वृत्त
Circles
वृत्त (Circles)
एक नज़र में:
वृत्त एक समतल पर स्थित उन सभी बिंदुओं का स्थान है, जो एक नियत बिंदु से समान दूरी पर होते हैं। इस अध्याय में हम वृत्त की परिभाषा, उसके प्रमुख घटकों, प्रमेयों और प्रश्नों का अध्ययन करेंगे। (A circle is the locus of all points in a plane that are at a fixed distance from a given point. In this chapter, we study its definition, key components, theorems, and questions.)
📌 अध्याय का परिचय
एक वृत्त समतल ज्यामिति का एक प्रमुख आकृति है। यह उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है, जो एक नियत बिंदु (केंद्र) से एक नियत दूरी (त्रिज्या) पर स्थित होते हैं। वृत्त से संबंधित अनेक अवधारणाएँ एवं प्रमेय हैं, जो न केवल बोर्ड परीक्षा में महत्वपूर्ण हैं, बल्कि उच्च कक्षाओं की गणित के लिए भी आधार बनती हैं।
A circle is a fundamental shape in plane geometry. It is the collection of all points that are at a fixed distance (radius) from a fixed point (center). Concepts and theorems related to circles are important for board exams as well as for higher mathematics.
📖 मुख्य विषयवस्तु (Major Topics)
1. वृत्त की परिभाषा (Definition of Circle)
- परिभाषा: समतल पर स्थित किसी नियत बिंदु O से समान दूरी r पर स्थित सभी बिंदुओं का स्थानिक समुच्चय वृत्त कहलाता है।
Definition: The locus of all points at a fixed distance r from a fixed point O in a plane is called a circle.
- प्रतीकात्मक रूप:
वृत्त का केंद्र: O (Center) वृत्त की त्रिज्या: r (Radius) वृत्त: C(O, r) द्वारा निरूपित करते हैं।
Symbolic form: Center O, radius r, circle denoted as C(O, r).
2. वृत्त के घटक (Parts of a Circle)
i. केंद्र (Center)
- वृत्त का वह नियत बिंदु, जिससे सभी बिंदुओं की दूरी समान होती है।
The fixed point from which all points on the circle are equidistant.
ii. त्रिज्या (Radius)
- केंद्र और वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु के बीच की दूरी।
The distance between the center and any point on the circle.
- सभी त्रिज्याएँ समान होती हैं।
All radii are equal.
iii. व्यास (Diameter)
- वह रेखा खंड, जो वृत्त के दो बिंदुओं को केंद्र से होकर जोड़ता है।
A line segment passing through the center and joining two points on the circle.
- व्यास = 2 × त्रिज्या (Diameter = 2 × Radius)
iv. जीव (Chord)
- वृत्त के दो बिंदुओं को मिलानेवाला कोई भी रेखाखंड।
A line segment joining any two points on the circle.
- सबसे बड़ी जीव = व्यास
The largest chord is the diameter.
v. परिधि (Circumference)
- वृत्त के चारों ओर की लंबाई।
The length around the circle.
- सूत्र: परिधि = 2πr
Formula: Circumference = 2πr
vi. चाप (Arc)
- वृत्त की कोई भी दो बिंदुओं के बीच की वक्र रेखा।
A curved part of the circle between two points.
vii. खंड (Segment)
- वृत्त के दो बिंदुओं को मिलाने वाली जीव और उसके बीच के वृत्त के भाग से घिरा क्षेत्र।
The region between a chord and the corresponding arc.
viii. सेक्टर (Sector)
- केंद्र से दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरा क्षेत्र।
The region bounded by two radii and the arc between them.
चित्र (Diagram):
``` A / \ / \ / \ B ----------- C \ / \ / \ / O ```
- O = केंद्र (Center)
- OA, OB, OC = त्रिज्या (Radii)
- BC = व्यास (Diameter)
- AC = जीव (Chord)
- Arc ABC = चाप (Arc)
- क्षेत्र OACB = सेक्टर (Sector)
3. वृत्त की समीकरण (Equation of a Circle)
कक्षा 9 के लिए केवल परिभाषात्मक समझ:
- वृत्त का मानक समीकरण (Standard equation of a circle):
यदि केंद्र (h, k) और त्रिज्या r है, तो \[(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\]
For class 9, only basic definition and concept, not derivation.
