menu_bookRBSE · गणित (Mathematics) · अध्याय 3

आव्यूह

Matrices

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Image: Matrix Multiplication by EMJzero / Wikimedia Commons, source, CC0

आव्यूह (Matrices)

एक नज़र में:

आव्यूह (Matrix) गणित की एक महत्वपूर्ण संकल्पना है, जिसका उपयोग अनेकों संख्याओं या संख्यात्मक मानों को एक विशेष क्रम में व्यवस्थित करने के लिए किया जाता है। यह अध्याय आपको आव्यूहों के प्रकार, संक्रियाएँ, गुणधर्म, तथा उनके अनुप्रयोगों का गहन अध्ययन कराता है।

In a nutshell: Matrix is a key mathematical concept where numbers or expressions are systematically arranged in rows and columns. This chapter covers types, operations, properties, and applications of matrices.

📌 अध्याय का परिचय (Introduction)

आव्यूह (Matrices) गणित की एक अत्यंत महत्वपूर्ण शाखा है जिसका उपयोग जटिल समीकरणों, सांख्यिकी, भौतिकी, अर्थशास्त्र, तथा इंजीनियरिंग में किया जाता है। आव्यूहों के माध्यम से रेखीय समीकरणों को हल करना, परिवर्तन (Transformation) को दर्शाना तथा डेटा को व्यवस्थित करना सरल हो जाता है।

Matrices are crucial in mathematics and are widely used in solving complex equations, statistics, physics, economics, and engineering. They help in solving linear equations, representing transformations, and organizing data.

📖 प्रमुख विषय (Major Topics)

1. आव्यूह की परिभाषा (Definition of a Matrix)

आव्यूह एक आयताकार सारणी है जिसमें संख्याएँ, प्रतीक या फलन पंक्तियों एवं स्तंभों के रूप में व्यवस्थित होते हैं।

A matrix is a rectangular arrangement of numbers, symbols, or functions in rows and columns.

सामान्य रूप (General Form): यदि \( a_{ij} \) कोई तत्त्व है, तो एक \( m \times n \) आव्यूह को ऐसे लिखा जा सकता है \[ A = [a_{ij}]_{m \times n} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \] जहाँ \( 1 \leq i \leq m \), \( 1 \leq j \leq n \)

Solved Example: \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ \end{bmatrix} \] यह एक \( 2 \times 2 \) आव्यूह है।

This is a 2×2 matrix.

2. आव्यूह का क्रम (Order of a Matrix)

किसी भी आव्यूह का क्रम (Order) उसकी पंक्तियों (rows) और स्तंभों (columns) की संख्या से निर्धारित होता है।

Order of a matrix is determined by its number of rows and columns.

यदि किसी आव्यूह में \( m \) पंक्तियाँ और \( n \) स्तंभ हैं, तो उसका क्रम \( m \times n \) होता है।

If a matrix has m rows and n columns, its order is m×n.

Solved Example: \[ B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix} \] क्रम (Order) = \( 2 \times 3 \) (2 rows, 3 columns)

3. आव्यूह के प्रकार (Types of Matrices)

(a) पंक्ति आव्यूह (Row Matrix)

जिस आव्यूह में केवल एक पंक्ति होती है, उसे पंक्ति आव्यूह कहते हैं।

Matrix with only one row is called a row matrix.

\[ A = [2, 3, 5] \] क्रम = \( 1 \times 3 \)

(b) स्तंभ आव्यूह (Column Matrix)

जिस आव्यूह में केवल एक स्तंभ होता है, उसे स्तंभ आव्यूह कहते हैं।

Matrix with only one column is called a column matrix.

\[ B = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 7 \\ \end{bmatrix} \] क्रम = \( 3 \times 1 \)

(c) शून्य आव्यूह (Zero or Null Matrix)

जिस आव्यूह के सभी तत्त्व शून्य हों, उसे शून्य आव्यूह कहते हैं।

Matrix with all elements zero is called a zero or null matrix.

\[ O = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \]

(d) वर्ग आव्यूह (Square Matrix)

जिस आव्यूह में पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान हो, उसे वर्ग आव्यूह कहते हैं।

