हीरोन का सूत्र
Heron's Formula
हीरोन का सूत्र (Heron's Formula)
एक नज़र में:
हीरोन का सूत्र त्रिभुज के तीन भुजाओं की लंबाई ज्ञात होने पर उसके क्षेत्रफल की गणना करने का सरल तरीका है। यह सूत्र विशेषकर उन त्रिभुजों के लिए उपयोगी है जिनकी ऊँचाई ज्ञात नहीं होती।
At a glance: Heron's formula offers a simple way to find the area of a triangle when all three sides are known, especially useful when the triangle's height is not given.
📌 अध्याय का परिचय
हीरोन का सूत्र यूनानी गणितज्ञ हीरोन (Heron) द्वारा दिया गया था, जिसके माध्यम से हम किसी भी त्रिभुज का क्षेत्रफल केवल उसकी तीन भुजाओं की लंबाई जानकर निकाल सकते हैं। आमतौर पर, त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए आधार और ऊँचाई की आवश्यकता होती है, लेकिन जब ऊँचाई ज्ञात न हो, तब हीरोन का सूत्र अत्यंत उपयोगी सिद्ध होता है।
Heron's formula was given by the Greek mathematician Heron. It helps us to find the area of any triangle just by knowing the lengths of its three sides. Usually, the area of a triangle requires the base and height, but when the height is unknown, Heron's formula becomes very useful.
📖 प्रमुख विषय (Major Topics)
1. त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle)
परिभाषा (Definition)
त्रिभुज वह बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं।
A triangle is a polygon with three sides and three angles.
सामान्य सूत्र (General Formula)
यदि त्रिभुज की आधार = \(b\) और ऊँचाई = \(h\) हो, तो \[ \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \]
Area = 1/2 × base × height
लेकिन जब ऊँचाई ज्ञात न हो, तो यह सूत्र उपयोगी नहीं है। ऐसे में हीरोन का सूत्र काम आता है।
2. हीरोन का सूत्र (Heron's Formula)
सूत्र (Formula)
यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ \(a\), \(b\), \(c\) हैं, तो उसका क्षेत्रफल (Area) \[ \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \] जहाँ, \[ s = \frac{a + b + c}{2} \] यहाँ \(s\) को अर्धपरिमाप (semi-perimeter) कहते हैं।
If a triangle has sides a, b, c, its area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], where s = (a+b+c)/2, called the semi-perimeter.
नोट: यह सूत्र त्रिभुज की किसी भी प्रकार (समान्तरभुज, विषमभुज, समद्विबाहु, समभुज) पर लागू होता है।
Note: This formula can be applied to any triangle - scalene, isosceles, or equilateral.
3. अर्धपरिमाप (Semi-Perimeter)
परिभाषा (Definition)
त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योगफल का आधा भाग अर्धपरिमाप कहलाता है। \[ s = \frac{a + b + c}{2} \]
The semi-perimeter of a triangle is half the sum of the lengths of its sides.
4. हीरोन का सूत्र का प्रयोग (Application of Heron's Formula)
हीरोन का सूत्र न केवल त्रिभुज के क्षेत्रफल के लिए, बल्कि चतुर्भुज (विशेषकर जब एक विकर्ण द्वारा दो त्रिभुजों में विभाजित किया जा सके) के क्षेत्रफल की गणना में भी प्रयोग किया जाता है।
Heron's formula is also used to calculate the area of a quadrilateral, especially if it can be divided into two triangles by a diagonal.
5. हीरोन का सूत्र: हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 1:
प्रश्न: एक त्रिभुज की भुजाएँ 7 सेमी, 8 सेमी, और 9 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Find the area of a triangle with sides 7 cm, 8 cm, and 9 cm.
हल: \( a = 7 \) सेमी, \( b = 8 \) सेमी, \( c = 9 \) सेमी \[ s = \frac{7 + 8 + 9}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ सेमी} \] \[ \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} = 26.83 \text{ सेमी}^2 \]
उदाहरण 2:
प्रश्न: एक समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ 10 सेमी और तीसरी भुजा 12 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Find the area of an isosceles triangle with two sides 10 cm each and the third side 12 cm.
हल: \( a = 10 \) सेमी, \( b = 10 \) सेमी, \( c = 12 \) सेमी \[ s = \frac{10 + 10 + 12}{2} = \frac{32}{2} = 16 \text{ सेमी} \] \[ \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{16(16-10)(16-10)(16-12)} = \sqrt{16 \times 6 \times 6 \times 4} = \sqrt{2304} = 48 \text{ सेमी}^2 \]
उदाहरण 3:
प्रश्न: एक समभुज त्रिभुज की प्रत्येक भुजा 6 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Find the area of an equilateral triangle of side 6 cm.
