प्रायिकता
Probability
प्रायिकता (Probability)
एक नज़र में:
प्रायिकता गणित की वह शाखा है, जिसमें हम किसी घटना के घटित होने की संभावना का अध्ययन करते हैं। इस अध्याय में, आप प्रायिकता की मूलभूत संकल्पना, शब्दावली, सूत्र, तथा विभिन्न प्रकार के प्रश्नों को हल करने की विधि जानेंगे।
Probability is the branch of mathematics where we study the chance of occurrence of an event. In this chapter, you will learn the basic concepts, terminology, formulas, and methods to solve various types of probability questions.
📌 अध्याय का परिचय (Chapter Introduction)
प्रायिकता का अर्थ है, किसी घटना के घटित होने की संभावना। वास्तविक जीवन में अनेक स्थानों पर हमें किसी घटना की संभावना का अनुमान लगाना पड़ता है, जैसे - सिक्का उछालने पर हेड या टेल आना, पासा फेंकने पर कोई संख्या आना, लॉटरी में जीतना आदि।
Probability means the chance of occurrence of an event. In real life, we often estimate the probability of events, such as getting heads or tails when tossing a coin, getting a number when throwing a die, winning a lottery, etc.
प्रायिकता के अध्ययन से हम यह जान सकते हैं कि किसी विशेष घटना के घटित होने की संभावना कितनी है।
Through the study of probability, we can know how likely a particular event is to occur.
📖 मुख्य विषय (Main Topics)
1. प्रायिकता की आवश्यकता (Need of Probability)
रोजमर्रा की जिंदगी में हम बहुत सी ऐसी घटनाओं का सामना करते हैं, जिनके परिणाम निश्चित नहीं होते। उदाहरण के लिए, बादलों को देखकर बारिश होगी या नहीं, परीक्षा में पास होंगे या नहीं, आदि।
In daily life, we face many situations where the outcome is not certain. For example, will it rain on seeing clouds, will you pass the exam, etc.
प्रायिकता हमें ऐसे अनिश्चित परिणामों के बारे में गणितीय रूप से अनुमान लगाने में मदद करती है।
Probability helps us to mathematically estimate such uncertain outcomes.
2. प्रायिकता की परिभाषा (Definition of Probability)
परिभाषा: किसी घटना के घटित होने की संभावना को प्रायिकता कहते हैं।
The chance of occurrence of an event is called probability.
गणितीय परिभाषा (Mathematical Definition): यदि किसी प्रयोग में सभी परिणाम (outcomes) समान रूप से संभाव्य हों, तो किसी घटना E की प्रायिकता,
\[ \boxed{P(E) = \frac{\text{E के अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल संभावित परिणामों की संख्या}}} \]
(If all outcomes of an experiment are equally likely, then probability of an event E is \(P(E) = \frac{\text{Number of favourable outcomes for E}}{\text{Total number of possible outcomes}}\))
3. मुख्य शब्दावली (Key Terminology)
(i) यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment)
वह प्रयोग जिसका परिणाम निश्चित न हो, उसे यादृच्छिक प्रयोग कहते हैं।
An experiment whose outcome is not certain is called a random experiment.
उदाहरण (Example): सिक्का उछालना, पासा फेंकना, ताश की एक पत्ती निकालना आदि।
Tossing a coin, throwing a die, drawing a card from a deck, etc.
(ii) परिणाम (Outcome)
प्रयोग के प्रत्येक संभावित परिणाम को परिणाम कहते हैं।
Each possible result of an experiment is called an outcome.
उदाहरण (Example): एक सिक्का उछालने पर दो परिणाम - हेड (Head) या टेल (Tail)।
When tossing a coin, two outcomes - Head or Tail.
(iii) प्रायिकता का स्थान (Sample Space)
किसी यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का समूह, प्रायिकता का स्थान कहलाता है।
The set of all possible outcomes of a random experiment is called the sample space.
नोट (Note): प्रायिकता के स्थान के प्रत्येक सदस्य को 'सैंपल पॉइंट' (Sample Point) कहते हैं।
Each member of the sample space is called a 'sample point'.
(iv) घटना (Event)
प्रायिकता के स्थान का कोई भी उपसमुच्चय घटना कहलाता है।
Any subset of the sample space is called an event.
