menu_bookRBSE · गणित (Mathematics) · अध्याय 3

निर्देशांक ज्यामिति

Coordinate Geometry

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निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)

एक नज़र में:

निर्देशांक ज्यामिति वह शाखा है जिसमें बिंदुओं की स्थिति को अक्षांश (x-अक्ष) तथा देशांश (y-अक्ष) के आधार पर ज्ञात किया जाता है। इससे हम ज्यामितीय आकृतियों का विश्लेषण संख्या पद्धति से कर सकते हैं।

Coordinate Geometry is the branch of mathematics in which the position of points is determined using the x-axis (abscissa) and y-axis (ordinate). It allows us to analyze geometric figures numerically.

📌 अध्याय का परिचय

निर्देशांक ज्यामिति गणित की वह शाखा है जिसमें रेखाओं, वक्रों तथा आकृतियों के ज्यामितीय गुणों को संख्याओं द्वारा व्यक्त किया जाता है। यह दो रेखाओं— क्षैतिज (x-अक्ष) और ऊर्ध्वाधर (y-अक्ष)— के सहारे किसी बिंदु की स्थिति को स्पष्ट रूप से दर्शाती है।

Coordinate geometry is the branch of mathematics in which the geometric properties of lines, curves, and figures are expressed through numbers. It uses two lines— the horizontal (x-axis) and the vertical (y-axis)— to specify the exact position of a point.

मुख्य उद्देश्य (Main Objectives):

बिंदु की स्थिति ज्ञात करना

Locating the position of a point

दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करना

Finding distance between two points

मध्यबिंदु ज्ञात करना

Finding the midpoint

ज्यामितीय आकृतियों का विश्लेषण करना

Analyzing geometric figures

📖 प्रमुख विषय-वस्तु (Major Topics)

1. निर्देशांक ज्यामिति का इतिहास एवं आवश्यकता

इतिहास (History)

निर्देशांक ज्यामिति का आरंभ 17वीं शताब्दी में फ्रांसीसी गणितज्ञ रेने डेसकार्टेस ने किया था। इसीलिए इसे 'डेसकार्टियन ज्यामिति' भी कहा जाता है।

Coordinate geometry started in the 17th century with French mathematician René Descartes, hence it is also called 'Cartesian Geometry'.

आवश्यकता (Need)

जटिल ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए संख्यात्मक विधि

Numerical method to solve complex geometric problems

भौतिक विज्ञान, इंजीनियरिंग, कंप्यूटर ग्राफिक्स आदि में उपयोग

Used in physics, engineering, computer graphics, etc.

2. निर्देशांक अक्ष (Coordinate Axes)

परिभाषा (Definition)

निर्देशांक पद्धति में, दो लंबवत रेखाएँ— क्षैतिज (x-अक्ष) और ऊर्ध्वाधर (y-अक्ष)— को एक-दूसरे को काटते हुए दर्शाया जाता है।

In the coordinate system, two perpendicular lines—horizontal (x-axis) and vertical (y-axis)—intersect each other.

मूल बिंदु (Origin)

जहाँ x-अक्ष और y-अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं, उसे मूल बिंदु (O) कहते हैं। इसके निर्देशांक (0, 0) होते हैं।

The point where x-axis and y-axis intersect is called the origin (O) and its coordinates are (0, 0).

निर्देशांक (Coordinates)

किसी भी बिंदु की स्थिति को (x, y) रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ x— क्षैतिज दूरी, y— ऊर्ध्वाधर दूरी होती है।

The position of any point is shown as (x, y), where x is the horizontal distance and y is the vertical distance.

समतल का विभाजन (Division of the Plane)

x-अक्ष और y-अक्ष मिलकर समतल को चार भागों (चतुर्थांश) में विभाजित करते हैं।

The x and y axes divide the plane into four parts called quadrants.

चार चतुर्थांश (Four Quadrants):

| चतुर्थांश | x का संकेत | y का संकेत | |-----------|-----------|------------| | प्रथम | + | + | | द्वितीय | - | + | | तृतीय | - | - | | चतुर्थ | + | - |

First: x+, y+; Second: x-, y+; Third: x-, y-; Fourth: x+, y-

चित्रण: ![Coordinate Axes and Quadrants](https://i.imgur.com/6F0WQ2I.png) (चित्र केवल संदर्भ हेतु है)

3. निर्देशांक ज्ञात करना (To Locate Coordinates of a Point)

नियम (Rules):

बिंदु P(x, y) x-अक्ष से x इकाई दाईं या बाईं और, y-अक्ष से y इकाई ऊपर या नीचे स्थित होता है।

Point P(x, y) is x units to the right/left of y-axis and y units above/below x-axis.

