रेखाएं और कोण
Lines and Angles
रेखाएं और कोण (Lines and Angles)
एक नज़र में:
यह अध्याय हमें रेखाओं, रेखा खंडों, किरणों, कोणों, उनके प्रकार, और रेखाओं के बीच बनने वाले कोणों के गुणों की जानकारी देता है। साथ ही, विभिन्न रेखाओं की आपसी स्थिति तथा उनके द्वारा बनाए गए कोणों की विशेषताओं का अध्ययन भी कराया गया है।
This chapter introduces us to lines, line segments, rays, angles, their types, and properties of angles formed by lines. It also explains the relationships and characteristics of angles formed by different lines.
📌 अध्याय का परिचय
रेखाएं और कोण ज्यामिति (Geometry) के आधारभूत तत्व हैं। इस अध्याय में हम रेखा, रेखाखंड, किरण, कोण, उनके प्रकार, तथा दो या अधिक रेखाओं के परस्पर संबंध और उनके द्वारा बनाए गए कोणों के विशेष गुणों का अध्ययन करेंगे। यह ज्ञान आगे की कक्षाओं में त्रिभुज, चतुर्भुज, बहुभुज आदि के अध्ययन के लिए अत्यंत आवश्यक है।
Lines and angles are the basic elements of geometry. In this chapter, we will study lines, line segments, rays, angles, their types, and the relationships between two or more lines and the special properties of the angles formed. This knowledge is essential for the study of triangles, quadrilaterals, polygons, etc., in higher classes.
📖 प्रमुख विषयवस्तु (Major Topics)
1. रेखा, रेखाखंड, और किरण (Line, Line Segment, and Ray)
परिभाषाएँ (Definitions)
- बिंदु (Point):
वह आकृति जिसका केवल स्थान होता है, आकार या आयतन नहीं होता।
A figure which has only position, but no size or dimension.
- रेखा (Line):
एक सीधी आकृति जो दोनों ओर अनंत तक फैली रहती है।
A straight figure that extends endlessly in both directions.
- रेखाखंड (Line Segment):
रेखा का वह भाग जिसके दो निश्चित सिरे होते हैं।
A part of a line that has two fixed endpoints.
- किरण (Ray):
रेखा का वह भाग, जिसका एक सिरा निश्चित और दूसरा अनंत तक फैला रहता है।
A part of a line with one fixed endpoint, extending endlessly in one direction.
चित्रण (Illustration)
- A———B: रेखाखंड AB (Line segment AB)
- →AB: किरण AB (Ray AB)
- ←——→AB: रेखा AB (Line AB)
उदाहरण (Example)
- यदि दो बिंदु A और B दिए गए हैं, तो उनके बीच का भाग 'रेखाखंड AB' कहलाता है।
If two points A and B are given, the portion between them is called line segment AB.
2. कोण (Angle)
परिभाषा (Definition)
दो किरणें, जो एक ही बिंदु से निकलती हैं, उनके बीच का क्षेत्रफल कोण कहलाता है।
An angle is formed when two rays originate from the same point; the region between them is called the angle.
घटक (Components)
- शिखर (Vertex): जहाँ से दोनों किरणें निकलती हैं। (The common starting point)
- बाहुएँ (Arms): दोनों किरणें (The two rays)
कोण का नामकरण (Naming Angles)
कोण को ∠ABC या ∠C (जहाँ B शिखर है) से दर्शाते हैं।
Angle is denoted as ∠ABC or ∠C, where B is the vertex.
कोण की माप (Measurement of Angles)
कोण को डिग्री (°) में मापा जाता है।
Angle is measured in degrees (°).
3. कोणों के प्रकार (Types of Angles)
| प्रकार (Type) | परिभाषा (Definition) | सीमा (Range) | |----------------------|--------------------------------------------------------|---------------------| | न्यूनकोण (Acute) | 0° से अधिक, 90° से कम | 0° < θ < 90° | | समकोण (Right) | ठीक 90° | θ = 90° | | अधिककोण (Obtuse) | 90° से अधिक, 180° से कम | 90° < θ < 180° | | समकोण (Straight) | ठीक 180° | θ = 180° | | प्रावर्त्य कोण (Reflex)| 180° से अधिक, 360° से कम | 180° < θ < 360° | | पूर्ण कोण (Complete) | ठीक 360° | θ = 360° |
चित्रण (Illustration)
- न्यूनकोण: ∠30°
- समकोण: ∠90°
- अधिककोण: ∠120°
- समकोण: ∠180°
- प्रावर्त्य कोण: ∠210°
- पूर्ण कोण: ∠360°
4. रेखाओं की आपसी स्थिति (Position of Lines)
4.1 समांतर रेखाएँ (Parallel Lines)
दो रेखाएँ जो एक-दूसरे को कभी नहीं काटतीं, उन्हें समांतर रेखाएँ कहते हैं।
Two lines that never intersect each other are called parallel lines.