Matrix with equal number of rows and columns is called a square matrix.

\[ C = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \] क्रम = \( 2 \times 2 \)

(e) विकर्ण आव्यूह (Diagonal Matrix)

वह वर्ग आव्यूह जिसके केवल विकर्ण तत्त्व (Diagonal elements) शून्य न हों, शेष सब तत्त्व शून्य हों।

A square matrix in which all elements except the diagonal are zero.

\[ D = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 7 \\ \end{bmatrix} \]

(f) एकात्मिक आव्यूह (Identity Matrix)

वह विकर्ण आव्यूह जिसमें सभी विकर्ण तत्त्व 1 और अन्य तत्त्व 0 हों।

A diagonal matrix with all diagonal elements as 1 and others as 0.

\[ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

(g) समान आव्यूह (Equal Matrices)

दो आव्यूह यदि क्रम समान हो और उनके सभी तत्त्व स्थानानुसार समान हों तो वे समान कहलाते हैं।

Two matrices are equal if they have the same order and identical corresponding elements.

Solved Example: \[ A = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 2 \\ \end{bmatrix}, B = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 2 \\ \end{bmatrix} \] यहाँ \( A = B \)

4. आव्यूहों में संक्रियाएँ (Operations on Matrices)

(a) योग (Addition of Matrices)

समान क्रम के आव्यूहों का योग उनके स्थानानुसार तत्त्वों का योग है।

Sum of two matrices of the same order is the matrix obtained by adding corresponding elements.

\[ (A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \]

Example: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}, \quadB = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{bmatrix} \] \[ A + B = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \\ \end{bmatrix} \]

(b) घटाव (Subtraction of Matrices)

समान क्रम के आव्यूहों का स्थानानुसार तत्त्वों का अंतर।

Difference is obtained by subtracting the corresponding elements.

\[ (A - B)_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \]

(c) गुणन (Multiplication of Matrix by a Scalar)

किसी आव्यूह के प्रत्येक तत्त्व को एक स्केलर (सांख्यिक) से गुणा करना।

Multiplying each element of a matrix by a scalar.

\[ kA = [ka_{ij}] \]

Example: \[ 2 \times \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 6 \\ \end{bmatrix} \]

(d) आव्यूहों का गुणन (Multiplication of Matrices)

यदि \( A \) का क्रम \( m \times n \) है और \( B \) का क्रम \( n \times p \) है, तो \( AB \) का क्रम \( m \times p \) होगा।

To multiply two matrices, number of columns in first should be equal to number of rows in second.

\[ C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj} \] \[ C = AB \]

Example: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix},\quadB = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{bmatrix} \] \[ AB = \begin{bmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5+14 & 6+16 \\ 15+28 & 18+32 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \\ \end{bmatrix} \]

5. आव्यूह का संकेतन (Notation of Matrices)

आव्यूह को सामान्यतः अक्षरों (A, B, C, ...) से दर्शाते हैं। तत्त्वों के लिए \( a_{ij} \) का प्रयोग होता है, जहाँ \( i \) पंक्ति और \( j \) स्तंभ को दर्शाता है।

Matrices are usually denoted by capital letters and their elements by small letters with subscripts.

6. विशेष आव्यूह (Special Matrices)

(a) अनुपाती आव्यूह (Scalar Matrix)

वह वर्ग आव्यूह जिसके सभी विकर्ण तत्त्व समान (k) और अन्य तत्त्व शून्य हों।

A square matrix with all diagonal elements equal and other elements zero.

\[ S = \begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & k \\ \end{bmatrix} \]

(b) शून्य आव्यूह (Null Matrix)

Already discussed above.

7. आव्यूह का ट्रांसपोज (Transpose of a Matrix)

किसी आव्यूह की पंक्तियों को स्तंभ और स्तंभों को पंक्ति बना देने पर जो नया आव्यूह प्राप्त होता है, वह मूल आव्यूह का ट्रांसपोज कहलाता है।

The matrix obtained by interchanging the rows and columns is called the transpose.

\[ A^T = [a_{ji}] \]

Example: \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \quadA^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \\ \end{bmatrix} \]

8. आव्यूह गुणन के गुणधर्म (Properties of Matrix Multiplication)

गुणन साम्य (Commutativity):

सामान्यतः \( AB \neq BA \)

In general, matrix multiplication is not commutative.

