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घातांक और घात

Exponents and Powers

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घातांक और घात (Exponents and Powers)

एक नज़र में:

यह अध्याय संख्याओं के घातांक (exponents) और घात (powers) की संकल्पना को विस्तार से समझाता है। इसमें घातांकों के नियम, उनके अनुप्रयोग, वैज्ञानिक संकेतन (scientific notation) तथा संख्याओं को संक्षिप्त रूप में लिखने की विधि पर चर्चा की गई है। (This chapter explains the concept of exponents and powers, their properties, applications, scientific notation, and expressing numbers in compact form.)

📌 अध्याय का परिचय (Introduction)

गणित में, घातांक और घात का प्रयोग बड़ी या छोटी संख्याओं को सरलता से लिखने और गणना करने के लिए किया जाता है। इससे गणनाएँ आसान हो जाती हैं और संख्याओं को संक्षिप्त रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। (In mathematics, exponents and powers help in writing and calculating very large or very small numbers easily, making calculations simpler and numbers more compact.)

📖 मुख्य विषय-वस्तु (Major Topics)

1. घातांक और घात क्या हैं? (What are Exponents and Powers?)

परिभाषा (Definition):

यदि a कोई वास्तविक संख्या है और n कोई प्राकृतिक संख्या है, तो a को n बार अपने आप से गुणा करने पर, उसे a का nवाँ घात (nth power) या घातांक (exponent) कहते हैं। a × a × a × ... × a (n times) = aⁿ यहाँ, a आधार (base) है और n घातांक (exponent) है।

If a is a real number and n is a natural number, then multiplying a by itself n times is called the nth power or exponent of a. Here, a is the base and n is the exponent.

उदाहरण (Example): 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 यहाँ 2 आधार (base) है और 5 घातांक (exponent) है।

Here, 2 is the base and 5 is the exponent.

2. घातांकों का स्वरूप (Form of Exponents)

aⁿ में,

a : आधार (base) (a : base)
n : घातांक (exponent/power) (n : exponent/power)

उदाहरण: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 यहाँ 3 आधार और 4 घातांक है।

Here 3 is the base and 4 is the exponent.

3. घातांकों के नियम (Laws of Exponents)

(A) गुणन का नियम (Product Law):

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (जब आधार समान हो, घातांकों को जोड़ें।)

When the base is same, add the exponents.

उदाहरण: 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128

(B) भाग का नियम (Quotient Law):

aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (जहाँ m > n) (जब आधार समान हो, घातांकों को घटाएँ।)

When base is same, subtract the exponents.

उदाहरण: 5⁶ ÷ 5² = 5⁶⁻² = 5⁴ = 625

(C) घातांक का घातांक (Power of a Power):

(aᵐ)ⁿ = aᵐ×ⁿ (घातांक को आपस में गुणा करें।)

Multiply the exponents.

उदाहरण: (3²)⁴ = 3²×⁴ = 3⁸ = 6561

(D) गुणनफल का घातांक (Power of a Product):

(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ (उत्पाद के घातांक को अलग-अलग बाँट सकते हैं।)

The exponent is distributed to each factor.

उदाहरण: (2×5)³ = 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000

(E) भाग का घातांक (Power of a Quotient):

(a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (भाग के घातांक को अलग-अलग बाँट सकते हैं।)

The exponent is distributed to numerator and denominator.

उदाहरण: (4/3)² = 4² / 3² = 16/9

(F) शून्य घातांक (Zero Exponent):

a⁰ = 1 (जहाँ a ≠ 0)

Zero exponent of any non-zero number is 1.

उदाहरण: 7⁰ = 1

(G) एक घातांक (Exponent One):

a¹ = a

Exponent one means the number itself.

उदाहरण: 9¹ = 9

(H) ऋणात्मक घातांक (Negative Exponent):

a⁻ⁿ = 1/aⁿ (जहाँ a ≠ 0)

Negative exponent means reciprocal of the positive power.

