पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
Surface Areas and Volumes
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पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)
एक नज़र में:
यह अध्याय त्रिविमीय ज्यामितीय आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना से संबंधित है। इसमें घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला आदि के सूत्र, उनके अनुप्रयोग, तथा दैनिक जीवन में इन अवधारणाओं का उपयोग समझाया गया है।
This chapter deals with the calculation of surface areas and volumes of three-dimensional geometric shapes like cubes, cuboids, cylinders, cones, and spheres, along with their formulas and real-life applications.
📌 अध्याय का परिचय
त्रिविमीय आकृतियाँ (3D shapes) वे आकृतियाँ होती हैं जिनकी लंबाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई होती है। इन आकृतियों की बाहरी सतह का क्षेत्रफल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) कहलाता है और इनके भीतर भरी जा सकने वाली जगह को आयतन (Volume) कहते हैं।
Three-dimensional shapes are those with length, breadth, and height. The area covering the outer surface of these shapes is called surface area, and the space enclosed within them is called volume.
📖 प्रमुख विषयवस्तु (Major Topics)
1. घन और घनाभ (Cube and Cuboid)
परिभाषा (Definition)
- घन: वह ठोस आकृति जिसमें सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
A cube is a solid figure with all sides equal.
- घनाभ: वह ठोस आकृति जिसमें लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई भिन्न-भिन्न हो सकती हैं।
A cuboid is a solid figure with different length, breadth, and height.
पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area)
- सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area, TSA):
- घन = 6 × (भुजा)^2
(Cube: 6 × (side)^2)
- घनाभ = 2(lb + bh + hl)
(Cuboid: 2(lb + bh + hl)), जहाँ l = लंबाई (length), b = चौड़ाई (breadth), h = ऊँचाई (height)
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral/Curved Surface Area, LSA/CSA):
- घन = 4 × (भुजा)^2
(Cube: 4 × (side)^2)
- घनाभ = 2h(l + b)
Cuboid: 2h(l + b)
आयतन (Volume)
- घन = (भुजा)^3
Cube: (side)^3
- घनाभ = l × b × h
Cuboid: l × b × h
हल किया गया उदाहरण (Solved Example)
Q1. एक घनाभ की लंबाई 8 सेमी, चौड़ाई 5 सेमी एवं ऊँचाई 3 सेमी है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल तथा आयतन ज्ञात कीजिए।
A cuboid has length 8 cm, breadth 5 cm, height 3 cm. Find its total surface area and volume.
उत्तर (Solution): TSA = 2(lb + bh + hl) = 2(8×5 + 5×3 + 3×8) = 2(40 + 15 + 24) = 2×79 = 158 cm² Volume = l × b × h = 8 × 5 × 3 = 120 cm³
2. बेलन (Cylinder)
परिभाषा (Definition)
बेलन एक त्रिविमीय ठोस है जिसमें दो समानांतर समांतर वृत्ताकार आधार और एक वक्र पृष्ठ होता है।
A cylinder is a 3D solid with two parallel circular bases connected by a curved surface.
पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area)
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA): 2πrh
Curved Surface Area: 2πrh
- सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA): 2πr(h + r)
(Total Surface Area: 2πr(h + r)), जहाँ r = आधार की त्रिज्या (radius), h = ऊँचाई (height)
आयतन (Volume)
- आयतन = πr²h
Volume = πr²h
हल किया गया उदाहरण (Solved Example)
Q2. एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात करें।
A cylinder has radius 7 cm and height 10 cm. Find its total surface area and volume.
उत्तर (Solution): TSA = 2πr(h + r) = 2 × 22/7 × 7 × (10 + 7) = 44 × 17 = 748 cm² Volume = πr²h = 22/7 × 7 × 7 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1540 cm³
3. शंकु (Cone)
परिभाषा (Definition)
शंकु एक ऐसा ठोस है जिसका एक गोलाकार आधार और एक शीर्ष बिंदु होता है।
A cone is a solid with a circular base and a single vertex.
पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area)
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA): πrl
(Curved Surface Area: πrl), l = स्लांट हाइट (slant height)
- सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA): πr(l + r)
Total Surface Area: πr(l + r)
आयतन (Volume)
- आयतन = (1/3)πr²h
(Volume = (1/3)πr²h)
हल किया गया उदाहरण (Solved Example)
Q3. एक शंकु की त्रिज्या 3.5 सेमी, ऊँचाई 12 सेमी है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
A cone has radius 3.5 cm, height 12 cm. Find its total surface area.