गुणन संघटन (Associativity):

\( (AB)C = A(BC) \)

Matrix multiplication is associative.

गुणन वितरण (Distributivity):

\( A(B + C) = AB + AC \)

Matrix multiplication is distributive over addition.

9. सर्वसमिका (Equality of Matrices)

यदि दो आव्यूहों का क्रम समान हो और उनके सभी तत्त्व स्थानानुसार समान हों, तो वे समान कहलाते हैं।

If two matrices have the same order and identical corresponding elements, they are said to be equal.

10. यूनिट आव्यूह (Unit Matrix)

वह वर्ग आव्यूह जिसमें सभी विकर्ण तत्त्व 1 तथा अन्य शून्य हों, उसे यूनिट आव्यूह कहते हैं।

A square matrix with all diagonal elements 1 and others 0 is called a unit or identity matrix.

11. प्रतिलोम (Inverse of a Matrix)

यदि \( A \) एक वर्ग आव्यूह है तथा कोई ऐसा आव्यूह \( B \) है कि \( AB = BA = I \) (जहाँ \( I \) यूनिट आव्यूह है), तो \( B \) को \( A \) का प्रतिलोम (Inverse) कहते हैं।

If A is a square matrix and there exists a matrix B such that \( AB = BA = I \), then B is called the inverse of A.

12. आव्यूह का अनुप्रयोग (Applications of Matrices)

रेखीय समीकरणों को हल करना
सांख्यिकी में डेटा का संगठन
कम्प्यूटर ग्राफिक्स में परिवर्तन
भौतिकी, अर्थशास्त्र, इंजीनियरिंग आदि में उपयोग

Solving linear equations, organizing data in statistics, transformations in computer graphics, etc.

13. समीकरणों को आव्यूह विधि से हल करना (Solving Equations using Matrices)

यदि हमें रेखीय समीकरणों का समूह दिया गया है: \[ \begin{align*} a_{11}x + a_{12}y &= b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y &= b_2 \\ \end{align*} \] इसे आव्यूह रूप में ऐसे लिखा जा सकता है: \[ AX = B \] जहाँ \( A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \), \( X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \), \( B = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} \)

यदि \( A \) का प्रतिलोम अस्तित्व में है, तो \[ X = A^{-1}B \]

14. आव्यूह के कुछ महत्वपूर्ण परिणाम (Important Results)

किसी भी आव्यूह का ट्रांसपोज दो बार करने पर वही आव्यूह प्राप्त होता है:

\( (A^T)^T = A \)

\( (A + B)^T = A^T + B^T \)
\( (AB)^T = B^T A^T \)
\( I_n \) का प्रतिलोम \( I_n \) ही होता है

15. आव्यूहों के उदाहरण (More Solved Examples)

Example 1:

यदि \[ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix} \] तो \( A^T \) ज्ञात कीजिए। Solution: \[ A^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ \end{bmatrix} \]

Example 2:

दिए गए आव्यूहों का योग एवं घटाव ज्ञात कीजिए: \[ A = \begin{bmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 5 \\ \end{bmatrix},\quadB = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 6 & 2 \\ \end{bmatrix} \] Solution: \[ A + B = \begin{bmatrix} 5 & 10 \\ 8 & 7 \\ \end{bmatrix} \] \[ A - B = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ -4 & 3 \\ \end{bmatrix} \]

Example 3:

यदि \[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \] तो \( 3A \) ज्ञात कीजिए। Solution: \[ 3A = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \\ \end{bmatrix} \]

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)