हल: \( a = b = c = 6 \) सेमी \[ s = \frac{6+6+6}{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ सेमी} \] \[ \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{9(9-6)(9-6)(9-6)} = \sqrt{9 \times 3 \times 3 \times 3} = \sqrt{243} = 15.588 \text{ सेमी}^2 \]
उदाहरण 4:
प्रश्न: एक चतुर्भुज की भुजाएँ 4 सेमी, 5 सेमी, 7 सेमी, और 8 सेमी हैं, तथा एक विकर्ण 5 सेमी है। चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना कीजिए।
A quadrilateral has sides 4 cm, 5 cm, 7 cm, 8 cm and a diagonal of 5 cm. Find its area.
हल: चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करें:
- पहला त्रिभुज: भुजाएँ 4 सेमी, 5 सेमी, 5 सेमी
- दूसरा त्रिभुज: भुजाएँ 5 सेमी, 7 सेमी, 8 सेमी
पहला त्रिभुज: \[ s_1 = \frac{4 + 5 + 5}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ सेमी} \] \[ \text{क्षेत्रफल}_1 = \sqrt{7(7-4)(7-5)(7-5)} = \sqrt{7 \times 3 \times 2 \times 2} = \sqrt{84} = 9.17 \text{ सेमी}^2 \]
दूसरा त्रिभुज: \[ s_2 = \frac{5 + 7 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ सेमी} \] \[ \text{क्षेत्रफल}_2 = \sqrt{10(10-5)(10-7)(10-8)} = \sqrt{10 \times 5 \times 3 \times 2} = \sqrt{300} = 17.32 \text{ सेमी}^2 \]
कुल क्षेत्रफल: \[ = 9.17 + 17.32 = 26.49 \text{ सेमी}^2 \]
उदाहरण 5:
प्रश्न: एक त्रिभुज की भुजाएँ 15 सेमी, 20 सेमी, और 25 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Find the area of a triangle with sides 15 cm, 20 cm, and 25 cm.
हल: \( a = 15 \) सेमी, \( b = 20 \) सेमी, \( c = 25 \) सेमी \[ s = \frac{15 + 20 + 25}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ सेमी} \] \[ \text{क्षेत्रफल} = \sqrt{30(30-15)(30-20)(30-25)} = \sqrt{30 \times 15 \times 10 \times 5} = \sqrt{22500} = 150 \text{ सेमी}^2 \]
6. हीरोन का सूत्र - व्युत्पत्ति (Derivation of Heron's Formula)
(केवल बोर्ड परीक्षा के लिए संक्षिप्त रूप में)
व्युत्पत्ति (Derivation):
मान लीजिए त्रिभुज ABC की भुजाएँ \(a\), \(b\), \(c\) हैं। क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} \) यदि हम ऊँचाई नहीं जानते, तो त्रिकोणमिति के सहारे, क्षेत्रफल = \( \frac{1}{2}ab \sin C \) लेकिन, भुजाओं के मान ज्ञात होने पर, त्रिकोणमितीय सूत्रों से और गणना करके, अंत में क्षेत्रफल = \( \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \) जहाँ \( s = \frac{a+b+c}{2} \) (पूरा व्युत्पत्ति 11वीं कक्षा में विस्तार से पढ़ाया जाएगा।)
Derivation: Starting from the trigonometric formula and using the cosine rule, we derive Heron's formula. Complete derivation is provided in higher classes.
7. हीरोन का सूत्र के अनुप्रयोग (Applications of Heron's Formula)
- त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना जब ऊँचाई ज्ञात न हो।
- चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना (जब एक विकर्ण ज्ञात हो)।
- भूखंड या खेतों के क्षेत्रफल की गणना।
- वास्तुकला, इंजीनियरिंग, और भौगोलिक गणनाओं में।
Applications: Finding area of a triangle when height is unknown, finding area of a quadrilateral (with a known diagonal), land/plot area calculation, architecture, engineering, and geography.
8. त्रिभुज के प्रकार और हीरोन का सूत्र (Types of Triangles and Heron's Formula)
- समभुज त्रिभुज (Equilateral Triangle): सभी भुजाएँ समान।
- समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle): दो भुजाएँ समान।
- विषमभुज त्रिभुज (Scalene Triangle): सभी भुजाएँ अलग-अलग।
हीरोन का सूत्र तीनों प्रकार के त्रिभुजों पर लागू होता है।
Heron's formula works for all types of triangles.