4. वृत्त में कोण (Angles in a Circle)
i. केंद्र पर स्थित कोण (Angle at the Center)
- यदि चाप AB पर केंद्र O पर कोण θ बनता है, तो वह केंद्र पर स्थित कोण कहलाता है।
The angle subtended by arc AB at the center O is called the angle at the center.
ii. परिधि पर स्थित कोण (Angle at the Circumference)
- वही चाप AB पर वृत्त की परिधि पर कोण α बनता है।
The angle subtended by arc AB at a point on the circumference is called angle at the circumference.
प्रमेय (Theorem):
- केंद्र पर स्थित कोण, उसी चाप पर परिधि पर स्थित कोण का दुगुना होता है।
The angle at the center is twice the angle at the circumference subtended by the same arc.
उदाहरण: यदि केंद्र पर कोण 80° है, तो परिधि पर वही चाप कितना कोण बनाएगा?
If the angle at the center is 80°, what is the angle at the circumference on the same arc?
हल (Solution): परिधि पर कोण = केंद्र पर कोण / 2 = 80° / 2 = 40°
5. स्पर्शरेखा (Tangent)
परिभाषा (Definition):
- वृत्त की वह रेखा, जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है, उसे स्पर्शरेखा कहते हैं।
A line which touches the circle at only one point is called a tangent.
स्पर्शबिंदु (Point of Contact):
- वह बिंदु जहाँ स्पर्शरेखा वृत्त को छूती है।
The point where the tangent touches the circle.
प्रमेय:
- किसी वृत्त की स्पर्शरेखा, स्पर्शबिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
The tangent to a circle is perpendicular to the radius at the point of contact.
उदाहरण: यदि OA = 5 cm और AB स्पर्शरेखा है, तो OA ⟂ AB होगा।
If OA = 5 cm and AB is a tangent at point A, then OA is perpendicular to AB.
6. दो वृत्तों के बीच की स्थिति (Position of Two Circles)
i. बाह्य स्पर्श (Externally Touching)
- दोनों वृत्त एक बिंदु पर बाहर से स्पर्श करते हैं।
Both circles touch each other at one point externally.
ii. आंतरिक स्पर्श (Internally Touching)
- एक वृत्त दूसरे के भीतर रहकर एक ही बिंदु पर स्पर्श करता है।
One circle lies inside another and both touch at one point.
iii. प्रतिच्छेदन (Intersecting)
- दोनों वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
Both circles intersect at two points.
iv. पृथक (Separate)
- दोनों वृत्त एक-दूसरे से अलग रहते हैं, कोई स्पर्श या प्रतिच्छेदन नहीं।
Both circles are separate; no contact or intersection.
7. जीवा (Chords) से संबंधित प्रमेय (Theorems Related to Chords)
प्रमेय 1:
- वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर स्थित सभी जीवा समान होती हैं।
All chords equidistant from the center of a circle are equal in length.
प्रमेय 2:
- वृत्त के केंद्र से जितनी अधिक दूरी पर जीव होगी, उसकी लंबाई उतनी ही कम होगी।
The farther a chord is from the center, the shorter it is.
प्रमेय 3:
- वृत्त के केंद्र से बनी लंब, जीवा को समद्विभाजित करती है।
A perpendicular from the center to a chord bisects the chord.
उदाहरण (Example):
Q: एक वृत्त की त्रिज्या 10 cm है। एक जीव केंद्र से 6 cm दूर है। जीव की लंबाई ज्ञात करें।
A circle has radius 10 cm. A chord is at a distance 6 cm from the center. Find the length of the chord.
हल (Solution): मान लें, O = केंद्र, AB = जीव, OM = केंद्र से AB पर लंब (जहाँ M, AB का मध्य बिंदु है)
त्रिकोण OMA में: OA = 10 cm (त्रिज्या), OM = 6 cm (दूरी)
AM = √(OA² - OM²) = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 cm तो, AB = 2 × AM = 2 × 8 = 16 cm
8. वृत्त के खंड (Segments of a Circle)
- खंड (Segment):
वृत्त की किसी जीव और उसके संबंधित चाप के बीच का क्षेत्र खंड कहलाता है।
The region between a chord and its corresponding arc is called a segment.
- प्रकार:
- बड़ा खंड (Major segment)
- छोटा खंड (Minor segment)
9. वृत्त का क्षेत्रफल (Area of a Circle)
- क्षेत्रफल का सूत्र (Formula):
क्षेत्रफल = πr²
Area = πr²
- π (पाई):
π का मान = 22/7 या 3.14 (π is approximately 22/7 or 3.14)
उदाहरण: त्रिज्या 7 cm वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
Find the area of a circle whose radius is 7 cm.
