त्रिविमीय ज्यामिति

त्रिविमीय ज्यामिति (Three Dimensional Geometry)

एक नज़र में:

त्रिविमीय ज्यामिति में हम बिंदुओं, रेखाओं व समतलों की स्थिति, दूरी, कोण, तथा समीकरणों का अध्ययन करते हैं। यह अध्याय आपको 3D कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में ज्यामितीय अवधारणाओं को समझने और हल करने की क्षमता देगा।

📌 अध्याय का परिचय (Introduction of the Chapter)

त्रिविमीय ज्यामिति गणित की वह शाखा है जिसमें हम त्रि-आयामी स्थान (Three Dimensional Space) में बिंदुओं, रेखाओं तथा समतलों की अवस्थितियों और उनके आपसी संबंधों का अध्ययन करते हैं। द्वि-आयामी ज्यामिति (2D Geometry) में हम केवल x और y अक्ष पर काम करते हैं, जबकि त्रिविमीय ज्यामिति में तीसरा आयाम z जुड़ जाता है।

इस अध्याय में निम्नलिखित मुख्य विषयों को शामिल किया गया है:

• त्रिविमीय निर्देशांक (3D coordinates)
• दो बिंदुओं के मध्य दूरी (Distance between two points)
• विभाजन सूत्र (Section formula)
• रेखा के समीकरण (Equation of a line)
• समतल के समीकरण (Equation of a plane)
• रेखा और समतल के बीच कोण (Angle between line and plane)
• दो समतलों/रेखाओं के बीच कोण (Angle between two planes/lines)
• रेखा और समतल की पारस्परिक स्थिति (Mutual position)

📖 मुख्य विषय (Major Topics)

1. त्रिविमीय निर्देशांक (Three Dimensional Coordinates)

परिभाषा (Definition):

त्रिविमीय निर्देशांक पद्धति में, किसी भी बिंदु की स्थिति को तीन संख्याओं (x, y, z) द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ

• x = x-अक्ष (axis) पर दूरी
• y = y-अक्ष पर दूरी
• z = z-अक्ष पर दूरी

निर्देशांक अक्ष (Coordinate Axes):

• x-अक्ष, y-अक्ष, z-अक्ष तीनों एक-दूसरे के लम्बवत होते हैं और मूल बिंदु (Origin, O(0,0,0)) से गुजरते हैं।

त्रिविमीय निर्देशांक प्रणाली (3D Coordinate System):

• किसी भी बिंदु P(x, y, z) का अर्थ है कि वह x दूरी x-अक्ष पर, y दूरी y-अक्ष पर, और z दूरी z-अक्ष पर मूल बिंदु से है।

उदाहरण (Example):

Q: बिंदु P(3, -2, 5) का अर्थ बताइए। A: बिंदु P, मूल बिंदु से 3 इकाई x-अक्ष की धनात्मक दिशा में, 2 इकाई y-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में, और 5 इकाई z-अक्ष की धनात्मक दिशा में स्थित है।

2. दो बिंदुओं के मध्य दूरी (Distance Between Two Points)

सूत्र (Formula):

यदि दो बिंदुओं के निर्देशांक A(x₁, y₁, z₁) और B(x₂, y₂, z₂) हैं, तो उनके मध्य दूरी (d):

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

उदाहरण (Example):

Q: बिंदुओं A(1, 2, 3) तथा B(4, 6, 8) के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए। A: \[ d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2 + (8-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

3. बिंदु का विभाजन सूत्र (Section Formula)

परिभाषा (Definition):

यदि कोई बिंदु P(x, y, z), रेखा AB को अनुपात m:n में विभाजित करता है, जहाँ A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) हैं, तब

सूत्र (Formula):

\[ P(x, y, z) = \left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right) \]

उदाहरण (Example):

Q: बिंदु A(2, 4, 6) एवं B(8, 10, 12) को अनुपात 1:2 में विभाजित करने वाले बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। A: \[ x = \frac{1 \times 8 + 2 \times 2}{1+2} = \frac{8 + 4}{3} = 4 \\ y = \frac{1 \times 10 + 2 \times 4}{3} = \frac{10 + 8}{3} = 6 \\ z = \frac{1 \times 12 + 2 \times 6}{3} = \frac{12 + 12}{3} = 8 \\ \Rightarrow P(4, 6, 8) \]

4. त्रिविमीय रेखा के समीकरण (Equation of a Line in 3D)