9. क्षेत्रफल की इकाइयाँ (Units of Area)
- वर्ग सेमी (\(\text{cm}^2\))
- वर्ग मीटर (\(\text{m}^2\))
- वर्ग किमी (\(\text{km}^2\))
- वर्ग मिलिमीटर (\(\text{mm}^2\)), आदि।
Area units: cm², m², km², mm², etc.
10. हीरोन का सूत्र का महत्व (Importance of Heron's Formula)
- गणनाओं को सरल बनाता है।
- ऊँचाई ज्ञात न होने पर भी क्षेत्रफल निकालना संभव।
- प्रतियोगी परीक्षाओं एवं बोर्ड परीक्षाओं में अक्सर प्रश्न पूछे जाते हैं।
- व्यावहारिक जीवन में उपयोगी।
Heron's formula simplifies calculations, is useful when height is unknown, and is regularly asked in exams and used in real life.
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)
- हीरोन का सूत्र त्रिभुज की तीनों भुजाओं के लिए उपयुक्त है, भुजाएँ ज्ञात होनी चाहिए।
Heron's formula is suitable when all three sides of a triangle are known.
- अर्धपरिमाप (s) का सही-सही मान निकालना आवश्यक है।
It is necessary to calculate the semi-perimeter (s) correctly.
- त्रिभुज की किसी भी भुजा के लिए सूत्र लागू होता है, चाहे वह समभुज, समद्विबाहु या विषमभुज हो।
The formula works for all types of triangles.
- यदि कोई त्रिभुज संभव नहीं है (तीनों भुजाओं का योग किसी भी भुजा से बड़ा नहीं है), तो क्षेत्रफल नहीं निकाला जा सकता।
If the triangle is not possible (sum of any two sides not greater than the third), the area cannot be found.
- क्षेत्रफल की इकाई हमेशा वर्ग इकाई में होती है (जैसे \(\text{cm}^2\), \(\text{m}^2\))।
Area is always expressed in square units.
- हीरोन का सूत्र चतुर्भुज के क्षेत्रफल में भी प्रयोग किया जा सकता है, यदि उसे दो त्रिभुजों में विभाजित किया जा सके।
Heron's formula can be used for quadrilaterals if they can be divided into two triangles.
- त्रिभुज की भुजाएँ सबसे पहले बढ़ती क्रम या घटती क्रम में लिखना चाहिए, जिससे गणना में सुविधा हो।
Write the sides in ascending or descending order for easier calculation.
- उत्तर को दशमलव के दो स्थान तक या निर्दिष्ट स्थान तक ही लिखें, जैसा प्रश्न में हो।
Round the answer to the specified decimal places as required in the question.
- त्रिभुज संभव है या नहीं, यह जाँच लें (किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होना चाहिए)।
Check if the triangle is possible (sum of any two sides must be greater than the third side).
- हीरोन का सूत्र का प्रयोग केवल त्रिभुज के लिए ही करें, अन्य बहुभुजों के लिए नहीं।
Use Heron's formula only for triangles, not for other polygons.
- गणना के दौरान ब्रैकेट और वर्गमूल का ध्यानपूर्वक प्रयोग करें।
Carefully use brackets and square roots during calculation.
- त्रिभुज की भुजाओं की इकाई एक जैसी होनी चाहिए।
Ensure all sides are in the same unit before calculation.
