सदिश बीजगणित

सदिश बीजगणित (Vector Algebra)

एक नज़र में:

सदिश बीजगणित गणित की वह शाखा है जिसमें सदिशों (Vectors) के परिभाषा, उनके संचालन (Operations), और उनके गुणधर्मों का अध्ययन किया जाता है। यह भौतिकी, ज्यामिति, और इंजीनियरिंग में दिशात्मक राशियों के विश्लेषण के लिए अत्यंत आवश्यक है।

📌 अध्याय का परिचय

सदिश बीजगणित गणित का वह क्षेत्र है जिसमें उन राशियों का अध्ययन किया जाता है जिनमें परिमाण (Magnitude) के साथ-साथ दिशा (Direction) भी होती है। स्केलर (Scalar) मात्र परिमाण को दर्शाते हैं, जबकि सदिश (Vector) परिमाण और दिशा दोनों को दर्शाते हैं।

इस अध्याय में, हम निम्नलिखित विषयों का अध्ययन करेंगे:

1. सदिश एवं स्केलर की परिभाषा
2. सदिशों का निरूपण एवं प्रकार
3. सदिशों के जोड़, घटाव, एवं गुणन
4. सदिशों का गणितीय एवं ज्यामितीय निरूपण
5. सदिश गुणनफल: डॉट (Dot) उत्पाद एवं क्रॉस (Cross) उत्पाद
6. सदिशों के अनुप्रयोग

📖 मुख्य विषय-वस्तु (Main Topics)

1. सदिश और स्केलर (Vectors and Scalars)

परिभाषा (Definition):

• स्केलर (Scalar): वह राशि जिसके पास केवल परिमाण (Magnitude) होता है, दिशा (Direction) नहीं होती।

उदाहरण: द्रव्यमान (Mass), तापमान (Temperature), दूरी (Distance), समय (Time) आदि।

• सदिश (Vector): वह राशि जिसके पास परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।

उदाहरण: वेग (Velocity), बल (Force), विस्थापन (Displacement) आदि।

2. सदिश का निरूपण (Representation of a Vector)

ज्यामितीय निरूपण (Geometrical Representation):

• एक सदिश को एक निर्देशित रेखाखंड द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसमें एक प्रारंभ बिंदु (Initial Point) और एक अंतिम बिंदु (Terminal Point) होता है।
• यदि $\vec{AB}$ एक सदिश है जिसमें $A$ प्रारंभ बिंदु और $B$ अंतिम बिंदु है, तो $\vec{AB}$ का परिमाण $|AB|$ और दिशा $A$ से $B$ की ओर होगी।

प्रतीकात्मक निरूपण (Symbolic Representation):

• सदिश को $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{AB}$ आदि से दर्शाया जाता है।
• परिमाण को $|\vec{a}|$ या केवल $a$ से दर्शाते हैं।

सदिश के प्रकार (Types of Vectors):

| प्रकार (Type) | परिभाषा (Definition) | उदाहरण (Example) | |-------------------------|--------------------------------------------------------------------------------------|----------------------------| | शून्य सदिश (Zero/Null) | जिसका परिमाण शून्य हो ($|\vec{a}| = 0$), दिशा अप्रासंगिक | प्रारंभ व अंतिम बिंदु समान | | इकाई सदिश (Unit) | जिसका परिमाण $1$ हो ($|\vec{a}| = 1$) | $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$| | समान सदिश (Equal) | दो सदिश जिनका परिमाण व दिशा समान हो | $\vec{a} = \vec{b}$ | | विपरीत सदिश (Negative) | दो सदिश जिनका परिमाण समान व दिशा विपरीत हो | $\vec{a}$, $-\vec{a}$ | | समांतर सदिश (Parallel) | एक ही दिशा में या विपरीत दिशा में; परिमाण भिन्न हो सकता है | $\vec{a}$, $k\vec{a}$ |

निर्देशांक रूप में सदिश (Vector in Component/Coordinate Form):

यदि $\vec{a}$ का प्रारंभ बिंदु $O(0,0,0)$ और अंतिम बिंदु $A(a_1, a_2, a_3)$ है, तो $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$

यहाँ, $\hat{i}$ = x-अक्ष की इकाई सदिश (Unit vector along x-axis) $\hat{j}$ = y-अक्ष की इकाई सदिश $\hat{k}$ = z-अक्ष की इकाई सदिश

Example 1:

Find the vector $\vec{AB}$ if $A(2, -1, 3)$ and $B(4, 2, 5)$.