(A) एक बिंदु तथा दिशा अनुपात ज्ञात होने पर (When a point and direction ratios are given)

यदि रेखा एक बिंदु A(x₁, y₁, z₁) से होकर जाती है और उसके दिशा अनुपात (direction ratios) l, m, n हैं, तो रेखा के समीकरण:

(i) कार्तीय रूप (Cartesian form):

\[ \frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n} \]

(ii) सममित रूप (Symmetric form):

यदि रेखा दो बिंदुओं A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) से होकर जाती है,

\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1} \]

(iii) पैरामीट्रिक रूप (Parametric form):

\[ x = x_1 + lt \\ y = y_1 + mt \\ z = z_1 + nt \] जहाँ t एक वास्तविक संख्या है।

उदाहरण (Example):

Q: बिंदु A(1, 2, 3) से होकर दिशा अनुपात 2, -1, 3 वाली रेखा का समीकरण लिखिए। A: कार्तीय रूप: \[ \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{3} \]

5. त्रिविमीय समतल का समीकरण (Equation of a Plane in 3D)

(A) सामान्य रूप (General Form):

\[ Ax + By + Cz + D = 0 \] जहाँ (A, B, C) समतल का अभिलंब वेक्टर (normal vector) है।

(B) बिंदु-नॉर्मल रूप (Point-Normal Form):

यदि समतल एक बिंदु \(P_0(x_1, y_1, z_1)\) से होकर जाता है और उसका अभिलंब वेक्टर \(\vec{n} = (A, B, C)\) है, तो

\[ A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0 \]

(C) तीन बिंदुओं से होकर जाने वाला समतल (Plane passing through three points):

यदि तीन बिंदु \(A(x_1, y_1, z_1)\), \(B(x_2, y_2, z_2)\), \(C(x_3, y_3, z_3)\) दिए हों, तो समतल का समीकरण:

\[ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \\ \end{vmatrix} = 0 \]

उदाहरण (Example):

Q: बिंदु (1, -2, 3) से होकर अभिलंब वेक्टर (2, 1, -4) वाले समतल का समीकरण लिखिए। A: \[ 2(x-1) + 1(y+2) - 4(z-3) = 0 \\ 2x - 2 + y + 2 - 4z + 12 = 0 \\ 2x + y - 4z + 12 = 0 \]

6. दो रेखाओं/समतलों के बीच कोण (Angle Between Two Lines/Planes)

(A) दो रेखाओं के बीच कोण (Angle Between Two Lines):

दो रेखाओं के दिशा अनुपात \(l_1, m_1, n_1\) एवं \(l_2, m_2, n_2\) हैं, तो उनके बीच कोण θ:

\[ \cos \theta = \frac{|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \cdot \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}} \]

(B) दो समतलों के बीच कोण (Angle Between Two Planes):

समतल \(A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0\) और \(A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0\) के बीच कोण θ:

\[ \cos \theta = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}} \]

(C) रेखा और समतल के बीच कोण (Angle Between Line and Plane):

यदि रेखा के दिशा अनुपात l, m, n हैं और समतल का अभिलंब वेक्टर (A, B, C) है, तो उनके बीच θ:

\[ \sin \theta = \frac{|Al + Bm + Cn|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{l^2 + m^2 + n^2}} \]

उदाहरण (Example):

Q: रेखाएँ \(\frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{4}\) तथा \(\frac{x+2}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{-2}\) के बीच कोण ज्ञात कीजिए।

A: पहली रेखा के दिशा अनुपात: 2, -1, 4 दूसरी रेखा के दिशा अनुपात: 1, 2, -2

\[ \cos \theta = \frac{|2 \times 1 + (-1) \times 2 + 4 \times (-2)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 4^2} \cdot \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} \] \[ = \frac{|2 - 2 - 8|}{\sqrt{4+1+16} \cdot \sqrt{1+4+4}} = \frac{|-8|}{\sqrt{21} \cdot 3} = \frac{8}{3\sqrt{21}} \]

7. रेखा और समतल की पारस्परिक स्थिति (Mutual Position of a Line and a Plane)

(A) समतल पर रेखा (Line lies in the plane):

यदि रेखा के समीकरण के x, y, z को समतल के समीकरण में रखने पर वह संतुष्ट हो जाए और रेखा के दिशा अनुपात समतल के अभिलंब वेक्टर के लीनियरली इंडिपेंडेंट हों।

