menu_bookRBSE · गणित (Mathematics) · अध्याय 7

त्रिभुज

Triangles

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त्रिभुज (Triangles)

एक नज़र में:

त्रिभुज एक बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ, तीन कोण और तीन शीर्ष होते हैं। इस अध्याय में हम त्रिभुज की परिभाषा, प्रकार, गुण, सर्वांगसमता, असमानता, और उनसे सम्बंधित प्रमेयों का अध्ययन करेंगे। (A triangle is a polygon with three sides, three angles, and three vertices. In this chapter, we study the definition, types, properties, congruence, inequalities, and theorems related to triangles.)

📌 अध्याय का परिचय

त्रिभुज गणित में सबसे मौलिक ज्यामितीय आकृतियों में से एक है। यह न केवल ज्यामिति में बल्कि भौतिकी, इंजीनियरिंग और वास्तुकला में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। त्रिभुजों का अध्ययन हमें अन्य जटिल आकृतियों को समझने और उनके गुणों को ज्ञात करने में सहायक होता है। (Triangle is one of the most fundamental geometric shapes in mathematics. Studying triangles helps us understand complex shapes and their properties.)

📖 प्रमुख विषय (Major Topics)

1. त्रिभुज की परिभाषा (Definition of Triangle)

त्रिभुज वह सरल बहुभुज है जिसमें तीन रेखाखंड (भुजाएँ), तीन शीर्ष, और तीन कोण होते हैं।

A triangle is a simple polygon with three line segments (sides), three vertices, and three angles.

उदाहरण (Example):

मान लीजिए बिंदु A, B, C एक समतल पर स्थित हैं और एक ही रेखा पर नहीं हैं। रेखाखंड AB, BC, और CA मिलकर त्रिभुज ABC बनाते हैं।

Let points A, B, C be non-collinear points on a plane. The line segments AB, BC, and CA form triangle ABC.

त्रिभुज के घटक (Parts of Triangle):

शीर्ष (Vertices): A, B, C
भुजाएँ (Sides): AB, BC, CA
कोण (Angles): ∠A, ∠B, ∠C

2. त्रिभुज के प्रकार (Types of Triangles)

(A) भुजाओं के आधार पर (Based on Sides)

समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle):

तीनों भुजाएँ बराबर होती हैं।
सभी कोण 60° होते हैं।

All sides are equal; all angles are 60°.

समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle):

दो भुजाएँ बराबर होती हैं।
उनके सामने के कोण भी बराबर होते हैं।

Two sides are equal; angles opposite to equal sides are also equal.

विषमबाहु त्रिभुज (Scalene Triangle):

सभी भुजाएँ अलग-अलग होती हैं।
सभी कोण भी अलग-अलग होते हैं।

All sides and all angles are unequal.

(B) कोणों के आधार पर (Based on Angles)

समकोण त्रिभुज (Right Angled Triangle):

एक कोण 90° होता है।

One angle is 90°.

मृदु कोण त्रिभुज (Acute Angled Triangle):

सभी कोण 90° से कम होते हैं।

All angles are less than 90°.

स्थूलकोण त्रिभुज (Obtuse Angled Triangle):

एक कोण 90° से अधिक (परंतु 180° से कम) होता है।

One angle is more than 90° but less than 180°.

3. त्रिभुज के गुण (Properties of Triangle)

1. कोणों का योग (Sum of Angles)

किसी भी त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।

The sum of the three interior angles of any triangle is 180°.

सिद्धांत/प्रमेय (Theorem): ΔABC में, ∠A + ∠B + ∠C = 180°

उदाहरण (Example): यदि एक त्रिभुज के दो कोण 70° और 50° हैं, तो तीसरा कोण = 180° – (70° + 50°) = 60°

2. बाह्य कोण का गुण (Exterior Angle Property)

त्रिभुज के किसी एक बाह्य कोण का मान, उससे असन्निकट (non-adjacent) दोनों आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है।

The exterior angle of a triangle is equal to the sum of the two interior opposite angles.

सिद्धांत (Theorem): ΔABC में, यदि बाह्य कोण ∠ACD है, तो ∠ACD = ∠A + ∠B

उदाहरण (Example): यदि ∠A = 50°, ∠B = 60°, तो बाह्य कोण ∠ACD = 50° + 60° = 110°

3. त्रिभुज की असमानता (Triangle Inequality)

किसी भी त्रिभुज की किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।

The sum of any two sides of a triangle is greater than the third side.

