संबंध एवं फलन
संबंध एवं फलन (Relations and Functions)
एक नज़र में:
यह अध्याय सेट (समुच्चय), संबंध (Relation) और फलन (Function) की मूलभूत अवधारणाओं को विस्तार से समझाता है। इसमें उनके प्रकार, गुणधर्म, चित्रण, और दैनिक जीवन में उपयोग की चर्चा की गई है। (This chapter covers the fundamental concepts of sets, relations, and functions, their types, properties, representations, and applications in daily life.)
📌 अध्याय का परिचय
यह अध्याय गणित की आधारशिला है, जिसमें समुच्चय, संबंध तथा फलन की परिभाषा, उदाहरण, प्रकार, और उनके मध्य संबंध की व्याख्या की गई है। संबंध दो समुच्चयों के तत्वों के बीच कोई नियम या संबंध होता है, जबकि फलन एक विशेष प्रकार का संबंध होता है जिसमें प्रत्येक पूर्वसर्ग के लिए एक अद्वितीय अनुक्रम होता है। (This chapter forms the foundation of mathematics, discussing the definitions, examples, types, and interrelations of sets, relations, and functions. A relation is a rule or association between elements of two sets, while a function is a special kind of relation where each input has a unique output.)
📖 1. समुच्चय (Set)
परिभाषा (Definition)
कोई भी स्पष्ट रूप से परिभाषित वस्तुओं का संग्रह समुच्चय कहलाता है।
A well-defined collection of objects is called a set.
उदाहरण (Examples):
- A = {1, 2, 3, 4}
- B = {x | x एक प्राकृतिक संख्या है, x < 10}
प्रतीकात्मक निरूपण (Representation)
- सूची विधि (Roster form): {1, 2, 3}
- नियम विधि (Set-builder form): {x | x < 5, x ∈ N}
📖 2. संबंध (Relation)
परिभाषा (Definition)
यदि A और B दो समुच्चय हैं, तो A × B (कार्तीय गुणनफल) = {(a, b): a ∈ A, b ∈ B} A और B के तत्वों के बीच कोई नियम या संबंध, R, A × B का एक उपसमुच्चय होता है।
If A and B are two sets, A × B (Cartesian Product) = {(a, b): a ∈ A, b ∈ B}. A relation R from A to B is a subset of A × B.
उदाहरण (Example):
A = {1, 2}, B = {x, y} A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)} R = {(1, x), (2, y)} is a relation from A to B.
संबंध का प्रकार (Types of Relations)
1. प्रतिबिंबित संबंध (Reflexive Relation)
यदि ∀a ∈ A, (a, a) ∈ R, तो R प्रतिबिंबित है।
If for all a ∈ A, (a, a) ∈ R, then R is reflexive.
2. सममित संबंध (Symmetric Relation)
यदि (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R, तो R सममित है।
If (a, b) ∈ R implies (b, a) ∈ R, then R is symmetric.
3. संक्रामक संबंध (Transitive Relation)
यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R, तो R संक्रामक है।
If (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R implies (a, c) ∈ R, then R is transitive.
4. तुल्यता संबंध (Equivalence Relation)
यदि R प्रतिबिंबित, सममित तथा संक्रामक तीनों है, तो R तुल्यता संबंध है।
If R is reflexive, symmetric, and transitive, then R is an equivalence relation.
उदाहरण (Example):
A = {1, 2, 3}, R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2)} Check reflexivity, symmetry, transitivity.
संबंध का निरूपण (Representation of Relations)
1. आरेख द्वारा (By Diagrams)
- ऐरो (Arrow) आरेख: तीरों द्वारा संबंध दिखाए जाते हैं।
- ग्राफ (Graph): बिंदु और रेखा द्वारा।
2. तालिका द्वारा (By Table)
- तालिका में A के तत्व पंक्ति में, B के तत्व स्तंभ में।
3. सूची द्वारा (By Listing)
- युग्मों की सूची: {(a1, b1), (a2, b2), ...}
Solved Example 1:
Q: यदि A = {1, 2, 3}, और R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} है, तो क्या R प्रतिबिंबित, सममित, या संक्रामक है? A:
- प्रतिबिंबित: (1,1), (2,2), (3,3) ∈ R ⇒ प्रतिबिंबित है।
- सममित: (1,2) ∈ R ⇒ (2,1) ∈ R, ठीक है।
- संक्रामक: (1,2), (2,1) ∈ R ⇒ (1,1) ∈ R, ठीक है।
तो R सभी तीनों गुण रखता है।
So R is reflexive, symmetric, and transitive.