चिह्न: AB ∥ CD
4.2 प्रतिच्छेदित रेखाएँ (Intersecting Lines)
दो रेखाएँ जो किसी एक बिंदु पर मिलती हैं, प्रतिच्छेदित रेखाएँ कहलाती हैं।
Two lines that meet at a point are called intersecting lines.
4.3 लंबर रेखाएँ (Perpendicular Lines)
दो रेखाएँ जो एक-दूसरे को 90° के कोण पर काटती हैं, लंबर रेखाएँ कहलाती हैं।
Two lines that intersect at right angles (90°) are called perpendicular lines.
5. कोणों के संबंध (Relationships of Angles)
5.1 पूरक कोण (Complementary Angles)
दो कोण जिनका योग 90° हो।
Two angles whose sum is 90°.
उदाहरण: ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠A + ∠B = 90°
5.2 अनुपूरक कोण (Supplementary Angles)
दो कोण जिनका योग 180° हो।
Two angles whose sum is 180°.
उदाहरण: ∠A = 110°, ∠B = 70°, ∠A + ∠B = 180°
5.3 रैखिक युग्म (Linear Pair)
दो कोण जो एक ही रेखा पर स्थित हों और उनका योग 180° हो।
Two adjacent angles whose non-common arms form a straight line and sum is 180°.
5.4 आसन्न कोण (Adjacent Angles)
दो कोण जिनका एक भुजा सामान्य हो तथा शिखर एक ही हो, लेकिन अन्य भुजाएँ विपरीत दिशा में हों।
Two angles having a common vertex and a common arm, but the other arms are on opposite sides.
5.5 समकोणिक कोण (Vertically Opposite Angles)
जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो उनके प्रतिकूल कोण आपस में बराबर होते हैं।
When two lines intersect, the vertically opposite angles formed are equal.
सिद्धांत (Theorem): यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो बनने वाले समकोणिक कोण समान होते हैं।
If two lines intersect, then each pair of vertically opposite angles are equal.
6. समांतर रेखाएँ और एक अनुप्रस्थ रेखा (Parallel Lines and a Transversal)
अनुप्रस्थ रेखा (Transversal)
एक रेखा जो दो या दो से अधिक रेखाओं को दो विभिन्न बिंदुओं पर काटती है, अनुप्रस्थ रेखा कहलाती है।
A line that intersects two or more lines at different points is called a transversal.
समांतर रेखाओं पर अनुप्रस्थ रेखा के कारण बनने वाले कोण (Angles formed by a transversal with parallel lines):
6.1 अंतः कोण (Interior Angles)
अनुप्रस्थ रेखा द्वारा समांतर रेखाओं के बीच बनने वाले कोण।
6.2 बाह्य कोण (Exterior Angles)
अनुप्रस्थ रेखा द्वारा समांतर रेखाओं के बाहर बनने वाले कोण।
6.3 सहसंस्थित कोण (Corresponding Angles)
जब अनुप्रस्थ रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो समान स्थिति में बनने वाले कोण सहसंस्थित कहलाते हैं।
Corresponding angles are those which are in the same relative position at each intersection.
गुण (Property): समांतर रेखाओं पर सहसंस्थित कोण समान होते हैं।
Corresponding angles are equal.
6.4 वैकल्पिक अंतः कोण (Alternate Interior Angles)
दोनों समांतर रेखाओं के बीच, अनुप्रस्थ रेखा के विपरीत भुजाओं पर बनने वाले कोण वैकल्पिक अंतः कोण कहलाते हैं।
Angles on opposite sides of the transversal but inside the parallel lines.
गुण (Property): समांतर रेखाओं पर वैकल्पिक अंतः कोण समान होते हैं।
Alternate interior angles are equal.
6.5 सहपार्श्वीय अंतः कोण (Co-interior/Consecutive Interior Angles)
दोनों समांतर रेखाओं के बीच, अनुप्रस्थ रेखा के एक ही ओर बनने वाले कोण सहपार्श्वीय अंतः कोण कहलाते हैं।
Angles on the same side of the transversal and inside the parallel lines.