उदाहरण: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8

4. घातांकों का उपयोग (Uses of Exponents)

बहुत बड़ी या बहुत छोटी संख्याओं को संक्षिप्त रूप में लिखने में।
वैज्ञानिक संकेतन (Scientific Notation) में।
गणना को सरल एवं त्वरित बनाने में।

Used to express very large or small numbers, in scientific notation, and to simplify calculations.

5. घातांकों का विस्तार (Expansion of Exponents)

aⁿ = a × a × a × ... × a (n times) (For example, 5³ = 5 × 5 × 5 = 125)

6. घातांकों के साथ संख्याएँ जोड़ना या घटाना (Addition or Subtraction with Exponents)

सिर्फ तभी संभव है जब आधार और घातांक दोनों समान हों।

Only possible when both base and exponent are same.

उदाहरण: 2³ + 2³ = 2 × 2³ = 2⁴ = 16 OR 2³ + 2³ = 8 + 8 = 16

7. वैज्ञानिक संकेतन (Scientific Notation)

परिभाषा (Definition):

जब किसी संख्या को a × 10ⁿ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ 1 ≤ a < 10 और n पूर्णांक है, तो उसे वैज्ञानिक संकेतन कहते हैं।

When a number is written as a × 10ⁿ, where 1 ≤ a < 10 and n is an integer, it is called scientific notation.

उदाहरण:

4500 = 4.5 × 10³
0.0062 = 6.2 × 10⁻³

8. घातांकों के अनुप्रयोग (Applications of Exponents)

खगोलशास्त्र में दूरियों की गणना
रसायन में अणुओं की संख्या
भौतिकी में परिमाण

In astronomy for distances, in chemistry for molecule count, in physics for magnitudes.

9. घातांकों के हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1:

2⁴ × 2³ = ? हल: 2⁴ × 2³ = 2⁴⁺³ = 2⁷ = 128

उदाहरण 2:

5⁶ ÷ 5² = ? हल: 5⁶ ÷ 5² = 5⁶⁻² = 5⁴ = 625

उदाहरण 3:

(3²)³ = ? हल: (3²)³ = 3²×³ = 3⁶ = 729

उदाहरण 4:

(2×5)³ = ? हल: (2×5)³ = 2³ × 5³ = 8 × 125 = 1000

उदाहरण 5:

(4/3)² = ? हल: (4/3)² = 4² / 3² = 16/9

उदाहरण 6:

8⁰ = ? हल: 8⁰ = 1

उदाहरण 7:

2⁻³ = ? हल: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8

उदाहरण 8:

0.00052 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए। हल: 0.00052 = 5.2 × 10⁻⁴

उदाहरण 9:

(7³ × 7⁻²) = ? हल: 7³ × 7⁻² = 7³⁻² = 7¹ = 7

उदाहरण 10:

(9² × 3²) = ? हल: 9² × 3² = (3²)² × 3² = 3⁴ × 3² = 3⁶ = 729

10. घातांकों के विस्तृत हल के उदाहरण (Detailed Solved Examples)

उदाहरण 11:

(4² × 4⁻⁵) ÷ 4⁻² = ? हल: पहले घातांकों का जोड़ें: 4² × 4⁻⁵ = 4²⁻⁵ = 4⁻³ अब भाग के लिए: 4⁻³ ÷ 4⁻² = 4⁻³⁻(⁻²) = 4⁻³⁺² = 4⁻¹ = 1/4

उदाहरण 12:

(5⁻² × 5⁴) × (5³ ÷ 5⁶) = ? हल: 5⁻² × 5⁴ = 5⁻²⁺⁴ = 5² 5³ ÷ 5⁶ = 5³⁻⁶ = 5⁻³ तो, 5² × 5⁻³ = 5²⁻³ = 5⁻¹ = 1/5

उदाहरण 13:

किसी संख्या का घातांक 0 होने पर उसका मान क्या होगा? हल: a⁰ = 1 (a ≠ 0)