उदाहरण (Example):

बिंदु (4, 3): मूल से 4 इकाई दाईं ओर और 3 इकाई ऊपर।
बिंदु (-2, -5): मूल से 2 इकाई बाईं ओर और 5 इकाई नीचे।

4. दो बिंदुओं के बीच की दूरी (Distance between Two Points)

सूत्र (Formula):

यदि दो बिंदुओं के निर्देशांक A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) हैं, तो उनके बीच की दूरी—

If coordinates of A are (x₁, y₁) and B are (x₂, y₂), the distance between them is:

\[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

व्युत्पत्ति (Derivation):

मान लीजिए बिंदु A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) हैं। Draw a right triangle with AB as hypotenuse.

क्षैतिज दूरी = (x₂ - x₁)
ऊर्ध्वाधर दूरी = (y₂ - y₁)

Pythagoras theorem से: \[ AB^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 \] \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

हल उदाहरण (Solved Example):

उदाहरण 1: A(2, 3) और B(7, 11) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

Find the distance between A(2, 3) and B(7, 11).

हल: x₁ = 2, y₁ = 3, x₂ = 7, y₂ = 11

\[ AB = \sqrt{(7-2)^2 + (11-3)^2} = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89} \approx 9.43 \text{ units} \]

5. बिंदु और अक्ष के बीच की दूरी (Distance of a Point from Axes)

बिंदु P(x, y) की x-अक्ष से दूरी = |y|
बिंदु P(x, y) की y-अक्ष से दूरी = |x|

(For a point P(x, y): Distance from x-axis = |y| Distance from y-axis = |x|)

उदाहरण: P(-6, 5) की x-अक्ष से दूरी = |5| = 5 units y-अक्ष से दूरी = |-6| = 6 units

6. मध्यबिंदु सूत्र (Midpoint Formula)

सूत्र (Formula):

यदि दो बिंदुओं के निर्देशांक A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) हैं, तो इनके बीच की रेखाखंड का मध्यबिंदु M:

\[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]

हल उदाहरण (Solved Example):

उदाहरण 2: A(4, 6) तथा B(8, 10) के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Find the midpoint of A(4, 6) and B(8, 10).

हल: x₁ = 4, y₁ = 6, x₂ = 8, y₂ = 10

\[ M = \left( \frac{4 + 8}{2}, \frac{6 + 10}{2} \right) = \left( \frac{12}{2}, \frac{16}{2} \right) = (6, 8) \]

7. रेखाखंड को किसी अनुपात में विभाजित करने का सूत्र (Section Formula)

सूत्र (Formula):

यदि बिंदु P(x, y), रेखाखंड AB को अनुपात m:n में विभाजित करता है और A(x₁, y₁), B(x₂, y₂) हैं, तो

\[ P(x, y) = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right) \]

(If P(x, y) divides AB in the ratio m:n, then \( P(x, y) = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right) \))

हल उदाहरण:

उदाहरण 3: A(2, 3) और B(8, 7) को अनुपात 2:3 में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Find the coordinates of the point dividing AB in ratio 2:3.

हल: x₁ = 2, y₁ = 3, x₂ = 8, y₂ = 7, m = 2, n = 3

\[ x = \frac{2 \times 8 + 3 \times 2}{2+3} = \frac{16 + 6}{5} = \frac{22}{5} = 4.4 \] \[ y = \frac{2 \times 7 + 3 \times 3}{2+3} = \frac{14 + 9}{5} = \frac{23}{5} = 4.6 \]

अर्थात् बिंदु के निर्देशांक (4.4, 4.6) हैं।

8. त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र (Area of a Triangle Given Vertices)

सूत्र (Formula):

यदि त्रिभुज के शीर्ष A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) हैं, तो उसका क्षेत्रफल—

\[ \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) | \]