सिद्धांत (Theorem): ΔABC में, AB + BC > CA AB + CA > BC BC + CA > AB

उदाहरण (Example): भुजाएँ 4 cm, 5 cm, 9 cm 4 + 5 = 9 (not greater), इसलिए ये त्रिभुज नहीं बनाएँगी। 4 + 9 = 13 > 5 5 + 9 = 14 > 4

4. सबसे लंबी भुजा के सामने सबसे बड़ा कोण (Largest Angle Opposite to Longest Side)

त्रिभुज में सबसे लंबी भुजा के सामने सबसे बड़ा कोण होता है।

In a triangle, the largest angle is opposite to the longest side.

4. त्रिभुज की सर्वांगसमता (Congruence of Triangles)

परिभाषा (Definition):

दो त्रिभुज सर्वांगसम (Congruent) होते हैं यदि उनके सभी भुजाएँ एवं सभी कोण क्रमशः बराबर हों।

Two triangles are congruent if all their corresponding sides and angles are equal.

सर्वांगसमता के नियम (Criteria for Congruence):

SSS (Side-Side-Side) नियम:

यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीनों भुजाओं के बराबर हों।

If three sides of one triangle are equal to three sides of another triangle.

SAS (Side-Angle-Side) नियम:

यदि दो भुजाएँ एवं उनके बीच का कोण क्रमशः बराबर हों।

If two sides and the included angle of one triangle are respectively equal to those of another triangle.

ASA (Angle-Side-Angle) नियम:

यदि दो कोण एवं उनके बीच की भुजा क्रमशः बराबर हों।

If two angles and the included side are respectively equal.

RHS (Right angle-Hypotenuse-Side) विशेषतः समकोण त्रिभुज के लिए:

समकोण त्रिभुज में समकोण, कर्ण एवं एक भुजा क्रमशः बराबर हों।

For right triangles: If hypotenuse and one side are equal.

नोट: AAA (Angle-Angle-Angle) से केवल सर्वरूपता (similarity) सिद्ध होती है, सर्वांगसमता नहीं।

Note: AAA only proves similarity, not congruence.

5. त्रिभुज की सर्वरूपता (Similarity of Triangles)

परिभाषा (Definition):

दो त्रिभुज सर्वरूप (Similar) होते हैं यदि उनके सभी कोण क्रमशः बराबर हों तथा भुजाएँ समानुपात में हों।

Two triangles are similar if their corresponding angles are equal and their corresponding sides are in proportion.

सर्वरूपता के नियम (Criteria):

AAA (Angle-Angle-Angle)
SSS (Side-Side-Side) समानुपात में
SAS (Side-Angle-Side) समानुपात में

6. त्रिभुज के कुछ विशेष बिंदु (Special Points of a Triangle)

1. समकेंद्र (Centroid):

त्रिभुज की तीनों माध्यमिकाएँ (medians) जिस बिंदु पर मिलती हैं, वह समकेंद्र कहलाता है।

Point of intersection of medians is called centroid.

2. लम्बकेंद्र (Orthocenter):

तीनों लम्बों (altitudes) का प्रतिछेदन बिंदु।

The intersection point of altitudes.

3. वृत्तकेंद्र (Circumcenter):

तीनों व्यासकों (perpendicular bisectors) का प्रतिछेदन बिंदु।

Intersection point of perpendicular bisectors.

4. अंतःकेंद्र (Incenter):

तीनों कोण द्विभाजकों का प्रतिछेदन बिंदु।

Intersection point of angle bisectors.

7. त्रिभुज की क्षेत्रफल (Area of Triangle)

(A) आधार और ऊँचाई से (Using Base and Height):

क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

Area = ½ × Base × Height

(B) हेरॉन का सूत्र (Heron's Formula):

यदि भुजाएँ a, b, c हैं, s = (a + b + c)/2 क्षेत्रफल = √[s(s–a)(s–b)(s–c)]

उदाहरण (Example): भुजाएँ 7 cm, 8 cm, 9 cm s = (7+8+9)/2 = 12 क्षेत्रफल = √[12(12–7)(12–8)(12–9)] = √[12×5×4×3] = √720 = 26.83 cm²

8. त्रिभुज की समरूपता और अनुप्रयोग (Similarity and Its Applications)

समरूप त्रिभुजों में, संबंधित भुजाओं का अनुपात समान होता है।

In similar triangles, the ratio of corresponding sides is equal.

अनुप्रयोग (Applications):

ऊँचाई मापना
छायाओं के द्वारा दूरी ज्ञात करना
नक्शा बनाना
वास्तुकला में

9. त्रिभुज से संबंधित प्रमेय (Theorems Related to Triangles)

प्रमेय 1: कोणों का योग

किसी भी त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।

The sum of interior angles of a triangle is 180°.

