menu_bookRBSE · गणित (Mathematics) · अध्याय 11

क्षेत्रमिति

Mensuration

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Image: EB1911 - Mensuration - Fig. 2 by Anonymous Unknown author / Wikimedia Commons, source, Public domain

क्षेत्रमिति (Mensuration)

एक नज़र में:

क्षेत्रमिति गणित की वह शाखा है जिसमें हम विभिन्न आकृतियों के क्षेत्रफल, परिमाप और आयतन की गणना करते हैं। यह दैनिक जीवन में भूमि माप, निर्माण, सजावट आदि के लिए अत्यंत उपयोगी है।

Mensuration is the branch of mathematics that deals with the measurement of area, perimeter, and volume of various shapes. It is extremely useful in real life for land measurement, construction, decoration, etc.

📌 अध्याय का परिचय

क्षेत्रमिति (Mensuration) गणित का वह क्षेत्र है जिसमें हम 2-आयामी (2D) तथा 3-आयामी (3D) ज्यामितीय आकृतियों के परिमाप (Perimeter), क्षेत्रफल (Area) तथा आयतन (Volume) की गणना करते हैं।

Mensuration is the branch of mathematics where we calculate perimeter, area, and volume of 2-dimensional and 3-dimensional geometric shapes.

इस अध्याय में हम निम्नलिखित को सीखेंगे:

विभिन्न 2D आकृतियों जैसे त्रिभुज, चतुर्भुज, वृत्त आदि का क्षेत्रफल और परिमाप
कुछ 3D आकृतियों जैसे घन, घनाभ, बेलन आदि का पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
क्षेत्रमिति के सूत्र, उनकी व्याख्या और उपयोग
दैनिक जीवन में क्षेत्रमिति के अनुप्रयोग

📖 मुख्य विषय (Main Topics)

1. परिमाप (Perimeter)

परिभाषा (Definition)

किसी आकृति की सभी भुजाओं की लंबाइयों के योग को उस आकृति का परिमाप कहते हैं।

The sum of the lengths of all sides of a figure is called its perimeter.

सूत्र (Formulas)

| आकृति (Shape) | परिमाप का सूत्र (Perimeter Formula) | |-------------------|--------------------------------------------------------------------------------| | त्रिभुज (Triangle) | = भुजाएँ a + b + c (sum of all three sides) | | वर्ग (Square) | = 4 × भुजा (4 × side) | | आयत (Rectangle) | = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) [2 × (length + breadth)] | | वृत्त (Circle) | = 2πr (π = 22/7 or 3.14, r = radius) |

उदाहरण (Solved Example)

Q1. एक आयत की लंबाई 8 cm और चौड़ाई 5 cm है। उसका परिमाप ज्ञात कीजिए। (Solution: Perimeter of rectangle = 2 × (l + b) = 2 × (8 + 5) = 2 × 13 = 26 cm)

2. क्षेत्रफल (Area)

परिभाषा (Definition)

किसी आकृति के भीतर के भाग का माप क्षेत्रफल कहलाता है।

The measure of the surface enclosed by a figure is called its area.

सूत्र (Formulas)

| आकृति (Shape) | क्षेत्रफल का सूत्र (Area Formula) | |----------------------|---------------------------------------------------------------------------| | वर्ग (Square) | = (भुजा)² [side × side] | | आयत (Rectangle) | = लंबाई × चौड़ाई [length × breadth] | | त्रिभुज (Triangle) | = ½ × आधार × ऊँचाई [½ × base × height] | | समलंब चतुर्भुज (Parallelogram) | = आधार × ऊँचाई [base × height] | | समांतर चतुर्भुज (Trapezium) | = ½ × (a + b) × h [a, b = समान्तर भुजाएँ; h = ऊँचाई] | | वृत्त (Circle) | = πr² (π = 22/7 or 3.14, r = radius) |

उदाहरण (Solved Example)

Q2. एक वर्ग की भुजा 7 cm है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Solution: Area = side × side = 7 × 7 = 49 cm²

3. सामान्य 2D आकृतियाँ (Common 2D Figures)

(A) त्रिभुज (Triangle)

प्रकार (Types):

समबाहु (Equilateral): तीनों भुजाएँ बराबर
समद्विबाहु (Isosceles): दो भुजाएँ बराबर
विषमबाहु (Scalene): सभी भुजाएँ अलग

क्षेत्रफल सूत्र (Area Formula):

= ½ × आधार × ऊँचाई
समबाहु त्रिभुज: = (√3/4) × (भुजा)²

उदाहरण (Example): एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 6 cm है। क्षेत्रफल ज्ञात करें। Area = (√3/4) × 6² = (√3/4) × 36 = 9√3 cm²