📖 3. फलन (Function)
परिभाषा (Definition)
A और B दो समुच्चय हैं। यदि R ⊆ A × B एक ऐसा संबंध है जिसमें प्रत्येक a ∈ A के लिए केवल एक b ∈ B है, जिससे (a, b) ∈ R, तब R को A से B पर फलन कहते हैं।
A function f from A to B is a relation such that every element of A is associated with exactly one element of B.
प्रतीक (Notation):
- f : A → B
- f(a) = b
उदाहरण (Example)
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6} f : A → B, f(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 6
फलन के प्रकार (Types of Functions)
1. एक-एक फलन (One-One Function) [Injective]
यदि f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2, तो f एक-एक है।
If f(a1) = f(a2) implies a1 = a2, then f is one-one.
उदाहरण:
f: {1,2,3} → {a,b,c}, f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c
2. परिपूर्ण फलन (Onto Function) [Surjective]
यदि B का प्रत्येक तत्व f(A) का कोई प्री-इमेज है, तो f परिपूर्ण है।
If every element of B is the image of some element of A, then f is onto.
3. एक-एक एवं परिपूर्ण फलन (Bijective Function)
यदि f एक-एक भी है और परिपूर्ण भी, तो f द्विआधारी (bijective) है।
If a function is both one-one and onto, it is called bijective.
4. शून्य फलन (Zero Function)
f(x) = 0, ∀x ∈ A
5. स्थिर फलन (Constant Function)
f(x) = c, ∀x ∈ A, जहाँ c नियतांक है।
6. सर्वसम्बंधी फलन (Identity Function)
f(x) = x, ∀x ∈ A
7. बहुपद फलन (Polynomial Function)
f(x) = ax^n + bx^{n-1} + ... + k
8. घातांक फलन (Exponential Function)
f(x) = a^x
9. लघुगणकीय फलन (Logarithmic Function)
f(x) = log_a(x)
10. त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Function)
f(x) = sin(x), cos(x), tan(x), आदि।
Solved Example 2:
Q: जाँचें कि f: R → R, f(x) = 2x + 1, एक-एक एवं परिपूर्ण है या नहीं? A:
- एक-एक:
f(x1) = f(x2) 2x1 + 1 = 2x2 + 1 ⇒ x1 = x2 ⇒ एक-एक है
- परिपूर्ण:
मान लें y ∈ R, y = 2x + 1 ⇒ x = (y-1)/2 ∈ R ⇒ परिपूर्ण है तो, f द्विआधारी (bijective) है।
फलन का आरेखीय निरूपण (Graphical Representation)
फलन को x-y अक्ष पर ग्राफ द्वारा दिखाया जा सकता है।
Functions can be represented graphically on x-y axes.
ऊर्ध्व रेखा परीक्षण (Vertical Line Test)
यदि किसी फलन का ग्राफ किसी भी ऊर्ध्वाधर रेखा को केवल एक बिंदु पर काटता है, तो वह फलन है।
If any vertical line cuts the graph at most once, it is a function.
फलन की संकल्पना (Domain, Co-domain, Range)
- संकल्पना (Domain): वह समुच्चय जिसमें से इनपुट लिए जाते हैं।
The set of all possible inputs.
- कोडोमेन (Co-domain): वह समुच्चय जिसमें फलन के परिणाम होते हैं।
The set in which outputs lie.
- परास (Range): वास्तविक आउटपुट का समुच्चय।
The set of actual outputs.