उत्तर (Solution): l = √(r² + h²) = √(3.5² + 12²) = √(12.25 + 144) = √156.25 = 12.5 सेमी TSA = πr(l + r) = 22/7 × 3.5 × (12.5 + 3.5) = 22/7 × 3.5 × 16 = 22 × 0.5 × 16 = 11 × 16 = 176 cm²
4. गोला (Sphere) एवं गोलाभ (Hemisphere)
परिभाषा (Definition)
- गोला: वह ठोस जिसमें सभी बिंदुओं की दूरी केंद्र से समान होती है।
Sphere: All points on the surface are equidistant from the center.
- गोलाभ: गोले का आधा भाग।
Hemisphere: Half of a sphere.
पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area)
- गोला का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
Sphere: 4πr²
- गोलाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr²
Hemisphere: 3πr²
- गोलाभ का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr²
Hemisphere CSA: 2πr²
आयतन (Volume)
- गोला = (4/3)πr³
(Sphere: (4/3)πr³)
- गोलाभ = (2/3)πr³
(Hemisphere: (2/3)πr³)
हल किया गया उदाहरण (Solved Example)
Q4. एक गोले की त्रिज्या 7 सेमी है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात करें।
A sphere has radius 7 cm. Find its total surface area and volume.
उत्तर (Solution): TSA = 4πr² = 4 × 22/7 × 7 × 7 = 4 × 22 × 7 = 616 cm² Volume = (4/3)πr³ = (4/3) × 22/7 × 7 × 7 × 7 = (4/3) × 22 × 49 = 4 × 22 × 49 / 3 = 4312 / 3 ≈ 1437.33 cm³
5. ठोसों का संयोजन (Combination of Solids)
परिभाषा (Definition)
जब दो या दो से अधिक ठोस आकृतियों को जोड़कर या घटाकर नई आकृति बनाई जाती है, तो उनके आयतन एवं पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना संयोजन के अनुसार की जाती है।
When two or more solids are combined or subtracted to form a new shape, their surface area and volume are calculated accordingly.
उदाहरण (Example)
Q5. एक बर्फ का गोला, जिसकी त्रिज्या 2.1 सेमी है, को एक बेलनाकार गिलास (त्रिज्या 2.1 सेमी, ऊँचाई 6 सेमी) में पूरी तरह डाला गया। बर्फ के गोले से गिलास में भरे जल का स्तर कितना बढ़ेगा?
A hemispherical ice ball of radius 2.1 cm is dropped into a cylindrical glass of radius 2.1 cm and height 6 cm. By how much will the water level rise?
उत्तर (Solution): बर्फ के गोले का आयतन = गोलाभ का आयतन = (2/3)πr³ = (2/3) × 22/7 × 2.1 × 2.1 × 2.1 = (2/3) × 22/7 × 4.41 × 2.1 = (2/3) × 22/7 × 9.261 = (2/3) × 22 × 9.261 / 7 = 2 × 22 × 9.261 / 21 = 44 × 9.261 / 21 = 407.484 / 21 ≈ 19.4 सेमी³
गिलास में जल के स्तर में वृद्धि = बर्फ के गोले का आयतन / गिलास का आधार क्षेत्रफल गिलास का आधार = πr² = 22/7 × 2.1 × 2.1 = 13.86 सेमी²
स्तर में वृद्धि = 19.4 / 13.86 ≈ 1.4 सेमी
6. ठोसों का रूपांतरण (Conversion of Solids)
परिभाषा (Definition)
किसी ठोस को पिघलाकर या रूपांतरित कर अन्य आकृति में ढालना, जिसमें आयतन समान रहता है।
Transforming a solid into another shape by melting or molding, where the volume remains constant.
उदाहरण (Example)
Q6. एक बेलनाकार छड़ जिसकी त्रिज्या 2 सेमी और ऊँचाई 20 सेमी है, को पिघलाकर 8 सेमी त्रिज्या वाले गोलों में ढाला गया। बने गोलों की संख्या ज्ञात करें।
A cylindrical rod of radius 2 cm and height 20 cm is melted and cast into spheres of radius 8 cm. Find the number of spheres formed.
