menu_bookRBSE · गणित (Mathematics) · अध्याय 7

घन और घनमूल

Cubes and Cube Roots

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घन और घनमूल (Cubes and Cube Roots)

एक नज़र में:

घन और घनमूल गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है, जिसमें हम संख्याओं के घन (तीसरी घात) और उनके घनमूल (तीसरी घात का मूल) को समझते हैं। यह अध्याय समीकरणों, बीजगणित, और ज्यामिति में उपयोगी है।

In a nutshell: This chapter explains the concept of cubes (third power) and cube roots (third root) of numbers, which are essential in algebraic equations and geometry.

📌 अध्याय का परिचय (Introduction)

घन (Cube): किसी संख्या को स्वयं से तीन बार गुणा करने पर प्राप्त संख्या को उस संख्या का घन कहते हैं।

The cube of a number is the result of multiplying the number by itself three times.

घनमूल (Cube Root): किसी संख्या का घनमूल वह संख्या होती है, जिसका घन करने पर वह संख्या प्राप्त होती है।

The cube root of a number is the value which, when cubed, gives the original number.

उदाहरण (Example): 2 का घन = 2 × 2 × 2 = 8 8 का घनमूल = 2 (क्योंकि 2 × 2 × 2 = 8)

📖 प्रमुख विषयवस्तु (Major Topics)

1. घन (Cube)

परिभाषा (Definition)

किसी पूर्णांक 'a' का घन, a × a × a अर्थात् a³ होता है।

The cube of an integer 'a' is a × a × a or a³.

सूत्र (Formula)

घन = संख्या × संख्या × संख्या Cube = Number × Number × Number

उदाहरण (Example)

3 का घन = 3 × 3 × 3 = 27

Cube of 3 = 27

5 का घन = 5 × 5 × 5 = 125

(Cube of 5 = 125)

टिप्पणी (Note)

घन हमेशा धनात्मक या ऋणात्मक दोनों हो सकते हैं।

Cube can be positive or negative.

2. घनमूल (Cube Root)

परिभाषा (Definition)

यदि a³ = b, तो a को b का घनमूल कहते हैं, तथा इसे ∛b से दर्शाया जाता है।

If a³ = b, then a is called the cube root of b, denoted as ∛b.

सूत्र (Formula)

घनमूल = ∛(संख्या) Cube Root = ∛(Number)

उदाहरण (Example)

∛27 = 3 (क्योंकि 3 × 3 × 3 = 27)
∛64 = 4 (क्योंकि 4 × 4 × 4 = 64)

टिप्पणी (Note)

घनमूल ऋणात्मक संख्या का भी हो सकता है।

Cube root of a negative number is also negative.

3. घन संख्याएँ (Cube Numbers)

परिभाषा (Definition)

ऐसी पूर्णांक संख्याएँ जो किसी पूर्णांक का घन होती हैं, उन्हें घन संख्याएँ कहते हैं।

Whole numbers that are cubes of integers are called cube numbers.

प्रारंभिक घन संख्याएँ (First Few Cube Numbers)

| संख्या (Number) | घन (Cube) | |-----------------|-----------| | 1 | 1 | | 2 | 8 | | 3 | 27 | | 4 | 64 | | 5 | 125 | | 6 | 216 | | 7 | 343 | | 8 | 512 | | 9 | 729 | | 10 | 1000 |

विशेषताएँ (Properties)

प्रत्येक घन संख्या 8, 27, 64, 125, ... के रूप में होती है।
घन संख्याएँ हमेशा पूर्णांक होती हैं।
अंत में 1, 8, 7, 4, 5, 6, 3, 2, 9, 0 में से कोई एक अंक होता है।

4. घनमूल ज्ञात करने की विधियाँ (Methods to Find Cube Root)

(A) गुणनखंड विधि (Prime Factorization Method)

चरण (Steps):

दी गई संख्या का अभाज्य गुणनखंड (Prime Factorization) करें।
गुणनखंडों को तीन-तीन के समूह में बाँटें।
प्रत्येक समूह से एक-एक संख्या लें।
प्राप्त संख्याओं का गुणनफल घनमूल होगा।

