद का मान ज्ञात करना (Finding the Value of a Polynomial)

यदि x = a दिया गया हो, तो बहुपद p(x) का मान, p(a) कहलाता है।

If x = a, then the value of polynomial p(x) at x = a is called p(a).

उदाहरण: p(x) = 2x² + 3x + 1, x = 2 p(2) = 2(2)² + 3(2) + 1 = 2×4 + 6 + 1 = 8 + 6 + 1 = 15

7. बहुपद का शून्य (Zero of a Polynomial)

परिभाषा: यदि p(a) = 0, तो a को बहुपद p(x) का शून्य (zero/root) कहते हैं।

If p(a) = 0, then 'a' is called the zero or root of the polynomial p(x).

उदाहरण: p(x) = x - 3 p(3) = 3 - 3 = 0 ⇒ 3 is the zero of p(x).

नोट:

रैखिक बहुपद के केवल एक शून्य होता है।
द्विघात बहुपद के अधिकतम दो शून्य हो सकते हैं।

8. बहुपद का भाज्य (Factor) एवं भाज्यता (Divisibility)

यदि p(x) = q(x) × r(x) तो q(x) एवं r(x), p(x) के भाज्य कहलाते हैं।

If p(x) = q(x) × r(x), then q(x) and r(x) are factors of p(x).

9. बहुपदों का भागफल प्रमेय (Division Algorithm for Polynomials)

भागफल प्रमेय (Division Algorithm):

यदि p(x) एवं g(x) दो बहुपद हैं, और g(x) ≠ 0, तो p(x) = g(x) × q(x) + r(x) जहाँ,

q(x) = भागफल (quotient)
r(x) = शेषफल (remainder), और r(x) का घात < g(x) का घात

Example: p(x) = x³ - 3x² + 5x - 3, g(x) = x - 1 भाग दें (Divide): x³ - 3x² + 5x - 3 ÷ (x - 1)

x³ ÷ x = x²

x² × (x - 1) = x³ - x² घटाएँ: (x³ - 3x² + 5x - 3) -(x³ - x²) = -2x² + 5x - 3

-2x² ÷ x = -2x

-2x × (x - 1) = -2x² + 2x घटाएँ: (-2x² + 5x - 3) -(-2x² + 2x) = 3x - 3

3x ÷ x = 3

3 × (x - 1) = 3x - 3 घटाएँ: (3x - 3) - (3x - 3) = 0

तो भागफल (Quotient) q(x) = x² - 2x + 3, शेषफल (Remainder) r(x) = 0

10. बहुपदों के ग्राफ (Graphs of Polynomials) [सारांश]

रैखिक बहुपद का ग्राफ: सीधी रेखा
द्विघात बहुपद का ग्राफ: पराबोला (U-shape)
शून्य बहुपद का ग्राफ: x-अक्ष पर एक बिंदु

Linear polynomials: straight line, Quadratic: parabola, Zero polynomial: single point on x-axis.

11. बहुपदों की समानता (Equality of Polynomials)

यदि सभी पदों के समान घात के गुणांक बराबर हैं, तो बहुपद समान कहे जाते हैं।

If the coefficients of like powers of the variable are equal in two polynomials, then they are said to be equal.

12. बहुपदों का अनुप्रयोग (Applications of Polynomials)

समीकरण हल करना
भौतिकी और अर्थशास्त्र में समस्याओं का गणितीय मॉडल
ज्यामिति में क्षेत्रफल, परिमाप, आदि की गणना

To solve equations, model real-life problems, calculate area, perimeter, etc.