(B) रेखा समतल को प्रतिच्छेद करती है (Line intersects the plane):

यदि समतल के समीकरण में रेखा के पैरामीट्रिक मान रखने पर t का कोई वास्तविक मान प्राप्त होता है, तो रेखा समतल को प्रतिच्छेद करती है।

(C) रेखा समतल के समानांतर है (Line is parallel to plane):

यदि रेखा के दिशा अनुपात और समतल के अभिलंब वेक्टर का डॉट प्रोडक्ट शून्य है और रेखा का कोई बिंदु समतल पर नहीं है।

8. बिंदु और समतल के मध्य दूरी (Distance Between a Point and a Plane)

सूत्र (Formula):

यदि बिंदु \(P(x_1, y_1, z_1)\) और समतल \(Ax + By + Cz + D = 0\) है, तो दूरी d:

\[ d = \frac{|A x_1 + B y_1 + C z_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

उदाहरण (Example):

Q: बिंदु (2, -1, 3) से समतल \(x - 2y + 2z - 5 = 0\) की दूरी ज्ञात कीजिए।

A: \[ d = \frac{|2 - 2 \times (-1) + 2 \times 3 - 5|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|2 + 2 + 6 - 5|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|5|}{3} = \frac{5}{3} \]

9. दो समांतर समतलों के बीच दूरी (Distance Between Two Parallel Planes)

सूत्र (Formula):

यदि दो समांतर समतल \(Ax + By + Cz + D_1 = 0\) तथा \(Ax + By + Cz + D_2 = 0\) हैं, तो उनकी आपसी दूरी:

\[ d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

उदाहरण (Example):

Q: समतल \(2x + y + z - 3 = 0\) तथा \(2x + y + z + 5 = 0\) के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

A: \[ d = \frac{|(-3) - 5|}{\sqrt{4+1+1}} = \frac{8}{\sqrt{6}} \]

10. त्रिविमीय ज्यामिति के अन्य महत्वपूर्ण परिणाम (Other Important Results in 3D Geometry)

• यदि कोई रेखा दो समतलों को काटती है, तो दोनों समतलों के समीकरणों को हल कर रेखा के बिंदु ज्ञात किए जा सकते हैं।
• दो रेखाएँ यदि प्रतिच्छेद करती हैं, तो उनके समीकरणों को हल कर समान बिंदु मिलेगा।
• दो रेखाएँ यदि प्रतिच्छेद नहीं करतीं और समानांतर भी नहीं हैं, तो वे स्क्यू (skew) रेखाएँ कहलाती हैं।

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)

1. त्रिविमीय निर्देशांक में प्रत्येक बिंदु तीन संख्याओं (x, y, z) द्वारा दर्शाया जाता है।

1. दो बिंदुओं के बीच दूरी का सूत्र:

\(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)

1. विभाजन सूत्र अनुपात m:n के लिए:

\(\left(\frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n}\right)\)

1. रेखा का समीकरण:

\(\frac{x-x_1}{l} = \frac{y-y_1}{m} = \frac{z-z_1}{n}\)

1. समतल का सामान्य समीकरण:

\(Ax + By + Cz + D = 0\)

1. दो रेखाओं के बीच कोण का सूत्र:

\(\cos \theta = \frac{|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \cdot \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}\)

1. दो समतलों के बीच कोण का सूत्र:

\(\cos \theta = \frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}\)

1. बिंदु और समतल के बीच दूरी:

\(\frac{|A x_1 + B y_1 + C z_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)

1. दो समांतर समतलों के बीच दूरी:

\(\frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}\)