उदाहरण (Example): एक पासा फेंकने पर सम संख्या आना (2, 4, 6) एक घटना है।
Getting an even number on throwing a die (2, 4, 6) is an event.
(v) अनुकूल परिणाम (Favourable Outcomes)
वे परिणाम जो किसी घटना के घटित होने के लिए अनुकूल हों, उन्हें अनुकूल परिणाम कहते हैं।
The outcomes which are favourable for the occurrence of an event are called favourable outcomes.
(vi) समान रूप से संभाव्य परिणाम (Equally Likely Outcomes)
यदि सभी परिणामों के घटित होने की संभावना समान हो, तो उन्हें समान रूप से संभाव्य परिणाम कहते हैं।
If all outcomes have equal chance to occur, they are called equally likely outcomes.
(vii) असंभव घटना (Impossible Event)
जो घटना कभी भी घटित नहीं हो सकती, उसे असंभव घटना कहते हैं। इसकी प्रायिकता 0 होती है।
An event which can never happen is called an impossible event. Its probability is 0.
(viii) निश्चित घटना (Certain Event)
जो घटना हर बार घटित होती है, उसे निश्चित घटना कहते हैं। इसकी प्रायिकता 1 होती है।
An event which always happens is called a certain event. Its probability is 1.
4. प्रायिकता की गणना करने की विधि (Method to Calculate Probability)
सामान्य सूत्र (General Formula):
\[ P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} \]
जहाँ,
- \(P(E)\) = घटना E की प्रायिकता (Probability of event E)
- \(n(E)\) = घटना E के अनुकूल परिणामों की संख्या (Number of favourable outcomes for event E)
- \(n(S)\) = कुल संभावित परिणामों की संख्या (Total number of possible outcomes)
शर्तें (Conditions):
- सभी परिणाम समान रूप से संभाव्य होने चाहिए।
All outcomes must be equally likely.
5. प्रायिकता के मान (Values of Probability)
किसी भी घटना E के लिए, \[ 0 \leq P(E) \leq 1 \]
For any event E, probability lies between 0 and 1, both inclusive.
6. उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 1: एक सिक्का उछालने पर हेड आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Find the probability of getting a head when tossing a coin.
हल (Solution): प्रायिकता का स्थान (Sample Space): {Head, Tail} कुल परिणाम = 2 अनुकूल परिणाम (हेड) = 1 \[ P(\text{Head}) = \frac{1}{2} \]
उदाहरण 2: एक पासा फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Find the probability of getting an even number on throwing a die.
हल (Solution): प्रायिकता का स्थान: {1, 2, 3, 4, 5, 6} कुल परिणाम = 6 अनुकूल परिणाम (2, 4, 6) = 3 \[ P(\text{Even}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
उदाहरण 3: 1 से 20 तक की संख्याओं में से यादृच्छिक रूप से एक संख्या चुनी जाती है। वह संख्या 5 से विभाज्य होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A number is selected at random from 1 to 20. Find the probability that it is divisible by 5.
हल (Solution): प्रायिकता का स्थान: {1, 2, ..., 20} कुल परिणाम = 20 अनुकूल परिणाम = {5, 10, 15, 20} (कुल 4) \[ P(\text{Divisible by 5}) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \]
उदाहरण 4: एक ताश के पत्तों की गड्डी (52 पत्ते) में से एक पत्ता यादृच्छिक रूप से निकाला गया। पत्ता इक्का (Ace) होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A card is drawn at random from a pack of 52 cards. Find the probability that the card drawn is an Ace.
हल (Solution): कुल पत्ते = 52 इक्के के पत्ते = 4 \[ P(\text{Ace}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \]
उदाहरण 5: एक थैले में 5 लाल, 4 नीले और 3 हरे गेंद हैं। यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है। वह हरी होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A bag contains 5 red, 4 blue, and 3 green balls. A ball is drawn at random. Find the probability that it is green.
हल (Solution): कुल गेंदें = 5 + 4 + 3 = 12 हरी गेंदें = 3 \[ P(\text{Green}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \]
7. घटना के प्रकार (Types of Events)
(i) साधारण घटना (Simple Event)
वह घटना जो केवल एक ही परिणाम से बनती हो।
An event that consists of only one outcome.