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| क्रमांक (No.) | सामान्य गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Method) | |---------------|-----------------------------------------------------------------------|--------------------------------------------------------------| | 1 | तीनों भुजाओं को जोड़ने के बाद 3 से भाग देना (s के लिए) | स = (a + b + c) / 2 से भाग दें | | 2 | किसी भुजा को ग़लती से दो बार लेना | प्रत्येक भुजा का मान एक बार ही लें | | 3 | त्रिभुज की भुजाओं की इकाइयाँ अलग-अलग रखना | सभी भुजाओं की इकाइयाँ समान रखें | | 4 | त्रिभुज संभव है या नहीं, यह जाँचे बिना क्षेत्रफल निकालना | पहले जाँचें: a + b > c, a + c > b, b + c > a | | 5 | s-a, s-b, s-c को गलत निकालना | स-ए, स-बी, स-सी का सही-सही मान निकालें | | 6 | क्षेत्रफल की इकाई को वर्ग में न लिखना | उत्तर में \(\text{cm}^2\), \(\text{m}^2\) अवश्य लिखें | | 7 | वर्गमूल निकालने में गलती करना | √ के बाद सही उत्तर लिखें, कैलकुलेटर का सही उपयोग करें | | 8 | दशमलव स्थान (decimal place) का ध्यान न रखना | उत्तर को दो दशमलव तक या निर्देशानुसार लिखें | | 9 | हीरोन का सूत्र को अन्य बहुभुजों (5 भुजाओं वाले) पर लागू करना | केवल त्रिभुज या दो त्रिभुज में विभाजित चतुर्भुज पर ही प्रयोग करें | | 10 | त्रिभुज की ऊँचाई जब ज्ञात हो, फिर भी हीरोन का सूत्र ही लगाना | ऊँचाई ज्ञात हो तो साधारण क्षेत्रफल सूत्र भी लगा सकते हैं |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)
1-Mark Questions
- हीरोन का सूत्र क्या है?
What is Heron's formula?
- अर्धपरिमाप (semi-perimeter) कैसे निकालते हैं?
How do you find the semi-perimeter of a triangle?
- त्रिभुज की भुजाएँ 6 सेमी, 8 सेमी, 10 सेमी हैं। अर्धपरिमाप ज्ञात कीजिए।
Find the semi-perimeter of a triangle with sides 6 cm, 8 cm, and 10 cm.
- हीरोन का सूत्र कब उपयोग किया जाता है?
When is Heron's formula used?
2-Mark Questions
- त्रिभुज की भुजाएँ 5 सेमी, 12 सेमी, 13 सेमी हैं। अर्धपरिमाप एवं क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A triangle has sides 5 cm, 12 cm, 13 cm. Find its semi-perimeter and area.
- एक समभुज त्रिभुज की भुजा 10 सेमी है। हीरोन का सूत्र की सहायता से क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Find the area of an equilateral triangle of side 10 cm using Heron's formula.
- त्रिभुज की भुजाएँ 9 सेमी, 10 सेमी, 17 सेमी हैं। क्या यह त्रिभुज संभव है? उत्तर दीजिए।
A triangle has sides 9 cm, 10 cm, 17 cm. Is this triangle possible? Justify your answer.
- हीरोन का सूत्र का एक अनुप्रयोग लिखिए।
Write one application of Heron's formula.
5-Mark Questions
- त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी, तथा 15 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल हीरोन के सूत्र द्वारा ज्ञात कीजिए।
The sides of a triangle are 13 cm, 14 cm, and 15 cm. Find its area using Heron's formula.
- एक चतुर्भुज की भुजाएँ 8 सेमी, 9 सेमी, 10 सेमी, 11 सेमी हैं, तथा एक विकर्ण 12 सेमी है। चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना कीजिए।
A quadrilateral has sides 8 cm, 9 cm, 10 cm, 11 cm and a diagonal of 12 cm. Find its area.
- हीरोन का सूत्र किस यूनानी गणितज्ञ ने दिया था? सूत्र लिखिए एवं इसका एक उदाहरण हल कीजिए।
Which Greek mathematician gave Heron's formula? Write the formula and solve an example.
- त्रिभुज की भुजाएँ 7 सेमी, 24 सेमी, 25 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Find the area of a triangle with sides 7 cm, 24 cm, and 25 cm.
- एक भूखंड की आकृति त्रिभुजाकार है, जिसकी भुजाएँ क्रमशः 15 मीटर, 17 मीटर, तथा 8 मीटर हैं। भूखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A plot is in the shape of a triangle with sides 15 m, 17 m, and 8 m. Find its area.
नोट: उत्तर लिखते समय सभी चरण स्पष्ट रूप से दिखाएँ:
- भुजाओं के मान
- अर्धपरिमाप (s)
- s-a, s-b, s-c
- हीरोन का सूत्र लगाएँ
- वर्गमूल निकालें
- अंतिम उत्तर (सही इकाई के साथ)
Note: While answering, show all steps clearly: sides, s, s-a, s-b, s-c, apply Heron's formula, find square root, write final answer with correct units.