1. दो रेखाएँ समानांतर तब होती हैं जब उनके दिशा अनुपात समानुपाती हों।

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | Explanation (English) | |----------------|-------------------|------------------------| | दूरी सूत्र में चिन्ह गलत लेना | चिन्हों का ध्यान रखें | Sign errors in distance formula - always use (x2-x1), etc. | | विभाजन सूत्र में अनुपात उल्टा लगाना | m:n का सही क्रम रखें | Use correct order of m:n in section formula | | दिशा अनुपात को दिशा कोसाइन समझना | दोनों में अंतर समझें | Direction ratios and direction cosines are different | | समतल का समीकरण लिखते समय D के चिन्ह में गलती | समीकरण को स्टैंडर्ड रूप में रखें | Mistakes in sign of D while writing plane equation | | कोण के सूत्र में डॉट प्रोडक्ट में चिन्ह भूलना | पूर्णांक का प्रयोग करें | Use modulus (absolute value) in angle formulas | | समानांतर रेखाओं के लिए अनुपात की जांच न करना | अनुपात की तुलना करें | Always check proportionality for parallelism | | समतल के सामान्य वेक्टर का सही चयन न करना | A, B, C को सामान्य वेक्टर मानें | Use (A, B, C) as normal vector for plane | | सममित रूप में x, y, z के अनुक्रम में गलती | अनुक्रम का ध्यान रखें | Maintain correct order while writing symmetric form | | बिंदु और समतल के बीच दूरी में D का गलत चिन्ह | समीकरण को \(Ax + By + Cz + D = 0\) रूप में रखें | Use correct sign for D in plane equation | | कोण निकालते समय डिग्री-रेडियन में कंफ्यूजन | यूनिट का ध्यान रखें | Be careful with degree/radian units in angle calculation |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1-Mark Questions (1 अंक)

1. त्रिविमीय निर्देशांक पद्धति में किसी बिंदु के कितने निर्देशांक होते हैं?

1. दो बिंदुओं के मध्य दूरी ज्ञात करने का सूत्र लिखिए।

1. समतल का सामान्य समीकरण लिखिए।

1. रेखा के दिशा अनुपात क्या होते हैं?

1. समतल के अभिलंब वेक्टर का अर्थ समझाइए।

2-Mark Questions (2 अंक)

1. बिंदु (2, 3, 4) और (5, 6, 8) के मध्य दूरी ज्ञात कीजिए।

1. बिंदु (1, -1, 2) से होकर दिशा अनुपात (3, -2, 1) वाली रेखा का समीकरण लिखिए।

1. बिंदु (4, 2, -1) से समतल \(2x - y + z - 3 = 0\) की दूरी ज्ञात कीजिए।

1. दो समतलों \(x + y + z = 5\) तथा \(x + y + z = 1\) के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

5-Mark Questions (5 अंक)

1. दो बिंदुओं A(1, 2, 3) एवं B(4, 5, 6) का मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए।

1. सिद्ध कीजिए कि बिंदु P(2, 3, 4) बिंदुओं A(1, 2, 3) और B(4, 5, 6) को अनुपात 1:1 में विभाजित करता है।

1. रेखा \(\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-2}{-1}\) तथा समतल \(2x - y + 2z = 3\) के बीच कोण ज्ञात कीजिए।

1. बिंदु (1, 2, 3), (2, -1, 4), (3, 0, 5) से होकर जाने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

1. दो रेखाएँ \(\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z}{3}\) तथा \(\frac{x+1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z-4}{1}\) के बीच कोण ज्ञात कीजिए।

पूरक अध्ययन (Supplementary Study)

त्रिविमीय निर्देशांक में दिशा कोसाइन (Direction Cosines in 3D)

किसी रेखा के दिशा कोसाइन (l, m, n) वे कोसाइन होते हैं जो रेखा द्वारा x, y, z अक्षों के साथ बनाए गए कोणों के होते हैं: \[ l = \cos \alpha, \quad m = \cos \beta, \quad n = \cos \gamma \] जहाँ \(\alpha, \beta, \gamma\) वे कोण हैं जो रेखा x, y, z अक्षों के साथ बनाती है। इनका संबंध: \[ l^2 + m^2 + n^2 = 1 \]

नोट्स का सारांश (Summary of Notes)

• त्रिविमीय निर्देशांक प्रणाली में बिंदु, रेखा, समतल के समीकरण, दूरी, कोण, आदि की गणना संभव है।
• रेखा एवं समतल, दो समतलों या दो रेखाओं के बीच कोण एवं दूरी निकालने के लिए उपयुक्त सूत्र याद रखें।
• सभी समीकरणों को स्टैंडर्ड रूप में लिखना और चिन्हों का ध्यान रखना अति आवश्यक है।
• बोर्ड परीक्षा के लिए सभी प्रमुख सूत्र, परिभाषाएँ, और हल किए गए उदाहरणों का अभ्यास करें।

यह विस्तृत नोट्स आपको RBSE बोर्ड परीक्षा में त्रिविमीय ज्यामिति के सभी प्रश्नों को हल करने में सक्षम बनाएंगे।