(ii) संयुक्त घटना (Compound Event)
वह घटना जिसमें एक से अधिक परिणाम हों।
An event that consists of more than one outcome.
(iii) असंभव घटना (Impossible Event)
जो घटना कभी नहीं घटेगी।
An event that will never occur.
(iv) निश्चित घटना (Certain Event)
जो घटना हर बार घटेगी।
An event that will always occur.
(v) पूरक घटना (Complementary Event)
यदि E कोई घटना है, तो 'E का पूरक' वह घटना है जिसमें E नहीं घटती।
If E is any event, the 'complement' of E is the event that E does not occur.
\[ P(\text{E का पूरक}) = 1 - P(E) \] \[ P(E) + P(\text{E का पूरक}) = 1 \]
8. दैनिक जीवन में प्रायिकता (Probability in Daily Life)
- मौसम का पूर्वानुमान (Weather forecast)
- लॉटरी या खेल प्रतियोगिताएँ (Lottery or sports tournaments)
- बीमा (Insurance)
- चिकित्सा जाँच (Medical testing)
9. प्रायिकता के गुण (Properties of Probability)
- \(0 \leq P(E) \leq 1\)
- असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।
- निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।
- किसी घटना E और उसके पूरक की प्रायिकता का योग 1 होता है।
- यदि सभी परिणाम समान रूप से संभाव्य हैं, तो प्रत्येक का मान \( \frac{1}{n} \) होगा, जहाँ n कुल परिणाम हैं।
10. प्रायिकता के व्यावहारिक प्रयोग (Practical Applications of Probability)
- गणितीय खेल, जैसे पासा, सिक्का, ताश आदि।
- सांख्यिकी में डेटा का विश्लेषण।
- विज्ञान, इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र आदि क्षेत्रों में निर्णय लेना।
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points) [कम से कम 10]
- प्रायिकता का मान कभी भी 0 से कम या 1 से अधिक नहीं हो सकता।
The value of probability is never less than 0 or more than 1.
- किसी घटना E के लिए, \(P(E) = 0\) असंभव घटना दर्शाता है, और \(P(E) = 1\) निश्चित घटना दर्शाता है।
For any event E, \(P(E) = 0\) denotes an impossible event, and \(P(E) = 1\) denotes a certain event.
- प्रायिकता की गणना केवल समान रूप से संभाव्य परिणामों के लिए की जाती है।
Probability is calculated only for equally likely outcomes.
- प्रायिकता का स्थान (Sample space) का निर्धारण सही ढंग से करना आवश्यक है।
Correct determination of sample space is essential.
- जब भी अनुकूल परिणाम गिनें, तो ध्यान दें कि कोई परिणाम दो बार न गिने जाएँ।
When counting favourable outcomes, ensure that no outcome is counted twice.
- किसी घटना E और उसके पूरक की प्रायिकता का योग 1 होता है।
Sum of probability of an event and its complement is 1.
- प्रायिकता का सूत्र \(P(E) = \frac{\text{अनुकूल परिणामों की संख्या}}{\text{कुल परिणामों की संख्या}}\) है।
The formula for probability is \(P(E) = \frac{\text{Number of favourable outcomes}}{\text{Total number of outcomes}}\).
- ताश की गड्डी में कुल 52 पत्ते होते हैं, जिनमें 4 सूट, प्रत्येक में 13 पत्ते होते हैं।
A deck of cards has 52 cards, divided into 4 suits, each with 13 cards.
- एक पासे में 1 से 6 तक कुल 6 परिणाम होते हैं।
A die has 6 outcomes, numbered 1 to 6.
- सिक्का उछालने पर दो परिणाम - हेड और टेल ही संभव हैं।
On tossing a coin, only two outcomes - head and tail - are possible.
- प्रायिकता के सभी प्रश्नों में पहले प्रायिकता का स्थान लिखना चाहिए।
In all probability questions, always write the sample space first.
- वास्तविक जीवन में प्रायिकता का प्रयोग अनिश्चितता से जुड़े निर्णयों में किया जाता है।
In real life, probability is used in decisions involving uncertainty.
