सारणिक

सारणिक (Determinants)

एक नज़र में:

सारणिक गणित में एक महत्वपूर्ण संकल्पना है जिसका उपयोग समीकरणों के हल, मैट्रिक्स की विशेषताओं के अध्ययन, और कई क्षेत्रों में किया जाता है। इस अध्याय में हम सारणिक की परिभाषा, गुण, मान ज्ञात करने की विधियाँ, और उससे जुड़े विभिन्न प्रश्नों का अध्ययन करेंगे।

📌 अध्याय का परिचय

सारणिक (Determinant) एक गणितीय अभिव्यक्ति है, जो किसी वर्गीय मैट्रिक्स (Square Matrix) से जुड़ी होती है। इसका उपयोग मुख्यतः समीकरणों के हल, रैखिक स्वतंत्रता का परीक्षण, तथा मैट्रिक्स के व्युत्क्रम (Inverse) के निर्धारण में होता है। सारणिक की गणना एवं उसके गुणों का अध्ययन इस अध्याय में किया जाएगा।

📖 प्रमुख विषय-वस्तु (Major Topics)

1. सारणिक की परिभाषा (Definition of Determinant)

हिंदी में:

सारणिक एक वर्गीय मैट्रिक्स से जुड़ी राशि है, जिसे एक विशेष विधि से निर्धारित किया जाता है। यदि \( A \) एक \( n \times n \) मैट्रिक्स है, तो उसका सारणिक \( |A| \) या \( \det(A) \) से दर्शाया जाता है।

उदाहरण: यदि \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) है, तो उसका सारणिक \( |A| = ad - bc \)

English:

A determinant is a quantity associated with a square matrix, calculated by a specific method. If \( A \) is an \( n \times n \) matrix, its determinant is denoted by \( |A| \) or \( \det(A) \).

Example: If \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), then its determinant \( |A| = ad - bc \)

2. सारणिक के प्रकार (Types of Determinants)

हिंदी में:

सारणिक मुख्यतः तीन प्रकार के होते हैं:

• आदेश 1 (Order 1): केवल एक संख्या होती है।
• आदेश 2 (Order 2): \( 2 \times 2 \) मैट्रिक्स की सारणिक।
• आदेश 3 (Order 3): \( 3 \times 3 \) मैट्रिक्स की सारणिक।

English:

Determinants are mainly of three types:

• Order 1: Only a single number.
• Order 2: Determinant of a \( 2 \times 2 \) matrix.
• Order 3: Determinant of a \( 3 \times 3 \) matrix.

3. आदेश 2 के सारणिक (Determinant of Order 2)

हिंदी में:

यदि \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) है, तो \( |A| = ad - bc \)

उदाहरण: \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \) \( |A| = (2 \times 5) - (3 \times 4) = 10 - 12 = -2 \)

English:

If \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), then \( |A| = ad - bc \)

Example: \( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \) \( |A| = (2 \times 5) - (3 \times 4) = 10 - 12 = -2 \)

4. आदेश 3 के सारणिक (Determinant of Order 3)

हिंदी में:

यदि \( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \) है, तो \( |A| = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \)

उदाहरण: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \) \( |A| = 1(5 \times 9 - 6 \times 8) - 2(4 \times 9 - 6 \times 7) + 3(4 \times 8 - 5 \times 7) \) \( = 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35) \) \( = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) \) \( = -3 + 12 - 9 = 0 \)

English:

If \( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \), then \( |A| = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \)

Example: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \) \( |A| = 1(5 \times 9 - 6 \times 8) - 2(4 \times 9 - 6 \times 7) + 3(4 \times 8 - 5 \times 7) \) \( = 1(45 - 48) - 2(36 - 42) + 3(32 - 35) \) \( = 1(-3) - 2(-6) + 3(-3) \) \( = -3 + 12 - 9 = 0 \)

5. सारणिक का विस्तार (Expansion of Determinant)

हिंदी में:

आदेश 3 या उससे अधिक के सारणिक का विस्तार (Expansion) करने के लिए सह-सरणिक (Cofactor) विधि का उपयोग किया जाता है। प्रत्येक तत्व के लिए सह-सरणिक निकालकर उनका योग किया जाता है।

सह-सरणिक की परिभाषा: कोई भी तत्व \( a_{ij} \) का सह-सरणिक \( C_{ij} \) = उसके स्थान का उप-सारणिक × (-1)^{i+j}

उदाहरण: \( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 2 \end{pmatrix} \) पहली पंक्ति द्वारा विस्तार करें:

• \( a_{11} = 2 \), उसका उप-सारणिक = \( \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \)
• \( a_{12} = 0 \), उसका उप-सारणिक = \( \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} \)
• \( a_{13} = 1 \), उसका उप-सारणिक = \( \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \)

\( |A| = 2 \times (1 \times 2 - 0 \times -1) - 0 \times (3 \times 2 - 0 \times 4) + 1 \times (3 \times -1 - 1 \times 4) \) \( = 2 \times (2 - 0) - 0 \times (6 - 0) + 1 \times (-3 - 4) \) \( = 2 \times 2 + 0 \times 6 + 1 \times (-7) \) \( = 4 + 0 - 7 = -3 \)

English:

For expansion of determinants of order 3 or more, the cofactor method is used. Find the cofactor for each element and sum accordingly.

Definition of Cofactor: Cofactor \( C_{ij} \) of element \( a_{ij} \) = minor of that element × (-1)^{i+j}

Example: \( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 2 \end{pmatrix} \) Expand along the first row:

• \( a_{11} = 2 \), minor = \( \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \)
• \( a_{12} = 0 \), minor = \( \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} \)
• \( a_{13} = 1 \), minor = \( \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} \)

\( |A| = 2 \times (1 \times 2 - 0 \times -1) - 0 \times (3 \times 2 - 0 \times 4) + 1 \times (3 \times -1 - 1 \times 4) \) \( = 2 \times (2 - 0) - 0 \times (6 - 0) + 1 \times (-3 - 4) \) \( = 2 \times 2 + 0 \times 6 + 1 \times (-7) \) \( = 4 + 0 - 7 = -3 \)

6. उप-सारणिक और सह-सरणिक (Minor and Cofactor)

हिंदी में:

उप-सारणिक (Minor): किसी तत्व \( a_{ij} \) का उप-सारणिक वह सारणिक है जो उस तत्व की पंक्ति और स्तम्भ को हटाकर बची हुई मैट्रिक्स से प्राप्त होता है।

सह-सरणिक (Cofactor): सह-सरणिक = उप-सारणिक × (-1)^{i+j}

उदाहरण: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \) तत्व \( a_{12} = 2 \) का उप-सारणिक = \( \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = (4 \times 9 - 6 \times 7) = 36 - 42 = -6 \) सह-सरणिक = \( (-1)^{1+2} \times (-6) = -1 \times (-6) = 6 \)

English:

Minor: Minor of element \( a_{ij} \) is the determinant formed by deleting the ith row and jth column.

Cofactor: Cofactor = Minor × (-1)^{i+j}

Example: \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \) Minor of \( a_{12} = 2 \) = \( \begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = (4 \times 9 - 6 \times 7) = 36 - 42 = -6 \) Cofactor = \( (-1)^{1+2} \times (-6) = -1 \times (-6) = 6 \)

7. सारणिक के गुण (Properties of Determinants)

हिंदी में:

1. पंक्ति/स्तम्भ की अदला-बदली:

यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ या स्तम्भ आपस में बदल दिए जाएँ, तो सारणिक का चिन्ह बदल जाता है।

1. समान पंक्ति/स्तम्भ:

यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ या स्तम्भ समान हों, तो उसका मान शून्य होता है।

1. एक पंक्ति/स्तम्भ के सभी तत्वों में किसी संख्या का गुणा:

यदि किसी पंक्ति/स्तम्भ के सभी तत्वों में k का गुणा हो, तो सारणिक का मान भी k से गुणा हो जाता है।

1. त्रिकोणीय मैट्रिक्स:

यदि मैट्रिक्स त्रिकोणीय (Upper/Lower Triangular) है, तो सारणिक = सभी डायगोनल तत्वों का गुणनफल।

1. सारणिक का विस्तार:

सारणिक का विस्तार किसी भी पंक्ति या स्तम्भ द्वारा किया जा सकता है।

1. सारणिक का स्थान परिवर्तन:

सारणिक का मान स्थान परिवर्तन (Transpose) करने के बाद भी वही रहता है।

1. सारणिक का योग:

सारणिक का योग नहीं किया जा सकता, केवल गुणा सम्भव है।

1. सारणिक शून्य होने की स्थिति:

यदि सारणिक का मान शून्य है, तो सम्बंधित मैट्रिक्स व्युत्क्रम योग्य नहीं है।

1. सारणिक के गुणनफल का गुण:

\( |AB| = |A| \times |B| \)

1. सारणिक के समरूप मैट्रिक्स:

समरूप मैट्रिक्स का सारणिक समान होता है।

English:

1. Row/Column Interchange:

Changing two rows or columns interchanges the sign of determinant.