📚 हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1: बताइए कि निम्नलिखित बहुपद हैं या नहीं:

(a) 3x² - 2x + 1 (b) x⁻¹ + 2 (c) 4x³ + 5x² + 1 (d) 5/x + 2

हल: (a) बहुपद (घातें पूर्णांक और गैर-ऋणात्मक हैं) (b) बहुपद नहीं (x⁻¹ में घात ऋणात्मक है) (c) बहुपद (सभी घातें पूर्णांक और गैर-ऋणात्मक हैं) (d) बहुपद नहीं (5/x = 5x⁻¹, घात ऋणात्मक)

उदाहरण 2: बहुपद p(x) = x² + 2x + 1 के लिए p(3) ज्ञात करें।

हल: p(3) = (3)² + 2×3 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16

उदाहरण 3: निम्नलिखित बहुपदों का जोड़ करें:

(a) (2x² + 3x + 1) + (x² + x + 4)

हल: = (2x² + x²) + (3x + x) + (1 + 4) = 3x² + 4x + 5

उदाहरण 4: p(x) = x² - 4x + 3 का शून्य ज्ञात करें।

हल: p(x) = 0 x² - 4x + 3 = 0 x² - 3x - x + 3 = 0 x(x - 3) - 1(x - 3) = 0 (x - 3)(x - 1) = 0 x = 3, x = 1 अर्थात्, शून्य हैं 3 और 1।

उदाहरण 5: x³ - 2x² + 4x - 8 को x - 2 से भाग देकर भागफल और शेषफल ज्ञात करें।

हल: x³ - 2x² + 4x - 8 ÷ (x - 2)

x³ ÷ x = x²

x² × (x - 2) = x³ - 2x² घटाएँ: (x³ - 2x² + 4x - 8) -(x³ - 2x²) = 4x - 8

4x ÷ x = 4

4 × (x - 2) = 4x - 8 घटाएँ: (4x - 8) - (4x - 8) = 0

भागफल (Quotient): x² + 4 शेषफल (Remainder): 0

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

बहुपद केवल उन व्यंजकों को कहते हैं जिनमें चर की घात पूर्णांक और गैर-ऋणात्मक हो।

Polynomials have variables raised only to non-negative integer powers.

बहुपद के हर पद में चर और उसका गुणांक होता है।

Each term has a variable and coefficient.

बहुपद की घात, चर की सबसे बड़ी घात होती है।

Degree is the highest power of the variable.

एकपदी, द्विपदी, त्रिपदी — पदों की संख्या के आधार पर प्रकार।

Monomial, Binomial, Trinomial — based on the number of terms.

बहुपदों को केवल जोड़, घटाव, गुणा किया जा सकता है, भाग के लिए प्रमेय आवश्यक है।

Polynomials can be added, subtracted, multiplied; division needs a theorem.

यदि p(a) = 0, तो a बहुपद p(x) का शून्य कहलाता है।

If p(a) = 0, then 'a' is a root of p(x).

बहुपदों का भागफल प्रमेय: p(x) = g(x) × q(x) + r(x), r(x) का घात < g(x) का घात।

Division algorithm.

सभी स्थिरांक बहुपदों की घात 0 होती है।

Degree of a constant polynomial is 0.

शून्य बहुपद की घात अनिर्धारित (undefined) होती है।

Degree of zero polynomial is undefined.

बहुपदों के ग्राफ उनके घातों पर निर्भर करते हैं।

The graph depends on the degree.

दो बहुपद तभी समान होते हैं जब उनके सभी समान घातों के गुणांक बराबर हों।

Equality of polynomials.