(B) आयत (Rectangle)

परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई) क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई

(C) वर्ग (Square)

परिमाप = 4 × भुजा क्षेत्रफल = (भुजा)²

(D) समलंब चतुर्भुज (Parallelogram)

क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई

(E) समांतर चतुर्भुज (Trapezium)

क्षेत्रफल = ½ × (a + b) × h

(F) वृत्त (Circle)

परिमाप (परिधि) = 2πr क्षेत्रफल = πr²

4. घन और घनाभ (Cube and Cuboid)

(A) घन (Cube)

परिभाषा: सभी भुजाएँ बराबर लंबाई की, छह समान वर्गाकार फलक

Definition: All sides equal, six equal square faces

पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral Surface Area) = 4a²

Where a = side

सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) = 6a²
आयतन (Volume) = a³

उदाहरण: भुजा 5 cm के घन का आयतन = 5³ = 125 cm³

(B) घनाभ (Cuboid)

परिभाषा: तीन भिन्न आयामों (लंबाई l, चौड़ाई b, ऊँचाई h) वाला आयताकार ठोस

Definition: Rectangular solid with three different dimensions l, b, h

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2h(l + b)
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)
आयतन = l × b × h

उदाहरण: लंबाई 10 cm, चौड़ाई 6 cm, ऊँचाई 4 cm के घनाभ का आयतन = 10 × 6 × 4 = 240 cm³

5. बेलन (Cylinder)

परिभाषा: एक ठोस आकृति जिसमें दो समानांतर वृत्ताकार आधार और एक वक्र पृष्ठ होता है।

Definition: A solid with two parallel circular bases and one curved surface.

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area) = 2πrh
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) = 2πr(r + h)
आयतन (Volume) = πr²h

उदाहरण: आधार त्रिज्या 7 cm, ऊँचाई 12 cm के बेलन का आयतन = π × 7² × 12 = 22/7 × 49 × 12 = 1848 cm³

6. शंकु (Cone)

परिभाषा: एक आधार (वृत्ताकार) और एक शीर्ष (vertex) वाली ठोस आकृति।

Definition: A solid with a circular base and a vertex at the top.

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl (l = स्लैंट हाइट)
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr(l + r)
आयतन = (1/3)πr²h

7. गोला (Sphere)

परिभाषा: एक ठोस आकृति, जिसकी सभी सतही बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होते हैं।

Definition: A solid with all surface points at equal distance from the center.

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²
आयतन = (4/3)πr³

8. अर्द्धवृत्त, त्रिज्या, व्यास (Semicircle, Radius, Diameter)

त्रिज्या (Radius): केंद्र से किसी भी बिंदु तक की दूरी (Distance from center to any point on circle)
व्यास (Diameter): वृत्त के किसी एक बिंदु से होकर केंद्र से गुजरते हुए विपरीत बिंदु तक की सीधी दूरी (Twice the radius)
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = (½)πr²
अर्द्धवृत्त की परिधि = πr + 2r

9. मिश्रित आकृतियाँ (Composite Figures)

परिभाषा: जब दो या दो से अधिक ज्यामितीय आकृतियाँ मिलकर एक आकृति बनाती हैं, उसे मिश्रित आकृति कहते हैं।

Definition: When two or more geometric shapes combine to form a new figure, it is called a composite figure.

क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधि:

आकृतियों को भागों में विभाजित करें
प्रत्येक भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करें
जोड़ें या घटाएँ, जैसा आवश्यक हो

उदाहरण: एक आयत के ऊपर आधा वृत्त रखा है। आयत की लंबाई 10 cm, चौड़ाई 6 cm, और आधे वृत्त की त्रिज्या 3 cm है। कुल क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल + अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = (10 × 6) + (½ × π × 3²) = 60 + (½ × 22/7 × 9) = 60 + (11 × 9 / 7) = 60 + 14.14 = 74.14 cm²

10. दैनिक जीवन में क्षेत्रमिति (Mensuration in Daily Life)

भूमि, भवन, गार्डन, कमरों की सतह, पानी की टंकी, पाइप आदि की गणना में उपयोग

Used in calculation of land, buildings, gardens, rooms, water tanks, pipes, etc.

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

क्षेत्रफल सदैव वर्ग इकाइयों (cm², m², etc.) में और आयतन घन इकाइयों (cm³, m³, etc.) में मापा जाता है।

Area is always measured in square units; volume in cubic units.

वृत्त के क्षेत्रफल और परिधि के लिए π का मान 22/7 या 3.14 लिया जाता है।

For area & perimeter of circle, use π = 22/7 or 3.14.