उदाहरण (Example): ∛216 ज्ञात कीजिए।

216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
तीन-तीन के समूह: (2 × 2 × 2) और (3 × 3 × 3)
प्रत्येक समूह से एक संख्या: 2 और 3
घनमूल = 2 × 3 = 6

(B) अनुमान विधि (Estimation Method)

संख्या के अंतिम तीन अंकों को देखें।
निकटतम घन संख्या ज्ञात करें।
अनुमान लगाएँ कि वह किस संख्या का घन हो सकता है।

उदाहरण: ∛512

512 के अंतिम तीन अंक 512 हैं, जो 8³ = 512 है।
अतः घनमूल = 8

(C) घनमूल तालिका (Cube Root Table)

छात्र वर्ग के लिए 1 से 20 तक की संख्याओं के घन व घनमूल याद रखना लाभकारी है।

5. घन संख्याओं की विशेषताएँ (Properties of Cube Numbers)

(A) घन संख्या के गुण

किसी भी घन संख्या को 8, 27, 64 जैसी संख्याओं के रूप में लिखा जा सकता है।
किसी भी घन संख्या की इकाई का अंक, उस संख्या की इकाई के अंक के अनुसार निश्चित होता है।

| संख्या की इकाई (Unit digit) | घन की इकाई (Unit digit of cube) | |-----------------------------|-----------------------------------| | 1 | 1 | | 2 | 8 | | 3 | 7 | | 4 | 4 | | 5 | 5 | | 6 | 6 | | 7 | 3 | | 8 | 2 | | 9 | 9 | | 0 | 0 |

दो घन संख्याओं का योग हमेशा एक घन संख्या नहीं होता है।

6. पूर्ण घन (Perfect Cube)

परिभाषा (Definition)

यदि कोई संख्या किसी संख्या का पूर्ण घन है, तो उसे पूर्ण घन (Perfect Cube) कहते हैं।

A number that is the cube of an integer is called a perfect cube.

पूर्ण घन की पहचान (Identification of Perfect Cube)

पूर्ण घन के सभी अभाज्य गुणनखंडों की घात 3 के गुणज (multiples of 3) होनी चाहिए।
उदाहरण:

216 = 2³ × 3³ दोनों की घात 3 के गुणज हैं, अतः 216 पूर्ण घन है।

7. पूर्ण घन बनाने हेतु संख्याएँ ज्ञात करना (Making a Number a Perfect Cube)

दी गई संख्या को पूर्ण घन बनाने के लिए उसमें किन संख्याओं का गुणा/भाग करना चाहिए?

उदाहरण: 24 को पूर्ण घन बनाने के लिए किससे गुणा करें? 24 = 2³ × 3¹ 3 की घात 3 के गुणज नहीं है; अतः 3² (यानि 9) से गुणा करें। 24 × 9 = 216, जो कि पूर्ण घन है।

8. घनमूल ज्ञात करने हेतु अपूर्ण घन से संख्याएँ हटाना (Making a Number a Perfect Cube by Division)

उदाहरण: 81 को पूर्ण घन बनाने के लिए किससे भाग दें? 81 = 3⁴ 4 में से 1 बचता है, अतः 81 को 3 से भाग दें। 81 ÷ 3 = 27, जो पूर्ण घन है।

9. घन और घनमूल का अनुप्रयोग (Applications of Cube and Cube Root)

बीजगणितीय समीकरण हल करने में
ज्यामिति में घनाकार वस्तुओं का आयतन ज्ञात करने में
दैनिक जीवन की समस्याओं में

10. घन का ज्यामितीय अर्थ (Geometric Meaning of Cube)

जब किसी भुजा लंबाई a की घनाकार वस्तु (Cube) का आयतन निकाला जाता है: आयतन = भुजा × भुजा × भुजा = a³

Volume of a cube of side 'a' = a³

11. घनमूल का ज्यामितीय अर्थ (Geometric Meaning of Cube Root)

अगर घनाकार बॉक्स का आयतन V है, तो उसकी एक भुजा = ∛V

If the volume of a cube is V, then the length of its side = ∛V

उदाहरण: यदि आयतन = 125 cm³, तो भुजा = ∛125 = 5 cm

📖 हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1: 5 का घन ज्ञात कीजिए।

Calculate the cube of 5.

