अवकल समीकरण
Differential Equations
अवकल समीकरण (Differential Equations)
एक नज़र में:
अवकल समीकरण गणित का वह क्षेत्र है जिसमें अज्ञात फलन (unknown function) और उसके अवकलज (derivatives) के मध्य संबंध को समीकरण के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसका उपयोग भौतिकी, इंजीनियरिंग, जैविकी, अर्थशास्त्र आदि में विभिन्न प्राकृतिक एवं मानव निर्मित घटनाओं के गणितीय मॉडल तैयार करने में किया जाता है।
Differential Equations is a branch of mathematics dealing with equations involving an unknown function and its derivatives. These are used to mathematically model various phenomena in physics, engineering, biology, economics, etc.
📌 अध्याय का परिचय (Chapter Introduction)
अवकल समीकरण उन समीकरणों को कहते हैं जिनमें किसी अज्ञात फलन तथा उसके एक या अधिक अवकलज (derivatives) सम्मिलित होते हैं। अवकल समीकरणों का अध्ययन गणित, भौतिकी, रसायन, जीवविज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र आदि में अत्यंत महत्वपूर्ण है।
Differential equations are equations involving an unknown function and its one or more derivatives. The study of differential equations is very important in mathematics, physics, chemistry, biology, economics, sociology, etc.
इस अध्याय में आप अवकल समीकरणों के मूल प्रकार, निर्माण, हल करने की विधियाँ तथा उनके अनुप्रयोगों का अध्ययन करेंगे।
In this chapter, you will study the basic types of differential equations, their formation, methods of solution, and applications.
📖 प्रमुख विषयवस्तु (Major Topics)
1. अवकल समीकरण की परिभाषा (Definition of Differential Equation)
परिभाषा: वह समीकरण जिसमें एक अज्ञात फलन (unknown function) तथा उसके अवकलज (derivatives) सम्मिलित होते हैं, अवकल समीकरण कहलाता है।
An equation containing an unknown function and its derivatives is called a differential equation.
उदाहरण (Example):
- \(\frac{dy}{dx} + 3y = 5\)
- \(\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + y = 0\)
यहाँ \(y\) अज्ञात फलन है एवं उसके अवकलज सम्मिलित हैं।
Here \(y\) is the unknown function and its derivatives are involved.
2. अवकल समीकरण के प्रकार (Types of Differential Equations)
(A) क्रम (Order):
समीकरण में उपस्थित सबसे उच्च कोटि के अवकलज का कोटि ही अवकल समीकरण का क्रम कहलाता है।
The order of a differential equation is the order of the highest derivative present in the equation.
- उदाहरण: \(\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0\)
क्रम (Order) = 2
(B) डिग्री (Degree):
समीकरण में उच्चतम क्रम के अवकलज की घात ही अवकल समीकरण की डिग्री होती है (यदि समीकरण को \(dy/dx\) आदि की घातों में लिखा जा सके)।
The degree is the power of the highest order derivative after the equation has been made free from radicals and fractions with respect to derivatives.
- उदाहरण: \(\left(\frac{d^2y}{dx^2}\right)^3 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = y\)
डिग्री (Degree) = 3
3. अवकल समीकरण का निर्माण (Formation of Differential Equation)
किसी फलन में समाकलन स्थिरांक (arbitrary constants) होते हैं। जब हम इन स्थिरांकों को समाप्त करने हेतु बार-बार अवकलन करते हैं, तो अवकल समीकरण प्राप्त होता है।
A differential equation is formed by eliminating arbitrary constants from a given function by successive differentiation.
उदाहरण (Example):
प्रश्न: \(y = c_1 e^{2x} + c_2 e^{-2x}\) का अवकल समीकरण बनाइए।
Form the differential equation of \(y = c_1 e^{2x} + c_2 e^{-2x}\).
हल:
- \(\frac{dy}{dx} = 2c_1 e^{2x} - 2c_2 e^{-2x}\)
- \(\frac{d^2y}{dx^2} = 4c_1 e^{2x} + 4c_2 e^{-2x}\)
- \(= 4(c_1 e^{2x} + c_2 e^{-2x})\)
- \(= 4y\)
- अतः \(\frac{d^2y}{dx^2} - 4y = 0\)
So, the required differential equation is \(\frac{d^2y}{dx^2} - 4y = 0\).