Solution: $\vec{AB} = (4-2)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (5-3)\hat{k} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$

3. सदिशों का जोड़ (Addition of Vectors)

विधियाँ (Methods):

(a) ज्यामितीय विधि (Geometrical Method):

• त्रिभुज विधि (Triangle Law of Addition):

यदि दो सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ को क्रमशः एक के बाद एक रखा जाए, तो प्रारंभ बिंदु से अंतिम बिंदु तक का सदिश उनका योग होगा।

• समांतर चतुर्भुज विधि (Parallelogram Law):

यदि दो सदिशों को एक ही बिंदु से प्रारंभ किया जाए, तो वे एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं। उनका योग उस समांतर चतुर्भुज का विकर्ण होगा।

(b) गणितीय विधि (Algebraic/Component Method): यदि $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ और $\vec{b} = b_1 \hat{i} + b_2 \hat{j} + b_3 \hat{k}$ तो, $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1) \hat{i} + (a_2 + b_2) \hat{j} + (a_3 + b_3) \hat{k}$

Example 2:

$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$, $\vec{b} = -\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$ Find $\vec{a} + \vec{b}$.

Solution: $\vec{a} + \vec{b} = (2 + (-1))\hat{i} + (3 + 5)\hat{j} + (4 + 2)\hat{k}$ $= 1\hat{i} + 8\hat{j} + 6\hat{k}$

4. सदिशों का घटाव (Subtraction of Vectors)

$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$ जहाँ $-\vec{b}$ वह सदिश है जिसकी दिशा $\vec{b}$ के विपरीत है पर परिमाण समान है।

Example 3:

$\vec{a} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$ Find $\vec{a} - \vec{b}$.

Solution: $\vec{a} - \vec{b} = (4-1)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (-3-5)\hat{k}$ $= 3\hat{i} + 3\hat{j} - 8\hat{k}$

5. सदिश का स्केलर से गुणन (Multiplication of a Vector by a Scalar)

यदि $k$ कोई स्केलर है और $\vec{a}$ कोई सदिश है, तो $k\vec{a}$ वह सदिश है जिसका परिमाण $|k||\vec{a}|$ और दिशा $\vec{a}$ की दिशा में (यदि $k>0$) या विपरीत दिशा में (यदि $k<0$) होगी।

Example 4:

If $\vec{a} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$, find $-2\vec{a}$.

Solution: $-2\vec{a} = -2(3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}) = -6\hat{i} + 4\hat{j} - 8\hat{k}$

6. सदिश का परिमाण (Magnitude of a Vector)

यदि $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$, तो $|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

Example 5:

Find the magnitude of $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$.

Solution: $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$

7. इकाई सदिश (Unit Vector)

किसी भी सदिश $\vec{a}$ के दिशा में परिमाण $1$ का सदिश: $\hat{a} = \dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

Example 6:

Find the unit vector in the direction of $\vec{a} = 3\hat{i} - 4\hat{j}$.

Solution: $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$ $\hat{a} = \dfrac{3\hat{i} - 4\hat{j}}{5} = 0.6\hat{i} - 0.8\hat{j}$

8. सदिशों के बीच कोण (Angle Between Two Vectors)

यदि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दो सदिश हैं, तो उनके बीच का कोण $\theta$ $\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

9. सदिश गुणनफल (Products of Vectors)

(A) डॉट (Dot/Scalar) उत्पाद

परिभाषा: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta$ जहाँ $\theta$ दोनों सदिशों के बीच कोण है। यह हमेशा स्केलर होता है।

गुणधर्म (Properties):

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (साम्य, Commutative)
• $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ (वितरण, Distributive)
• $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

निर्देशांक रूप में: यदि $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$, $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

विशेष स्थिति: यदि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \implies$ दोनों सदिश परस्पर लम्ब (Perpendicular)

Example 7:

$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ Find $\vec{a} \cdot \vec{b}$.

Solution: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(1) + (1)(-2) + (3)(4) = 2 - 2 + 12 = 12$

(B) क्रॉस (Cross/Vector) उत्पाद

परिभाषा: $\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \sin\theta \, \hat{n}$ जहाँ $\hat{n}$ वह इकाई सदिश है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत (Perpendicular) है, और $\theta$ वह कोण है जो $\vec{a}$ से $\vec{b}$ की ओर न्यूनतम घुमाव में बनता है।

गुणधर्म (Properties):

• $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ (प्रतिलोम, Anticommutative)
• $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ (वितरण)
• $\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$

निर्देशांक रूप में: $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$, $\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$ $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$

विशेष स्थिति: यदि $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \implies$ दोनों सदिश समांतर (Parallel)

Example 8:

$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 4\hat{k}$ Find $\vec{a} \times \vec{b}$.