बहुपदों का वास्तविक जीवन में कई अनुप्रयोग है।

Applications in real life.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक (S.No.) | गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |---|---------------------------------|-----------------------------------------| | 1 | ऋणात्मक घात वाले व्यंजक को बहुपद मानना | केवल गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घात मान्य है (Only non-negative integer powers allowed) | | 2 | बहुपद में चर के हर पद को जोड़ते समय घातों पर ध्यान न देना | समान घातों वाले पद ही जोड़े जाएँ (Add only like terms) | | 3 | भागफल प्रमेय में शेषफल का घात जाँचना भूल जाना | शेषफल का घात, भाजक के घात से कम होना चाहिए (Degree of remainder < degree of divisor) | | 4 | बहुपद के शून्य निकालने में अंकगणितीय गलतियाँ | सही तरीके से समीकरण हल करें (Solve equations carefully) | | 5 | घात 0 तथा शून्य बहुपद में भ्रम | घात 0: स्थिरांक बहुपद, शून्य बहुपद की घात अनिर्धारित (Degree 0: constant; zero: undefined) | | 6 | बहुपदों का जोड़/घटाव करते समय चिन्ह (sign) में गलती | +, - का ध्यान रखें (Be careful with signs) | | 7 | किसी बहुपद के सभी पदों को जोड़ने में सह-गुणांक जोड़ना भूल जाना | सह-गुणांक को जोड़ना अनिवार्य (Always add coefficients) | | 8 | बहुपद का मान ज्ञात करते समय चर का मान ठीक से न रखना | चर का मान सही से रखें (Substitute variable value carefully) | | 9 | बहुपदों के ग्राफ की प्रकृति में भ्रम | घात के आधार पर ग्राफ की प्रकृति याद रखें (Remember graph type by degree) | | 10 | बहुपद के प्रकार (एकपदी, द्विपदी) में पदों की गिनती में गलती | पदों की सही गिनती करें (Count terms correctly) |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1-अंक (1 Mark)

x² + 2x + 1 में घात कितनी है?

What is the degree of x² + 2x + 1?

5x - 3y + 7 में कितने पद हैं?

How many terms are there in 5x - 3y + 7?

p(x) = x - 4 का शून्य क्या है?

What is the zero of p(x) = x - 4?

क्या 1/x एक बहुपद है?

Is 1/x a polynomial?

शून्य बहुपद का घात क्या होती है?

What is the degree of zero polynomial?

2-अंक (2 Marks)

निम्नलिखित में से कौन सा बहुपद नहीं है? क्यों?

(a) 3x² - 2x + 5 (b) x⁻² + 4x (c) 5 उत्तर दें। (Answer.)

p(x) = 2x² - 3x + 4 के लिए p(2) ज्ञात करें।

(Find p(2) for p(x) = 2x² - 3x + 4.)

(x² + 2x + 1) + (3x² - x + 5) जोड़कर सरल करें।

Add and simplify.

किसी बहुपद के दो शून्य 2 और -3 हैं। बहुपद लिखिए।

Write a polynomial having zeroes 2 and -3.

x³ - 8 को x - 2 से भाग देकर शेषफल ज्ञात करें।

Find the remainder when x³ - 8 is divided by x - 2.

5-अंक (5 Marks)

निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

(a) बहुपद क्या है? परिभाषा और उदाहरण। (b) बहुपदों के प्रकार लिखिए। उदाहरण सहित। (c) p(x) = x² - 2x - 3 के शून्य ज्ञात करें।

What is a polynomial? Definition and examples. Types of polynomials with examples. Find the zeroes of p(x) = x² - 2x - 3.

p(x) = x³ + 2x² - x + 1, g(x) = x + 1;

(a) p(x) को g(x) से भाग दें। (b) भागफल और शेषफल लिखें।

Divide and write quotient and remainder.

(a) बहुपदों का मान ज्ञात करने की विधि समझाइए।

(b) p(x) = 2x² - 5x + 3 के लिए p(-1), p(0), p(2) ज्ञात करें। (Find p(-1), p(0), p(2) for p(x) = 2x² - 5x + 3.)

Explain method to find value of a polynomial.

बहुपदों के जोड़, घटाव एवं गुणा की विधि समझाइए एवं उदाहरण दीजिए।

Explain addition, subtraction, multiplication of polynomials with examples.

बहुपदों के अनुप्रयोग (Applications of Polynomials) पर विस्तृत टिप्पणी लिखिए।

Write a detailed note on applications of polynomials.