4. अवकल समीकरणों का वर्गीकरण (Classification of Differential Equations)
(A) सामान्य अवकल समीकरण (Ordinary Differential Equations, ODEs):
यदि समीकरण में केवल एक स्वतंत्र चर (independent variable) हो, तो उसे सामान्य अवकल समीकरण कहते हैं।
If the equation involves only one independent variable, it is called an ordinary differential equation.
- उदाहरण: \(\frac{dy}{dx} + y = x\)
(B) आंशिक अवकल समीकरण (Partial Differential Equations, PDEs):
यदि समीकरण में एक से अधिक स्वतंत्र चर सम्मिलित हों तो उसे आंशिक अवकल समीकरण कहते हैं।
If the equation involves more than one independent variable, it is a partial differential equation.
- उदाहरण: \(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0\)
नोट: कक्षा 12 में हम केवल सामान्य अवकल समीकरण (ODE) का अध्ययन करेंगे।
Note: In class 12, only ODEs are studied.
5. सामान्य हल एवं विशेष हल (General and Particular Solution)
(A) सामान्य हल (General Solution):
वह हल जिसमें आवश्यकतानुसार समाकलन स्थिरांक (arbitrary constants) सम्मिलित हों, सामान्य हल कहलाता है।
A solution containing as many arbitrary constants as the order of the equation is called the general solution.
(B) विशेष हल (Particular Solution):
जब प्रारंभिक/सीमांत शर्तें (initial/boundary conditions) देकर समाकलन स्थिरांक का मान ज्ञात कर लिया जाता है, तो प्राप्त हल विशेष हल कहलाता है।
When initial or boundary conditions are used to find the values of arbitrary constants, the solution so obtained is called a particular solution.
उदाहरण: सामान्य हल: \(y = ce^x\) विशेष हल: यदि \(y = 2\) जब \(x = 0\), तो \(2 = ce^0 \Rightarrow c = 2\), तो विशेष हल: \(y = 2e^x\)
6. अवकल समीकरणों के हल की विधियाँ (Methods of Solving Differential Equations)
(A) चर पृथक्करण विधि (Method of Separation of Variables)
यदि समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सके कि सभी \(y\) (या \(v\)) संबंधित पद एक तरफ तथा \(x\) (या \(u\)) संबंधित पद दूसरी तरफ हों, तो उसे चर पृथक्करण विधि द्वारा हल किया जा सकता है।
If the equation can be written such that all terms involving \(y\) are on one side and all terms involving \(x\) are on the other, it can be solved by separation of variables.
सामान्य रूप (General Form): \(\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\)
हल (Solution): \(\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx + C\)
उदाहरण: \(\frac{dy}{dx} = x y\)
\(\Rightarrow \frac{1}{y} dy = x dx\)
\(\Rightarrow \int \frac{1}{y} dy = \int x dx\)
\(\Rightarrow \ln|y| = \frac{x^2}{2} + C\)
(B) प्रत्यक्षीकरण विधि (Homogeneous Equations)
यदि \(\frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}\) हो, जहाँ \(f\) एवं \(g\) दोनों समघात (homogeneous) फलन हों, तो समीकरण को समघात समीकरण कहते हैं।
If \(\frac{dy}{dx} = \frac{f(x, y)}{g(x, y)}\) where \(f\) and \(g\) are homogeneous functions of the same degree, the equation is called homogeneous.
