रैखिक प्रोग्रामन
Linear Programming
रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming)
एक नज़र में:
रैखिक प्रोग्रामन एक गणितीय तकनीक है जिसके माध्यम से सीमित संसाधनों का अधिकतम या न्यूनतम उपयोग करके इष्टतम समाधान प्राप्त किया जाता है। इसमें उद्देश्य फलन (Objective Function) को अधिकतम या न्यूनतम करने के लिए रैखिक असमताओं (Linear Inequalities) का उपयोग होता है।
Linear Programming is a mathematical technique used to obtain the optimal solution by maximizing or minimizing the use of limited resources. It uses linear inequalities to maximize or minimize an objective function.
📌 अध्याय का परिचय (Introduction of the Chapter)
रैखिक प्रोग्रामन एक महत्वपूर्ण अध्याय है, जिसमें हम सीमित संसाधनों के बीच सर्वश्रेष्ठ (इष्टतम) परिणाम प्राप्त करने के तरीके सीखते हैं। यह अध्याय विशेष रूप से उद्योग, व्यापार, विज्ञान, इंजीनियरिंग, और अन्य क्षेत्रों में निर्णय लेने के लिए उपयोगी है।
Linear Programming is an important chapter where we learn methods to obtain the best (optimal) results among limited resources. This chapter is especially useful for decision-making in industry, business, science, engineering, and other fields.
रैखिक प्रोग्रामन के मुख्य घटक हैं:
- उद्देश्य फलन (Objective Function)
- बाधाएँ (Constraints)
- व्यवहार्य क्षेत्र (Feasible Region)
- इष्टतम समाधान (Optimal Solution)
Main components of Linear Programming: Objective Function, Constraints, Feasible Region, Optimal Solution.
📖 प्रमुख विषय (Major Topics)
1. रैखिक प्रोग्रामन की परिभाषा (Definition of Linear Programming)
रैखिक प्रोग्रामन क्या है? रैखिक प्रोग्रामन एक गणितीय विधि है जिसमें एक रैखिक उद्देश्य फलन (Linear Objective Function) को कुछ रैखिक असमताओं (Linear Inequalities) के अधीन अधिकतम या न्यूनतम किया जाता है।
Linear Programming is a mathematical method in which a linear objective function is maximized or minimized subject to some linear inequalities.
उदाहरण: किसी कंपनी को दो उत्पाद A और B बनाने हैं, संसाधन सीमित हैं। कंपनी अधिकतम लाभ (Maximum Profit) चाहती है।
For example, a company has to produce two products A and B with limited resources. The company wants maximum profit.
2. रैखिक प्रोग्रामन की विशेषताएँ (Features of Linear Programming)
- उद्देश्य फलन (Objective Function) रैखिक होता है।
The objective function is linear.
- सभी बाधाएँ (Constraints) रैखिक असमताएँ होती हैं।
All constraints are linear inequalities.
- सभी चर (Variables) गैर-ऋणात्मक (Non-negative) होते हैं।
All variables are non-negative.
- व्यवहार्य क्षेत्र (Feasible Region) एक बहुभुज (Polygon) के रूप में होता है।
Feasible Region is in the form of a polygon.
3. उद्देश्य फलन (Objective Function)
परिभाषा: यह वह फलन है जिसे अधिकतम (Maximize) या न्यूनतम (Minimize) किया जाना है।
Definition: It is the function which is to be maximized or minimized.
सामान्य रूप: Z = ax + by जहाँ, a, b = लाभ/लागत के गुणांक (Coefficients of profit/cost) x, y = निर्धारणीय चर (Decision variables)
उदाहरण: Z = 3x + 2y (अधिकतम करें)
Maximize Z = 3x + 2y
4. बाधाएँ (Constraints)
परिभाषा: संसाधनों की सीमाओं को रैखिक असमताओं के रूप में व्यक्त किया जाता है।
Definition: Resource limitations are expressed as linear inequalities.