त्रिज्या (r) और व्यास (d) का संबंध: d = 2r

Relation: Diameter = 2 × Radius

मिश्रित आकृतियों के क्षेत्रफल के लिए आकृति को सरल भागों में बाँटना आवश्यक है।

For composite figures, break into simple shapes.

समलंब चतुर्भुज और समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल में ऊँचाई आधार पर लंब होनी चाहिए।

In parallelogram/trapezium, height must be perpendicular to base.

सभी सूत्रों में मात्रक का ध्यान रखें।

Always use correct units.

घन और घनाभ में केवल लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई की आवश्यकता होती है।

Only length, breadth, and height are needed for cube/cuboid.

बेलन, शंकु, गोला आदि के लिए त्रिज्या और ऊँचाई आवश्यक माप हैं।

Radius and height are essential for cylinder, cone, sphere.

क्षेत्रफल जोड़ते या घटाते समय, सभी आकृतियों के माप समान इकाइयों में होने चाहिए।

All measurements must be in same units.

दैनिक जीवन में क्षेत्रमिति का प्रयोग भूमि मापन, फर्श टाइलिंग, रंगाई, पानी की टंकी आदि में होता है।

Mensuration is used in land measurement, flooring, painting, water tanks, etc.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| # | गलती (Mistake in Hindi) | Explanation (English) | |---|-----------------------------------------------------|---------------------------------------------------| | 1 | त्रिज्या और व्यास में भ्रम | Confusing radius and diameter | | 2 | π का गलत मान लगाना | Using wrong value of π | | 3 | ऊँचाई को तिरछी भुजा मान लेना | Taking slant height instead of vertical height | | 4 | परिमाप और क्षेत्रफल में अंतर न समझना | Not differentiating perimeter & area | | 5 | मिश्रित आकृतियों में भागों को ठीक से न बाँटना | Not dividing composite figures correctly | | 6 | मात्रकों का गलत उपयोग | Using wrong units (cm instead of cm², etc.) | | 7 | समीकरण में सभी माप समान इकाइयों में न लेना | Not converting all measurements to same units | | 8 | क्षेत्रफल जोड़ते/घटाते समय गलत गणना | Incorrect addition/subtraction of areas | | 9 | घन और घनाभ के सूत्रों में भ्रम | Confusing cube and cuboid formulas | | 10| त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालते समय ऊँचाई का सही चयन न करना | Not using correct height for triangle |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1-Mark Questions (1 अंक वाले प्रश्न)

त्रिज्या और व्यास में क्या संबंध है?

What is the relation between radius and diameter?

वर्ग का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।

Write the formula for area of a square.

1 m² में कितने cm² होते हैं?

How many cm² are there in 1 m²?

π का मान क्या है?

What is the value of π?

आयतन किन इकाइयों में मापा जाता है?

Volume is measured in which units?

2-Mark Questions (2 अंक वाले प्रश्न)

किसी आयत की लंबाई 12 cm और चौड़ाई 7 cm है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

A rectangle has length 12 cm and breadth 7 cm. Find its area.

एक वृत्त की त्रिज्या 14 cm है। उसकी परिधि ज्ञात करें।

A circle has radius 14 cm. Find its circumference.

5 cm की भुजा वाले वर्ग का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात करें।

Find the perimeter and area of a square with side 5 cm.

10 cm × 8 cm के आयत का परिमाप ज्ञात करें।

Find the perimeter of a rectangle 10 cm × 8 cm.

7 cm, 8 cm, 9 cm भुजाओं वाले त्रिभुज का परिमाप ज्ञात करें।

Find the perimeter of a triangle with sides 7 cm, 8 cm, 9 cm.

5-Mark Questions (5 अंक वाले प्रश्न)

एक बेलनाकार टंकी की त्रिज्या 7 m और ऊँचाई 10 m है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।

A cylindrical tank has radius 7 m and height 10 m. Find its total surface area and volume.

एक मिश्रित आकृति में एक आयत की लंबाई 20 cm, चौड़ाई 10 cm है, जिसके एक छोर पर अर्द्धवृत्त है (त्रिज्या = 5 cm)। कुल क्षेत्रफल ज्ञात करें।

A composite figure has a rectangle (20 cm × 10 cm) with a semicircle (radius 5 cm) attached at one end. Find the total area.

एक वर्ग की भुजा 12 cm है। उसमें से 4 cm त्रिज्या वाला एक वृत्त काट दिया जाता है। शेष भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

A square of side 12 cm has a circle of radius 4 cm cut out from it. Find the area of the remaining part.

15 cm × 12 cm × 8 cm के घनाभ का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करें।

Find the total surface area and volume of a cuboid 15 cm × 12 cm × 8 cm.