उदाहरण 14:

(3 × 10⁴) × (2 × 10²) = ? हल: = (3×2) × (10⁴ × 10²) = 6 × 10⁴⁺² = 6 × 10⁶

उदाहरण 15:

(2⁵ × 2⁻³ × 2²) = ? हल: = 2⁵⁻³⁺² = 2⁴ = 16

उदाहरण 16:

8³ को विस्तार में लिखें। हल: 8³ = 8 × 8 × 8 = 512

उदाहरण 17:

0.00043 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए। हल: 0.00043 = 4.3 × 10⁻⁴

उदाहरण 18:

(6⁴ ÷ 6²) × 6 = ? हल: 6⁴ ÷ 6² = 6⁴⁻² = 6² 6² × 6 = 6²⁺¹ = 6³ = 216

उदाहरण 19:

(3⁻² × 3⁵) = ? हल: 3⁻² × 3⁵ = 3⁻²⁺⁵ = 3³ = 27

उदाहरण 20:

(2×3)⁴ = ? हल: (2×3)⁴ = 2⁴ × 3⁴ = 16 × 81 = 1296

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

यदि आधार समान हो तो घातांकों का गुणन करने पर घातांक जोड़ते हैं।

When base is same, add exponents while multiplying.

यदि आधार समान हो तो घातांकों का भाग करने पर घातांक घटाते हैं।

When base is same, subtract exponents while dividing.

a⁰ = 1, जब a ≠ 0।

Zero exponent of a non-zero number is always 1.

a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0)।

Negative exponent gives reciprocal.

(aᵐ)ⁿ = aᵐ×ⁿ।

Exponent of an exponent, multiply exponents.

(ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ और (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ।

Power of product and quotient.

बड़ी या छोटी संख्याएँ वैज्ञानिक संकेतन में a × 10ⁿ के रूप में लिखी जाती हैं।

Large/small numbers are written in scientific notation.

घातांक 1 का अर्थ संख्या स्वयं ही होती है: a¹ = a।

Exponent 1 means the number itself.

जोड़ या घटाना सिर्फ तभी संभव है जब आधार और घातांक दोनों समान हों।

Addition/subtraction is possible only when both base and exponent are same.

ऋणात्मक घातांकों को धनात्मक में बदलने के लिए व्युत्क्रम (reciprocal) लेते हैं।

Negative exponents are converted to positive by taking reciprocal.

घातांकों का विस्तार करने के लिए आधार को उतनी ही बार गुणा करें जितना घातांक है।

Expand exponents by multiplying base as many times as exponent.

किसी भी संख्या के शून्य घातांक का मान 1 होता है।

Value of any non-zero number to the power zero is 1.

यदि दो संख्याओं के आधार भिन्न हों, तो घातांकों को जोड़ या घटा नहीं सकते।

If bases are different, exponents cannot be added or subtracted.

वैज्ञानिक संकेतन में, a का मान 1 से अधिक या बराबर और 10 से कम होना चाहिए।

In scientific notation, a should be ≥ 1 and < 10.