हल (Solution): क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 7 × 7 = 154 cm²
10. वृत्त के सेक्टर और खंड का क्षेत्रफल (Area of Sector and Segment)
i. सेक्टर का क्षेत्रफल (Area of Sector)
यदि केंद्र पर कोण θ हो (डिग्री में), तो सेक्टर का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²
उदाहरण: त्रिज्या 14 cm वाले वृत्त का 60° के सेक्टर का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
हल (Solution): सेक्टर का क्षेत्रफल = (60/360) × π × 14 × 14 = (1/6) × (22/7) × 14 × 14 = (1/6) × 22 × 2 × 14 = (1/6) × 22 × 28 = (22 × 28)/6 = 616/6 = 102.67 cm²
ii. खंड का क्षेत्रफल (Area of Segment)
खंड का क्षेत्रफल = सेक्टर का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल
Area of segment = Area of sector – Area of triangle
11. वृत्त में स्थित त्रिभुज (Triangles in a Circle)
- वृत्तीय त्रिभुज (Cyclic Triangle):
वह त्रिभुज जिसके सभी शीर्ष वृत्त पर स्थित हों।
A triangle whose all vertices lie on a circle.
- वृत्तीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral):
वह चतुर्भुज जिसके सभी शीर्ष वृत्त पर स्थित हों।
A quadrilateral whose all vertices lie on a circle.
प्रमेय:
- वृत्तीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180° होता है।
The sum of opposite angles of a cyclic quadrilateral is 180°.
12. महत्वपूर्ण प्रमेय (Important Theorems)
प्रमेय 1:
किसी वृत्त की स्पर्शरेखा, स्पर्शबिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
The tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact.
प्रमेय 2:
केंद्र पर स्थित कोण, उसी चाप पर परिधि पर स्थित कोण का दुगुना होता है।
The angle at the center is twice the angle at the circumference subtended by the same arc.
प्रमेय 3:
वृत्त के केंद्र से लंब खींची गई रेखा, जीव को समद्विभाजित करती है।
The perpendicular from the center to a chord bisects the chord.
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points) – (कम-से-कम 10 बिंदु)
- वृत्त के सभी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
All radii of a circle are equal.
- व्यास, वृत्त की सबसे बड़ी जीव होती है।
The diameter is the largest chord of a circle.
- केंद्र से बनी लंब, जीव को समद्विभाजित करती है।
A perpendicular drawn from the center to a chord bisects the chord.
- वृत्त की स्पर्शरेखा, स्पर्शबिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
Tangent is perpendicular to the radius at the point of contact.
- केंद्र पर स्थित कोण, परिधि पर स्थित कोण का दुगुना होता है।
Angle at the center is twice the angle at the circumference.
- वृत्त का क्षेत्रफल πr² होता है और परिधि 2πr होती है।
Area is πr² and circumference is 2πr.
- वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर स्थित सभी जीवा बराबर होती हैं।
All chords equidistant from the center are equal in length.
- वृत्त में दो स्पर्शरेखाएँ यदि एक ही बाहरी बिंदु से खींची जाएँ, तो उनकी लंबाई बराबर होती है।
The lengths of two tangents drawn from an external point to a circle are equal.
- वृत्तीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180° होता है।
Sum of opposite angles of a cyclic quadrilateral is 180°.
- दो वृत्त एक बिंदु पर बाह्य या आंतरिक रूप से स्पर्श कर सकते हैं।
Two circles can touch each other externally or internally at one point.
- किसी वृत्त के दो जीवें यदि समद्विभाजित हों, तो वे केंद्र से समान दूरी पर होंगी।
If two chords are equal, they are equidistant from the center.
- वृत्त में एक बिंदु से अधिकतम दो स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं।
From a point outside the circle, at most two tangents can be drawn.
- वृत्त का कोई भी व्यास, वृत्त को दो सममित भागों में विभाजित करता है।
Any diameter divides the circle into two equal parts.
- वृत्त के सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होते हैं।
All points on the circle are at equal distance from the center.