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| त्रुटि (Mistake) | स्पष्टीकरण (Explanation) | |------------------|--------------------------| | अनुकूल परिणामों को गलत गिनना | सभी अनुकूल परिणामों की सही गिनती करें। (Count all favourable outcomes correctly.) | | कुल परिणामों की गलत संख्या लेना | प्रायिकता के स्थान के सभी परिणाम शामिल करें। (Include all outcomes in the sample space.) | | असमान रूप से संभाव्य परिणामों पर सूत्र का प्रयोग करना | सूत्र केवल समान रूप से संभाव्य परिणामों पर लागू होता है। (Formula applies only to equally likely outcomes.) | | प्रायिकता का मान 1 से अधिक या 0 से कम लिखना | प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है। (Probability is always between 0 and 1.) | | पूरक घटना को गलत समझना | पूरक घटना = घटना का न होना। (Complement event = event not happening.) | | ताश के पत्तों की कुल संख्या गलत लेना | ताश की गड्डी में 52 पत्ते होते हैं। (A deck has 52 cards.) | | पासे पर परिणामों में 0 या 7 को शामिल करना | पासे के परिणाम 1 से 6 तक ही होते हैं। (Die outcomes are 1 to 6 only.) | | सिक्के पर हेड/टेल के अलावा अन्य परिणाम मानना | केवल हेड या टेल ही संभव हैं। (Only head or tail is possible.) | | प्रश्न में पूछी गई घटना को पूरी तरह न समझना | घटना को ध्यान से पढ़ें और समझें। (Read and understand the event carefully.) | | बिना प्रायिकता का स्थान लिखे उत्तर देना | पहले sample space लिखें, तभी उत्तर दें। (Write sample space first, then answer.) |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)
1-Mark Questions
- प्रायिकता का सूत्र लिखिए।
Write the formula for probability.
- एक पासे को फेंकने पर कितने परिणाम संभव हैं?
How many possible outcomes are there when a die is thrown?
- सिक्का उछालने पर हेड आने की प्रायिकता क्या है?
What is the probability of getting a head on tossing a coin?
- प्रायिकता का मान किस सीमा में होता है?
What is the range of the probability value?
- ताश की गड्डी में कुल कितने पत्ते होते हैं?
How many cards are there in a deck of cards?
2-Mark Questions
- एक थैले में 5 सफेद और 3 काले गेंद हैं। यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है। काले गेंद आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A bag contains 5 white and 3 black balls. A ball is drawn at random. Find the probability that it is black.
- एक पासे को फेंकने पर 4 या 5 आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
Find the probability of getting 4 or 5 on throwing a die.
- एक संख्या 1 से 10 तक यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। वह संख्या 2 से विभाज्य होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A number is chosen at random from 1 to 10. Find the probability that it is divisible by 2.
- एक ताश के पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला गया। वह पत्ता लाल रंग का होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
A card is drawn from a deck. Find the probability that it is a red card.
5-Mark Questions
- एक थैले में 6 लाल, 8 नीले, तथा 10 हरे गेंद हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है।
(i) हरे गेंद की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (ii) लाल या नीले गेंद की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (iii) न तो लाल और न ही नीले गेंद की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (A bag contains 6 red, 8 blue, and 10 green balls. A ball is drawn at random. Find: (i) Probability of green ball. (ii) Probability of red or blue ball.
iii) Probability of neither red nor blue ball.
- एक पासा दो बार फेंका गया।
(i) प्रत्येक संभव परिणाम लिखिए। (ii) दोनों बार सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (A die is thrown twice. (i) Write all possible outcomes.
ii) Find the probability of getting even numbers both times.
- एक ताश के पत्तों की गड्डी में से एक पत्ता निकाला गया।
(i) वह पत्ता चित्र (Face card) होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (ii) वह पत्ता स्पेड (Spade) होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (A card is drawn from a deck. (i) Find the probability of getting a face card.
ii) Find the probability of getting a spade.
- 1 से 50 तक की संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है।
(i) वह संख्या एक अभाज्य (Prime) संख्या होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (ii) वह संख्या 5 के गुणज होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए। (One number is selected at random from 1 to 50. (i) Find the probability that it is a prime number.
ii) Find the probability that it is a multiple of 5.