सिद्ध (Proof): त्रिभुज ABC में, एक रेखा DE, बिंदु A पर BC के समांतर खींचिए। Alternate angles के आधार पर सिद्ध करें कि ∠A + ∠B + ∠C = 180°

प्रमेय 2: बाह्य कोण का योग

त्रिभुज के बाह्य कोण = दो असन्निकट आंतरिक कोणों का योग

Exterior angle equals the sum of two non-adjacent interior angles.

प्रमेय 3: सर्वांगसमता के नियम (SSS, SAS, ASA, RHS)

🧮 हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1 (Example 1):

Q. त्रिभुज के कोण 50°, 60°, एवं तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।

Find the third angle of a triangle if two angles are 50° and 60°.

उत्तर (Solution): तीनों कोणों का योग = 180° तीसरा कोण = 180° – (50° + 60°) = 70°

उदाहरण 2 (Example 2):

Q. समद्विबाहु त्रिभुज के दो कोण 70° हैं। तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।

If two angles of an isosceles triangle are 70°, find the third angle.

उत्तर (Solution): तीनों कोणों का योग = 180° तीसरा कोण = 180° – 70° – 70° = 40°

उदाहरण 3 (Example 3):

Q. भुजाएँ 5 cm, 6 cm, 10 cm। क्या ये त्रिभुज बना सकती हैं?

Can sides 5 cm, 6 cm, 10 cm form a triangle?

उत्तर (Solution): 5 + 6 = 11 > 10 6 + 10 = 16 > 5 5 + 10 = 15 > 6 सभी योग तीसरी भुजा से अधिक हैं, अतः त्रिभुज बनेगा।

All sums are greater than the third side, so a triangle can be formed.

उदाहरण 4 (Example 4):

Q. त्रिभुज की भुजाएँ 8 cm, 15 cm, 17 cm हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Find the area of a triangle with sides 8 cm, 15 cm, 17 cm.

उत्तर (Solution): s = (8+15+17)/2 = 20 क्षेत्रफल = √[20×(20–8)×(20–15)×(20–17)] = √[20×12×5×3] = √3600 = 60 cm²

उदाहरण 5 (Example 5):

Q. यदि ΔABC ≅ ΔPQR, तो कौन-कौन सी भुजाएँ एवं कोण बराबर होंगे?

If ΔABC ≅ ΔPQR, which sides and angles are equal?

उत्तर (Solution): AB = PQ, BC = QR, CA = RP ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R

उदाहरण 6 (Example 6):

Q. यदि दो त्रिभुज समरूप हैं और एक की भुजाएँ 3 cm, 4 cm, 5 cm हैं, दूसरी की सबसे छोटी भुजा 6 cm है, तो अन्य भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

If two similar triangles have sides 3 cm, 4 cm, 5 cm and the smallest side of the other is 6 cm, find the other sides.

उत्तर (Solution): अनुपात = 6/3 = 2 अन्य भुजाएँ = 4×2 = 8 cm, 5×2 = 10 cm

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

Sum of angles of a triangle is 180°.

त्रिभुज की किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।

Sum of any two sides is greater than the third side.

समबाहु त्रिभुज के सभी कोण 60° होते हैं।

All angles of an equilateral triangle are 60°.

समद्विबाहु त्रिभुज की दो भुजाएँ एवं दो कोण बराबर होते हैं।

Isosceles triangle has two equal sides and two equal angles.

समकोण त्रिभुज में कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है।

Hypotenuse is the longest side in a right-angled triangle.

त्रिभुज की सर्वांगसमता के मुख्य नियम SSS, SAS, ASA, RHS हैं।

Main congruence rules are SSS, SAS, ASA, RHS.

समरूप त्रिभुजों की संबंधित भुजाएँ समानुपात में होती हैं।

Corresponding sides of similar triangles are proportional.

बाह्य कोण, दो असन्निकट आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है।

Exterior angle equals the sum of two non-adjacent interior angles.

समकेंद्र, लम्बकेंद्र, वृत्तकेंद्र, एवं अंतःकेंद्र – त्रिभुज के विशेष बिंदु हैं।

Centroid, orthocenter, circumcenter, incenter are special points.

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

Area = ½ × base × height.

Heron's formula से त्रिभुज का क्षेत्रफल जब तीनों भुजाएँ ज्ञात हों, निकाला जा सकता है।

Area can be found by Heron's formula when all sides are known.

