menu_bookRBSE · गणित (Mathematics) · अध्याय 13

प्रायिकता

Probability

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Image: Simple-boardgame by ASpiegler / Wikimedia Commons, source, CC BY-SA 4.0

प्रायिकता (Probability)

एक नज़र में:

प्रायिकता गणित की वह शाखा है जिसमें हम अनिश्चित घटनाओं के घटित होने की संभावना का अध्ययन करते हैं। इस अध्याय में हम प्रायिकता के सिद्धांत, नियम, विभिन्न प्रकार की घटनाएँ, प्रायिकता वितरण, बायनॉमियल प्रायिकता, व सांख्यिकीय प्रायिकता का गहन अध्ययन करेंगे।

Probability is the branch of mathematics that deals with quantifying the likelihood of uncertain events. This chapter explores probability theory, rules, types of events, probability distributions, binomial probability, and statistical probability in detail.

📌 अध्याय का परिचय (Chapter Introduction)

प्रायिकता वह गणितीय शाखा है जिसमें हम अनिश्चित घटनाओं के घटित होने की संभावना का गणितीय विश्लेषण करते हैं। यह विषय विज्ञान, वाणिज्य, समाजशास्त्र, इंजीनियरिंग आदि क्षेत्रों में उपयोगी है। प्रायिकता के अध्ययन से हम पूर्वानुमान, निर्णय, जोखिम विश्लेषण आदि कर सकते हैं।

Probability is the mathematical branch where we analyze the likelihood of uncertain events. This subject is useful in science, commerce, sociology, engineering, etc. The study of probability helps in prediction, decision-making, risk analysis, and much more.

📖 मुख्य विषय-वस्तु (Major Topics)

1. प्रायिकता का मूलभाव (Basic Concept of Probability)

परिभाषा (Definition):

प्रायिकता (Probability) किसी घटना के घटित होने की संभावना है। इसे 0 से 1 के बीच दर्शाया जाता है।

Probability is the likelihood of occurrence of an event, represented between 0 and 1.

उदाहरण:

यदि एक सिक्का उछाला जाए, तो सिर (Head) आने की संभावना 1/2 होगी।

If a coin is tossed, the probability of getting a head is 1/2.

2. प्रायिकता के प्रकार (Types of Probability)

1. शास्त्रीय प्रायिकता (Classical Probability)

यह प्रायिकता समान संभावित परिणामों पर आधारित है।

Probability based on equally likely outcomes.

सूत्र (Formula): \[ P(E) = \frac{\text{Number of favorable outcomes}}{\text{Total number of possible outcomes}} \]

उदाहरण:

एक पासे को फेंका गया, 2 आने की संभावना = \( \frac{1}{6} \)

Probability of getting 2 on a dice = 1/6

2. सांख्यिकीय प्रायिकता (Statistical Probability)

यह प्रायिकता प्रयोग के परिणामों पर आधारित होती है।

Probability based on experimental outcomes.

सूत्र (Formula): \[ P(E) = \frac{\text{Number of times event occurs}}{\text{Total number of trials}} \]

उदाहरण:

अगर 100 बार सिक्का उछाला गया और 48 बार सिर आया, तो सिर आने की प्रायिकता = \( \frac{48}{100} = 0.48 \)

If a coin is tossed 100 times and head appears 48 times, probability of getting head = 0.48

3. व्यक्तिपरक प्रायिकता (Subjective Probability)

यह व्यक्तिगत अनुभव या अनुमान पर आधारित होती है।

Probability based on personal judgement or intuition.

3. घटनाएँ (Events)

(i) साधारण घटना (Simple Event)

जब एक ही परिणाम मिलता है।

Simple event: Only one outcome.

(ii) संयुक्त घटना (Compound Event)

दो या अधिक परिणामों का समूह।

Compound event: Combination of two or more outcomes.

(iii) निश्चित घटना (Certain Event)

जो हमेशा घटित होती है। प्रायिकता = 1

Certain event: Always occurs. Probability = 1.

(iv) असंभव घटना (Impossible Event)

जो कभी नहीं घटती। प्रायिकता = 0

Impossible event: Never occurs. Probability = 0.

(v) पूरक घटना (Complementary Event)

यदि घटना ‘A’ न घटे, तो पूरक घटना ‘A’ का पूरक होगी।

Complementary event: If event ‘A’ does not occur, its complement occurs.

सूत्र (Formula): \[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) \]

(vi) प्रतिकूल घटना (Mutually Exclusive Event)

दो या अधिक घटनाएँ जो एक साथ नहीं घट सकती।

Mutually exclusive events: Events that cannot occur together.