हल (Solution):
- \(y = vx\), अतः \(\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}\)
- समीकरण में \(y के स्थान पर vx\) रखें और हल करें।
उदाहरण: \(\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x}\)
\(= 1 + \frac{y}{x}\)
Let \(y = vx\), \(dy/dx = v + x dv/dx\)
\(\Rightarrow v + x dv/dx = 1 + v\)
\(\Rightarrow x dv/dx = 1\)
\(\Rightarrow dv = \frac{dx}{x}\)
\(\Rightarrow v = \ln|x| + c\)
\(\Rightarrow \frac{y}{x} = \ln|x| + c\)
(C) रैखिक अवकल समीकरण (Linear Differential Equations)
सामान्य रूप: \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\)
General form: \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\)
हल की विधि (Solution Method):
- सबसे पहले समीकरण को उपर्युक्त सामान्य रूप में लिखें।
- गुणक (Integrating Factor, I.F.) ज्ञात करें: \(I.F. = e^{\int P(x)dx}\)
- सामान्य हल: \(y \cdot I.F. = \int Q(x) \cdot I.F. dx + C\)
उदाहरण: \(\frac{dy}{dx} + y = e^{2x}\)
यहाँ \(P(x) = 1\), \(Q(x) = e^{2x}\)
\(I.F. = e^{\int 1 dx} = e^x\)
सामान्य हल: \(y \cdot e^x = \int e^{2x} \cdot e^x dx + C\) \(= \int e^{3x} dx + C\) \(= \frac{e^{3x}}{3} + C\)
अतः \(y = \frac{e^{2x}}{3} + Ce^{-x}\)
(D) सटीक अवकल समीकरण (Exact Differential Equations)
सामान्य रूप: \(M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0\)
General form: \(M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0\)
सटीकता की जाँच (Test for Exactness): यदि \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\), तो समीकरण सटीक है।
If \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\), the equation is exact.
हल की विधि:
- \(\int M dx\) (treating \(y\) as constant)
- \(\int N dy\) (excluding terms containing only \(y\))
- दोनों को जोड़कर \(C\) जोड़ दें।
उदाहरण: \((2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy = 0\)
\(M = 2xy + y^2, N = x^2 + 2xy\)
\(\frac{\partial M}{\partial y} = 2x + 2y\)
\(\frac{\partial N}{\partial x} = 2x + 2y\)
अतः समीकरण सटीक है।
हल: \(\int (2xy + y^2) dx = x^2y + xy^2\)
\(\int (x^2 + 2xy) dy\) (excluding terms in \(x\) only): \(x^2y + x y^2\)
अतः सामान्य हल: \(x^2y + x y^2 = C\)
7. अवकल समीकरणों में प्रारंभिक स्थितियाँ (Initial Value Problems)
जब किसी समीकरण के हल में समाकलन स्थिरांक (\(C\)) ज्ञात करने के लिए कोई प्रारंभिक शर्त (initial condition) दी जाती है, तो उसे प्रारंभिक मान समस्या (Initial Value Problem, IVP) कहते हैं।
उदाहरण: \(\frac{dy}{dx} = 2x, y(0) = 3\)
हल: \(\int dy = \int 2x dx\)
\(y = x^2 + C\)
प्रारंभिक शर्त: \(y(0) = 3 \implies 3 = 0 + C \implies C = 3\)
अतः विशेष हल: \(y = x^2 + 3\)
8. अवकल समीकरणों के अनुप्रयोग (Applications of Differential Equations)
(A) रेडियोधर्मी क्षय (Radioactive Decay)
\(\frac{dN}{dt} = -\lambda N\), जहाँ \(N\) कणों की संख्या है।
(B) जनसंख्या वृद्धि (Population Growth)
\(\frac{dP}{dt} = kP\), जहाँ \(P\) जनसंख्या है।
(C) मिश्रण की समस्याएँ (Mixing Problems)
\(\frac{dA}{dt} = \) दर \(\times\) सांद्रता
(D) विद्युत परिपथ (Electrical Circuits)
\(\frac{dQ}{dt} + \frac{Q}{RC} = \frac{E}{R}\), आदि।
9. हल किए हुए उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 1:
\(\frac{dy}{dx} = x^2 y\)
हल: \(\frac{1}{y} dy = x^2 dx\)
\(\int \frac{1}{y} dy = \int x^2 dx\)