घातांकों के नियमों का पालन करना आवश्यक है अन्यथा उत्तर गलत हो सकता है।

It is important to follow laws of exponents for correct answers.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक (No.) | गलती (Mistake in Hindi) | सुधार (Correction in Hindi) | Mistake (in English) | Correction (in English) | |---------------|------------------------------------------------------------|---------------------------------------------------------------|--------------------------------------------|------------------------------------------------| | 1 | आधार भिन्न होने पर घातांक जोड़ना या घटाना | सिर्फ समान आधार पर ही जोड़ें/घटाएँ। | Adding/subtracting exponents with different bases | Only add/subtract exponents with same base | | 2 | a⁰ ≠ 0 मान लेना | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | Assuming a⁰ ≠ 0 | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | | 3 | ऋणात्मक घातांक को धनात्मक में न बदलना | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | Not converting negative exponent to positive | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | | 4 | (ab)ⁿ = abⁿ लिखना | (ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ | Writing (ab)ⁿ = abⁿ | (ab)ⁿ = aⁿ × bⁿ | | 5 | (aⁿ)ᵐ = aⁿ⁺ᵐ लिखना | (aⁿ)ᵐ = aⁿ×ᵐ | Writing (aⁿ)ᵐ = aⁿ⁺ᵐ | (aⁿ)ᵐ = aⁿ×ᵐ | | 6 | जोड़/घटाना सिर्फ घातांक समान होने पर नहीं करना | जोड़/घटाना तभी करें जब आधार और घातांक दोनों समान हों। | Adding/subtracting when exponents only are same | Add/subtract only when both base and exponent are same | | 7 | घातांकों में 0 को आधार मान लेना | 0ⁿ = 0, परंतु n⁰ = 1 (जहाँ n ≠ 0) | Confusing 0ⁿ and n⁰ | 0ⁿ = 0, but n⁰ = 1 (n ≠ 0) | | 8 | वैज्ञानिक संकेतन में a का मान 10 या उससे अधिक लिखना | a का मान 1 ≤ a < 10 होना चाहिए। | Writing a ≥ 10 in scientific notation | a must be 1 ≤ a < 10 | | 9 | घातांकों में भाग करते समय घातांक जोड़ना | भाग में घातांक घटाएँ। | Adding exponents in division | Subtract exponents in division | | 10 | ऋणात्मक घातांक को बिना व्युत्क्रम के ही लिख देना | व्युत्क्रम लिखना आवश्यक है। | Not writing reciprocal for negative exponent | Must write reciprocal for negative exponent |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1 अंक (1 Mark) प्रश्न

5⁰ का मान क्या होगा?

उत्तर: 1

What is the value of 5⁰?

2⁻³ का मान लिखिए।

उत्तर: 1/8

Write the value of 2⁻³.

7¹ का मान क्या है?

उत्तर: 7

What is the value of 7¹?

(3 × 4)² का विस्तार लिखिए।

उत्तर: 3² × 4² = 9 × 16 = 144

Write the expansion of (3 × 4)².

10⁻² का मान क्या होगा?

(Value of 10⁻²?) उत्तर: 1/100

2 अंक (2 Mark) प्रश्न

(2³ × 2⁻²) ÷ 2⁻³ का मान ज्ञात कीजिए।

(Find the value of (2³ × 2⁻²) ÷ 2⁻³.) हल: 2³ × 2⁻² = 2³⁻² = 2¹ 2¹ ÷ 2⁻³ = 2¹⁻(⁻³) = 2¹⁺³ = 2⁴ = 16 उत्तर: 16

0.00089 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए।

उत्तर: 0.00089 = 8.9 × 10⁻⁴

Write 0.00089 in scientific notation.

(5²)³ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: (5²)³ = 5²×³ = 5⁶ = 15625

Find the value of (5²)³.

7⁵ ÷ 7² = ?

उत्तर: 7⁵ ÷ 7² = 7⁵⁻² = 7³ = 343

3⁻⁴ × 3² = ?

उत्तर: 3⁻⁴ × 3² = 3⁻⁴⁺² = 3⁻² = 1/9

5 अंक (5 Mark) प्रश्न

निम्नलिखित को सरल कीजिए:

(a) (2⁵ × 2⁻³ × 2²) (b) (7³ × 7⁻⁴ × 7²) ÷ 7⁻¹ (c) (3² × 4³)² (d) 0.000235 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए। (e) (5⁻² × 5⁴) × (5³ ÷ 5⁶)