(vii) स्वतंत्र घटना (Independent Event)

दो घटनाएँ जिनका एक-दूसरे के घटित होने पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता।

Independent events: Events that do not affect each other’s occurrence.

4. प्रायिकता के नियम (Rules of Probability)

(i) प्रायिकता का योग नियम (Addition Rule)

यदि घटनाएँ प्रतिकूल हैं: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

यदि घटनाएँ प्रतिकूल नहीं हैं: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

(If events are mutually exclusive: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \] If not mutually exclusive: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] )

उदाहरण:

एक पासे को फेंकने पर 2 या 4 आने की संभावना:

2 आने की संभावना = 1/6 4 आने की संभावना = 1/6 दोनों का योग = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Probability of getting 2 or 4 on a dice = 1/3

(ii) प्रायिकता का गुणन नियम (Multiplication Rule)

स्वतंत्र घटनाओं के लिए: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \]

(For independent events: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] )

उदाहरण:

दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर दोनों में सिर आने की संभावना:

पहले में सिर = 1/2 दूसरे में सिर = 1/2 दोनों में सिर = 1/2 × 1/2 = 1/4

Probability of getting heads on both coins = 1/4

5. सांपल स्थान (Sample Space) और परिणाम (Outcomes)

सांपल स्थान (Sample Space): सभी संभावित परिणामों का समूह।

Sample space: Set of all possible outcomes.

परिणाम (Outcome): एक प्रयोग का एकल परिणाम।

Outcome: A single result of an experiment.

उदाहरण:

सिक्का उछालने पर सांपल स्थान = {Head, Tail} पासा फेंकने पर सांपल स्थान = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Sample space for coin = {Head, Tail}, for dice = {1,2,3,4,5,6}

6. प्रायिकता वितरण (Probability Distribution)

परिभाषा:

किसी सांपल स्थान के सभी संभावित परिणामों की प्रायिकता का वितरण।

Distribution of probabilities for all possible outcomes in a sample space.

उदाहरण:

एक पासे के लिए प्रायिकता वितरण:

| Outcome | Probability | |---------|-------------| | 1 | 1/6 | | 2 | 1/6 | | 3 | 1/6 | | 4 | 1/6 | | 5 | 1/6 | | 6 | 1/6 |

7. बायनॉमियल प्रायिकता (Binomial Probability)

परिभाषा:

जब किसी प्रयोग में केवल दो परिणाम (सफलता/विफलता) होते हैं, तब बायनॉमियल प्रायिकता लागू होती है।

Binomial probability applies to experiments with only two outcomes: success or failure.

सूत्र (Formula): \[ P(r) = \binom{n}{r} p^r q^{n-r} \] जहाँ n = कुल प्रयोग (Total trials) r = सफलताओं की संख्या (Number of successes) p = सफलता की प्रायिकता (Probability of success) q = विफलता की प्रायिकता (Probability of failure, q=1-p)

उदाहरण:

3 बार सिक्का उछालने पर 2 बार सिर आने की प्रायिकता:

n = 3, r = 2, p = 1/2, q = 1/2 \[ P(2) = \binom{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^{1} = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \]

8. सशर्त प्रायिकता (Conditional Probability)

परिभाषा:

जब किसी घटना की प्रायिकता दूसरी घटना के घटित होने पर निर्भर करती है।

Probability of an event given another event has occurred.

सूत्र (Formula): \[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]

उदाहरण:

एक बैग में 3 लाल और 2 नीले गेंद हैं। एक गेंद निकाली गई और वह लाल निकली। अब दूसरी गेंद लाल होने की प्रायिकता:

पहली लाल निकालने के बाद, बचे हैं: 2 लाल, 2 नीले तो दूसरी गेंद लाल होने की प्रायिकता = 2/4 = 1/2

9. पूर्ण संभावना का नियम (Total Probability Theorem)

परिभाषा:

यदि घटनाएँ A1, A2, ..., An सांपल स्थान को विभाजित करती हैं, तो किसी घटना B की प्रायिकता:

सूत्र (Formula): \[ P(B) = P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + ... + P(A_n)P(B|A_n) \]

10. बेयेज़ प्रमेय (Bayes' Theorem)

परिभाषा:

यह प्रमेय सशर्त प्रायिकता के आधार पर घटना की प्रायिकता ज्ञात करने में सहायक है।

Bayes' theorem helps to find the probability of an event based on conditional probability.