हल: 5³ = 5 × 5 × 5 = 25 × 5 = 125

उदाहरण 2: ∛64 ज्ञात कीजिए।

Find the cube root of 64.

हल: 64 = 4 × 4 × 4 ∴ ∛64 = 4

उदाहरण 3: 24 को पूर्ण घन बनाने के लिए किससे गुणा करें?

By which least number should 24 be multiplied to make it a perfect cube?

हल: 24 = 2³ × 3¹ 3 की घात 3 के गुणज नहीं है, अतः 3² (यानि 9) से गुणा करें। 24 × 9 = 216, जो कि पूर्ण घन है।

उदाहरण 4: 729 का घनमूल ज्ञात कीजिए।

Find the cube root of 729.

हल: 729 = 9 × 9 × 9 ∴ ∛729 = 9

उदाहरण 5: 343 को पूर्ण घन बनाने के लिए किससे भाग करें?

By which least number should 343 be divided to make it a perfect cube?

हल: 343 = 7³ यह पहले से ही पूर्ण घन है, अतः किसी से भाग करने की आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण 6: यदि किसी घन के आयतन = 512 cm³ है, तो उसकी भुजा ज्ञात कीजिए।

If the volume of a cube is 512 cm³, find its side.

हल: भुजा = ∛512 = 8 cm

उदाहरण 7: अगर 1000 संतरे एक घनाकार डिब्बे में भरे जाएँ, तो प्रत्येक भुजा में कितने संतरे होंगे?

If 1000 oranges are packed in a cubic box, how many oranges will be along each edge?

हल: प्रत्येक भुजा में संतरे = ∛1000 = 10

उदाहरण 8: कोई संख्या दी गई है 1728, उसका घनमूल ज्ञात कीजिए।

Find the cube root of 1728.

हल: 1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = (2³) × (2³) × (3³) ∴ ∛1728 = 2 × 2 × 3 = 12

उदाहरण 9: 512 को पूर्ण घन बनाने के लिए किससे गुणा करें?

By which least number should 512 be multiplied to make it a perfect cube?

हल: 512 = 2⁹ 9 = 3 × 3, यानि 3 के गुणज है। तो 512 पूर्ण घन है।

उदाहरण 10: एक संख्या है 180, इसे पूर्ण घन बनाने के लिए किससे गुणा करें?

To make 180 a perfect cube, by which minimum number should it be multiplied?

हल: 180 = 2² × 3² × 5¹ 2 की घात: 2 (1 और चाहिए), 3 की घात: 2 (1 और चाहिए), 5 की घात: 1 (2 और चाहिए) तो 2 × 3 × 5² = 2 × 3 × 25 = 150 180 × 150 = 27000, जो पूर्ण घन है।

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

घन = संख्या × संख्या × संख्या (Cube = Number × Number × Number)
घनमूल = ∛(संख्या) (Cube Root = ∛(Number))
ऋणात्मक संख्या का घन ऋणात्मक होता है। (Cube of a negative number is negative.)
घनमूल का केवल एक वास्तविक मान होता है। (Cube root has only one real value.)
1 से 10 तक के घन और घनमूल याद रखें। (Memorize cubes and cube roots from 1 to 10.)
पूर्ण घन के सभी अभाज्य गुणनखंडों की घात 3 के गुणज होती है। (Powers of all prime factors of a perfect cube are multiples of 3.)
घन संख्याओं की इकाई का अंक निश्चित होता है। (Unit digit of cube numbers is fixed based on the unit digit of the number.)
किसी संख्या का घनमूल ज्ञात करने के लिए गुणनखंड विधि सबसे उपयुक्त है। (Prime factorization is the best method to find cube root.)
किसी घन के आयतन से उसकी भुजा = ∛(आयतन) (Side of a cube = ∛(Volume))
घन और घनमूल का उपयोग ज्यामिति, समीकरण, एवं दैनिक जीवन की समस्याओं में किया जाता है। (Cubes and cube roots are used in geometry, equations, and real-life problems.)