📌 नोट:

यह अध्ययन-सामग्री RBSE कक्षा 9 गणित के "बहुपद" अध्याय को बोर्ड परीक्षा के लिए पूर्ण रूप से कवर करती है। अभ्यास प्रश्न, उदाहरण, और सूत्र NCERT एवं RBSE पैटर्न के अनुसार दिए गए हैं।

This study material comprehensively covers the "Polynomials" chapter in RBSE Class 9 Mathematics for board exam preparation, with solved examples, formulas, and exam-style questions as per NCERT & RBSE pattern.

(यह नोट्स 4000+ शब्दों की गहराई में विस्तार के साथ लिखे गए हैं। आवश्यकता अनुसार अतिरिक्त उदाहरण, प्रश्नोत्तर, या किसी उप-अध्याय की और गहराई के लिए कृपया पूछिए।)

These notes are written in NCERT-quality, bilingual, and exam-focused detail. For further depth in any subtopic, ask anytime!

मुख्य बिंदु (Key Points)

बहुपद एक बीजीय अभिव्यक्ति है जिसमें चर और गुणांक होते हैं, जिन्हें जोड़, घटाव और गुणा द्वारा संयोजित किया जाता है तथा चर के घात धनात्मक पूर्णांक होते हैं।
बहुपद का घातांक उस अभिव्यक्ति में चर का सबसे बड़ा घात होता है।
घात 1 का बहुपद रेखीय बहुपद कहलाता है।
घात 2 का बहुपद द्विघात बहुपद कहलाता है।
घात 3 का बहुपद घनात्मक बहुपद कहलाता है।
सांवत बहुपद (constant polynomial) का घातांक 0 होता है।
एक चर x में बहुपद का सामान्य रूप a₀ + a₁x + a₂x² + ... + aₙxⁿ होता है, जहाँ a₀, a₁, ..., aₙ वास्तविक संख्याएँ हैं और aₙ ≠ 0।
बहुपद का शून्य वह मान है जिसके लिए बहुपद का मान शून्य हो जाता है।
बहुपदों को जोड़ा, घटाया और गुणा किया जा सकता है; परिणाम भी हमेशा बहुपद ही होता है।
किसी बहुपद को अपने से कम घातांक वाले गैर-शून्य बहुपद से भाग देने पर भागफल और शेषफल प्राप्त होते हैं।
एक पद वाले बहुपद को एकपदी (monomial), दो पद वाले को द्विपदी (binomial) और तीन पद वाले को त्रिपदी (trinomial) कहते हैं।
किसी चर के निश्चित मान पर बहुपद का मान, उस बिंदु पर बहुपद का मान कहलाता है।

इस अध्याय से अभ्यास प्रश्न

एक नियतांक बहुपद की घात क्या होती है?

2
0
परिभाषित नहीं
1

उत्तर देखें

सही उत्तर: 0

शून्य के अतिरिक्त नियतांक की घात 0 होती है।

4x^2 + 3x + 5 में x^2 का गुणांक क्या है?

उत्तर देखें

सही उत्तर: 4

x^2 का गुणांक 4 है।

निम्नलिखित में से कौन सा बहुपद नहीं है?

x^2 - x + 1
x^{-1} + 3
4x + 5
x^3 + 2x

उत्तर देखें

RBSE कक्षा 9 गणित के ये नोट्स किसके लिए हैं?

ये नोट्स RBSE (राजस्थान बोर्ड) कक्षा 9 के हिंदी माध्यम के विद्यार्थियों के लिए हैं, जो गणित को आसान भाषा में समझना चाहते हैं।

क्या पूरे नोट्स मुफ्त हैं?

पहले अध्याय के पूरे नोट्स यहाँ मुफ्त उपलब्ध हैं। बाकी अध्याय TopperApp में मुफ्त पढ़ सकते हैं।

क्या ये नोट्स नवीनतम RBSE सिलेबस के अनुसार हैं?

हाँ, ये नोट्स RBSE के वर्तमान सिलेबस और परीक्षा पैटर्न के अनुसार तैयार किए गए हैं।

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