सूत्र (Formula): \[ P(A_i|B) = \frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + ... + P(A_n)P(B|A_n)} \]

11. प्रायिकता के प्रश्नों के प्रकार (Types of Probability Questions)

वस्तुनिष्ठ (Objective)
वर्णनात्मक (Descriptive)
गणना आधारित (Calculation-based)
सशर्त प्रायिकता (Conditional Probability)
बायनॉमियल प्रायिकता (Binomial Probability)

📖 हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1:

एक बैग में 5 लाल, 4 नीले, 3 हरे गेंद हैं। एक गेंद निकाली गई। हरे गेंद आने की संभावना क्या है?

हल: कुल गेंद = 5 + 4 + 3 = 12 हरे गेंद = 3 प्रायिकता = 3/12 = 1/4

Example 2:

A die is thrown. What is the probability of getting a prime number?

Prime numbers on dice: 2, 3, 5 Total outcomes = 6 Favorable outcomes = 3 Probability = 3/6 = 1/2

उदाहरण 3:

दो सिक्के एक साथ उछाले गए। दोनों में सिर आने की संभावना बताएं।

हल: प्रत्येक सिक्के में सिर आने की प्रायिकता = 1/2 दोनों में सिर = 1/2 × 1/2 = 1/4

Example 4:

Find the probability that in three tosses of a coin, exactly two heads appear.

n = 3, r = 2, p = 1/2, q = 1/2 \[ P(2) = \binom{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^1 = 3 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \]

उदाहरण 5:

एक पासे को दो बार फेंका गया। दोनों बार सम संख्या आने की संभावना ज्ञात करें।

हल: सम संख्याएँ: 2, 4, 6 (प्रत्येक बार 3/6 = 1/2) दोनों बार सम संख्या = 1/2 × 1/2 = 1/4

Example 6:

A bag contains 2 red and 3 black balls. If two balls are drawn one after another without replacement, what is the probability that both are black?

Total balls = 5 First black: 3/5 Second black: 2/4 = 1/2 Combined probability = 3/5 × 1/2 = 3/10

उदाहरण 7:

एक बैग में 7 सफेद और 3 काली गेंद हैं। एक गेंद निकाली गई। काली गेंद आने की प्रायिकता क्या होगी?

हल: कुल गेंद = 7 + 3 = 10 काली गेंद = 3 प्रायिकता = 3/10

Example 8:

A card is drawn from a deck of 52 cards. What is the probability that the card is a king?

Number of kings = 4 Probability = 4/52 = 1/13

उदाहरण 9:

एक पासे को फेंका गया। सम संख्या या 3 आने की संभावना बताएं।

हल: सम संख्या: 2, 4, 6 (3) 3 (1) कुल अनुकूल परिणाम: 2, 3, 4, 6 (4) प्रायिकता = 4/6 = 2/3

Example 10:

Find the probability that a randomly chosen number from 1 to 10 is a prime.

Prime numbers: 2, 3, 5, 7 Favorable = 4 Total = 10 Probability = 4/10 = 2/5

12. उदाहरण – बायनॉमियल प्रायिकता (Example – Binomial Probability)

उदाहरण 11:

एक सिक्का को 5 बार उछाला गया। 3 बार सिर आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

हल: n = 5, r = 3, p = 1/2, q = 1/2 \[ P(3) = \binom{5}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = 10 \times \frac{1}{8} \times \frac{1}{4} = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \]

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

प्रायिकता हमेशा 0 और 1 के बीच होती है।

Probability always lies between 0 and 1.

निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।

The probability of a certain event is 1.

असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।

The probability of an impossible event is 0.

पूरक घटना की प्रायिकता = 1 - घटना की प्रायिकता।

The probability of the complementary event = 1 - probability of the event.

प्रतिकूल घटनाओं के योग का नियम: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Addition rule for mutually exclusive events.

स्वतंत्र घटनाओं के गुणन का नियम: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Multiplication rule for independent events.

सांपल स्थान सभी संभावित परिणामों का समूह है।

Sample space is the set of all possible outcomes.

बायनॉमियल प्रायिकता के लिए p + q = 1, जहाँ p = success, q = failure

In binomial probability, p + q = 1.

सशर्त प्रायिकता में, एक घटना की प्रायिकता दूसरी घटना पर निर्भर करती है।

In conditional probability, probability of one event depends on another.