सारांश (Summary)
- प्रायिकता दैनिक जीवन में बहुत उपयोगी है।
- सभी परिणामों का सही निर्धारण आवश्यक है।
- प्रायिकता की गणना के लिए सभी परिणाम समान रूप से संभाव्य होने चाहिए।
- प्रायिकता का मान 0 और 1 के बीच होता है।
अध्याय से जुड़े अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)
- एक सिक्का 3 बार उछाला गया। हेड आने की कुल प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- एक पासे को दो बार फेंकने पर कुल कितने परिणाम संभव हैं?
- एक ताश के पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला गया। वह पत्ता किंग (King) होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
- एक थैले में 7 लाल और 3 नीले गेंद हैं। लाल गेंद न आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
अध्याय के अंत में मुख्य बातें (Chapter End Key Points)
- प्रायिकता से हम किसी घटना के घटित होने की संभावना का मूल्यांकन कर सकते हैं।
- प्रायिकता के स्थान, अनुकूल परिणाम, कुल परिणाम का सही निर्धारण सबसे महत्वपूर्ण है।
- सभी प्रश्नों में पहले प्रायिकता का स्थान (Sample Space) अवश्य लिखें।
- प्रायिकता का मान कभी भी 0 से कम या 1 से अधिक नहीं हो सकता।
- असंभव घटना की प्रायिकता 0 तथा निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।
- पूरक घटना की प्रायिकता = 1 - घटना की प्रायिकता होती है।
- ताश, पासा, सिक्का आदि के सभी परिणाम याद रखें।
यह संक्षिप्त और सटीक अध्याय नोट्स आपको बोर्ड परीक्षा में "प्रायिकता" (Probability) अध्याय को अच्छे से तैयार करने में सहायक होंगे।
These concise and precise chapter notes will help you prepare well for the Probability chapter in your board exams.
मुख्य बिंदु (Key Points)
- प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का माप है।
- किसी घटना की प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है।
- असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।
- निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।
- घटना की प्रायिकता (P) = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल परिणामों की संख्या।
- किसी प्रायोगिक प्रक्रिया के सभी संभावित परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
- जिस प्रयोग के परिणाम को पहले से नहीं बताया जा सकता, उसे यादृच्छिक प्रयोग कहते हैं।
- यादृच्छिक प्रयोग के प्रत्येक संभावित परिणाम को परिणाम (Outcome) कहते हैं।
- एक या अधिक परिणामों का समूह घटना (Event) कहलाता है।
- यदि किसी प्रयोग के सभी परिणाम समान रूप से संभाव्य हों, तो उसे समान संभाव्य प्रयोग कहते हैं।
- उदाहरण: सिक्का उछालना, पासा फेंकना, ताश के पत्तों में से एक पत्ता निकालना।
- प्रायिकता खेल, मौसम, बीमा आदि में पूर्वानुमान लगाने में सहायक होती है।
Key Points
- Probability is the measure of the likelihood that an event will occur.
- The probability of an event always lies between 0 and 1.
- Probability of an impossible event is 0.
- Probability of a sure event is 1.
- Probability (P) of an event = Number of favourable outcomes / Total number of outcomes.
- The sum of probabilities of all possible outcomes of an experiment is 1.
- An experiment whose result cannot be predicted in advance is called a random experiment.
- Each possible result of a random experiment is called an outcome.
- A collection of one or more outcomes is called an event.
- If all outcomes of an experiment are equally likely, the experiment is called an equally likely experiment.
- Examples: Tossing a coin, throwing a die, drawing a card from a pack.
- Probability helps in making predictions in games, weather, insurance, etc.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
पासा फेंकने पर 5 से कम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
एक निष्पक्ष सिक्का उछालने पर सिर आने की प्रायिकता क्या है?
यदि एक पासा फेंका जाए, तो 3 आने की प्रायिकता क्या है?
पासा फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?
एक निष्पक्ष सिक्का उछालने पर पूंछ आने की प्रायिकता क्या है?
App में अगला अध्याय / पूरा कोर्स
प्रायिकता lock
प्रायिकता (Probability) एक नज़र में: प्रायिकता गणित की वह शाखा है, जिसमें हम किसी घटना के घटित होने की संभावना का अध्ययन करते हैं। इस अध्याय में, आप प्रायिकता…
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