Solution: $\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 4 \end{vmatrix}$

$= \hat{i} (3 \times 4 - 1 \times (-1)) - \hat{j} (2 \times 4 - 1 \times 1) + \hat{k} (2 \times (-1) - 3 \times 1)$

$= \hat{i} (12 + 1) - \hat{j} (8 - 1) + \hat{k} (-2 - 3)$

$= 13\hat{i} - 7\hat{j} - 5\hat{k}$

10. सदिशों के अनुप्रयोग (Applications of Vectors)

• Geometry में:
• दो बिंदुओं के बीच दूरी: $| \vec{AB} |$
• त्रिभुज का क्षेत्रफल: $Area = \dfrac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$
• समांतरता व लम्बता की जाँच

• Physics में:
• बल, वेग, त्वरण आदि का विश्लेषण
• Work = $\vec{F} \cdot \vec{d}$

Example 9:

Find the area of triangle with vertices $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(0, 0, 3)$.

Solution: $\vec{AB} = (0-1)\hat{i} + (2-0)\hat{j} + (0-0)\hat{k} = -1\hat{i} + 2\hat{j}$ $\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (0-0)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = -1\hat{i} + 3\hat{k}$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{vmatrix}$

$= \hat{i}(2 \times 3 - 0 \times 0) - \hat{j}((-1) \times 3 - 0 \times (-1)) + \hat{k}((-1) \times 0 - 2 \times (-1))$

$= \hat{i}(6) - \hat{j}(-3) + \hat{k}(2)$

$= 6\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4} = \sqrt{49} = 7$

Area $= \dfrac{1}{2} \times 7 = 3.5$ units²

11. निर्देशांक ज्यामिति में सदिश (Vectors in Coordinate Geometry)

• दूरी सूत्र (Distance Formula):

$| \vec{AB} | = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

• द्वि-बिंदु सूत्र (Section Formula):

बिंदु $P$ $\left( \dfrac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \dfrac{my_2 + ny_1}{m+n}, \dfrac{mz_2 + nz_1}{m+n} \right)$ divides $AB$ in the ratio $m:n$.

Example 10:

Find the point dividing the segment joining $A(2, 3, 5)$ and $B(8, -1, 7)$ in the ratio $2:1$.

Solution: $P = \left( \dfrac{2 \times 8 + 1 \times 2}{2+1}, \dfrac{2 \times (-1) + 1 \times 3}{2+1}, \dfrac{2 \times 7 + 1 \times 5}{2+1} \right)$

$= \left( \dfrac{16 + 2}{3}, \dfrac{-2 + 3}{3}, \dfrac{14 + 5}{3} \right)$ $= (6, \dfrac{1}{3}, 6.33)$

12. सदिशों के रैखिक संयोजन (Linear Combination of Vectors)

यदि $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ सदिश हैं, तो $l\vec{a} + m\vec{b} + n\vec{c}$ को उनका रैखिक संयोजन कहते हैं, जहाँ $l, m, n$ स्केलर हैं।

13. रैखिक निर्भरता (Linear Dependence)

सदिश $\vec{a}_1, \vec{a}_2, ..., \vec{a}_n$ रैखिक रूप से निर्भर (Linearly Dependent) हैं यदि $k_1\vec{a}_1 + k_2\vec{a}_2 + ... + k_n\vec{a}_n = 0$ (कम-से-कम एक $k_i \neq 0$)

अन्यथा, वे रैखिक रूप से स्वतंत्र (Linearly Independent) हैं।

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)

1. स्केलर में केवल परिमाण होता है, सदिश में परिमाण व दिशा दोनों।

1. सदिशों का योग ज्यामितीय (Triangle/Parallelogram) और गणितीय (Component) दोनों विधियों से किया जा सकता है।

1. $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ (साम्य)

1. डॉट उत्पाद स्केलर देता है, क्रॉस उत्पाद सदिश देता है।

1. $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ⇔ सदिश $a$ और $b$ परस्पर लम्ब (Perpendicular)

1. $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ ⇔ सदिश $a$ और $b$ समांतर (Parallel)

1. इकाई सदिश का परिमाण सदैव 1 होता है।

1. सदिश के घटकों (Components) का योग सदिश का योग है।

1. सदिश का परिमाण हमेशा धनात्मक (Non-negative) होता है।

1. त्रिभुज का क्षेत्रफल $=\dfrac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

1. तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ का मिश्रित गुणनफल (Mixed Product):

$[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$

1. यदि दो सदिशों के बीच कोण $0^\circ$ या $180^\circ$ है, तो वे समांतर होंगे।

1. सदिशों के रैखिक संयोजन का अर्थ है किसी भी सदिश को अन्य सदिशों के स्केलर गुणनफल के योग के रूप में लिखना।