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक (No.) | गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |---------------|--------------------------------------------------|--------------------------------------------------------| | 1 | घनमूल निकालते समय दो-दो के समूह बनाना | तीन-तीन के समूह बनाना चाहिए (Make groups of three) | | 2 | ऋणात्मक संख्या का घनमूल धनात्मक मान लेना | ऋणात्मक संख्या का घनमूल ऋणात्मक ही होता है | | 3 | घन संख्याओं की इकाई का अंक गलत लेना | इकाई के अंक का सही घन लेना चाहिए | | 4 | पूर्ण घन बनाने के लिए आवश्यक संख्याओं को भूलना | सभी अभाज्य गुणनखंड की घात 3 के गुणज होनी चाहिए | | 5 | घनमूल का उत्तर वर्गमूल की तरह ± लिखना | घनमूल का केवल एक (एकमात्र) वास्तविक मान होता है | | 6 | आयतन से भुजा निकालने में वर्गमूल ले लेना | घनमूल लेना चाहिए | | 7 | तालिका से घन/घनमूल याद न रखना | 1 से 20 तक के घन व घनमूल याद रखें | | 8 | घन का सूत्र a × a × a के बजाय a + a + a लिखना | सही सूत्र a × a × a है | | 9 | तीन अंक से ऊपर की संख्याओं के घनमूल में दुविधा | अंतिम तीन अंकों से अनुमान लगाएँ | | 10 | घनमूल निकालते समय गुणनखंड अधूरा लेना | सभी गुणनखंड पूरे लें, तीन-तीन के समूह में |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1-Mark Questions (1 अंक वाले प्रश्न)

8 का घनमूल क्या है?

उत्तर: 2

What is the cube root of 8?

27 का घन क्या है?

उत्तर: 19683

What is the cube of 27?

∛64 = ?

उत्तर: 4

125 का घनमूल लिखिए।

उत्तर: 5

Write the cube root of 125.

घन का सूत्र लिखिए।

उत्तर: संख्या × संख्या × संख्या (Number × Number × Number)

Write the formula for cube.

2-Mark Questions (2 अंक वाले प्रश्न)

216 का घनमूल ज्ञात कीजिए।

Find the cube root of 216.

उत्तर: 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 ∛216 = 2 × 3 = 6

24 को पूर्ण घन बनाने के लिए किससे गुणा करें?

By which least number should 24 be multiplied to make it a perfect cube?

उत्तर: 24 = 2³ × 3¹ 3 की घात 3 के गुणज नहीं है, अतः 3² (9) से गुणा करें। 24 × 9 = 216

729 का घनमूल ज्ञात कीजिए।

Find the cube root of 729.

उत्तर: 729 = 9 × 9 × 9 ∛729 = 9

512 को पूर्ण घन बनाने के लिए किससे भाग करें?

By which least number should 512 be divided to make it a perfect cube?

उत्तर: 512 = 2⁹ 9 में से 3 बचता है, अतः 2 × 2 × 2 = 8 से भाग दें। 512 ÷ 8 = 64, जो पूर्ण घन है।

5-Mark Questions (5 अंक वाले प्रश्न)

(A) 180 का घनमूल ज्ञात कीजिए।

Find the cube root of 180.

(B) 180 को पूर्ण घन बनाने के लिए किससे गुणा करें?

By which minimum number should 180 be multiplied to make it a perfect cube?

उत्तर: (A) 180 = 2² × 3² × 5¹ तीन-तीन के समूह नहीं बन सकते, अतः 180 पूर्ण घन नहीं है। (B) 2 की घात 2 (1 और चाहिए), 3 की घात 2 (1 और चाहिए), 5 की घात 1 (2 और चाहिए) अतः 2 × 3 × 5² = 2 × 3 × 25 = 150 180 × 150 = 27000, जो पूर्ण घन है। ∴ ∛27000 = 30

1728 का घनमूल ज्ञात कीजिए एवं उसका पूर्ण घन के रूप में अभिव्यक्त कीजिए।

Find the cube root of 1728 and express it as a perfect cube.

उत्तर: 1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3) = (2³) × (2³) × (3³) ∴ ∛1728 = 2 × 2 × 3 = 12 12³ = 1728

एक घनाकार डिब्बे का आयतन 512 cm³ है। उसकी एक भुजा की माप ज्ञात कीजिए।

A cube box has volume 512 cm³. Find the length of its side.

उत्तर: आयतन = भुजा³ भुजा³ = 512 भुजा = ∛512 = 8 cm

1000 संतरे एक घनाकार डिब्बे में भरे गए हैं। प्रत्येक भुजा पर कितने संतरे होंगे?