उदाहरण:
f: R → R, f(x) = x^2 Domain: R Co-domain: R Range: [0, ∞)
Solved Example 3:
Q: f: R → R, f(x) = x^2. इसका डोमेन, कोडोमेन, और रेंज ज्ञात करें। A:
- Domain = R
- Co-domain = R
- Range = [0, ∞)
📖 4. फलनों में संक्रियाएँ (Operations on Functions)
यदि f और g दो फलन हैं, तो:
- (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f - g)(x) = f(x) - g(x)
- (f × g)(x) = f(x) × g(x)
- (f / g)(x) = f(x) / g(x), जब g(x) ≠ 0
संयोजन (Composition of Functions)
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
उदाहरण:
f(x) = 2x, g(x) = x + 1 (f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2
Solved Example 4:
Q: यदि f(x) = x^2 और g(x) = x + 1, तो (f ∘ g)(2) और (g ∘ f)(2) ज्ञात करें। A:
- (f ∘ g)(2) = f(g(2)) = f(3) = 9
- (g ∘ f)(2) = g(f(2)) = g(4) = 5
📖 5. व्युत्क्रम फलन (Inverse of a Function)
परिभाषा (Definition)
यदि f: A → B एक द्विआधारी फलन है, तो f⁻¹: B → A ऐसा फलन है कि f⁻¹(f(a)) = a, ∀a ∈ A f(f⁻¹(b)) = b, ∀b ∈ B
If f: A → B is bijective, then f⁻¹: B → A such that f⁻¹(f(a)) = a and f(f⁻¹(b)) = b.
उदाहरण:
f(x) = 2x + 3, x ∈ R Let y = 2x + 3 x = (y - 3)/2 So, f⁻¹(y) = (y - 3)/2
Solved Example 5:
Q: यदि f(x) = 3x - 2, x ∈ R, तो f⁻¹(y) ज्ञात करें। A: y = 3x - 2 ⇒ x = (y + 2)/3 अतः f⁻¹(y) = (y + 2)/3
📖 6. कुछ महत्वपूर्ण फलन (Some Important Functions)
1. पहचान फलन (Identity Function)
f(x) = x
2. शून्य फलन (Zero Function)
f(x) = 0
3. स्थिर फलन (Constant Function)
f(x) = c
4. बहुपद फलन (Polynomial Function)
f(x) = ax^n + bx^{n-1} + ... + k
5. घातांक फलन (Exponential Function)
f(x) = a^x
6. लघुगणकीय फलन (Logarithmic Function)
f(x) = log_a(x)
7. त्रिकोणमितीय फलन (Trigonometric Function)
f(x) = sin(x), cos(x), tan(x), आदि।
📖 7. फलनों का वर्गीकरण (Classification of Functions)
1. सम फलन (Even Function)
f(-x) = f(x) e.g., f(x) = x^2
2. विषम फलन (Odd Function)
f(-x) = -f(x) e.g., f(x) = x^3
3. आवर्ती फलन (Periodic Function)
यदि ∃ T > 0, f(x + T) = f(x), ∀x e.g., sin(x), cos(x)
📖 8. फलनों की सीमा एवं परास (Domain and Range of Important Functions)
| फलन (Function) | डोमेन (Domain) | रेंज (Range) | |----------------|----------------|--------------| | x^2 | R | [0, ∞) | | √x | [0, ∞) | [0, ∞) | | 1/x | R - {0} | R - {0} | | sin(x) | R | [-1, 1] | | cos(x) | R | [-1, 1] | | tan(x) | R - {(2n+1)π/2} | R | | e^x | R | (0, ∞) | | log(x) | (0, ∞) | R |
📖 9. तत्वों का युग्मन (Pairing of Elements)
फलन में प्रत्येक x ∈ Domain के लिए एक अद्वितीय y ∈ Co-domain होता है।
In a function, each x in domain has a unique y in co-domain.
उदाहरण:
A = {1,2,3}, B = {a,b,c} f: A → B, f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c
📖 10. व्यावहारिक अनुप्रयोग (Applications)
- गणितीय मॉडलिंग
- सांख्यिकी
- भौतिकी (Physics)
- कंप्यूटर विज्ञान (Computer Science)
- अर्थशास्त्र (Economics)
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)
- प्रत्येक फलन एक संबंध है, परंतु प्रत्येक संबंध फलन नहीं होता।
Every function is a relation, but not every relation is a function.
- फलन में एक इनपुट के लिए एक ही आउटपुट होना चाहिए।
A function must assign exactly one output to each input.
- तुल्यता संबंध के लिए प्रतिबिंबित, सममित, एवं संक्रामक होना आवश्यक है।
Equivalence relation must be reflexive, symmetric, and transitive.