1. Identical Rows/Columns:

If two rows or columns are identical, determinant is zero.

1. Multiplying all elements of a row/column by k:

The determinant is multiplied by k.

1. Triangular Matrix:

Determinant = Product of all diagonal elements.

1. Expansion:

Determinant can be expanded along any row or column.

1. Transpose:

Determinant remains unchanged after transposing the matrix.

1. Addition:

Determinants cannot be added, only multiplication is possible.

1. Zero Determinant:

If determinant is zero, the matrix is not invertible.

1. Product of Determinants:

\( |AB| = |A| \times |B| \)

1. Similar Matrices:

Determinant of similar matrices is same.

8. सारणिक का उपयोग (Application of Determinants)

हिंदी में:

• रैखिक समीकरणों का हल (Solving Linear Equations):

सारणिक का उपयोग क्रैमर नियम (Cramer’s Rule) द्वारा रैखिक समीकरणों के हल में किया जाता है।

• मैट्रिक्स का व्युत्क्रम (Inverse of Matrix):

सारणिक का मान शून्य नहीं होने पर ही मैट्रिक्स का व्युत्क्रम निकाला जा सकता है।

• ज्यामितीय क्षेत्रफल:

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना में सारणिक का प्रयोग किया जाता है।

English:

• Solving Linear Equations:

Determinants are used in Cramer’s Rule for solving linear equations.

• Inverse of Matrix:

Inverse of matrix exists only if determinant is non-zero.

• Geometric Area:

Determinants are used to calculate area of triangle.

9. क्रैमर नियम (Cramer’s Rule)

हिंदी में:

यह नियम रैखिक समीकरणों के हल के लिए उपयोगी है। यदि समीकरण \[ a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \] तो, मुख्य सारणिक \( D \) = \[ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix} \] \( x, y, z \) के मान: \[ x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D} \] जहाँ \( D_x, D_y, D_z \) में क्रमशः x, y, z के स्तम्भ को d_1, d_2, d_3 से बदल दें।

उदाहरण: \[ 2x + 3y + z = 5 \\ x + 2y + 3z = 6 \\ 3x + y + 2z = 7 \] मुख्य सारणिक \( D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} \) \( D_x = \begin{vmatrix} 5 & 3 & 1 \\ 6 & 2 & 3 \\ 7 & 1 & 2 \end{vmatrix} \) \( D_y = \begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 1 & 6 & 3 \\ 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} \) \( D_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 1 & 2 & 6 \\ 3 & 1 & 7 \end{vmatrix} \)

English:

Cramer’s Rule is used for solving linear equations. For equations \[ a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \] Main determinant \( D \): \[ \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \\ \end{vmatrix} \] Values: \[ x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D} \] Where \( D_x, D_y, D_z \) are obtained by replacing x, y, z columns with d_1, d_2, d_3 respectively.

10. मैट्रिक्स का व्युत्क्रम (Inverse of Matrix)

हिंदी में:

किसी मैट्रिक्स \( A \) का व्युत्क्रम \( A^{-1} \) तभी संभव है जब \( |A| \neq 0 \) हो। \( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times \text{adj}(A) \), जहाँ adj(A) = सह-सरणिक मैट्रिक्स का स्थान परिवर्तन।

English:

Inverse of matrix \( A \) exists only if \( |A| \neq 0 \). \( A^{-1} = \frac{1}{|A|} \times \text{adj}(A) \), where adj(A) = transpose of cofactor matrix.

11. सारणिक की अनुप्रयोग (Applications of Determinant)

हिंदी में:

• ज्यामिति: क्षेत्रफल, वॉल्यूम आदि की गणना।
• भौतिकी: वेक्टर और रेखाओं के समीकरण।
• इंजीनियरिंग: सिस्टम का विश्लेषण।

English:

• Geometry: Calculation of area, volume.
• Physics: Equations of vectors and lines.
• Engineering: System analysis.

12. सारणिक के प्रश्नों का हल (Solving Determinant Problems)

हिंदी में:

सारणिक से जुड़े प्रश्नों में विस्तार, गुणों का उपयोग, और समीकरणों के हल शामिल होते हैं। सारणिक के मान, उप-सारणिक, सह-सरणिक, क्रैमर नियम आदि से प्रश्न पूछे जाते हैं।

English:

Determinant-related questions involve expansion, properties, and solving equations. Questions are asked on value, minor, cofactor, Cramer’s Rule etc.