If triangle vertices are A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃), then area is:

\[ \text{Area} = \frac{1}{2} | x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) | \]

हल उदाहरण:

उदाहरण 4: A(2, 3), B(4, 8), C(5, 3) के लिए क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} | 2(8-3) + 4(3-3) + 5(3-8) | = \frac{1}{2} | 2 \times 5 + 4 \times 0 + 5 \times (-5) | = \frac{1}{2} | 10 + 0 -25 | = \frac{1}{2} | -15 | = \frac{15}{2} = 7.5 \text{ वर्ग इकाई} \]

9. बिंदु की समकोण स्थिति (Collinearity of Points)

यदि तीन बिंदुओं के क्षेत्रफल का मान शून्य हो, तो वे समकोण (collinear) होते हैं।

If the area of triangle formed by three points is zero, they are collinear.

उदाहरण: A(1, 2), B(2, 3), C(3, 4)

\[ \text{Area} = \frac{1}{2} | 1(3-4) + 2(4-2) + 3(2-3) | = \frac{1}{2} | 1 \times (-1) + 2 \times 2 + 3 \times (-1) | = \frac{1}{2} | -1 + 4 -3| = \frac{1}{2} |0| = 0 \]

अर्थात् बिंदु समकोण हैं।

The points are collinear.

10. निर्देशांक ज्यामिति के अनुप्रयोग (Applications of Coordinate Geometry)

ज्यामितीय आकृतियों की सही स्थिति निर्धारण के लिए

For accurate positioning of geometric figures

नक्शा निर्माण, भूमि मापन, भूगोल, भौतिकी, इंजीनियरिंग

Map making, land measurement, geography, physics, engineering

कंप्यूटर ग्राफिक्स, गेमिंग, रोबोटिक्स

Computer graphics, gaming, robotics

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

निर्देशांक ज्यामिति में किसी बिंदु की स्थिति को (x, y) रूप में दर्शाया जाता है।

In coordinate geometry, the position of a point is denoted as (x, y).

x-अक्ष क्षैतिज रेखा है, y-अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखा है।

x-axis is the horizontal line, y-axis is the vertical line.

मूल बिंदु (Origin) के निर्देशांक हमेशा (0, 0) होते हैं।

The coordinates of the origin are always (0, 0).

समतल के चार चतुर्थांश होते हैं, जिनमें x और y के संकेत अलग-अलग होते हैं।

The plane is divided into four quadrants, with different signs for x and y.

दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए दूरी सूत्र का प्रयोग करें।

Use the distance formula to find the distance between two points.

x-अक्ष से दूरी |y| और y-अक्ष से दूरी |x| होती है।

Distance from x-axis is |y| and from y-axis is |x|.

मध्यबिंदु सूत्र से दो बिंदुओं के मध्य स्थित बिंदु के निर्देशांक ज्ञात किए जा सकते हैं।

The midpoint formula gives the coordinates of the point exactly midway between two points.

रेखाखंड को किसी अनुपात में विभाजित करने के लिए section formula का प्रयोग करें।

Use the section formula to divide a line segment in a given ratio.

त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके शीर्षों के निर्देशांक से ज्ञात किया जा सकता है।

The area of a triangle can be found using the coordinates of its vertices.

यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो, तो उसके शीर्ष समकोण (collinear) होते हैं।

If the area of the triangle is zero, its vertices are collinear.

निर्देशांक ज्यामिति के सूत्र गणित, विज्ञान और तकनीकी क्षेत्रों में बहुत महत्त्वपूर्ण हैं।

The formulas of coordinate geometry are very important in mathematics, science, and technology.