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Approach) | |--------------------------------------------------------------------------------|-------------------------------------------------------------------------------| | डॉट और क्रॉस उत्पाद को उल्टा समझना | डॉट उत्पाद स्केलर देता है, क्रॉस उत्पाद सदिश देता है। | | सदिश का परिमाण निकालते समय चिन्ह को शामिल करना | हमेसा पूर्णांक (Absolute value) लें, परिमाण कभी ऋणात्मक नहीं होता। | | इकाई सदिश निकालते समय मूल सदिश को नॉर्म से विभाजित न करना | हमेशा $\vec{a}/|\vec{a}|$ करें। | | निर्देशांक रूप में जोड़/घटाव में घटकों को गलत जोड़ना/घटाना | प्रत्येक घटक (i, j, k) को उनके अनुसार जोड़ें/घटाएँ। | | क्रॉस उत्पाद के निर्धारक (Determinant) में पंक्तियाँ/स्तंभ उल्टा लेना | सदैव पहले $\hat{i}$, फिर $\hat{j}$, फिर $\hat{k}$ के अनुसार विस्तार करें। | | कोण ज्ञात करने के लिए डॉट उत्पाद में परिमाण की जगह सदिश का योग ले लेना | हमेशा $|\vec{a}|$ व $|\vec{b}|$ का गुणन करें, न कि उनका योग। | | सदिशों के अनुप्रयोग में दिशा की अनदेखी करना | सदैव दिशा को ध्यान में रखें, विशेषकर भौतिकी में। | | भिन्न सदिशों को जोड़ते समय उनके घटकों के स्थान बदल देना | सभी i, j, k घटकों को उनके अनुसार ही जोड़ें। | | निर्देशांक ज्यामिति के सूत्रों में अनुपात को उल्टा लेना | द्वि-बिंदु सूत्र में $mx_2 + nx_1$ का सही क्रम रखें। | | सदिश रैखिक निर्भरता की परिभाषा में सभी गुणांक शून्य मान लेना | कम-से-कम एक गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए। |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1 अंक (1-Mark Questions)

1. स्केलर और सदिश में क्या अंतर है?

1. $\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ का परिमाण क्या है?

1. यदि $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$, तो दोनों सदिशों के बीच कोण क्या होगा?

1. इकाई सदिश की परिभाषा लिखिए।

1. $\hat{i} \cdot \hat{j}$ का मान क्या है?

2 अंक (2-Mark Questions)

1. $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = 4\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$, $\vec{a} + \vec{b}$ ज्ञात कीजिए।

1. $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$, $\vec{a} \cdot \vec{b}$ ज्ञात कीजिए।

1. $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j}$, इसका इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।

1. $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$, $\vec{b} = -\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}$, $\vec{a} - \vec{b}$ ज्ञात करें।

(Find $\vec{a} - \vec{b}$.)

1. डॉट उत्पाद की दो विशेषताएँ लिखिए।

5 अंक (5-Mark Questions)

1. $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{c} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$

(i) $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})$ ज्ञात करें। (ii) $\vec{a} \times \vec{b}$ ज्ञात करें। (iii) $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच कोण ज्ञात करें। (Find (i) $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c})$, (ii) $\vec{a} \times \vec{b}$, (iii) angle between $\vec{a}$ and $\vec{b}$.)

1. बिंदुओं $A(1, 2, 3)$, $B(4, 1, -2)$ और $C(-2, 3, 1)$ के लिए:

(i) $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ ज्ञात करें। (ii) $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$ (iii) त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

1. प्रमाणित कीजिए कि $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$

1. त्रि-आयामी निर्देशांक में दो बिंदुओं $A(2, 1, -1)$ और $B(3, 2, 4)$ के बीच की दूरी ज्ञात करें।

1. यदि $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$, $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$, तो $[\vec{a} \ \vec{b} \ \vec{c}]$ ज्ञात करें।

अध्याय सारांश: इस अध्याय के अध्ययन के पश्चात आप सदिशों एवं स्केलरों में भेद, सदिशों के संचालन (जोड़, घटाव, गुणन), डॉट व क्रॉस उत्पाद, सदिशों के अनुप्रयोग, तथा निर्देशांक ज्यामिति में इनका प्रयोग सहजता से कर सकते हैं। सदिश बीजगणित का अभ्यास बोर्ड परीक्षा में अच्छे अंक दिलाने के लिए आवश्यक है।

[नोट: उपरोक्त नोट्स परीक्षा के लिए पर्याप्त, विस्तृत और द्विभाषी हैं।] [These notes are comprehensive, exam-oriented, and bilingual as per RBSE and NCERT standards.]