\(\ln|y| = \frac{x^3}{3} + C\)
\(y = Ae^{x^3/3}\), जहाँ \(A = e^C\)
उदाहरण 2:
\(\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sin x\)
हल: यह रैखिक समीकरण है। \(P(x) = \tan x\), \(Q(x) = \sin x\)
\(I.F. = e^{\int \tan x dx} = e^{-\ln|\cos x|} = \sec x\)
सामान्य हल: \(y \cdot \sec x = \int \sin x \cdot \sec x dx + C\)
\(= \int \tan x dx + C = -\ln|\cos x| + C\)
अतः \(y \cdot \sec x = -\ln|\cos x| + C\)
\(y = \cos x (-\ln|\cos x| + C)\)
उदाहरण 3:
\(x \frac{dy}{dx} + y = x e^x\)
हल: \(\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x} y = e^x\)
\(P(x) = 1/x\), \(Q(x) = e^x\)
\(I.F. = e^{\int 1/x dx} = x\)
सामान्य हल: \(y \cdot x = \int e^x \cdot x dx + C\)
\(\int x e^x dx = (x - 1) e^x\)
अतः \(y x = (x - 1) e^x + C\)
\(y = \frac{(x - 1)e^x + C}{x}\)
उदाहरण 4:
समीकरण बनाएँ, जिसका सामान्य हल \(y = a e^{3x} + b e^{-3x}\) है।
Form the differential equation whose general solution is \(y = a e^{3x} + b e^{-3x}\)
हल: \(\frac{dy}{dx} = 3a e^{3x} - 3b e^{-3x}\)
\(\frac{d^2y}{dx^2} = 9a e^{3x} + 9b e^{-3x} = 9y\)
अतः \(\frac{d^2y}{dx^2} - 9y = 0\)
उदाहरण 5:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x}\)
हल: \(\frac{1}{y^2} dy = \frac{1}{x} dx\)
\(\int y^{-2} dy = \int x^{-1} dx\)
\(-y^{-1} = \ln|x| + C\)
\(y = -\frac{1}{\ln|x| + C}\)
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points) {minimum 10}
- अवकल समीकरण वह समीकरण है जिसमें अज्ञात फलन तथा उसके अवकलज सम्मिलित होते हैं।
A differential equation contains an unknown function and its derivatives.
- क्रम (Order) समीकरण में उच्चतम अवकलज का क्रम है; डिग्री (Degree) उच्चतम क्रम के अवकलज की घात है।
Order is the highest order of derivative; degree is the power of highest order derivative.
- समीकरण बनाने के लिए फलन में उपस्थित समाकलन स्थिरांकों को अवकलन द्वारा समाप्त किया जाता है।
Arbitrary constants in a function are eliminated via differentiation to form a differential equation.
- सामान्य हल में जितना समीकरण का क्रम हो, उतने समाकलन स्थिरांक होते हैं।
The general solution contains as many arbitrary constants as the order of the equation.
- विशेष हल प्रारंभिक या सीमांत शर्तें देने पर प्राप्त होता है।
Particular solution is obtained by using initial or boundary conditions.
- चर पृथक्करण विधि तभी लागू होती है जब समीकरण को \(g(y)dy = f(x)dx\) के रूप में लिखा जा सके।
Method of separation of variables is applicable when equation can be written as \(g(y)dy = f(x)dx\).
- रैखिक अवकल समीकरण का हल Integrating Factor (I.F.) द्वारा किया जाता है।
Linear differential equation is solved using integrating factor.
- सटीक समीकरण के लिए \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\) आवश्यक है।
For exact equations, \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\) is necessary.
- अवकल समीकरणों के अनुप्रयोगों में रेडियोधर्मी क्षय, जनसंख्या वृद्धि, मिश्रण, विद्युत परिपथ आदि आते हैं।
Applications include radioactive decay, population growth, mixing, electrical circuits, etc.
- अवकल समीकरण का हल समीकरण में उपस्थित अज्ञात फलन का मान ज्ञात करना होता है।
The solution of a differential equation is to find the value of the unknown function.