सही संकेतों का ध्यान रखना बहुत आवश्यक है।

Paying attention to the correct signs is very important.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक | गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |--------|----------------|--------------------| | 1 | x, y के संकेतों का गलत चुनाव | प्रत्येक चतुर्थांश में x, y के संकेत ध्यान से देखें | | 2 | दूरी सूत्र में (x1-x2) और (y1-y2) के क्रम की गलती | वर्ग (square) लेने से क्रम का फर्क नहीं पड़ता, लेकिन सूत्र सही तरह लिखें | | 3 | मध्यबिंदु में जोड़ने के बजाय घटाना | दोनों निर्देशांक जोड़ें, फिर 2 से भाग दें | | 4 | अनुपात m:n में m और n की जगह बदलना | m हमेशा B की ओर और n हमेशा A की ओर | | 5 | क्षेत्रफल की गणना में '|' (मूल्य) न लेना | अंतिम उत्तर का परिमाण (modulus) लें | | 6 | निर्देशांक लिखते समय (x, y) की जगह (y, x) लिखना | हमेशा पहले x, फिर y लिखें | | 7 | बिंदु और अक्ष के बीच दूरी में गलत संकेत | दूरी हमेशा धनात्मक (positive) होती है | | 8 | त्रिभुज के क्षेत्रफल में '½' भूल जाना | हमेशा '½' लगाएँ | | 9 | अनुप्रयोगों में सूत्र भूल जाना | सभी सूत्रों का रिवीजन करें | | 10 | प्रश्न में निर्देशांक के स्थान पर क्रमांक या नाम लिखना | निर्देशांक (x, y) ही लिखें |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1 मार्क (1 Mark)

मूल बिंदु के निर्देशांक लिखिए।

Write the coordinates of the origin.

उत्तर: (0, 0)

बिंदु (5, -3) के लिए x-अक्ष से दूरी क्या होगी?

What is the distance of point (5, -3) from x-axis?

उत्तर: |y| = 3 units

द्वितीय चतुर्थांश में x तथा y के संकेत क्या होते हैं?

What are the signs of x and y in the second quadrant?

उत्तर: x –ve, y +ve

2 मार्क (2 Marks)

बिंदु A(2, 7) तथा B(8, 9) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

Find the distance between A(2, 7) and B(8, 9).

उत्तर: \[ AB = \sqrt{(8-2)^2 + (9-7)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 6.32 \text{ units} \]

A(4, 2) और B(10, 8) के मध्यबिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Find the midpoint of A(4, 2) and B(10, 8).

उत्तर: \[ M = \left( \frac{4 + 10}{2}, \frac{2 + 8}{2} \right) = (7, 5) \]

5 MARK (5 Marks)

त्रिभुज के शीर्ष A(1, 2), B(4, 6), C(7, 2) के लिए

(i) क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (ii) जाँचिए कि बिंदु समकोण हैं या नहीं।

(For triangle with vertices A(1, 2), B(4, 6), C(7, 2): (i) Find the area

ii) Check if points are collinear.

उत्तर: (i) \[ \text{Area} = \frac{1}{2} | 1(6-2) + 4(2-2) + 7(2-6) | = \frac{1}{2} | 1 \times 4 + 4 \times 0 + 7 \times (-4) | = \frac{1}{2} |4 + 0 -28| = \frac{1}{2} |-24| = 12 \text{ वर्ग इकाई} \]

(ii) क्षेत्रफल ≠ 0, अतः बिंदु समकोण नहीं हैं।

बिंदु P(x, 4) रेखाखंड AB को अनुपात 3:1 में विभाजित करता है। यदि A(2, 6) और B(6, 2) हैं, तो P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Point P(x, 4) divides AB in the ratio 3:1. If A(2, 6) and B(6, 2), find the coordinates of P.

उत्तर: x₁ = 2, y₁ = 6, x₂ = 6, y₂ = 2, m = 3, n = 1

\[ x = \frac{3 \times 6 + 1 \times 2}{3+1} = \frac{18 + 2}{4} = 5 \] \[ y = \frac{3 \times 2 + 1 \times 6}{3+1} = \frac{6 + 6}{4} = 3 \]

परन्तु P(x, 4), तो y = 4 \[ 4 = \frac{6+6}{4} = 3 \] यहाँ y = 4 दिया गया है, परन्तु section formula से y = 3 आता है, अतः प्रश्न में त्रुटि है या P के निर्देशांक (5, 3) ही होंगे।

बिंदु A(-3, 2), B(5, -4), C(7, 6) के लिए

(i) AB की दूरी (ii) BC की दूरी (iii) AC की दूरी (iv) यह त्रिभुज किस प्रकार का है?