प्रायिकता वितरण में सभी संभावित परिणामों की प्रायिकता का योग 1 होता है।

In probability distribution, sum of all probabilities is 1.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |------------------------------------------|---------------------------------------------------------------------------| | प्रतिकूल घटनाओं में योग नियम का गलत प्रयोग | केवल प्रतिकूल घटनाओं में योग नियम लगाएँ। (Use addition rule only for mutually exclusive events.) | | पूरक घटना की प्रायिकता गलत निकालना | पूरक घटना = 1 - घटना की प्रायिकता (Complement = 1 - event probability) | | सांपल स्थान की गणना में परिणाम भूल जाना | सभी संभावित परिणामों को शामिल करें। (Include all possible outcomes.) | | बायनॉमियल सूत्र में nCk की गलत गणना | nCk को सही तरीके से निकालें। (Calculate nCk correctly.) | | सशर्त प्रायिकता में सही घटना न लेना | सशर्त घटना को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें। (Define conditional event clearly.) | | कुल परिणामों की संख्या गलत लेना | कुल परिणामों की सही गणना करें। (Count total outcomes accurately.) | | स्वतंत्रता की गलत व्याख्या | स्वतंत्रता का अर्थ: एक घटना का दूसरी पर प्रभाव नहीं। (Independence means no effect.) | | प्रायिकता 1 से अधिक या कम निकलना | प्रायिकता हमेशा 0 ≤ P ≤ 1 होती है। (Probability always between 0 and 1.) | | प्रायिकता वितरण का योग 1 न होना | सभी प्रायिकताओं का योग 1 रखें। (Sum of all probabilities must be 1.) | | घटना की परिभाषा में अस्पष्टता | घटना को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें। (Define event clearly.) |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1-mark Questions

प्रायिकता की न्यूनतम और अधिकतम मान क्या हो सकती है?

What are the minimum and maximum values of probability?

उत्तर: 0 और 1

पूरक घटना की प्रायिकता का सूत्र लिखें।

Write the formula for probability of complementary event.

उत्तर: P(\bar{A}) = 1 - P(A)

असंभव घटना की प्रायिकता क्या होगी?

What is the probability of an impossible event?

उत्तर: 0

एक पासे को फेंकने पर कुल कितने संभावित परिणाम होंगे?

How many possible outcomes are there in a throw of a die?

उत्तर: 6

एक ताश के पत्तों की गड्डी में कुल कितने पत्ते होते हैं?

How many cards are there in a pack of cards?

उत्तर: 52

2-mark Questions

एक बैग में 3 लाल, 2 नीले, 5 हरे गेंद हैं। एक गेंद निकाली गई। नीले गेंद की प्रायिकता ज्ञात करें।

A bag contains 3 red, 2 blue, 5 green balls. One ball is drawn. Find the probability of blue ball.

उत्तर: कुल गेंद = 3 + 2 + 5 = 10 नीले गेंद = 2 प्रायिकता = 2/10 = 1/5

एक सिक्के को दो बार उछाला गया। कम से कम एक बार सिर आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

A coin is tossed twice. Find probability of getting at least one head.

उत्तर: सांपल स्थान = {HH, HT, TH, TT} कम से कम एक सिर = HH, HT, TH (3) प्रायिकता = 3/4

एक पासे को फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता बताएं।

Find probability of getting even number on a dice.

उत्तर: Even numbers: 2, 4, 6 (3) Total outcomes = 6 Probability = 3/6 = 1/2

एक ताश की गड्डी में कितने शाही पत्ते (फेस कार्ड) होते हैं?

How many face cards are there in a deck of cards?

उत्तर: 12 (King, Queen, Jack × 4 suits)

एक पासे को दो बार फेंका गया। दोनों बार विषम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

A die is thrown twice. Find probability both times odd number appears.

उत्तर: Odd numbers: 1, 3, 5 (3/6 = 1/2) Probability = 1/2 × 1/2 = 1/4

5-mark Questions

एक ताश की गड्डी में 52 पत्ते हैं। एक पत्ता निकाला गया।

(i) राजा (King) आने की प्रायिकता ज्ञात करें। (ii) शाही पत्ता (Face card) आने की प्रायिकता ज्ञात करें। (iii) काला पत्ता (Black card) आने की प्रायिकता ज्ञात करें। (iv) हीरा (Diamond) आने की प्रायिकता ज्ञात करें। (v) इक्का (Ace) आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

उत्तर: (i) राजा = 4/52 = 1/13 (ii) शाही पत्ता = 12/52 = 3/13 (iii) काला पत्ता = 26/52 = 1/2 (iv) हीरा = 13/52 = 1/4 (v) इक्का = 4/52 = 1/13

एक बैग में 6 लाल, 4 नीले, 5 हरे गेंद हैं। दो गेंदें एक साथ निकाली गईं। दोनों लाल गेंद आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

A bag contains 6 red, 4 blue, 5 green balls. Two balls are drawn together. Find probability both are red.