त्रिभुज की सबसे बड़ी भुजा के सामने सबसे बड़ा कोण होता है।

Largest angle is opposite to the longest side.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक | गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Approach) | |--------|-------------------|-----------------------------| | 1 | त्रिभुज के कोणों का योग 360° मानना | हमेशा 180° लेना चाहिए (Always take as 180°) | | 2 | AAA से सर्वांगसमता सिद्ध करना | AAA से केवल सर्वरूपता सिद्ध होती है (Only similarity is proved) | | 3 | त्रिभुज असमानता का गलत उपयोग | दो भुजाओं का योग तीसरी से अधिक होना चाहिए (Sum of two sides > third side) | | 4 | समकोण त्रिभुज में कर्ण के स्थान पर अन्य भुजा लेना | कर्ण = सबसे लंबी भुजा (Hypotenuse is longest) | | 5 | Heron's formula में s गलत निकालना | s = (a+b+c)/2 सही से निकालें | | 6 | अनुपात में भुजाएँ गलत लेना | हमेशा संबंधित भुजाओं का अनुपात लें (Corresponding sides) | | 7 | सर्वांगसमता के नियमों में कोण/भुजा की स्थिति बदलना | क्रमशः स्थिति का ध्यान दें (Maintain order) | | 8 | क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई लिखना | सही सूत्र ½ × आधार × ऊँचाई | | 9 | समद्विबाहु त्रिभुज में तीसरा कोण गलत निकालना | दो बराबर कोण एक जैसे होते हैं | | 10 | समरूपता में अनुपात के स्थान पर अंतर लेना | अनुपात लेना अनिवार्य है (Use ratio, not difference) |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1-मार्क प्रश्न (1-mark Questions)

त्रिभुज के तीनों कोणों का योग कितना होता है?

What is the sum of three angles of a triangle?

उत्तर: 180°

समबाहु त्रिभुज के सभी कोण कितने डिग्री के होते हैं?

What is the measure of each angle in an equilateral triangle?

उत्तर: 60°

AAA से कौन-सा संबंध सिद्ध होता है?

What does AAA criterion prove?

उत्तर: सर्वरूपता (Similarity)

त्रिभुज की किसी दो भुजाओं के योग का तीसरी भुजा से संबंध लिखिए।

Write the relation of sum of any two sides to the third side in a triangle.

उत्तर: योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।

2-मार्क प्रश्न (2-mark Questions)

एक समद्विबाहु त्रिभुज के दो कोण 70° हैं, तीसरा कोण ज्ञात कीजिए।

If two angles of an isosceles triangle are 70°, find the third angle.

उत्तर: तीसरा कोण = 180° – 70° – 70° = 40°

ΔABC में, ∠A = 50°, ∠B = 60°, बाह्य कोण ∠ACD ज्ञात कीजिए।

In ΔABC, if ∠A = 50°, ∠B = 60°, find exterior angle ∠ACD.

उत्तर: ∠ACD = 50° + 60° = 110°

त्रिभुज की भुजाएँ 5 cm, 6 cm, 10 cm हैं। क्या यह त्रिभुज बनेगा?

Can sides 5 cm, 6 cm, 10 cm form a triangle?

उत्तर: हाँ, क्योंकि 5+6 > 10, 6+10 > 5, 5+10 > 6

त्रिभुज के विशेष बिंदुओं में से दो के नाम लिखिए।

Write names of any two special points of a triangle.

उत्तर: समकेंद्र (Centroid), अंतःकेंद्र (Incenter)

5-मार्क प्रश्न (5-mark Questions)

प्रश्न 1: त्रिभुज के कोणों का योग 180° सिद्ध कीजिए।

Prove that the sum of angles of a triangle is 180°.

उत्तर: ΔABC में, बिंदु A पर BC के समांतर एक रेखा DE खींचिए। ∠BAC = ∠1, ∠ABC = ∠2, ∠ACB = ∠3 DE || BC ⇒ Alternate angles: ∠EAB = ∠ABC = ∠2 ∠DAC = ∠ACB = ∠3 DE पर ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° (Linear pair) अतः ∠A + ∠B + ∠C = 180°

प्रश्न 2: SSS सर्वांगसमता नियम को उदाहरण सहित स्पष्ट कीजिए।

Explain SSS congruence criterion with example.

उत्तर: यदि ΔABC में AB = PQ, BC = QR, AC = PR, तो ΔABC ≅ ΔPQR उदाहरण: तीन छड़ी 5 cm, 6 cm, 7 cm की दो अलग-अलग त्रिभुजों में क्रमशः लगाएँ। दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होंगे।

प्रश्न 3: Heron's Formula का उपयोग करते हुए, भुजाएँ 7 cm, 8 cm, 9 cm वाली त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Find the area of a triangle with sides 7 cm, 8 cm, 9 cm using Heron's Formula.