एक समलंब चतुर्भुज का आधार 10 cm, ऊँचाई 6 cm है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।

A parallelogram has base 10 cm, height 6 cm. Find its area.

अध्याय सारांश (Chapter Summary)

क्षेत्रमिति में हम आकृतियों के परिमाप, क्षेत्रफल एवं आयतन का अध्ययन करते हैं।
सूत्रों का सही चयन और मात्रकों का ध्यान आवश्यक है।
मिश्रित आकृतियों में भागों को पहचान कर गणना करना चाहिए।
यह विषय दैनिक जीवन में अत्यंत उपयोगी है।

संक्षिप्त सूत्र तालिका (Formula Table)

| आकृति/फॉर्मूला (Shape/Formula) | परिमाप (Perimeter) | क्षेत्रफल (Area) | आयतन (Volume) | |-----------------------------------------|-------------------------|-------------------------------|-------------------------| | वर्ग (Square) | 4a | a² | - | | आयत (Rectangle) | 2(l + b) | l × b | - | | त्रिभुज (Triangle) | a + b + c | ½ × b × h | - | | वृत्त (Circle) | 2πr | πr² | - | | घन (Cube) | - | 6a² (TSA), 4a² (LSA) | a³ | | घनाभ (Cuboid) | - | 2(lb + bh + hl) (TSA) | l × b × h | | बेलन (Cylinder) | - | 2πr(r + h) (TSA), 2πrh (CSA) | πr²h | | शंकु (Cone) | - | πr(l + r) (TSA), πrl (CSA) | (1/3)πr²h | | गोला (Sphere) | - | 4πr² | (4/3)πr³ |

अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

9 cm की भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात कीजिए।
7 cm और 5 cm के आधार और ऊँचाई वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
14 cm त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल और परिधि ज्ञात करें।
12 cm × 8 cm × 6 cm के घनाभ का आयतन ज्ञात करें।
एक बेलन की त्रिज्या 4 cm और ऊँचाई 10 cm है। उसका आयतन ज्ञात करें।

अध्याय का समापन

क्षेत्रमिति में निपुणता पाने के लिए सूत्रों का अभ्यास, इकाइयों का सही उपयोग, मिश्रित आकृतियों की पहचान तथा दैनिक जीवन के उदाहरणों को समझना आवश्यक है।

To master mensuration, practice formulas, use correct units, identify composite figures, and understand real-life applications.

यह नोट्स RBSE कक्षा 8 गणित के छात्र-छात्राओं के लिए परीक्षा की दृष्टि से संपूर्ण हैं।

These notes are comprehensive and exam-oriented for RBSE Class 8 Maths students.

मुख्य बिंदु (Key Points)

क्षेत्रमिति विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों की लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन की माप से संबंधित है।
परिमाप किसी बंद आकृति की सीमा की कुल लंबाई होती है।
क्षेत्रफल किसी बंद आकृति द्वारा घिरे क्षेत्र को दर्शाता है।
आयत का परिमाप = 2 × (लंबाई + चौड़ाई)।
आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई।
वर्ग का परिमाप = 4 × भुजा।
वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा × भुजा।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई।
त्रिभुज का परिमाप = उसकी तीनों भुजाओं का योग।
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल = आधार × ऊँचाई।
वृत्त का क्षेत्रफल = π × त्रिज्या × त्रिज्या (πr²)।
वृत्त की परिमाप = 2 × π × त्रिज्या (2πr)।

Key Points

Mensuration deals with the measurement of length, area, and volume of different geometrical shapes.
Perimeter is the total length of the boundary of a closed figure.
Area is the region enclosed by a closed figure.
The formula for the perimeter of a rectangle is 2 × (length + breadth).
The area of a rectangle is length × breadth.
The perimeter of a square is 4 × side.
The area of a square is side × side.
The area of a triangle is 1/2 × base × height.
The perimeter of a triangle is the sum of its three sides.
The area of a parallelogram is base × height.
The area of a circle is π × radius × radius (πr²).
The circumference of a circle is 2 × π × radius (2πr).

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

8 सेमी लंबाई और 3 सेमी चौड़ाई वाले आयत की परिमिति ज्ञात करें।

7 सेमी लंबाई और 4 सेमी चौड़ाई वाले आयत का क्षेत्रफल क्या है?

त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र क्या है?

6 सेमी आधार और 4 सेमी ऊँचाई वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

5 सेमी भुजा वाले वर्ग का क्षेत्रफल क्या है?

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क्षेत्रमिति (Mensuration) एक नज़र में: क्षेत्रमिति गणित की वह शाखा है जिसमें हम विभिन्न आकृतियों के क्षेत्रफल, परिमाप और आयतन की गणना करते हैं। यह दैनिक जीवन…

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