✨ अध्याय सारांश (Chapter Summary)
हीरोन का सूत्र त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना का एक महत्वपूर्ण एवं सरल तरीका है, जब त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात न हो। बोर्ड परीक्षा एवं प्रतियोगी परीक्षाओं में इस सूत्र पर आधारित प्रश्न अवश्य पूछे जाते हैं। सूत्र का सही-सही प्रयोग और इकाइयों का ध्यान रखना आवश्यक है।
Heron's formula provides an important and easy way to find the area of a triangle when its height is unknown. It is frequently asked in board and competitive exams. Correct application of the formula and attention to units is essential.
🔑 अभ्यास के लिए प्रश्न (Practice Questions)
- त्रिभुज की भुजाएँ 9 सेमी, 12 सेमी, 15 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- भूखंड की आकृति त्रिभुजाकार है जिसकी भुजाएँ 25 मीटर, 17 मीटर, 12 मीटर हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 13 सेमी, 10 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- एक चतुर्भुज की भुजाएँ 5 मीटर, 6 मीटर, 7 मीटर, 8 मीटर हैं और एक विकर्ण 7 मीटर है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- त्रिभुज की भुजाएँ 7 सेमी, 10 सेमी, 5 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाप्त
End
मुख्य बिंदु (Key Points)
- तीनों भुजाएँ ज्ञात होने पर त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हीरोन का सूत्र प्रयोग किया जाता है।
- यदि त्रिभुज की भुजाएँ a, b, c हों, तो उसका अर्द्ध परिमाप (s) = (a + b + c)/2 होता है।
- हीरोन का सूत्र: क्षेत्रफल = √[s(s - a)(s - b)(s - c)]।
- यह सूत्र सभी प्रकार के त्रिभुजों के लिए लागू होता है: विषमभुज, समद्विबाहु और समभुज।
- क्षेत्रफल की इकाई सदैव वर्ग इकाई होती है (जैसे, सेमी², मी²)।
- हीरोन का सूत्र विशेष रूप से तब उपयोगी है जब त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात न हो।
- हीरोन का सूत्र उपयोग करने के लिए पहले अर्द्ध परिमाप ज्ञात करें, फिर सूत्र में मान रखें।
- सूत्र लगाने से पहले सभी भुजाओं की माप समान इकाई में होनी चाहिए।
- हीरोन के सूत्र द्वारा प्राप्त क्षेत्रफल सदैव धनात्मक होता है।
- हीरोन का सूत्र प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ हीरो (या हीरोन) ऑफ़ अलेक्जेंड्रिया के नाम पर है।
- समभुज त्रिभुज जिसकी भुजा a हो, उसका क्षेत्रफल = (√3/4) × a² होता है, जो हीरोन के सूत्र का विशेष रूप है।
- हीरोन का सूत्र चतुर्भुजों के क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए भी उपयोग किया जा सकता है, जब उन्हें दो त्रिभुजों में बाँटा जाए।
Key Points
- Heron's formula is used to find the area of a triangle when all three sides are known.
- If the sides of a triangle are a, b, and c, then the semi-perimeter (s) is (a + b + c)/2.
- Heron's formula for area is: Area = √[s(s - a)(s - b)(s - c)].
- This formula works for all types of triangles: scalene, isosceles, and equilateral.
- The unit of area is always square units (e.g., cm², m²).
- Heron's formula is especially useful when the height of the triangle is not given.
- To use Heron's formula, first calculate the semi-perimeter, then substitute in the formula.
- All sides should be in the same unit before applying the formula.
- Area calculated using Heron's formula is always a positive value.
- Heron's formula is named after the ancient Greek mathematician Hero (or Heron) of Alexandria.
- For an equilateral triangle with side a, area = (√3/4) × a², which is a special case of Heron's formula.
- Heron's formula can also be used to find the area of quadrilaterals by dividing them into two triangles.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
5 सेमी, 6 सेमी और 7 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज की अर्ध-परिमिति (s) क्या होगी?
हीरोन का सूत्र किस प्रकार के त्रिभुजों पर लागू होता है?
8 सेमी, 15 सेमी और 17 सेमी भुजाओं के लिए s का मान क्या होगा?
यदि त्रिभुज की भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी हैं, तो उसकी अर्ध-परिमिति क्या होगी?
निम्न में से कौन सा हीरोन के सूत्र का उपयोग करने के लिए आवश्यक नहीं है?
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हीरोन का सूत्र lock
हीरोन का सूत्र (Heron's Formula) एक नज़र में: हीरोन का सूत्र त्रिभुज के तीन भुजाओं की लंबाई ज्ञात होने पर उसके क्षेत्रफल की गणना करने का सरल तरीका है। यह सूत्र…
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