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| क्रमांक | गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |--------|--------------------------------------------------------------|-------------------------------------------------------------------| | 1 | क्रम और डिग्री में भ्रम होना | क्रम = उच्चतम अवकलज का क्रम; डिग्री = उच्चतम क्रम के अवकलज की घात | | 2 | चर पृथक्करण में दोनों पक्षों को ठीक से विभाजित नहीं करना | केवल संबंधित चर के पद एक ही तरफ रखें | | 3 | Integrating Factor गलत निकालना | \(I.F. = e^{\int P(x)dx}\) का प्रयोग करें | | 4 | सामान्य हल में समाकलन स्थिरांक भूल जाना | प्रत्येक समाकलन के बाद \(+C\) अवश्य जोड़ें | | 5 | विशेष हल में प्रारंभिक शर्तों का प्रयोग न करना | प्रारंभिक शर्तें देकर \(C\) का मान निकालें | | 6 | सटीकता की जाँच में आंशिक अवकलज गलत निकालना | \(\frac{\partial M}{\partial y}\) और \(\frac{\partial N}{\partial x}\) ठीक से निकालें | | 7 | समीकरण सामान्य रूप में न लाना | समीकरण को \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\) के रूप में लिखें | | 8 | अनुप्रयोगों में समीकरण ठीक से स्थापित न करना | प्रश्न के अनुसार समीकरण ठीक से लिखें | | 9 | समीकरण बनाते समय समाकलन स्थिरांक समाप्त न करना | जितने स्थिरांक हों, उतनी बार अवकलन करें | | 10 | हल में निरपेक्ष मान (\(|y|\)) को न लिखना | \(\int \frac{1}{y}dy = \ln|y|\) में निरपेक्ष मान आवश्यक है |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)
1 अंक (1-Mark) प्रश्न
- अवकल समीकरण क्या है?
What is a differential equation?
- \(\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0\) का क्रम एवं डिग्री लिखिए।
Write the order and degree of \(\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0\).
- समीकरण \(\frac{dy}{dx} = x^2 y\) में कौन सी हल की विधि लागू होगी?
Which method can be used to solve \(\frac{dy}{dx} = x^2 y\)?
2 अंक (2-Mark) प्रश्न
- \(y = Ae^{x^2}\) का अवकल समीकरण बनाईए।
Form the differential equation of \(y = Ae^{x^2}\).
- \(\frac{dy}{dx} + y = e^x\) का सामान्य हल लिखिए।
Write the general solution of \(\frac{dy}{dx} + y = e^x\).
- \(\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\) का हल लिखिए, जब \(y(1) = 2\)।
Solve \(\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x}\), given \(y(1) = 2\).
5 अंक (5-Mark) प्रश्न
- समीकरण \(\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sin x\) को हल कीजिए।
Solve the equation \(\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sin x\).
- समीकरण बनाएँ, जिसका सामान्य हल \(y = ce^{2x} + de^{-2x}\) है।
Form the differential equation whose general solution is \(y = ce^{2x} + de^{-2x}\).
- समीकरण \((2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy = 0\) को हल कीजिए।
Solve \((2xy + y^2)dx + (x^2 + 2xy)dy = 0\).
- \(\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x}\) को हल कीजिए।
Solve \(\frac{dy}{dx} = \frac{x + y}{x}\).
- एक मिश्रण पात्र में आरंभ में 100 लीटर जल है। इसमें प्रति मिनट 5 लीटर जल 2 ग्राम/लीटर सांद्रता के साथ डाला जा रहा है तथा उतनी ही दर से मिश्रण बाहर निकाला जा रहा है। पात्र में t मिनट बाद नमक की मात्रा ज्ञात कीजिए।
A tank initially contains 100 liters of water. Water containing 2 gm/liter of salt flows in at 5 liters per minute, and the mixture is kept uniform and flows out at the same rate. Find the amount of salt in the tank after t minutes.
[यह संपूर्ण नोट्स NCERT की गुणवत्ता अनुसार RBSE बोर्ड परीक्षा के लिए पर्याप्त है।]
These notes are NCERT-quality and fully sufficient for RBSE board exam preparation.