उदाहरण: x + y ≤ 10 2x + 3y ≤ 15 x ≥ 0, y ≥ 0
5. व्यवहार्य क्षेत्र (Feasible Region)
परिभाषा: सभी बाधाओं को एक साथ हल करने पर प्राप्त क्षेत्र, जिसमें सभी संभव हल होते हैं, व्यवहार्य क्षेत्र कहलाता है।
Definition: The region obtained by solving all the constraints together, which contains all the possible solutions, is called the feasible region.
विशेषता: यह क्षेत्र सामान्यतः एक बहुभुज होता है और इसके कोनों (Corner Points) पर इष्टतम हल पाया जाता है।
This region is usually a polygon and the optimal solution lies at its corner points.
6. इष्टतम समाधान (Optimal Solution)
परिभाषा: वह व्यवहार्य हल (Feasible Solution) जो उद्देश्य फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान प्राप्त करता है, इष्टतम हल कहलाता है।
Definition: The feasible solution which provides the maximum or minimum value of the objective function is called the optimal solution.
7. रैखिक प्रोग्रामन की समस्याओं के प्रकार (Types of Linear Programming Problems)
(A) लाभ अधिकतम (Maximization) समस्याएँ
जैसे- अधिकतम लाभ, उत्पादन, आय इत्यादि।
e.g., Maximum profit, production, income, etc.
(B) लागत न्यूनतम (Minimization) समस्याएँ
जैसे- न्यूनतम खर्च, संसाधन खपत इत्यादि।
e.g., Minimum cost, resource consumption, etc.
8. रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल करने के चरण (Steps to Solve an LPP)
- उद्देश्य फलन निर्धारित करें।
Identify the objective function.
- बाधाएँ स्थापित करें।
Formulate the constraints.
- बाधाओं को रेखांकन करें।
Graph the constraints.
- व्यवहार्य क्षेत्र का निर्धारण करें।
Determine the feasible region.
- कोनों के निर्देशांक ज्ञात करें।
Find the coordinates of the corner points.
- उद्देश्य फलन का मान कोनों पर निकालें।
Calculate the value of the objective function at each corner.
- सर्वाधिक (या न्यूनतम) मान चुनें।
Choose the maximum or minimum value.
9. रेखांकन द्वारा हल (Solution by Graphical Method)
केवल दो चर (Variables) के लिए उपयुक्त।
Suitable only for two variables.
उदाहरण (Example):
समस्या: Z = 3x + 5y अधिकतम करें बाधाएँ: x + y ≤ 4 x ≤ 2 y ≤ 3 x ≥ 0, y ≥ 0
हल:
- x + y = 4 की रेखा खींचें।
- x = 2 व y = 3 की रेखाएँ खींचें।
- x ≥ 0, y ≥ 0 का क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
- सभी असमताओं का सामान्य क्षेत्र व्यवहार्य क्षेत्र होगा।
- कोनों के निर्देशांक: (0,0), (2,0), (2,2), (1,3), (0,3)
- प्रत्येक कोने पर Z का मान ज्ञात करें:
- (0,0): Z = 0
- (2,0): Z = 6
- (2,2): Z = 3×2 + 5×2 = 6+10=16
- (1,3): Z = 3×1 + 5×3 = 3+15=18
- (0,3): Z = 15
- अधिकतम मान 18, बिंदु (1,3) पर।
- अतः इष्टतम हल: x = 1, y = 3, अधिकतम Z = 18
10. व्यवहार्य हल, अव्यवहार्य हल, बाध्य हल (Feasible, Infeasible, and Bound Solution)
- व्यवहार्य हल (Feasible Solution):
जो सभी बाधाओं को संतुष्ट करता है।
Satisfies all constraints.
- अव्यवहार्य हल (Infeasible Solution):
जो सभी बाधाओं को संतुष्ट नहीं करता।
Does not satisfy all constraints.
- बाध्य हल (Bounded Solution):
जब व्यवहार्य क्षेत्र सीमित हो।
When the feasible region is bounded.
11. विशेष मामले (Special Cases)
(A) अद्वितीय इष्टतम हल (Unique Optimal Solution)
केवल एक कोने पर अधिकतम/न्यूनतम मान मिलता है।
Maximum/Minimum value at only one corner.
(B) अनंत इष्टतम हल (Infinite Optimal Solutions)
उद्देश्य फलन की रेखा व्यवहार्य क्षेत्र के किनारे के साथ मेल खाती है।
Objective function line coincides with edge of feasible region.