- एक-एक फलन में दो अलग-अलग इनपुट का आउटपुट अलग-अलग होता है।
In one-one function, different inputs have different outputs.
- परिपूर्ण फलन में कोडोमेन का हर तत्व रेंज में होता है।
In onto function, every co-domain element is in the range.
- द्विआधारी फलन का ही व्युत्क्रम फलन होता है।
Only bijective functions have inverses.
- A × B में युग्मों की संख्या = |A| × |B|
Number of ordered pairs in A × B = |A| × |B|
- फलन का संयोजन संघटन (composition) द्वारा होता है।
Composition of functions is by combining outputs.
- ग्राफ द्वारा फलन की दृश्यता सरल होती है।
Functions are easy to visualize via graphs.
- ऊर्ध्व रेखा परीक्षण से फलन की पहचान होती है।
Vertical line test helps identify functions.
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Approach) | |----------------|-----------------------------| | 1. एक x के लिए एक से अधिक y लिखना | फलन में x के लिए केवल एक y होना चाहिए | | 2. समुच्चय का गलत प्रतीक | {} का प्रयोग करें, ( ) नहीं | | 3. संबंध और फलन में अंतर भूलना | फलन विशिष्ट प्रकार का संबंध है | | 4. डोमेन, कोडोमेन, रेंज को गड़बड़ाना | परिभाषाएँ याद रखें | | 5. संयोजन (f∘g) और (g∘f) में उलझना | पहले g फिर f का प्रयोग करें: f(g(x)) | | 6. व्युत्क्रम फलन हर फलन का नहीं होता | केवल द्विआधारी (bijective) फलन का होता है | | 7. ग्राफ में ऊर्ध्व रेखा परीक्षण न करना | ग्राफ से सत्यापित करें | | 8. प्रतिबिंबित, सममित, संक्रामक में भ्रम | प्रत्येक गुणधर्म को अलग-अलग जाँचें | | 9. A × B और B × A को समान मानना | क्रम महत्वपूर्ण है, A × B ≠ B × A | | 10. फलन के प्रकार (एक-एक, परिपूर्ण) में मिश्रण | परिभाषाएँ स्पष्ट रखें |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)
1-Mark Questions (1 अंकीय प्रश्न)
- संबंध क्या है?
What is a relation?
- फलन का परास क्या है?
What is the range of a function?
- प्रतिबिंबित संबंध की एक शर्त लिखें।
Write one condition for reflexive relation.
- f(x) = x^2 का डोमेन क्या है?
What is the domain of f(x) = x^2?
- f: R → R, f(x) = 2x + 1 का व्युत्क्रम फलन लिखें।
Write the inverse of f: R → R, f(x) = 2x + 1.
2-Mark Questions (2 अंकीय प्रश्न)
- यदि A = {1, 2}, B = {a, b}, तो A × B और B × A लिखें।
(Write A × B and B × A for A = {1, 2}, B = {a, b}.)
- जाँचें कि f: R → R, f(x) = 3x - 4, एक-एक है या नहीं।
Check whether f: R → R, f(x) = 3x - 4 is one-one.
- "संपूर्ण फलन" की परिभाषा दें।
Define "onto function".
- f(x) = x^2 का रेंज ज्ञात करें।
Find the range of f(x) = x^2.
- "तुल्यता संबंध" का एक उदाहरण दीजिए।
Give an example of equivalence relation.
5-Mark Questions (5 अंकीय प्रश्न)
- परिभाषित करें: (a) प्रतिबिंबित संबंध (b) सममित संबंध (c) संक्रामक संबंध। प्रत्येक के लिए एक-एक उदाहरण दें।
Define: (a) Reflexive relation (b) Symmetric relation (c) Transitive relation. Give one example each.
- फलन और संबंध में क्या भिन्नता है? विस्तार से समझाइए।
What is the difference between function and relation? Explain in detail.
- A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}, सभी संभावित फलन की संख्या ज्ञात करें।
Find the number of all possible functions from A = {1, 2, 3} to B = {4, 5}.