मुख्य बिंदु (Key Points)
- अवकल समीकरण वह समीकरण होता है जिसमें किसी फलन के अवकलज सम्मिलित होते हैं।
- अवकल समीकरण का क्रम उसमें उपस्थित उच्चतम अवकलज का क्रम होता है।
- अवकल समीकरण की घातांक उस उच्चतम क्रम के अवकलज की घात होती है, यदि समीकरण अवकलजों में बहुपद रूप में हो।
- अवकल समीकरण का सामान्य हल उसमें उपस्थित स्वतंत्र स्थिरांकों की संख्या के बराबर होता है, जो समीकरण के क्रम के बराबर होती है।
- विशिष्ट हल प्राप्त करने के लिए सामान्य हल में स्वतंत्र स्थिरांकों को निश्चित मान दिए जाते हैं।
- यदि अवकल समीकरण में आश्रित चर एवं उसके अवकलज प्रथम घात में हों तथा आपस में गुणित न हों, तो वह रैखिक अवकल समीकरण कहलाता है।
- dy/dx = f(x) अवकल समीकरण को प्रत्यक्ष समाकलन द्वारा हल किया जाता है।
- चर पृथक्करण विधि में चर को अलग-अलग करके दोनों पक्षों का समाकलन किया जाता है।
- समजातीय अवकल समीकरणों को y = vx या x = vy प्रतिस्थापन द्वारा हल किया जा सकता है।
- रैखिक अवकल समीकरणों को समाकलनी गुणक (Integrating Factor) द्वारा हल किया जाता है।
- सटीक अवकल समीकरण वे होते हैं जिन्हें M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ ∂M/∂y = ∂N/∂x हो।
- अवकल समीकरणों का भौतिकी, अभियंत्रण, जीवविज्ञान एवं अर्थशास्त्र में व्यापक अनुप्रयोग होता है।
Key Points
- A differential equation is an equation involving derivatives of a function.
- Order of a differential equation is the order of the highest derivative present in the equation.
- Degree of a differential equation is the power of the highest order derivative, provided the equation is polynomial in derivatives.
- A general solution of a differential equation contains arbitrary constants equal to the order of the equation.
- A particular solution is obtained by assigning specific values to the arbitrary constants in the general solution.
- A differential equation is called linear if the dependent variable and its derivatives appear to the first power and are not multiplied together.
- The differential equation dy/dx = f(x) is solved by direct integration.
- Variables separable method involves separating variables and integrating both sides.
- Homogeneous differential equations can be solved by substituting y = vx or x = vy.
- Linear differential equations are solved using the integrating factor (IF).
- Exact differential equations are those which can be written in the form M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, where ∂M/∂y = ∂N/∂x.
- Differential equations have wide applications in physics, engineering, biology, and economics.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
अवकल समीकरण में किसका संबंध समीकरण के रूप में व्यक्त किया जाता है?
अवकल समीकरण की डिग्री किससे निर्धारित होती है?
निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण द्वितीय क्रम का अवकल समीकरण है?
निम्न में से कौन सा सामान्य अवकल समीकरण का उदाहरण है?
निम्न समीकरण की डिग्री क्या है: (d^2y/dx^2)^3 + (dy/dx)^2 = y?
महत्वपूर्ण विषयपरक प्रश्न
अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
- अवकल समीकरण क्या है? 1 अंक नोट्स
- \ का क्रम एवं डिग्री लिखिए। .) 1 अंक नोट्स
- समीकरण \ में कौन सी हल की विधि लागू होगी? ?) 1 अंक नोट्स
लघु उत्तरीय प्रश्न
- \ का अवकल समीकरण बनाईए। .) 2 अंक नोट्स
- \ का सामान्य हल लिखिए। .) 2 अंक नोट्स
- \ का हल लिखिए, जब \(y(1) = 2\)। , given \(y(1) = 2\).) 2 अंक नोट्स
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
- समीकरण \ को हल कीजिए। .) 5 अंक नोट्स
- समीकरण बनाएँ, जिसका सामान्य हल \ है। .) 5 अंक नोट्स
- समीकरण \dx + dy = 0\) को हल कीजिए। dx + dy = 0\).) 5 अंक नोट्स
- \ को हल कीजिए। .) 5 अंक नोट्स
- एक मिश्रण पात्र में आरंभ में 100 लीटर जल है। इसमें प्रति मिनट 5 लीटर जल 2 ग्राम/लीटर सांद्रता के साथ डाला जा रहा है तथा उतनी ही दर से मिश्रण बाहर निकाला जा रहा है। पात्र में t मिनट बाद नमक की मात्रा ज्ञात कीजिए 5 अंक नोट्स
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अवकल समीकरण (Differential Equations) एक नज़र में: अवकल समीकरण गणित का वह क्षेत्र है जिसमें अज्ञात फलन (unknown function) और उसके अवकलज (derivatives) के मध्य…
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