(C) अव्यवहार्य (Infeasible)
कोई व्यवहार्य क्षेत्र नहीं बनता।
No feasible region is formed.
(D) अनबाउंडेड (Unbounded)
व्यवहार्य क्षेत्र असीमित है; अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं मिलता।
Feasible region is unbounded; maximum or minimum value may not exist.
12. रैखिक प्रोग्रामन के अनुप्रयोग (Applications of Linear Programming)
- उद्योग में उत्पादन योजना (Production Planning in Industry)
- संसाधनों का आवंटन (Resource Allocation)
- आहार योजना (Diet Planning)
- परिवहन समस्या (Transportation Problem)
- समय प्रबंधन (Time Management)
- वित्तीय योजना (Financial Planning)
13. हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 1:
प्रश्न: एक किसान के पास 80 हेक्टेयर भूमि है। वह गेहूं (x) और चना (y) बो सकता है। दोनों के लिए कुल श्रम 120 दिन उपलब्ध है। गेहूं के लिए प्रति हेक्टेयर 1 दिन, चने के लिए 3 दिन श्रम लगता है। गेहूं का लाभ ₹2000/हेक्टेयर, चने का ₹3000/हेक्टेयर है। किसान को अधिकतम लाभ कैसे मिलेगा?
Formulation: x = गेहूं बोई गई भूमि (hectare) y = चना बोई गई भूमि (hectare)
Constraints: x + y ≤ 80 (Total land) x + 3y ≤ 120 (Total labour) x ≥ 0, y ≥ 0
Objective Function: Z = 2000x + 3000y (Maximize)
Solution Steps:
- x + y = 80
- x + 3y = 120
- x = 0, y = 0
- Feasible region in first quadrant.
- Find intersection points:
- x = 0 ⇒ y = 40
- y = 0 ⇒ x = 80
- x + 3y = 120, x + y = 80
Subtracting: 2y = 40 ⇒ y = 20, x = 60
- So, points: (0,0), (0,40), (60,20), (80,0)
- Calculate Z:
- (0,0): 0
- (0,40): 0 + 3000×40 = 1,20,000
- (60,20): 2000×60 + 3000×20 = 1,20,000 + 60,000 = 1,80,000
- (80,0): 2000×80 = 1,60,000
- Maximum profit at (60,20), Z = ₹1,80,000
- Thus, 60 hectare wheat, 20 hectare gram.
उदाहरण 2:
Question: Z = 5x + 10y अधिकतम करें बाधाएँ: x + 2y ≤ 120 x + y ≤ 80 x ≥ 0, y ≥ 0
Solution:
- Draw x + 2y = 120 and x + y = 80
- Find intersection points:
- x = 0 ⇒ 2y = 120 ⇒ y = 60
- y = 0 ⇒ x = 120
- x = 0 ⇒ y = 80
- y = 0 ⇒ x = 80
- Intersection: x + 2y = 120 and x + y = 80
Subtract: y = 40, x = 40
- So, (0,0), (0,60), (40,40), (80,0)
- Calculate Z:
- (0,0): 0
- (0,60): 600
- (40,40): 5×40 + 10×40 = 200 + 400 = 600
- (80,0): 400
- Maximum Z = 600 at (0,60) or (40,40)
उदाहरण 3:
Question: एक कंपनी को दो उत्पाद X और Y बनाना है। प्रत्येक X के लिए 2 घंटे मशीन, 1 घंटा श्रमिक चाहिए। प्रत्येक Y के लिए 1 घंटा मशीन, 2 घंटे श्रमिक चाहिए। कुल मशीन घंटे 100, श्रमिक घंटे 80 हैं। X का लाभ ₹40, Y का ₹30 है। अधिकतम लाभ ज्ञात कीजिए।
Formulation: x = X units, y = Y units Constraints: 2x + y ≤ 100 x + 2y ≤ 80 x ≥ 0, y ≥ 0 Objective: Z = 40x + 30y (Maximize)
Solution:
- 2x + y = 100
- x + 2y = 80
- Find intersection:
2x + y = 100 x + 2y = 80 Multiply second by 2: 2x + 4y = 160 Subtract: 3y = 60 ⇒ y = 20 x = 80 - 2×20 = 40 So, (40,20)
- (0,0), (0,40), (50,0), (40,20)
- Z at:
(0,0): 0 (0,40): 30×40 = 1200 (50,0): 40×50 = 2000 (40,20): 40×40 + 30×20 = 1600 + 600 = 2200
- Maximum at (40,20): Z = 2200
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)
- रैखिक प्रोग्रामन का उद्देश्य सीमित संसाधनों के बीच इष्टतम हल प्राप्त करना है।
Main aim is to obtain optimal solution with limited resources.