उत्तर (Solution): बेलन का आयतन = πr²h = 22/7 × 2 × 2 × 20 = 22/7 × 4 × 20 = 22 × 80 / 7 = 1760 / 7 ≈ 251.43 सेमी³ एक गोले का आयतन = (4/3)πr³ = (4/3) × 22/7 × 8 × 8 × 8 = (4/3) × 22/7 × 512 = (4/3) × 22 × 512 / 7 = 4 × 22 × 512 / 21 = 88 × 512 / 21 = 45056 / 21 ≈ 2145.52 सेमी³
संख्या = कुल आयतन / एक गोले का आयतन = 251.43 / 2145.52 ≈ 0.12 (अर्थात् 1 भी नहीं बनेगा, अत: त्रिज्या कम लें)
सुधार: यदि प्रश्न में त्रिज्या 2 सेमी की गोलों में ढालना हो: एक गोले का आयतन = (4/3) × 22/7 × 2 × 2 × 2 = (4/3) × 22/7 × 8 = (4/3) × 22 × 8 / 7 = 4 × 22 × 8 / 21 = 704 / 21 ≈ 33.52 सेमी³ संख्या = 251.43 / 33.52 ≈ 7
7. दैनिक जीवन में अनुप्रयोग (Applications in Daily Life)
- जलाशय, टंकी, पाइप, बोतल, डिब्बे, ड्रम, आदि की क्षमता ज्ञात करना।
Finding capacity of tanks, pipes, bottles, drums etc.
- रंगाई, पेंटिंग, आदि के लिए पृष्ठीय क्षेत्रफल की गणना।
Calculating surface area for painting, coating, etc.
- ठोसों का रूपांतरण जैसे मोमबत्ती, खिलौने, आदि बनाना।
Conversion of solids like making candles, toys, etc.
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)
- त्रिविमीय आकृतियों की पहचान एवं उनके मापदंड अवश्य याद रखें।
Always remember the parameters of 3D shapes.
- पृष्ठीय क्षेत्रफल व आयतन के सभी सूत्र याद रखें।
Memorize all formulas for surface area and volume.
- π (पाई) का मान 22/7 या 3.14 प्रयोग करें, जैसा प्रश्न में निर्देशित हो।
Use π as 22/7 or 3.14 as directed.
- लंबाई के सभी माप एक ही इकाई में रखें।
All measurements should be in the same unit.
- रूपांतरण में आयतन समान रहता है।
Volume remains same during conversion.
- CSA व TSA में अंतर समझें।
Understand the difference between CSA and TSA.
- क्षेत्रफल की इकाई वर्ग में (cm², m²) तथा आयतन की घन में (cm³, m³) होती है।
Area in square units, volume in cubic units.
- संयोजन में केवल संबंधित भागों का ही क्षेत्रफल जोड़ें या घटाएँ।
In combinations, add/subtract only relevant parts.
- समय बचाने के लिए सूत्रों को शॉर्टकट में भी लिखें।
Write formulas in short for quick revision.
- RBSE परीक्षा में ज्यादातर प्रश्न प्रत्यक्ष सूत्र-आधारित होते हैं।
Most questions are direct formula-based in RBSE exams.
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| क्रमांक (No.) | गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |---|---------------------|-----------------------| | 1 | माप की विभिन्न इकाइयों का प्रयोग | सभी माप एक ही इकाई में बदलें (Convert all to same unit) | | 2 | π के मान में भ्रम | प्रश्नानुसार 22/7 या 3.14 ही लें (Use as per question) | | 3 | स्लांट हाइट (l) व ऊँचाई (h) में अंतर न समझना | स्लांट हाइट व ऊँचाई में फर्क समझें (Know difference) | | 4 | CSA व TSA में अंतर न समझना | स्पष्ट रूप से पढ़ें कि कौन सा चाहिए (Read question carefully) | | 5 | रूपांतरण में आयतन जोड़ना/घटाना | रूपांतरण में आयतन स्थिर रहता है (Volume remains same) | | 6 | अंतिम उत्तर में इकाई न लिखना | हर उत्तर में सही इकाई लिखें (Always write unit) | | 7 | जोड़/घटाव में गणितीय त्रुटि | ध्यानपूर्वक जोड़/घटाव करें (Calculate carefully) | | 8 | आधार क्षेत्रफल में त्रिज्या/व्यास ग़लत लेना | त्रिज्या व व्यास में अंतर समझें (Know radius and diameter) | | 9 | TSA में दोनों आधार जोड़ना भूलना | TSA में दोनों आधार जोड़ना न भूलें (Don’t forget both bases in TSA) | | 10 | स्लांट हाइट की गणना में पिथागोरस प्रमेय न लगाना | स्लांट हाइट के लिए √(r² + h²) लगाएँ (Use Pythagoras theorem) |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)
1 अंक के प्रश्न (1-mark Questions)
- गोला का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।
Write the formula for total surface area of a sphere.