आव्यूह एक आयताकार संख्या सारणी है।
क्रम = पंक्तियाँ × स्तंभ।
केवल समान क्रम के आव्यूहों का योग/घटाव संभव है।
आव्यूह गुणन में \( AB \) और \( BA \) सामान्यतः समान नहीं होते।
एकात्मिक आव्यूह (Identity Matrix) गुणन में न्यूट्रल एलिमेंट का कार्य करता है।
शून्य आव्यूह का गुणन किसी भी आव्यूह से करने पर शून्य आव्यूह ही प्राप्त होता है।
वर्ग आव्यूह का ट्रांसपोज भी वर्ग आव्यूह होता है।
स्केलर गुणन में हर तत्त्व को उस संख्या से गुणा किया जाता है।
यदि \( A \) का प्रतिलोम \( A^{-1} \) है, तो \( AA^{-1} = I \)।
आव्यूहों के अनुप्रयोग रेखीय समीकरणों में अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।
किसी भी आव्यूह में ट्रांसपोज, गुणन, एवं योग के लिए क्रम का ध्यान रखना आवश्यक है।
आव्यूहों का प्रयोग कंप्यूटर विज्ञान, सांख्यिकी, एवं भौतिकी में होता है।

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक (No.) | गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |---|---|---| | 1 | भिन्न क्रम के आव्यूहों का योग/घटाव करना | केवल समान क्रम के आव्यूहों का ही योग/घटाव संभव है | | 2 | \( AB = BA \) मान लेना | सामान्यतः \( AB \neq BA \) | | 3 | गुणन के लिए क्रम का ध्यान न रखना | गुणन के लिए पहले आव्यूह के स्तंभ = दूसरे के पंक्ति | | 4 | ट्रांसपोज में पंक्ति-स्तंभ गड़बड़ी | पंक्तियों को स्तंभ और स्तंभों को पंक्ति बनाना | | 5 | स्केलर गुणन में केवल एक तत्त्व को गुणा करना | सभी तत्त्वों को गुणा करना चाहिए | | 6 | प्रतिलोम तभी संभव है जब आव्यूह वर्ग और अद्वितीय (non-singular) हो | अन्यथा प्रतिलोम नहीं निकलेगा | | 7 | शून्य आव्यूह के साथ गुणन में गलत उत्तर | किसी भी आव्यूह के साथ शून्य आव्यूह का गुणन शून्य ही रहेगा | | 8 | योग/घटाव में स्थानानुसार तत्त्व न मिलाना | स्थानानुसार तत्त्वों का ही योग/घटाव करें | | 9 | यूनिट और स्केलर आव्यूह में भ्रम | यूनिट में विकर्ण तत्त्व 1, स्केलर में k | | 10 | रेखीय समीकरणों में आव्यूह रूपांतरण में गड़बड़ी | समीकरणों को सही क्रम में आव्यूह में लिखें |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1-मार्क प्रश्न (1-mark Questions)

\( 2 \times 3 \) क्रम के आव्यूह में कितने तत्त्व होंगे?

How many elements are there in a \( 2 \times 3 \) matrix?

शून्य आव्यूह क्या है?

What is a null/zero matrix?

\( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) का क्रम क्या है?

What is the order of the given matrix?

एकात्मिक आव्यूह का उदाहरण लिखिए।

Write an example of an identity matrix.

\( (AB)^{T} = ? \)

What is the transpose of a product of two matrices?

2-मार्क प्रश्न (2-mark Questions)

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ \end{bmatrix},\quadB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \] का योग ज्ञात कीजिए।

Find \( A + B \).

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix} \] का ट्रांसपोज ज्ञात कीजिए।

Find \( A^T \).

यूनिट आव्यूह क्या है? उदाहरण सहित समझाइए।

What is a unit matrix? Explain with example.

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \\ \end{bmatrix} \] का स्केलर गुणन \( 4A \) ज्ञात कीजिए।

Find \( 4A \).

दो आव्यूह कब समान होते हैं?

When are two matrices equal?

5-मार्क प्रश्न (5-mark Questions)

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix},\quadB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix} \] का गुणन \( AB \) ज्ञात कीजिए।

Find the product \( AB \).

निम्न समीकरणों को आव्यूह विधि से हल कीजिए -

\[ \begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ x - y = 1 \\ \end{cases} \]

Solve the equations using matrix method.

आव्यूहों के गुणन के गुणधर्म स्पष्ट कीजिए एवं उदाहरण दीजिए।

Explain properties of matrix multiplication with examples.