- उद्देश्य फलन तथा सभी बाधाएँ रैखिक (सीधी रेखा) रूप में होती हैं।
Objective function & constraints are linear.
- सभी चर (Variables) गैर-ऋणात्मक (Non-negative) होते हैं।
All variables are non-negative.
- दो चर वाली समस्याएँ ग्राफ द्वारा हल की जाती हैं।
Two variable problems are solved graphically.
- व्यवहार्य क्षेत्र के कोनों (Corner Points) पर ही इष्टतम हल मिलता है।
Optimal solution lies at corner points.
- यदि व्यवहार्य क्षेत्र रिक्त (Empty) है तो हल अस्तित्व में नहीं होता।
If feasible region is empty, no solution exists.
- यदि व्यवहार्य क्षेत्र अनबाउंडेड (Unbounded) है तो अधिकतम/न्यूनतम हल आवश्यक नहीं।
If unbounded, maximum/minimum may not exist.
- यदि उद्देश्य फलन की रेखा व्यवहार्य क्षेत्र के किनारे के साथ मेल खाती है तो अनंत हल संभव है।
If objective function coincides with an edge, infinite solutions may exist.
- रैखिक प्रोग्रामन के अनुप्रयोग जीवन के कई क्षेत्रों में हैं।
Applications in many fields of life.
- प्रत्येक रैखिक प्रोग्रामन समस्या को अनिवार्यतः उद्देश्य फलन व बाधाओं के साथ व्यक्त करें।
Express every LPP with objective function & constraints.
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| क्रमांक | गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |---------|----------------|--------------------| | 1 | असमताओं को गलत ग्राफ करना | असमताओं को सही ग्राफ करें; < या ≤, > या ≥ का ध्यान रखें (Graph inequalities correctly; pay attention to < or ≤, > or ≥) | | 2 | कोनों के निर्देशांक गलत निकालना | प्रत्येक रेखा का समीकरण हल कर सटीक कोने निकालें (Solve equations correctly for corner points) | | 3 | व्यवहार्य क्षेत्र का गलत चयन | सभी बाधाओं का साझा क्षेत्र लें (Select the common region of all constraints) | | 4 | उद्देश्य फलन में गलत गुणांक लेना | प्रश्न में दिए गए लाभ/लागत के गुणांकों को सही प्रकार लिखें (Correctly write the coefficients given in question) | | 5 | x ≥ 0, y ≥ 0 का उपयोग भूलना | हमेशा गैर-ऋणात्मकता (Non-negativity) लिखें (Always include non-negativity constraints) | | 6 | अधिकतम/न्यूनतम में भ्रम | प्रश्न में पूछा गया अधिकतम या न्यूनतम स्पष्ट पढ़ें (Read carefully if maximization or minimization is asked) | | 7 | सभी कोनों पर Z का मान नहीं निकालना | प्रत्येक व्यवहार्य कोने पर Z का मान अवश्य निकालें (Calculate Z at all feasible corner points) | | 8 | व्यवहार्य क्षेत्र की सही पहचान न करना | ग्राफ पर व्यवहार्य क्षेत्र सही से छायांकित करें (Shade feasible region correctly on graph) | | 9 | अनबाउंडेड क्षेत्र में हल स्वीकार करना | अनबाउंडेड क्षेत्र में हल की पुष्टि करें (Verify solution in unbounded region) | | 10 | विशेष स्थितियों (Infinite Solutions) को न पहचानना | उद्देश्य फलन की रेखा के व्यवहार्य क्षेत्र के किनारे पर होने पर अनंत हल लिखें (Identify infinite solutions if objective function coincides with edge) |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)
1-Mark Questions (एक अंक के प्रश्न)
- रैखिक प्रोग्रामन क्या है?