उत्तर: s = (7+8+9)/2 = 12 क्षेत्रफल = √[12×5×4×3] = √720 = 26.83 cm²

प्रश्न 4: दो समरूप त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 2:3 है। यदि छोटी त्रिभुज की भुजाएँ 4 cm, 6 cm, 8 cm हैं, तो बड़ी त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

The sides of two similar triangles are in the ratio 2:3. If the smaller triangle has sides 4 cm, 6 cm, 8 cm, find the sides of the bigger triangle.

उत्तर: अनुपात = 2:3 बड़ी त्रिभुज की भुजाएँ = 4×3/2 = 6 cm, 6×3/2 = 9 cm, 8×3/2 = 12 cm

प्रश्न 5: त्रिभुज की असमानता को उदाहरण सहित समझाइए।

Explain triangle inequality with example.

उत्तर: त्रिभुज ABC में AB + BC > CA, AB + CA > BC, BC + CA > AB उदाहरण: भुजाएँ 3 cm, 4 cm, 8 cm 3+4 = 7 < 8, अतः त्रिभुज नहीं बनेगा। भुजाएँ 5 cm, 7 cm, 10 cm 5+7 = 12 > 10, 7+10 = 17 > 5, 10+5 = 15 > 7 अतः त्रिभुज बनेगा।

✨ समापन (Conclusion)

इस अध्याय में त्रिभुज की परिभाषा, प्रकार, गुण, प्रमेय, सर्वांगसमता, समरूपता, क्षेत्रफल, तथा उनके अनुप्रयोगों का विस्तार से अध्ययन किया गया। त्रिभुज की ये संकल्पनाएँ गणित के उच्चतर अध्ययनों के लिए आधारशिला हैं। (In this chapter, we studied the definition, types, properties, theorems, congruence, similarity, area, and applications of triangles. These concepts form the foundation for higher studies in mathematics.)

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These notes are complete, accurate, and highly useful for RBSE board examination.

मुख्य बिंदु (Key Points)

त्रिभुज तीन रेखा खंडों से बनी एक बंद आकृति है।
त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।
त्रिभुजों को उनके भुजाओं के आधार पर विषमभुज, समद्विबाहु और समभुज में वर्गीकृत किया जाता है।
त्रिभुजों को उनके कोणों के आधार पर तीक्ष्णकोण, समकोण और अधिककोण त्रिभुज में वर्गीकृत किया जाता है।
त्रिभुज के बाहरी कोण का मान उसके विपरीत स्थित दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है।
दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि उनकी संगत भुजाएँ और कोण बराबर हों।
त्रिभुजों की सर्वांगसमता के मापदंड हैं: SSS, SAS, ASA, और RHS।
यदि एक त्रिभुज के दो कोण दूसरे त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हैं, तो उनके तीसरे कोण भी बराबर होंगे।
त्रिभुज की किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।
समद्विबाहु त्रिभुज में, समान भुजाओं के सामने के कोण भी समान होते हैं।
त्रिभुज की माध्यिका वह रेखा खंड है जो किसी शीर्ष को उसकी विपरीत भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ती है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र 1/2 × आधार × ऊँचाई द्वारा ज्ञात किया जा सकता है।

Key Points

A triangle is a closed figure formed by three line segments.
The sum of the angles of a triangle is always 180 degrees.
Triangles are classified as scalene, isosceles, and equilateral based on their sides.
Triangles are also classified as acute-angled, right-angled, and obtuse-angled based on their angles.
The exterior angle of a triangle is equal to the sum of the two opposite interior angles.
Two triangles are congruent if their corresponding sides and angles are equal.
The criteria for congruence of triangles are: SSS, SAS, ASA, and RHS.
If two angles of one triangle are equal to two angles of another triangle, then their third angles are also equal.
The sum of any two sides of a triangle is greater than the third side.
In an isosceles triangle, angles opposite to equal sides are equal.
A median of a triangle is a line segment joining a vertex to the midpoint of the opposite side.
The area of a triangle can be calculated using the formula: 1/2 × base × height.

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

किसी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग है:

वह त्रिभुज जिसमें सभी भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं, कहलाता है:

समकोण त्रिभुज में समकोण के सामने वाली भुजा को कहते हैं:

यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ 5 सेमी और 7 सेमी हैं, तो तीसरी भुजा:

निम्न में से कौन समबाहु त्रिभुज का गुण है?

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त्रिभुज (Triangles) एक नज़र में: त्रिभुज एक बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ, तीन कोण और तीन शीर्ष होते हैं। इस अध्याय में हम त्रिभुज की परिभाषा, प्रकार, गुण,…

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