गुण (Property): समांतर रेखाओं पर सहपार्श्वीय अंतः कोणों का योग 180° होता है।
Sum of co-interior angles is 180°.
संक्षिप्त सूत्र (Quick Formulas):
- सहसंस्थित कोण = बराबर
Corresponding angles = Equal
- वैकल्पिक अंतः कोण = बराबर
Alternate interior angles = Equal
- सहपार्श्वीय अंतः कोणों का योग = 180°
Sum of co-interior angles = 180°
7. प्रमेय (Theorems)
प्रमेय 1: समकोणिक कोणों की समानता (Equality of Vertically Opposite Angles)
वाक्य: यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो बनने वाले समकोणिक कोण आपस में बराबर होते हैं।
If two lines intersect, each pair of vertically opposite angles are equal.
प्रमाण (Proof): माना दो रेखाएँ AB और CD बिंदु O पर काटती हैं। ∠AOC और ∠BOD समकोणिक हैं। रेखा AB पर: ∠AOC + ∠BOD = 180° (रैखिक युग्म) रेखा CD पर: ∠AOC + ∠AOD = 180° (रैखिक युग्म) ∴ ∠AOC + ∠BOD = ∠AOC + ∠AOD ∴ ∠BOD = ∠AOD इसी प्रकार, ∠AOC = ∠BOC
प्रमेय 2: समांतर रेखाओं पर सहसंस्थित कोण समान होते हैं (Corresponding Angles are Equal)
वाक्य: यदि एक अनुप्रस्थ रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो सहसंस्थित कोण समान होते हैं।
If a transversal cuts two parallel lines, the corresponding angles are equal.
प्रमाण (Proof): माना AB ∥ CD, अनुप्रस्थ रेखा EF दोनों को क्रमशः P और Q पर काटती है। ∠APE = ∠CQF (सहसंस्थित कोण) समांतर रेखाओं के कारण, ∠APE = ∠CQF
प्रमेय 3: समांतर रेखाओं पर वैकल्पिक अंतः कोण समान होते हैं (Alternate Interior Angles are Equal)
वाक्य: यदि एक अनुप्रस्थ रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो वैकल्पिक अंतः कोण समान होते हैं।
If a transversal cuts two parallel lines, alternate interior angles are equal.
प्रमेय 4: समांतर रेखाओं पर सहपार्श्वीय अंतः कोणों का योग 180° होता है (Co-interior Angles are Supplementary)
वाक्य: यदि एक अनुप्रस्थ रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो सहपार्श्वीय अंतः कोणों का योग 180° होता है।
If a transversal cuts two parallel lines, the sum of co-interior angles is 180°.
8. हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 1
प्रश्न: यदि ∠A = 65°, तो इसका पूरक कोण ज्ञात कीजिए।
Find the complement of ∠A = 65°.
उत्तर: पूरक कोण = 90° – ∠A = 90° – 65° = 25°
उदाहरण 2
प्रश्न: यदि दो समांतर रेखाओं को अनुप्रस्थ रेखा काटती है और एक सहसंस्थित कोण 120° है, तो अन्य सहसंस्थित कोण ज्ञात कीजिए।
If a transversal cuts two parallel lines and a corresponding angle is 120°, find the other corresponding angles.
उत्तर: सभी सहसंस्थित कोण समान होंगे = 120°
उदाहरण 3
प्रश्न: दो कोण अनुपूरक हैं, एक कोण 110° है। दूसरा कोण ज्ञात कीजिए।
Two angles are supplementary, one is 110°. Find the other.
उत्तर: दूसरा कोण = 180° – 110° = 70°
उदाहरण 4
प्रश्न: दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। एक समकोणिक कोण 40° है। अन्य समकोणिक कोण ज्ञात कीजिए।
Two lines intersect at a point. One vertically opposite angle is 40°. Find the other.
उत्तर: समकोणिक कोण समान हैं। दूसरा कोण = 40°
उदाहरण 5
प्रश्न: एक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है। एक सहपार्श्वीय अंतः कोण 125° है। दूसरे सहपार्श्वीय अंतः कोण की माप ज्ञात कीजिए।
A transversal cuts two parallel lines. One co-interior angle is 125°. Find the other.
उत्तर: दोनों का योग = 180° दूसरा कोण = 180° – 125° = 55°
उदाहरण 6
प्रश्न: यदि ∠BOC = 3x + 10°, ∠AOD = 2x + 50°, और ∠BOC तथा ∠AOD समकोणिक हैं, तो x ज्ञात कीजिए।
If ∠BOC = 3x + 10°, ∠AOD = 2x + 50°, and they are vertically opposite, find x.