What is Linear Programming?
- उद्देश्य फलन का सामान्य रूप लिखिए।
Write the general form of objective function.
- व्यवहार्य क्षेत्र क्या है?
What is feasible region?
- रैखिक प्रोग्रामन में कौन से क्षेत्र में हल ढूंढते हैं?
In which region is the solution found in LPP?
- अधिकतम लाभ हेतु कौन सा बिंदु देखा जाता है?
Which point is checked for maximum profit?
2-Mark Questions (दो अंक के प्रश्न)
- एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या के तीन घटकों के नाम लिखिए।
Write names of three components of a linear programming problem.
- निम्नलिखित बाधाओं का ग्राफ बनाइए:
x + y ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0
Draw the graph of the following constraints.
- उद्देश्य फलन Z = 5x + 3y अधिकतम करें, यदि व्यवहार्य क्षेत्र के कोने (0,0), (0,3), (2,2), (4,0) हैं।
Maximize Z = 5x + 3y if corners are given as above.
- व्यवहार्य हल और अव्यवहार्य हल में अंतर लिखिए।
Difference between feasible and infeasible solution.
5-Mark Questions (पाँच अंक के प्रश्न)
- एक कंपनी को दो उत्पाद A और B बनाना है। प्रत्येक A के लिए 2 घंटे मशीन, 3 घंटे श्रमिक चाहिए। प्रत्येक B के लिए 1 घंटा मशीन, 2 घंटे श्रमिक चाहिए। कुल मशीन घंटे 16, कुल श्रमिक घंटे 24 हैं। A का लाभ ₹5, B का ₹4 है। अधिकतम लाभ ज्ञात करें।
A company produces products A and B. Each A requires 2 machine hours and 3 labor hours; each B requires 1 machine hour and 2 labor hours. Total machine hours are 16, labor hours 24. Profit on A is ₹5, B is ₹4. Find maximum profit.
- एक किसान के पास 10 हेक्टेयर भूमि है। वह चावल और गेहूं बो सकता है। चावल के लिए प्रति हेक्टेयर 5 दिन, गेहूं के लिए 3 दिन श्रम चाहिए। कुल श्रम 36 दिन है। चावल का लाभ ₹2000, गेहूं का ₹1800 प्रति हेक्टेयर है। किसान अधिकतम लाभ कैसे कमाएगा?
A farmer has 10 hectares land; can grow rice and wheat. Rice requires 5 days labor per hectare, wheat 3 days. Total labor available is 36 days. Profit per hectare is ₹2000 for rice, ₹1800 for wheat. How should he maximize profit?
- निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को ग्राफ द्वारा हल कीजिए:
Z = 7x + 10y अधिकतम करें बाधाएँ: x + 2y ≤ 24 x + y ≤ 16 x ≥ 0, y ≥ 0
Solve the following LPP by graphical method.
- रैखिक प्रोग्रामन के अनुप्रयोग विस्तार से समझाइए।
Explain the applications of linear programming in detail.
अध्याय सारांश (Chapter Summary)
- रैखिक प्रोग्रामन एक शक्तिशाली गणितीय उपकरण है जिससे उद्योग, व्यापार, कृषि आदि में इष्टतम निर्णय लिए जाते हैं।
- इसका मुख्य उद्देश्य सीमित संसाधनों के बीच अधिकतम लाभ या न्यूनतम लागत प्राप्त करना है।
- सभी समस्याओं को उद्देश्य फलन व रैखिक बाधाओं के रूप में व्यक्त करते हैं और व्यवहार्य क्षेत्र के कोनों पर हल खोजते हैं।
- ग्राफीय विधि दो चर तक ही सीमित है, इससे अधिक चर के लिए अन्य विधियाँ अपनाई जाती हैं।
- रैखिक प्रोग्रामन का दैनिक जीवन में भी अनेक उपयोग हैं, जैसे- आहार योजना, समय प्रबंधन, संसाधन आवंटन आदि।
यह अध्याय बोर्ड परीक्षा के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। सभी सूत्र, विधियाँ, और ग्राफ के निर्माण का अभ्यास करें।
This chapter is very important for the board exam. Practice all formulas, methods, and drawing graphs thoroughly.