उत्तर: कुल गेंद = 15 लाल गेंद = 6 दोनों लाल = 6C2 = 15 कुल संभावित = 15C2 = 105 प्रायिकता = 15/105 = 1/7

एक सिक्के को 4 बार उछाला गया। ठीक 2 बार सिर आने की प्रायिकता बायनॉमियल वितरण द्वारा ज्ञात करें।

A coin is tossed 4 times. Find probability of getting exactly 2 heads using binomial distribution.

उत्तर: n = 4, r = 2, p = 1/2, q = 1/2 \[ P(2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 6 \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} = 6 \times \frac{1}{16} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8} \]

एक पासे को दो बार फेंका गया। पहली बार सम संख्या और दूसरी बार विषम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

A die is thrown twice. Find probability first time even, second time odd number.

उत्तर: First even: 3/6 = 1/2 Second odd: 3/6 = 1/2 Combined probability = 1/2 × 1/2 = 1/4

एक बैग में 5 सफेद, 3 काली, 2 नीली गेंद हैं। एक के बाद एक बिना पुनः स्थापना के दो गेंद निकाली गईं। दोनों काली गेंद आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

A bag contains 5 white, 3 black, 2 blue balls. Two balls are drawn one after another without replacement. Find probability both are black.

उत्तर: कुल गेंद = 10 पहली काली = 3/10 दूसरी काली = 2/9 Combined probability = 3/10 × 2/9 = 6/90 = 1/15

End of Chapter Notes

[These notes comprehensively cover all concepts and examples from RBSE Class 12 Mathematics "Probability" chapter, with bilingual explanation, formulas, solved examples, exam questions, and common mistakes. Use these as your main study resource for board exam preparation!]

मुख्य बिंदु (Key Points)

प्रायिकता किसी घटना के घटित होने की संभावना का माप है।
किसी घटना A की प्रायिकता को P(A) से दर्शाते हैं, और 0 ≤ P(A) ≤ 1 होता है।
किसी यादृच्छिक प्रयोग के सभी संभावित परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।
यदि S सम्पूर्ण संभाव्यता वर्ग (sample space) है और E कोई घटना है, तो P(E) = n(E)/n(S)।
असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है और निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।
दो घटनाओं A और B के लिए: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)।
यदि दो घटनाएँ A और B परस्पर बहिष्कृत हैं, तो P(A ∩ B) = 0।
यदि दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, तो P(A ∩ B) = P(A) × P(B)।
B के घटित होने की शर्त पर A की प्रायिकता: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), यदि P(B) ≠ 0।
यदि घटनाएँ A1, A2, ..., An पूर्ण और परस्पर बहिष्कृत हैं, तो ΣP(Ai) = 1।
घटना A के पूरक की प्रायिकता: P(A') = 1 – P(A)।
बेयेस प्रमेय सशर्त प्रायिकताओं को जोड़ता है: P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] / P(B)।

Key Points

Probability is the measure of the likelihood of an event occurring.
The probability of an event A is denoted by P(A), and 0 ≤ P(A) ≤ 1.
The sum of probabilities of all possible outcomes of a random experiment is 1.
If S is the sample space and E is an event, then P(E) = n(E)/n(S).
An impossible event has probability 0, and a sure event has probability 1.
For any two events A and B: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).
If two events A and B are mutually exclusive, then P(A ∩ B) = 0.
If two events A and B are independent, then P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
Conditional probability of A given B is P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), if P(B) ≠ 0.
If events A1, A2, ..., An are exhaustive and mutually exclusive, then ΣP(Ai) = 1.
The probability of the complement of event A is P(A') = 1 – P(A).
Bayes' theorem relates conditional probabilities: P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] / P(B).

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

जब एक पासा एक बार फेंका जाता है, तो एक सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

असंभव घटना की प्रायिकता होती है:

यदि एक ताश के पत्तों की गड्डी से एक पत्ता निकाला जाए, तो राजा (किंग) आने की प्रायिकता क्या है?

किसी यादृच्छिक प्रयोग की सभी प्राथमिक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग होता है:

यदि एक सिक्का एक बार उछाला जाए, तो सिर (हेड) आने की प्रायिकता क्या है?

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प्रायिकता (Probability) एक नज़र में: प्रायिकता गणित की वह शाखा है जिसमें हम अनिश्चित घटनाओं के घटित होने की संभावना का अध्ययन करते हैं। इस अध्याय में हम…

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