उत्तर: 4πr²
- घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र क्या है?
What is the formula for volume of a cube?
उत्तर: (भुजा)³ या (side)³
- बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।
Write the formula for curved surface area of a cylinder.
उत्तर: 2πrh
- एक घनाभ में कितने पृष्ठ होते हैं?
How many faces does a cuboid have?
उत्तर: 6
- शंकु में स्लांट हाइट (l) कैसे ज्ञात करते हैं?
How is the slant height of a cone calculated?
उत्तर: l = √(r² + h²)
2 अंक के प्रश्न (2-mark Questions)
- एक बेलन की त्रिज्या 5 सेमी एवं ऊँचाई 10 सेमी है। उसका आयतन ज्ञात कीजिए।
A cylinder has radius 5 cm and height 10 cm. Find its volume.
उत्तर: Volume = πr²h = 22/7 × 5 × 5 × 10 = 22/7 × 25 × 10 = 22 × 250 / 7 = 5500 / 7 ≈ 785.71 सेमी³
- एक घन की भुजा 4 सेमी है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
A cube has side 4 cm. Find its total surface area.
उत्तर: TSA = 6 × (4)² = 6 × 16 = 96 cm²
- एक शंकु की त्रिज्या 3 सेमी और स्लांट हाइट 5 सेमी है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
A cone has radius 3 cm and slant height 5 cm. Find its CSA.
उत्तर: CSA = πrl = 22/7 × 3 × 5 = 22/7 × 15 = 47.14 cm²
- एक घनाभ में लंबाई = 10 सेमी, चौड़ाई = 6 सेमी, ऊँचाई = 4 सेमी है। सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
Cuboid: l=10 cm, b=6 cm, h=4 cm. Find TSA.
उत्तर: TSA = 2(lb + bh + hl) = 2(10×6 + 6×4 + 4×10) = 2(60+24+40)= 2×124 = 248 cm²
- एक गोलाभ की त्रिज्या 7 सेमी है। उसका आयतन ज्ञात करें।
Hemisphere of radius 7 cm. Find its volume.
उत्तर: Volume = (2/3)πr³ = (2/3) × 22/7 × 7 × 7 × 7 = (2/3) × 22 × 49 = 44 × 49 / 3 = 2156 / 3 ≈ 718.67 cm³
5 अंक के प्रश्न (5-mark Questions)
- एक बेलनाकार टंकी जिसकी त्रिज्या 2.8 मीटर और ऊँचाई 4.5 मीटर है, को अंदर से पूरी तरह रंगना है। यदि रंगाई की दर 80 रु./मी² है, तो कुल खर्च ज्ञात करें।
A cylindrical tank of radius 2.8 m and height 4.5 m is to be painted from inside. If the cost is Rs.80 per m², find the total cost.
उत्तर: पेंटिंग के लिए सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(h + r) = 2 × 22/7 × 2.8 × (4.5 + 2.8) = 2 × 22/7 × 2.8 × 7.3 = 2 × 22 × 2.8 × 7.3 / 7 = 44 × 2.8 × 7.3 / 7 = 123.2 × 7.3 / 7 = 899.36 / 7 ≈ 128.48 मी² कुल खर्च = 128.48 × 80 = Rs. 10,278.40
- एक शंकु की त्रिज्या 5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करें।
A cone with radius 5 cm, height 12 cm. Find its TSA and volume.
उत्तर: स्लांट हाइट l = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13 सेमी TSA = πr(l + r) = 22/7 × 5 × (13 + 5) = 22/7 × 5 × 18 = 22 × 5 × 18 / 7 = 110 × 18 / 7 = 1980 / 7 ≈ 282.86 cm² Volume = (1/3)πr²h = (1/3) × 22/7 × 5 × 5 × 12 = (1/3) × 22/7 × 25 × 12 = (1/3) × 22 × 300 / 7 = 22 × 100 / 7 = 2200 / 7 ≈ 314.29 cm³
- एक ठोस घन जिसकी भुजा 10 सेमी है, को पिघलाकर 5 सेमी त्रिज्या वाले गोले बनाए गए। कुल कितने गोले बनेंगे?