हल: (a) 2⁵ × 2⁻³ × 2² = 2⁵⁻³⁺² = 2⁴ = 16 (b) 7³ × 7⁻⁴ × 7² = 7³⁻⁴⁺² = 7¹; अब ÷ 7⁻¹ = 7¹⁻(⁻¹) = 7² = 49 (c) (3² × 4³)² = (3²)² × (4³)² = 3⁴ × 4⁶ = 81 × 4096 = 331776 (d) 0.000235 = 2.35 × 10⁻⁴ (e) 5⁻² × 5⁴ = 5⁻²⁺⁴ = 5²; 5³ ÷ 5⁶ = 5³⁻⁶ = 5⁻³; तो, 5² × 5⁻³ = 5²⁻³ = 5⁻¹ = 1/5

यदि (x² × x⁻⁵ ÷ x⁻³) = xⁿ, तो n का मान ज्ञात कीजिए।

हल: x² × x⁻⁵ = x²⁻⁵ = x⁻³ x⁻³ ÷ x⁻³ = x⁻³⁻(⁻³) = x⁻³⁺³ = x⁰ = 1 तो, n = 0

If (x² × x⁻⁵ ÷ x⁻³) = xⁿ, find the value of n.

3⁴ × 2³ × 3² × 2⁴ = ?

हल: 3⁴ × 3² = 3⁴⁺² = 3⁶ = 729 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128 तो, 729 × 128 = 932352

0.0000279 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए एवं उसका विस्तार कीजिए।

उत्तर: 0.0000279 = 2.79 × 10⁻⁵ विस्तार: 2.79 × 0.00001 = 0.0000279

(a³b²)⁴ × (a⁻²b⁻⁴)³ को सरल कीजिए।

हल: (a³b²)⁴ = a¹²b⁸ (a⁻²b⁻⁴)³ = a⁻⁶b⁻¹² अब, a¹² × a⁻⁶ = a¹²⁻⁶ = a⁶ b⁸ × b⁻¹² = b⁸⁻¹² = b⁻⁴ अर्थात्, a⁶b⁻⁴ = a⁶ / b⁴

नोट: (इस अध्याय के सभी नियमों, सूत्रों, उदाहरणों और वैज्ञानिक संकेतन को अच्छी तरह समझें। परीक्षा में सही उत्तर के लिए घातांकों के नियमों का पालन अवश्य करें।)

Understand all rules, formulas, examples, and scientific notation thoroughly. Always follow the laws of exponents for correct answers in exams.

अध्याय के साथ NCERT और RBSE की अभ्यास पुस्तिका के सभी प्रश्नों का अभ्यास करें।

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मुख्य बिंदु (Key Points)

घातांक यह दर्शाता है कि किसी संख्या (आधार) को स्वयं से कितनी बार गुणा किया गया है।
सामान्य रूप a^n होता है, जहाँ 'a' आधार (base) है और 'n' घातांक (exponent) है।
किसी भी शून्येतर संख्या a के लिए a^1 = a होता है।
किसी भी शून्येतर संख्या a के लिए a^0 = 1 होता है।
गुणन नियम: a^m × a^n = a^{m+n}।
भाग नियम: a^m ÷ a^n = a^{m-n} (a ≠ 0)।
घात की घात: (a^m)^n = a^{m×n}।
गुणनफल की घात: (ab)^n = a^n × b^n।
भाज्य की घात: (a/b)^n = a^n / b^n (b ≠ 0)।
ऋणात्मक घातांक: a^{-n} = 1/a^n (a ≠ 0)।
घातांकों की सहायता से बहुत बड़ी या बहुत छोटी संख्याओं को मानक रूप में लिखा जा सकता है।
घातांकों के नियम पुनरावृत्त गुणा से संबंधित गणनाओं और अभिव्यक्तियों को सरल बनाते हैं।

Key Points

Exponent denotes how many times a number (base) is multiplied by itself.
The general form is a^n, where 'a' is the base and 'n' is the exponent.
a^1 = a for any non-zero number a.
a^0 = 1 for any non-zero number a.
Product rule: a^m × a^n = a^{m+n}.
Quotient rule: a^m ÷ a^n = a^{m-n} (a ≠ 0).
Power of a power: (a^m)^n = a^{m×n}.
Power of a product: (ab)^n = a^n × b^n.
Power of a quotient: (a/b)^n = a^n / b^n (b ≠ 0).
Negative exponents: a^{-n} = 1/a^n (a ≠ 0).
Exponents help in expressing very large or very small numbers in standard form.
Laws of exponents simplify calculations and expressions involving repeated multiplication.