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

1. सारणिक केवल वर्गीय मैट्रिक्स के लिए ही परिभाषित है।

1. आदेश 2 का सारणिक: \( |A| = ad - bc \).

1. आदेश 3 का विस्तार सह-सरणिक विधि से होता है।

1. सारणिक का मान शून्य होने पर मैट्रिक्स व्युत्क्रम योग्य नहीं होता।

1. दो पंक्तियों/स्तम्भों की अदला-बदली से सारणिक का चिन्ह बदलता है।

1. दो समान पंक्तियाँ/स्तम्भ होने पर सारणिक का मान शून्य होता है।

1. त्रिकोणीय मैट्रिक्स का सारणिक = डायगोनल तत्वों का गुणनफल।

1. सह-सरणिक = उप-सारणिक × (-1)^{i+j}.

(Cofactor = minor × (-1)^{i+j}.)

1. क्रैमर नियम के लिए मुख्य सारणिक शून्य नहीं होना चाहिए।

1. स्थान परिवर्तन (Transpose) के बाद सारणिक का मान वही रहता है।

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |-----------------|--------------------| | आदेश 2 की सारणिक में गलत क्रम से गुणनफल लेना | पहले मुख्य डायगोनल, फिर सहायक डायगोनल घटाएँ | | आदेश 3 का विस्तार गलत पंक्ति/स्तम्भ से करना | विस्तार करते समय पंक्ति/स्तम्भ का सही चयन करें | | सह-सरणिक में (-1)^{i+j} का ध्यान नहीं रखना | सह-सरणिक निकालते समय चिन्ह का ध्यान रखें | | दो समान पंक्तियाँ/स्तम्भ होने पर सारणिक को शून्य न करना | यदि दो पंक्तियाँ/स्तम्भ समान हों, तो सारणिक = 0 | | त्रिकोणीय मैट्रिक्स में गैर-डायगोनल तत्वों को जोड़ना | केवल डायगोनल तत्वों का गुणनफल लें | | क्रैमर नियम में गलत स्तम्भ बदलना | x, y, z के स्तम्भ सही बदलें | | विस्तार में उप-सारणिक की गणना में गलती | उप-सारणिक निकालते समय सही पंक्ति/स्तम्भ हटाएँ | | सारणिक का विस्तार गलत चिन्हों के साथ | विस्तार करते समय सह-सरणिक के चिन्ह का ध्यान रखें | | स्थान परिवर्तन के बाद मान बदलना | स्थान परिवर्तन के बाद मान वही रहता है | | व्युत्क्रम निकालते समय सारणिक शून्य होने पर प्रयास करना | यदि सारणिक शून्य है, तो व्युत्क्रम नहीं निकाला जा सकता |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)

1-Mark Questions

1. आदेश 2 के सारणिक का सूत्र लिखिए।

1. सह-सरणिक की परिभाषा क्या है?

1. यदि किसी सारणिक की दो पंक्तियाँ समान हों, तो उसका मान क्या होगा?

1. मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के लिए सारणिक का क्या महत्व है?

1. सारणिक का विस्तार किस विधि से किया जाता है?

2-Mark Questions

1. निम्नलिखित सारणिक का मान ज्ञात कीजिए:

\( \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} \)

1. निम्नलिखित के लिए \( a_{12} \) का सह-सरणिक निकालिए:

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \)

1. आदेश 3 के सारणिक का विस्तार लिखिए।

1. यदि \( A \) त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, तो उसके सारणिक का सूत्र लिखिए।

1. सारणिक के दो गुण लिखिए।

5-Mark Questions

1. निम्नलिखित समीकरणों को क्रैमर नियम द्वारा हल कीजिए:

\[ x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 14 \\ x + 2y + 3z = 14 \]

1. आदेश 3 के सारणिक का विस्तार प्रथम पंक्ति द्वारा करके मान ज्ञात कीजिए:

\( \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & -1 & 2 \end{vmatrix} \)

1. विस्तार सहित बताइए कि यदि किसी सारणिक में दो पंक्तियाँ समान हों, तो उसका मान शून्य होता है।
2. किसी \( 3 \times 3 \) मैट्रिक्स के लिए सह-सरणिक एवं उप-सारणिक की गणना का उदाहरण दीजिए।
3. विस्तार सहित समझाइए कि मैट्रिक्स का व्युत्क्रम किस स्थिति में निकाला जा सकता है।

यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में अत्यंत महत्वपूर्ण है। इसके प्रत्येक विषय को गहराई से समझना आवश्यक है। अभ्यास करें, सूत्रों की याद रखें, और गुणों का सही उपयोग करें।