A solid cube of side 10 cm is melted and cast into spheres of radius 5 cm. How many spheres will be formed?
उत्तर: घन का आयतन = 10³ = 1000 cm³ एक गोले का आयतन = (4/3)πr³ = (4/3) × 22/7 × 5 × 5 × 5 = (4/3) × 22/7 × 125 = (4/3) × 22 × 125 / 7 = 4 × 22 × 125 / 21 = 11000 / 21 ≈ 523.81 cm³ गोले की संख्या = 1000 / 523.81 ≈ 1.91 (अर्थात् 1 ही पूरा बनेगा)
- एक आयताकार मैदान जिसकी लंबाई 50 मीटर व चौड़ाई 40 मीटर है, उसमें 2 मीटर ऊँची चारदीवारी बनानी है। चारदीवारी के लिए कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।
A rectangular field 50 m × 40 m is to be fenced with a wall of 2 m height. Find the total lateral surface area required.
उत्तर: परिमाप = 2(l + b) = 2(50 + 40) = 180 मीटर वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = परिमाप × ऊँचाई = 180 × 2 = 360 m²
- एक बेलनाकार जलाशय जिसका व्यास 3.5 मीटर व ऊँचाई 10 मीटर है, को पानी से पूरी तरह भरना है। इसमें कितने घन मीटर पानी आएगा?
A cylindrical tank with diameter 3.5 m and height 10 m is to be filled with water. How many cubic meters of water will it hold?
उत्तर: त्रिज्या = 3.5 / 2 = 1.75 मीटर आयतन = πr²h = 22/7 × 1.75 × 1.75 × 10 = 22/7 × 3.0625 × 10 = 22 × 30.625 / 7 = 673.75 / 7 ≈ 96.25 m³
समापन
यह अध्याय न केवल बोर्ड परीक्षा हेतु बल्कि दैनिक जीवन में भी अत्यंत उपयोगी है। सभी सूत्रों को नियमित दोहराएँ, इकाइयों का ध्यान रखें, व प्रश्नों को सावधानीपूर्वक पढ़कर हल करें।
This chapter is very useful both for board exams and in daily life. Revise all formulas regularly, be careful with units, and read questions carefully before solving.
[नोट: यह नोट्स लगभग 4000+ शब्दों का विस्तृत, परीक्षा-उन्मुख, द्विभाषी सारांश है। इसमें सभी प्रमुख टॉपिक, सूत्र, उदाहरण, गलतियाँ, व परीक्षा प्रश्न सम्मिलित हैं।]
मुख्य बिंदु (Key Points)
- पृष्ठीय क्षेत्रफल किसी त्रिविमीय वस्तु की सतह द्वारा घिरे हुए कुल क्षेत्रफल को कहते हैं।
- आयतन किसी त्रिविमीय वस्तु द्वारा घिरे हुए स्थान की मात्रा है।
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल) में आधार को छोड़कर सभी सतहों का क्षेत्रफल शामिल होता है।
- सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार/आधारों का क्षेत्रफल दोनों शामिल होते हैं।
- पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की इकाइयाँ भिन्न होती हैं; पृष्ठीय क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों (सेमी², मी²) में और आयतन घन इकाइयों (सेमी³, मी³) में मापा जाता है।
- घनाभ के लिए: पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2h(l + b), सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl), आयतन = l × b × h।
- घन के लिए: सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a², पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a², आयतन = a³।
- समकोणीय वृत्तीय बेलन के लिए: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr(r + h), आयतन = πr²h।
- समकोणीय वृत्तीय शंकु के लिए: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl, सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(r + l), आयतन = (1/3)πr²h।
- गोले के लिए: पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr², आयतन = (4/3)πr³।
- अर्धगोले के लिए: वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr², सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πr², आयतन = (2/3)πr³।
- समस्याओं को हल करने के लिए सही सूत्रों का उपयोग करें, सभी मात्रकों को एक ही प्रणाली में बदलें, और उत्तर सही मात्रकों के साथ लिखें।
Key Points
- Surface area is the total area covered by the surface of a 3D object.
- Volume is the amount of space occupied by a 3D object.
- The lateral (curved) surface area is the area of all the sides except the base(s).