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

यदि a^m × a^n = a^k, तो k = ?

(3^2) × (2^2) का मान क्या है?

100 को 10 की घातांक के रूप में लिखें।

2^4 का विस्तृत रूप क्या है?

निम्नलिखित में से कौन 5^0 के बराबर है?

महत्वपूर्ण विषयपरक प्रश्न

अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)

5⁰ का मान क्या होगा? 1 अंक नोट्स
2⁻³ का मान लिखिए 1 अंक नोट्स
7¹ का मान क्या है? 1 अंक नोट्स
(3 × 4)² का विस्तार लिखिए। ².) 1 अंक नोट्स
10⁻² का मान क्या होगा? 1 अंक नोट्स

लघु उत्तरीय प्रश्न

(2³ × 2⁻²) ÷ 2⁻³ का मान ज्ञात कीजिए। ÷ 2⁻³.) 2 अंक नोट्स
0.00089 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए 2 अंक नोट्स
(5²)³ का मान ज्ञात कीजिए। ³.) 2 अंक नोट्स
7⁵ ÷ 7² = ? 2 अंक नोट्स
3⁻⁴ × 3² = ? 2 अंक नोट्स

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

निम्नलिखित को सरल कीजिए: (a) (2⁵ × 2⁻³ × 2²) (b) (7³ × 7⁻⁴ × 7²) ÷ 7⁻¹ (c) (3² × 4³)² (d) 0.000235 को वैज्ञानिक संकेतन में लिखिए। (e) (5⁻² × 5⁴) × (5³ ÷ 5⁶) 5 अंक नोट्स

उत्तर कुंजी (Answer Key)

प्रश्न 1 का उत्तर

प्रश्न 2 का उत्तर

1/8

प्रश्न 3 का उत्तर

प्रश्न 4 का उत्तर

3² × 4² = 9 × 16 = 144

प्रश्न 5 का उत्तर

1/100

प्रश्न 6 का उत्तर

2³ × 2⁻² = 2³⁻² = 2¹ 2¹ ÷ 2⁻³ = 2¹⁻(⁻³) = 2¹⁺³ = 2⁴ = 16 उत्तर: 16

प्रश्न 7 का उत्तर

0.00089 = 8.9 × 10⁻⁴

प्रश्न 8 का उत्तर

(5²)³ = 5²×³ = 5⁶ = 15625

प्रश्न 9 का उत्तर

7⁵ ÷ 7² = 7⁵⁻² = 7³ = 343

प्रश्न 10 का उत्तर

3⁻⁴ × 3² = 3⁻⁴⁺² = 3⁻² = 1/9

प्रश्न 11 का उत्तर

(a) 2⁵ × 2⁻³ × 2² = 2⁵⁻³⁺² = 2⁴ = 16 (b) 7³ × 7⁻⁴ × 7² = 7³⁻⁴⁺² = 7¹; अब ÷ 7⁻¹ = 7¹⁻(⁻¹) = 7² = 49 (c) (3² × 4³)² = (3²)² × (4³)² = 3⁴ × 4⁶ = 81 × 4096 = 331776 (d) 0.000235 = 2.35 × 10⁻⁴ (e) 5⁻² × 5⁴ = 5⁻²⁺⁴ = 5²; 5³ ÷ 5⁶ = 5³⁻⁶ = 5⁻³; तो, 5² × 5⁻³ = 5²⁻³ = 5⁻¹ = 1/5

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घातांक और घात (Exponents and Powers) एक नज़र में: यह अध्याय संख्याओं के घातांक (exponents) और घात (powers) की संकल्पना को विस्तार से समझाता है। इसमें घातांकों…

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