विकर्ण आव्यूह एवं स्केलर आव्यूह में अंतर स्पष्ट कीजिए।

Differentiate between diagonal and scalar matrices.

आव्यूह के अनुप्रयोग लिखिए।

Write applications of matrices.

नोट:

सभी परिभाषाएँ, उदाहरण एवं सूत्र NCERT और RBSE पैटर्न के अनुसार तैयार किए गए हैं।
बोर्ड परीक्षा की दृष्टि से सभी प्रमुख प्रश्नों को कवर किया गया है।
अभ्यास के लिए स्वयं भी प्रश्न हल करें एवं अवधारणाओं पर पकड़ मजबूत करें।

[End of Chapter Notes]

मुख्य बिंदु (Key Points)

आव्यूह संख्याओं का पंक्तियों और स्तम्भों में व्यवस्थित आयताकार रूप है।
आव्यूह का क्रम उसकी पंक्तियों और स्तम्भों की संख्या द्वारा m × n के रूप में दिया जाता है।
जिस आव्यूह में केवल एक पंक्ति हो, उसे पंक्ति आव्यूह तथा केवल एक स्तम्भ हो, तो उसे स्तम्भ आव्यूह कहते हैं।
जिस आव्यूह में पंक्तियों और स्तम्भों की संख्या बराबर हो (m = n), वह वर्ग आव्यूह कहलाता है।
वर्ग आव्यूह की प्रमुख विकर्ण में तत्त्व a_11, a_22, ..., a_nn होते हैं।
विकर्ण आव्यूह में केवल विकर्ण तत्त्व ही शून्य नहीं होते, शेष सभी तत्त्व शून्य होते हैं।
यदि विकर्ण आव्यूह के सभी विकर्ण तत्त्व समान हों, तो वह समांगी आव्यूह कहलाता है।
शून्य (शून्यक) आव्यूह में सभी तत्त्व शून्य होते हैं।
आव्यूहों का योग और अंतर केवल तब संभव है जब उनके क्रम समान हों।
दो आव्यूह A (क्रम m × n) और B (क्रम n × p) का गुणनफल तभी संभव है और परिणामी आव्यूह का क्रम m × p होगा।
आव्यूह का प्रतिलेख उसकी पंक्तियों और स्तम्भों की अदला-बदली करके प्राप्त होता है।
यदि किसी वर्ग आव्यूह A के लिए A × A = A हो, तो वह स्व-गुणित (Idempotent) आव्यूह कहलाता है।

Key Points

A matrix is a rectangular arrangement of numbers in rows and columns.
The order of a matrix is given by the number of rows and columns, written as m × n.
A matrix with only one row is called a row matrix, and with only one column is called a column matrix.
A square matrix has equal number of rows and columns (m = n).
The principal diagonal of a square matrix consists of elements a_11, a_22, ..., a_nn.
A diagonal matrix has all non-diagonal elements zero, and only diagonal elements may be non-zero.
A scalar matrix is a diagonal matrix with all diagonal elements equal.
A null (zero) matrix has all elements zero.
Addition and subtraction of matrices is possible only if their orders are the same.
The product of two matrices A (of order m × n) and B (of order n × p) is defined and results in a matrix of order m × p.
The transpose of a matrix is obtained by interchanging its rows and columns.
If a square matrix A satisfies A × A = A, then A is called an idempotent matrix.

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

दो आव्यूहों का योग तभी संभव है जब:

यदि A एक 2 × 3 आव्यूह है, तो उसके प्रतिलोम Aᵗ का क्रम क्या होगा?

निम्नलिखित में से कौन सा एक वर्ग आव्यूह है?

यदि A = [5], तो A क्या है?

एक आव्यूह जिसमें सभी तत्व शून्य हों, उसे क्या कहते हैं?

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आव्यूह lock

आव्यूह (Matrices) एक नज़र में: आव्यूह (Matrix) गणित की एक महत्वपूर्ण संकल्पना है, जिसका उपयोग अनेकों संख्याओं या संख्यात्मक मानों को एक विशेष क्रम में…

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