- निम्नलिखित फलनों के संयोजन ज्ञात करें:
f(x) = x + 2, g(x) = 3x; (a) (f ∘ g)(x) (b) (g ∘ f)(x)
- यदि R = {(a, b): a - b पूर्णांक है}, जहाँ a, b ∈ Q, तो जाँचें कि R एक तुल्यता संबंध है या नहीं।
If R = {(a, b): a - b is an integer}, where a, b ∈ Q, check whether R is an equivalence relation.
अध्याय का सारांश (Chapter Summary)
- संबंध दो समुच्चयों के बीच नियम है, फलन उसका विशिष्ट रूप है जिसमें प्रत्येक इनपुट का एक ही आउटपुट होता है।
- फलनों के प्रकार, उनकी संकल्पना, संयोजन, व्युत्क्रम, और ग्राफिक निरूपण की विधियां इस अध्याय में विस्तार से दी गई हैं।
- संबंध के प्रतिबिंबित, सममित, संक्रामक और तुल्यता गुणधर्मों को समझना आवश्यक है।
- परीक्षा की दृष्टि से, परिभाषाएँ, उदाहरण, ग्राफ, और संकल्पना को स्पष्ट रूप से समझना जरूरी है।
यह नोट्स RBSE कक्षा 12 गणित के "संबंध एवं फलन" अध्याय के लिए पूर्ण, द्विभाषी, और परीक्षा की दृष्टि से उपयुक्त हैं।
These notes are comprehensive, bilingual, and exam-oriented for RBSE Class 12 Mathematics chapter "Relations and Functions".
मुख्य बिंदु (Key Points)
- संबंध दो समुच्चयों के कार्तीय गुणनफल का एक उपसमुच्चय होता है।
- संबंध में व्यवस्थित युग्मों के सभी प्रथम अवयवों का समुच्चय प्रांत (domain) कहलाता है।
- संबंध में व्यवस्थित युग्मों के सभी द्वितीय अवयवों का समुच्चय परास (range) कहलाता है।
- फलन संबंध का एक विशेष प्रकार है जिसमें प्रांत के प्रत्येक अवयव का परास के केवल एक अवयव से संबंध होता है।
- यदि (a, b) ∈ R तथा (b, a) ∈ R, तो संबंध सममित (symmetric) होता है।
- यदि (a, b) ∈ R तथा (b, c) ∈ R से (a, c) ∈ R हो, तो संबंध पारगामी (transitive) होता है।
- यदि (a, a) ∈ R प्रत्येक a ∈ A के लिए हो, तो संबंध प्रतिविम्बी (reflexive) होता है।
- समानता संबंध (equivalence relation) वह है जो प्रतिविम्बी, सममित और पारगामी हो।
- यदि A में m अवयव हैं और B में n अवयव हैं, तो A से B में कुल संबंधों की संख्या 2^(mn) होती है।
- यदि A में m अवयव हैं और B में n अवयव हैं, तो A से B में कुल फलनों की संख्या n^m होती है।
- यदि A के भिन्न अवयवों के B में भिन्न-भिन्न प्रतिचित्र हों, तो फलन एक-एक (injective) कहलाता है।
- यदि B का प्रत्येक अवयव A के किसी न किसी अवयव का प्रतिचित्र हो, तो फलन परिपूर्ण (surjective) कहलाता है।
इस अध्याय से अभ्यास प्रश्न
निम्नलिखित में से कौन सा A = {1,2,3} से B = {a,b} परिभाषित फलन है?
- {(1,a), (2,a), (3,a)}
- {(1,a), (1,b), (2,a)}
- {(1,a), (2,b)}
- {(2,a), (3,b)}
उत्तर देखें
फलन प्रत्येक A के तत्त्व को B के एक तत्त्व से जोड़ता है। केवल विकल्प A ऐसा करता है।
यदि f: R → R को f(x) = 2x + 3 द्वारा परिभाषित किया गया है, तो f(1) का मान है:
- 7
- 3
- 5
- 1
उत्तर देखें
f(1) = 2*1 + 3 = 5।
सभी क्रमबद्ध युग्म (x, y) का समुच्चय जहाँ x = y^2 है, वह एक:
- फलन
- एक-एक फलन
- सर्वांग फलन
- संबंध
उत्तर देखें
यह संबंध है, क्योंकि कुछ x के लिए एक से अधिक y हो सकते हैं।