उत्तर: (i) \[ AB = \sqrt{(5+3)^2 + (-4-2)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ units} \]

\[ BC = \sqrt{(7-5)^2 + (6+4)^2} = \sqrt{2^2 + 10^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104} \approx 10.2 \text{ units} \]

\[ AC = \sqrt{(7+3)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{10^2 + 4^2} = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116} \approx 10.77 \text{ units} \]

iii

तीनों भुजाएँ अलग-अलग, अतः त्रिभुज विषमबाहु (Scalene) है।

अध्याय सारांश (Chapter Summary)

निर्देशांक ज्यामिति से हम बिंदुओं की स्थिति, दो बिंदुओं के बीच दूरी, मध्यबिंदु, क्षेत्रफल आदि आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।
यह गणित, विज्ञान, भूगोल, इंजीनियरिंग आदि में अत्यंत उपयोगी है।
सभी सूत्रों का अभ्यास एवं संकेतों का ध्यान रखना आवश्यक है।

नोट: यह अध्ययन-सामग्री NCERT और RBSE के नवीनतम पाठ्यक्रम पर आधारित है। परीक्षा की दृष्टि से सभी प्रमुख सूत्र, उदाहरण, और संभावित प्रश्न सम्मिलित किए गए हैं।

This study material is based on the latest NCERT and RBSE syllabus. All major formulas, examples, and probable questions have been included from the exam point of view.

अभ्यास हेतु:

सभी सूत्रों का चार्ट बनाइए।
स्वयं से 5-10 प्रश्न हल कीजिए।
ग्राफ पेपर पर निर्देशांक बिंदुओं की स्थिति अभ्यास करें।

मुख्य बिंदु (Key Points)

कार्तीय तल दो लम्बवत् संख्या रेखाओं (अक्षों) द्वारा बनता है।
क्षैतिज अक्ष को x-अक्ष तथा लंबवत् अक्ष को y-अक्ष कहते हैं।
अक्षों का प्रतिछेदन बिंदु मूल (O) कहलाता है, जिसे (0, 0) से दर्शाते हैं।
अक्षों द्वारा तल को चार चतुर्थांशों में विभाजित किया जाता है।
विभिन्न चतुर्थांशों में निर्देशांकों के संकेत बदलते हैं।
तल में किसी बिंदु को एक क्रमबद्ध युग्म (x, y) द्वारा दर्शाते हैं।
x-निर्देशांक को अपवर्त्य (abscissa) तथा y-निर्देशांक को अनुपवर्त्य (ordinate) कहते हैं।
किसी बिंदु को दर्शाने के लिए x-अक्ष पर x इकाई तथा y-अक्ष पर y इकाई चलते हैं।
x-अक्ष पर स्थित बिंदुओं का y-निर्देशांक शून्य होता है।
y-अक्ष पर स्थित बिंदुओं का x-निर्देशांक शून्य होता है।
बिंदु के निर्देशांक तल में उसकी विशिष्ट स्थिति निर्धारित करते हैं।
निर्देशांक ज्यामिति, बीजगणित और ज्यामिति का संयोजन है, जिससे बिंदुओं की स्थिति से सम्बंधित समस्याएँ हल की जाती हैं।

Key Points

The Cartesian plane is formed by two perpendicular number lines called axes.
The horizontal axis is called the x-axis and the vertical axis is called the y-axis.
The point of intersection of the axes is called the origin (O), denoted as (0, 0).
The plane is divided into four quadrants by the axes.
The sign of coordinates changes in different quadrants.
A point in the plane is represented by an ordered pair (x, y).
The x-coordinate is called the abscissa and the y-coordinate is called the ordinate.
To plot a point, move x units along the x-axis and y units along the y-axis.
Points on the x-axis have y-coordinate zero.
Points on the y-axis have x-coordinate zero.
The coordinates of a point determine its unique position in the plane.
Coordinate geometry combines algebra and geometry to solve problems involving positions of points.

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

निम्न में से कौन-सा बिंदु y-अक्ष पर स्थित नहीं है?

(-2, 5) बिंदु का ऑर्डिनेट क्या है?

कार्तीय तल में क्षैतिज रेखा को क्या कहते हैं?

मूल बिंदु के निर्देशांक कौन से हैं?

(2, 0) और (5, 0) बिंदुओं के बीच की दूरी क्या है?

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निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) एक नज़र में: निर्देशांक ज्यामिति वह शाखा है जिसमें बिंदुओं की स्थिति को अक्षांश (x-अक्ष) तथा देशांश (y-अक्ष) के आधार…

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