मुख्य बिंदु (Key Points)
- रेखीय प्रोग्रामन एक गणितीय तकनीक है, जिसमें रैखिक उद्देश्य फलन को रैखिक प्रतिबंधों के अधीन अधिकतम या न्यूनतम किया जाता है।
- उद्देश्य फलन वह राशि दर्शाता है जिसे अधिकतम या न्यूनतम करना होता है, जैसे लाभ या लागत।
- प्रतिबंध वे शर्तें या सीमाएँ होती हैं जिन्हें रैखिक असामिकाओं या समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जाता है।
- निर्णय चर वे अज्ञात होते हैं, जिनके मान इष्टतम हल के लिए ज्ञात करने होते हैं।
- संभव क्षेत्र वह साझा क्षेत्र है जो सभी प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है, और इसे प्रायः ग्राफ पर दर्शाया जाता है।
- रेखीय प्रोग्रामन समस्या का इष्टतम हल संभव क्षेत्र के किसी शीर्ष (कोण बिंदु) पर स्थित होता है।
- यदि संभव क्षेत्र असीमित है और उद्देश्य फलन का इष्टतम मान है, तो वह किसी कोण बिंदु पर ही प्राप्त होगा।
- एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या का अद्वितीय हल, अनंत हल या कोई हल नहीं हो सकता है।
- यदि दो या अधिक कोण बिंदुओं पर उद्देश्य फलन का मान समान है, तो समस्या के अनंत हल होंगे।
- दो चर वाली रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं को हल करने के लिए ग्राफ विधि का उपयोग किया जाता है।
- इसकी प्रक्रियाओं में समस्या का सूत्रीकरण, संभव क्षेत्र का आरेखण, कोण बिंदुओं की पहचान और प्रत्येक बिंदु पर उद्देश्य फलन का मूल्यांकन शामिल है।
- रेखीय प्रोग्रामन का उपयोग उद्योग, व्यापार, परिवहन, कृषि एवं अन्य क्षेत्रों में संसाधनों के इष्टतम आवंटन हेतु किया जाता है।
Key Points
- Linear programming is a mathematical technique to optimize (maximize or minimize) a linear objective function subject to linear constraints.
- The objective function represents the quantity to be optimized, such as profit or cost.
- Constraints are the conditions or restrictions expressed as linear inequalities or equations.
- Decision variables are the unknowns whose values are to be determined for optimal solution.
- The feasible region is the common region satisfying all constraints, usually represented graphically.
- The optimal solution of a linear programming problem lies at a vertex (corner point) of the feasible region.
- If the feasible region is unbounded and the objective function has an optimum value, it will occur at a corner point.
- A linear programming problem may have a unique solution, infinitely many solutions, or no solution.
- If two or more corner points give the same optimal value, the problem has infinitely many solutions.
- Graphical method is used to solve linear programming problems with two variables.
- The steps include formulating the problem, drawing the feasible region, identifying corner points, and evaluating the objective function at each corner.
- Linear programming is widely used in industries, business, transportation, agriculture, and many other fields for optimal resource allocation.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
वह समाधान जो लक्ष्य फलन का सर्वोत्तम मान (अधिकतम या न्यूनतम) देता है, क्या कहलाता है?
निम्न में से कौन सा LPP में बंध का प्रकार नहीं है?
निम्न में से कौन सा रैखिक प्रोग्रामन समस्या (LPP) की एक मूलभूत आवश्यकता है?
LPP में, सभी बंधों को संतुष्ट करने वाले क्षेत्र को क्या कहते हैं?
LPP में, निर्णय चर कैसे होने चाहिए?
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रैखिक प्रोग्रामन (Linear Programming) एक नज़र में: रैखिक प्रोग्रामन एक गणितीय तकनीक है जिसके माध्यम से सीमित संसाधनों का अधिकतम या न्यूनतम उपयोग करके इष्टतम…
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