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| क्रमांक (S. No.) | सामान्य गलती (Common Mistake) | सही तरीका (Correct Method) | |------------------|---------------------------------------------------------------------------|--------------------------------------------------------------| | 1 | त्रिज्या और व्यास को आपस में बदल देना | व्यास = 2 × त्रिज्या (Diameter = 2 × Radius) | | 2 | परिधि के सूत्र में π के मान का गलत उपयोग | π = 22/7 या 3.14 का ही उपयोग करें (Use π = 22/7 or 3.14) | | 3 | स्पर्शरेखा और जीव को समान मान लेना | स्पर्शरेखा केवल एक बिंदु पर छूती है, जीव दो बिंदुओं पर | | 4 | क्षेत्रफल और परिधि के सूत्र में भ्रमित होना | क्षेत्रफल: πr², परिधि: 2πr | | 5 | केंद्र पर और परिधि पर स्थित कोण में अंतर न समझना | केंद्र पर कोण = 2 × परिधि पर कोण | | 6 | खंड और सेक्टर में अंतर न समझना | सेक्टर: केंद्र से दो त्रिज्याएँ, खंड: जीव और चाप के बीच का क्षेत्र | | 7 | केंद्र से बनी लंब को जीव का समद्विभाजक न मानना | केंद्र से बनी लंब, जीव को समद्विभाजित करती है | | 8 | विभिन्न प्रकार के खंड (बड़ा/छोटा) में उलझना | बड़ा खंड: बड़ा भाग, छोटा खंड: छोटा भाग | | 9 | बाह्य और आंतरिक स्पर्श में अंतर न समझना | बाह्य: बाहर से स्पर्श, आंतरिक: एक वृत्त के भीतर से स्पर्श | | 10 | स्पर्शरेखा की अधिकतम संख्या को लेकर भ्रमित होना | एक बिंदु से अधिकतम दो स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)
1-Mark Questions
- वृत्त की परिभाषा लिखिए।
Define a circle.
- वृत्त की सबसे बड़ी जीव कौन-सी है?
Which is the largest chord of a circle?
- दो वृत्त कितने बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर सकते हैं?
At how many points can two circles intersect?
- π (पाई) का मान क्या है?
What is the value of π?
- यदि वृत्त की त्रिज्या 7 cm है, तो उसका व्यास क्या होगा?
If the radius of a circle is 7 cm, what will be its diameter?
2-Mark Questions
- यदि वृत्त का केंद्र O है और AB उसकी एक जीव है, तो सिद्ध कीजिए कि केंद्र से AB पर खींची गई लंब, AB को समद्विभाजित करती है।
If O is the center and AB is a chord, prove that the perpendicular from O to AB bisects AB.
- यदि वृत्त का क्षेत्रफल 154 cm² है, तो उसकी त्रिज्या ज्ञात करें (π = 22/7)।
If the area of a circle is 154 cm², find its radius.
- किसी वृत्त की त्रिज्या 10 cm है। केंद्र से 6 cm दूर एक जीव है। जीव की लंबाई ज्ञात करें।
A circle has radius 10 cm. A chord is at a distance 6 cm from the center. Find the length of the chord.
- सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त की स्पर्शरेखा, स्पर्शबिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है।
Prove that the tangent to a circle is perpendicular to the radius at the point of contact.
5-Mark Questions
- सिद्ध कीजिए कि केंद्र पर स्थित कोण, उसी चाप पर परिधि पर स्थित कोण का दुगुना होता है।
Prove that the angle at the center is twice the angle at the circumference subtended by the same arc.
- त्रिज्या 14 cm वाले वृत्त का 60° के सेक्टर का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Find the area of a sector of a circle with radius 14 cm and angle 60°.
- एक वृत्त की त्रिज्या 12 cm है। एक जीव केंद्र से 8 cm दूर है।
(a) जीव की लंबाई ज्ञात करें। (b) यदि उक्त जीव को केंद्र से जोड़ने वाली रेखा को 90° के कोण पर काटा गया हो, तो वह दूरी ज्ञात करें जिस पर यह होता है। (A circle has radius 12 cm. A chord is at a distance of 8 cm from the center. (a) Find the length of the chord.
b) If a line from the center cuts the chord at 90°, find the distance where this occurs.
- सिद्ध कीजिए कि वृत्तीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों का योग 180° होता है।
Prove that the sum of the opposite angles of a cyclic quadrilateral is 180°.
- एक वृत्त की त्रिज्या r है। सिद्ध कीजिए कि केंद्र से d दूरी पर स्थित जीव की लंबाई 2√(r² - d²) होगी।
A circle has radius r. Prove that the length of a chord at a distance d from the center is 2√(r² - d²).
अतिरिक्त हल प्रश्न (Additional Solved Examples)
Q1: एक वृत्त की त्रिज्या 21 cm है। उसकी परिधि ज्ञात करें। (π = 22/7)
A circle has radius 21 cm. Find its circumference.