उत्तर: ∠BOC = ∠AOD 3x + 10 = 2x + 50 3x – 2x = 50 – 10 x = 40°
उदाहरण 7
प्रश्न: एक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है। एक वैकल्पिक अंतः कोण 78° है। दूसरे वैकल्पिक अंतः कोण की माप ज्ञात कीजिए।
A transversal cuts two parallel lines. One alternate interior angle is 78°. Find the other.
उत्तर: दोनों वैकल्पिक अंतः कोण समान होते हैं। दूसरा कोण = 78°
उदाहरण 8
प्रश्न: एक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है। एक सहसंस्थित कोण 95° है। सभी अंतः कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
A transversal cuts two parallel lines. A corresponding angle is 95°. Find all interior angles.
उत्तर: सहसंस्थित कोण = 95° वैकल्पिक अंतः कोण = 95° सहपार्श्वीय अंतः कोण = 180° – 95° = 85° अन्य वैकल्पिक अंतः कोण = 85°
9. प्रश्न-प्रकार (Types of Questions)
- सीधे सूत्र आधारित (Direct formula based)
- चित्र प्रश्न (Diagram based)
- सिद्धांत/प्रमेय आधारित (Theorem/Proof based)
- संकल्पनात्मक (Conceptual)
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)
- रेखा दोनों ओर अनंत तक फैली रहती है, जबकि रेखाखंड के दो निश्चित सिरे होते हैं।
A line extends endlessly in both directions, while a line segment has two fixed endpoints.
- कोण दो किरणों के बीच का क्षेत्र होता है, जो एक ही बिंदु से निकलती हैं।
An angle is the region between two rays originating from the same point.
- न्यूनकोण < 90°, समकोण = 90°, अधिककोण > 90° but < 180°, समकोण = 180°, प्रावर्त्य कोण > 180° but < 360°, पूर्ण कोण = 360°।
(Acute < 90°, Right = 90°, Obtuse > 90° < 180°, Straight = 180°, Reflex > 180° < 360°, Complete = 360°.)
- दो समकोणिक कोण सदैव बराबर होते हैं।
Vertically opposite angles are always equal.
- दो कोण पूरक हैं यदि उनका योग 90° है, अनुपूरक हैं यदि योग 180° है।
Angles are complementary if sum is 90°, supplementary if sum is 180°.
- समांतर रेखाओं पर सहसंस्थित कोण, वैकल्पिक अंतः कोण बराबर होते हैं।
On parallel lines, corresponding and alternate interior angles are equal.
- सहपार्श्वीय अंतः कोणों का योग 180° होता है।
Sum of co-interior angles is 180°.
- रैखिक युग्म के दोनों कोणों का योग 180° होता है।
Sum of angles in a linear pair is 180°.
- लंबर रेखाएँ एक-दूसरे को 90° पर काटती हैं।
Perpendicular lines intersect at 90°.
- यदि दो रेखाएँ एक ही समांतर रेखा के समांतर हैं, तो वे आपस में भी समांतर होती हैं।
If two lines are parallel to the same line, they are parallel to each other.
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| क्रमांक | गलती (Mistake in Hindi) | सही तरीका (Correct Way in English) | |--------|----------------------------------------------------------------------------------------|------------------------------------| | 1 | रेखा और रेखाखंड में भ्रम होना। | Line is infinite both sides, segment has endpoints. | | 2 | पूरक और अनुपूरक कोणों को आपस में बदल देना। | Complementary = 90°, Supplementary = 180°. | | 3 | समांतर रेखाओं के सभी कोणों को बराबर मान लेना। | Only corresponding & alternate interior angles are equal. | | 4 | समकोणिक कोणों को बराबर न मानना। | Vertically opposite angles are always equal. | | 5 | सहपार्श्वीय अंतः कोणों को बराबर मान लेना। | Co-interior angles are supplementary, not equal. | | 6 | अनुप्रस्थ रेखा की पहचान न कर पाना। | Transversal is the line cutting two or more lines. | | 7 | दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु पर बनने वाले कोणों का योग 360° न मानना। | Sum of all angles at intersection is 360°. | | 8 | केवल एक कोण देखकर अन्य कोणों की माप गलत निकालना। | Use correct properties/theorems to calculate angles. | | 9 | रैखिक युग्म का योग 90° मान लेना। | Linear pair sum is 180°, not 90°. | | 10 | चित्र में रेखाओं या कोणों के नाम गलत लिखना। | Name lines/angles as per their arms and vertices. |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)
1 अंक वाले प्रश्न (1-mark Questions)
- रेखा की परिभाषा लिखिए।
Define a line.