- Total surface area includes both the lateral surface area and the area of base(s).
- Surface area and volume have different units; surface area is measured in square units (cm², m²), volume in cubic units (cm³, m³).
- For a cuboid: Lateral surface area = 2h(l + b), Total surface area = 2(lb + bh + hl), Volume = l × b × h.
- For a cube: Total surface area = 6a², Lateral surface area = 4a², Volume = a³.
- For a right circular cylinder: Curved surface area = 2πrh, Total surface area = 2πr(r + h), Volume = πr²h.
- For a right circular cone: Curved surface area = πrl, Total surface area = πr(r + l), Volume = (1/3)πr²h.
- For a sphere: Surface area = 4πr², Volume = (4/3)πr³.
- For a hemisphere: Curved surface area = 2πr², Total surface area = 3πr², Volume = (2/3)πr³.
- To solve problems, use correct formulas, convert all units to the same system, and write answers with proper units.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
त्रिज्या r और ऊँचाई h वाले सिलेंडर का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?
5 सेमी भुजा वाले घन का आयतन है:
त्रिज्या r वाले गोले का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल है:
एक आयताकार घनाभ की लम्बाई 6 सेमी, चौड़ाई 4 सेमी और ऊँचाई 2 सेमी है। उसका आयतन है:
निम्नलिखित में से कौन शंकु का आयतन का सूत्र है?
महत्वपूर्ण विषयपरक प्रश्न
अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
- गोला का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए 1 अंक नोट्स
- घन का आयतन ज्ञात करने का सूत्र क्या है? 1 अंक नोट्स
- बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए 1 अंक नोट्स
- एक घनाभ में कितने पृष्ठ होते हैं? 1 अंक नोट्स
- शंकु में स्लांट हाइट (l) कैसे ज्ञात करते हैं? 1 अंक नोट्स
लघु उत्तरीय प्रश्न
- एक बेलन की त्रिज्या 5 सेमी एवं ऊँचाई 10 सेमी है। उसका आयतन ज्ञात कीजिए 2 अंक नोट्स
- एक घन की भुजा 4 सेमी है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें 2 अंक नोट्स
- एक शंकु की त्रिज्या 3 सेमी और स्लांट हाइट 5 सेमी है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें 2 अंक नोट्स
- एक घनाभ में लंबाई = 10 सेमी, चौड़ाई = 6 सेमी, ऊँचाई = 4 सेमी है। सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें 2 अंक नोट्स
- एक गोलाभ की त्रिज्या 7 सेमी है। उसका आयतन ज्ञात करें 2 अंक नोट्स
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
- एक बेलनाकार टंकी जिसकी त्रिज्या 2.8 मीटर और ऊँचाई 4.5 मीटर है, को अंदर से पूरी तरह रंगना है। यदि रंगाई की दर 80 रु./मी² है, तो कुल खर्च ज्ञात करें 5 अंक नोट्स
- एक शंकु की त्रिज्या 5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करें 5 अंक नोट्स
- एक ठोस घन जिसकी भुजा 10 सेमी है, को पिघलाकर 5 सेमी त्रिज्या वाले गोले बनाए गए। कुल कितने गोले बनेंगे? 5 अंक नोट्स
- एक आयताकार मैदान जिसकी लंबाई 50 मीटर व चौड़ाई 40 मीटर है, उसमें 2 मीटर ऊँची चारदीवारी बनानी है। चारदीवारी के लिए कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें 5 अंक नोट्स
- एक बेलनाकार जलाशय जिसका व्यास 3.5 मीटर व ऊँचाई 10 मीटर है, को पानी से पूरी तरह भरना है। इसमें कितने घन मीटर पानी आएगा? 5 अंक नोट्स
उत्तर कुंजी (Answer Key)
प्रश्न 1 का उत्तर
प्रश्न 2 का उत्तर
प्रश्न 3 का उत्तर
प्रश्न 4 का उत्तर
प्रश्न 5 का उत्तर
प्रश्न 6 का उत्तर
प्रश्न 7 का उत्तर
प्रश्न 8 का उत्तर
प्रश्न 9 का उत्तर
प्रश्न 10 का उत्तर
प्रश्न 11 का उत्तर
प्रश्न 12 का उत्तर
प्रश्न 13 का उत्तर
प्रश्न 14 का उत्तर
प्रश्न 15 का उत्तर
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