Solution: Circumference = 2πr = 2 × (22/7) × 21 = 2 × 22 × 3 = 132 cm
Q2: एक वृत्त की त्रिज्या 10 cm है। एक स्पर्शरेखा केंद्र से कितनी दूरी पर होगी?
A circle has radius 10 cm. What is the distance from the center to a tangent?
Solution: त्रिज्या हमेशा स्पर्शरेखा के स्पर्शबिंदु तक होती है, अत: दूरी = त्रिज्या = 10 cm
Q3: एक वृत्त की त्रिज्या 5 cm है। यदि एक जीव केंद्र से 3 cm दूर है, तो जीव की लंबाई ज्ञात करें।
Solution: AM = √(OA² - OM²) = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4 cm AB = 2 × AM = 8 cm
Q4: सिद्ध कीजिए कि एक बिंदु से खींची गई दो स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं।
Solution: मान लें, P वृत्त के बाहर एक बिंदु है, और PA, PB दो स्पर्शरेखाएँ हैं। त्रिभुज OAP और OBP (O = केंद्र) में: OA = OB (त्रिज्या), OP = OP (साझा), ∠OAP = ∠OBP = 90° इसलिए, ΔOAP ≅ ΔOBP (RHS) ⇒ PA = PB
Q5: एक वृत्त की त्रिज्या 7 cm है। केंद्र पर बना कोण 90° है। उस सेक्टर का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
Solution: सेक्टर का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr² = (90/360) × (22/7) × 7 × 7 = (1/4) × 22 × 7 = (1/4) × 154 = 38.5 cm²
समाप्त (End of Notes)
These notes cover all essential concepts, theorems, formulas, and exam-style questions for RBSE Class 9 Mathematics Chapter "Circles" in a detailed, bilingual format. For best results, practice more questions and revise these concepts regularly.
मुख्य बिंदु (Key Points)
- वृत्त वह समुच्चय है जिसमें समतल पर स्थित वे सभी बिंदु होते हैं, जो एक निश्चित बिंदु से निश्चित दूरी पर होते हैं।
- निश्चित बिंदु को वृत्त का केंद्र कहते हैं।
- केंद्र से वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु तक की निश्चित दूरी को त्रिज्या कहते हैं।
- वृत्त पर स्थित दो बिंदुओं को केंद्र से होकर जोड़ने वाली रेखा को व्यास कहते हैं।
- व्यास वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है और यह त्रिज्या का दोगुना होता है।
- वृत्त पर स्थित दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा खंड को जीवा कहते हैं।
- वृत्त की परिधि को उसकी सीमा (परिमाप) कहते हैं।
- परिधि का कोई भी भाग चाप कहलाता है।
- दो त्रिज्याओं तथा उनके द्वारा घिरे हुए चाप से बनता क्षेत्र खंड कहलाता है।
- जीवा और उसके संगत चाप के बीच का क्षेत्र खंड कहलाता है।
- वृत्त की सभी त्रिज्याएँ आपस में बराबर होती हैं।
- समकेन्द्रिक वृत्त वे होते हैं जिनका केंद्र एक ही होता है लेकिन त्रिज्याएँ भिन्न होती हैं।
Key Points
- A circle is the set of all points in a plane that are at a fixed distance from a fixed point.
- The fixed point is called the centre of the circle.
- The fixed distance from the centre to any point on the circle is called the radius.
- A line segment joining any two points on the circle and passing through the centre is called the diameter.
- The diameter is the longest chord of the circle and is twice the radius.
- A chord is a line segment joining any two points on the circle.
- The boundary of the circle is called the circumference.
- A part of the circumference is called an arc.
- A sector is the region enclosed by two radii and the corresponding arc.
- A segment is the region between a chord and the corresponding arc.
- All radii of a circle are equal in length.
- Concentric circles are circles having the same centre but different radii.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
एक रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है, क्या कहलाती है?
वृत्त के केंद्र से गुजरने वाली ज्या को क्या कहते हैं?
वृत्त के केंद्र को क्या कहते हैं?
वह रेखाखंड जो केंद्र से होकर जाता है और वृत्त को दो बिंदुओं पर छूता है, क्या कहलाता है?
केंद्र से वृत्त पर किसी भी बिंदु तक की दूरी क्या कहलाती है?
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वृत्त (Circles) एक नज़र में: वृत्त एक समतल पर स्थित उन सभी बिंदुओं का स्थान है, जो एक नियत बिंदु से समान दूरी पर होते हैं। इस अध्याय में हम वृत्त की परिभाषा,…
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