- समकोण की माप कितनी होती है?
What is the measure of a right angle?
- दो समांतर रेखाएँ क्या कहलाती हैं?
What are two lines that never meet called?
- पूरक कोणों का योग कितना होता है?
What is the sum of complementary angles?
- रैखिक युग्म के दोनों कोणों का योग कितना होता है?
What is the sum of the angles in a linear pair?
2 अंक वाले प्रश्न (2-mark Questions)
- ∠A = 40°, ∠B उसका अनुपूरक कोण है। ∠B ज्ञात कीजिए।
If ∠A = 40°, and ∠B is its supplementary angle, find ∠B.
- दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। एक समकोणिक कोण 70° है। सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए।
Two lines intersect at a point. One vertically opposite angle is 70°. Find all angles.
- एक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है। एक सहपार्श्वीय अंतः कोण 110° है। दूसरा ज्ञात कीजिए।
A transversal cuts two parallel lines. One co-interior angle is 110°. Find the other.
- सहसंस्थित कोण को परिभाषित कीजिए।
Define corresponding angles.
- समकोणिक कोणों के लिए प्रमेय लिखिए।
State the theorem of vertically opposite angles.
5 अंक वाले प्रश्न (5-mark Questions)
- “यदि एक अनुप्रस्थ रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो सहसंस्थित कोण समान होते हैं।” प्रमेय का प्रमाण दीजिए।
"If a transversal cuts two parallel lines, the corresponding angles are equal." Prove the theorem.
- निम्नलिखित चित्र में, AB ∥ CD, EF अनुप्रस्थ रेखा है। ∠AGE = 120°, ∠GHD ज्ञात कीजिए।
In the figure, AB ∥ CD, EF is the transversal. If ∠AGE = 120°, find ∠GHD.
- कोई एक चित्र बनाइए जिसमें दो समांतर रेखाएँ और एक अनुप्रस्थ रेखा हो। उसमें सभी प्रकार के कोणों को नामांकित कर उनकी विशेषताएँ लिखिए।
Draw a figure showing two parallel lines and a transversal. Name all types of angles and write their properties.
- यदि दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो बनने वाले सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए, जब एक कोण 50° है।
If two lines intersect at a point, find the measures of all angles if one angle is 50°.
- एक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है। सहपार्श्वीय अंतः कोणों के संबंध को सिद्ध कीजिए।
A transversal cuts two parallel lines. Prove the relation between co-interior angles.
अध्याय सारांश (Chapter Summary)
- रेखाएं और कोण ज्यामिति की मूल अवधारणाएं हैं।
- दो रेखाओं के परस्पर संबंध से विभिन्न प्रकार के कोण बनते हैं।
- कोणों के पूरक, अनुपूरक, समकोणिक, सहसंस्थित, वैकल्पिक अंतः और सहपार्श्वीय अंतः प्रकार होते हैं।
- समांतर रेखाओं पर अनुप्रस्थ रेखा के कारण बनने वाले कोणों के विशेष गुण होते हैं जो ज्यामिति में आगे उपयोगी हैं।
Practice Tip: चित्रों की सहायता से रेखाओं और कोणों के प्रकार को समझना और पहचानना अधिक आसान होता है।
Using diagrams makes it easier to understand and identify types of lines and angles.