1000 oranges are packed in a cubic box. How many oranges will be along each edge?

उत्तर: ∛1000 = 10 प्रत्येक भुजा पर 10 संतरे होंगे।

128 को पूर्ण घन बनाने के लिए किससे गुणा एवं किससे भाग करें?

By which number should 128 be multiplied and by which should it be divided to make it a perfect cube?

उत्तर: 128 = 2⁷ गुणनखंड विधि से, 7 में से 3 के गुणज 6 होते हैं, 1 बाकी गुणा: 2² = 4 से गुणा करें 128 × 4 = 512 (2⁹), जो पूर्ण घन है। भाग: 2¹ = 2 से भाग दें 128 ÷ 2 = 64 (2⁶), जो पूर्ण घन है।

अध्याय का सारांश (Chapter Summary)

घन एवं घनमूल की अवधारणा को समझना गणित में आगे की कक्षाओं के लिए आवश्यक है।
घन संख्याओं, पूर्ण घन, घनमूल ज्ञात करने की विधियाँ, और अनुप्रयोगों का गहरा अध्ययन करें।
परीक्षा में अक्सर गुणनखंड विधि से घनमूल निकालने अथवा पूर्ण घन बनाने के प्रश्न आते हैं।

आशा है, यह नोट्स RBSE कक्षा 8 गणित की परीक्षा के लिए पूर्ण रूप से उपयोगी सिद्ध होंगे।

We hope these notes prove fully useful for your RBSE Class 8 Maths exam preparation.

मुख्य बिंदु (Key Points)

घन वह संख्या है जिसे स्वयं से तीन बार गुणा किया जाता है (n × n × n)।
घनमूल वह संख्या है जिसका घन करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है (∛n)।
किसी भी पूर्णांक का घन हमेशा एक पूर्ण घन होता है।
किसी सम संख्या का घन सदैव सम और विषम संख्या का घन सदैव विषम होता है।
1 से 1000 के बीच केवल दस पूर्ण घन होते हैं (1³ से 10³)।
यदि कोई संख्या तीन समान पूर्णांकों के गुणनफल के रूप में लिखी जा सके तो वह पूर्ण घन होती है।
पूर्ण घन का घनमूल अभाज्य गुणनखंड विधि से निकाला जा सकता है।
घनमूल को ∛ चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है।
किसी ऋणात्मक संख्या का घन सदैव ऋणात्मक होता है।
दो क्रमागत संख्याओं के घनों का अंतर सदैव उनके औसत के वर्ग का तीन गुना, औसत का तीन गुना तथा एक के योग के बराबर होता है।
यदि किसी संख्या का इकाई अंक 2, 3, 7 या 8 है, तो उसके घन का इकाई अंक भी वही होगा।
किसी संख्या के पूर्ण घन होने के लिए उसके अभाज्य गुणनखंड तिकड़ी में होने चाहिए।

Key Points

A cube is a number multiplied by itself three times (n × n × n).
Cube root is the number whose cube gives the original number (∛n).
The cube of any integer is always a perfect cube.
The cube of an even number is always even, and the cube of an odd number is always odd.
There are only ten perfect cubes between 1 and 1000 (1³ to 10³).
A number is a perfect cube if it can be expressed as the product of three equal integers.
The cube root of a perfect cube can be found by prime factorization method.
Cube root is denoted by the symbol ∛.
The cube of a negative number is always negative.
The difference between the cubes of two consecutive numbers is always equal to three times the square of their mean plus three times the mean plus one.
If the unit digit of a number is 2, 3, 7, or 8, then its cube will also have the same unit digit.
To check if a number is a perfect cube, its prime factors must appear in triples.

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

निम्नलिखित में से कौन-सी संख्या पूर्ण घन है?

125 का घनमूल है:

100 और 200 के बीच कौन-सी पूर्ण घन संख्या है?

4 का घन क्या है?

6 का घन क्या है?

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घन और घनमूल lock

घन और घनमूल (Cubes and Cube Roots) एक नज़र में: घन और घनमूल गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है, जिसमें हम संख्याओं के घन (तीसरी घात) और उनके घनमूल (तीसरी घात का…

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