अध्याय के अंत में छात्र:
- रेखा, रेखाखंड, किरण, कोण और उनके प्रकार स्पष्ट रूप से परिभाषित कर सकेंगे।
- कोणों के आपसी संबंध और प्रमेयों को प्रमाण सहित समझ सकेंगे।
- समांतर रेखाओं और अनुप्रस्थ रेखा से बनने वाले कोणों की पहचान और गणना कर सकेंगे।
- बोर्ड परीक्षा के लिए आवश्यक सभी प्रश्नों का अभ्यास कर सकेंगे।
मुख्य बिंदु (Key Points)
- रेखा एक सीधी पथ है जो दोनों दिशाओं में अनंत तक बढ़ती है।
- रेखाखंड के दो छोर होते हैं और इसकी निश्चित लंबाई होती है।
- जब दो किरणें एक सामान्य छोर (शिखर) पर मिलती हैं तो कोण बनता है।
- एक सीधी रेखा पर बने सभी कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
- जब दो रेखाएँ प्रतिच्छेदित होती हैं तो उनके समकोणीय विपरीत कोण समान होते हैं।
- समीपवर्ती कोणों का एक सामान्य शिखर और एक सामान्य भुजा होती है।
- रेखीय युग्म कोण समीपवर्ती होते हैं और उनका योग 180 डिग्री होता है।
- यदि एक अनुप्रस्थ दो समांतर रेखाओं को प्रतिच्छेदित करती है, तो समान्तर कोण बराबर होते हैं।
- जब एक अनुप्रस्थ दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो अंतःस्थित विकल्प कोण समान होते हैं।
- अनुप्रस्थ की एक ही ओर के अंतःस्थित कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
- यदि विकल्प अंतःस्थित कोणों का एक युग्म बराबर है, तो रेखाएँ समांतर होती हैं।
- कोण द्विभाजक किसी कोण को दो समान भागों में विभाजित करता है।
Key Points
- A line is a straight path that extends endlessly in both directions.
- A line segment has two endpoints and a definite length.
- An angle is formed when two rays meet at a common endpoint called the vertex.
- The sum of all angles on a straight line is 180 degrees.
- Vertically opposite angles are equal when two lines intersect.
- Adjacent angles have a common vertex and a common arm.
- Linear pair angles are adjacent and their sum is 180 degrees.
- If a transversal intersects two parallel lines, corresponding angles are equal.
- Alternate interior angles are equal when a transversal cuts two parallel lines.
- The sum of the interior angles on the same side of a transversal is 180 degrees.
- If a pair of alternate interior angles are equal, the lines are parallel.
- The angle bisector divides an angle into two equal parts.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
यदि दो कोणों का योग 90° हो, तो उन्हें क्या कहते हैं?
यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं, तो कितने जोड़े विपरीत शीर्ष कोण बनते हैं?
निम्नलिखित में से कौन-सा जोड़ा सदैव पूरक होता है?
समान्तर रेखाओं के लिए कौन-सा कथन सत्य है?
सीधी रेखा पर बने सभी कोणों का योग कितना होता है?
महत्वपूर्ण विषयपरक प्रश्न
अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
- रेखा की परिभाषा लिखिए 1 अंक नोट्स
- समकोण की माप कितनी होती है? 1 अंक नोट्स
- दो समांतर रेखाएँ क्या कहलाती हैं? 1 अंक नोट्स
- पूरक कोणों का योग कितना होता है? 1 अंक नोट्स
- रैखिक युग्म के दोनों कोणों का योग कितना होता है? 1 अंक नोट्स
लघु उत्तरीय प्रश्न
- ∠A = 40°, ∠B उसका अनुपूरक कोण है। ∠B ज्ञात कीजिए 2 अंक नोट्स
- दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। एक समकोणिक कोण 70° है। सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए 2 अंक नोट्स
- एक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है। एक सहपार्श्वीय अंतः कोण 110° है। दूसरा ज्ञात कीजिए 2 अंक नोट्स
- सहसंस्थित कोण को परिभाषित कीजिए 2 अंक नोट्स
- समकोणिक कोणों के लिए प्रमेय लिखिए 2 अंक नोट्स
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
- “यदि एक अनुप्रस्थ रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो सहसंस्थित कोण समान होते हैं।” प्रमेय का प्रमाण दीजिए 5 अंक नोट्स
- निम्नलिखित चित्र में, AB ∥ CD, EF अनुप्रस्थ रेखा है। ∠AGE = 120°, ∠GHD ज्ञात कीजिए 5 अंक नोट्स
- कोई एक चित्र बनाइए जिसमें दो समांतर रेखाएँ और एक अनुप्रस्थ रेखा हो। उसमें सभी प्रकार के कोणों को नामांकित कर उनकी विशेषताएँ लिखिए 5 अंक नोट्स
- यदि दो रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो बनने वाले सभी कोणों की माप ज्ञात कीजिए, जब एक कोण 50° है 5 अंक नोट्स
- एक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है। सहपार्श्वीय अंतः कोणों के संबंध को सिद्ध कीजिए 5 अंक नोट्स
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रेखाएं और कोण (Lines and Angles) एक नज़र में: यह अध्याय हमें रेखाओं, रेखा खंडों, किरणों, कोणों, उनके प्रकार, और रेखाओं के बीच बनने वाले कोणों के गुणों की…
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