प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
Inverse Trigonometric Functions
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन (Inverse Trigonometric Functions)
एक नज़र में:
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन गणित में उन फलनों को कहते हैं जो त्रिकोणमितीय फलनों का उल्टा कार्य करते हैं अर्थात् वे कोण ज्ञात करने में सहायक होते हैं जब त्रिकोणमितीय फलन का मान ज्ञात हो। ये फलन गणित, भौतिकी, अभियांत्रिकी एवं अन्य क्षेत्रों में अत्यंत महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
Inverse Trigonometric Functions are those functions that reverse the effect of trigonometric functions; they help in finding angles when the value of a trigonometric function is known. These functions are highly important in mathematics, physics, engineering, and many other fields.
📌 अध्याय का परिचय (Introduction)
त्रिकोणमितीय फलन जैसे sin, cos, tan आदि वास्तविक संख्याओं को कोणों में बदलने के लिए प्रतिलोम फलनों (जैसे sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ आदि) का प्रयोग किया जाता है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की सहायता से हम किसी त्रिकोणमितीय फलन के मान से उसका कोण ज्ञात कर सकते हैं।
Trigonometric functions like sin, cos, tan, etc. have inverses (like sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹, etc.) to convert real numbers back into angles. With the help of inverse trigonometric functions, we can determine the angle from the value of a trigonometric function.
ये फलन मुख्यतः उच्चतर गणित, समाकलन, अवकलन, ज्यामिति, वेक्टर तथा भौतिकी आदि में अति उपयोगी हैं।
📖 मुख्य विषय-वस्तु (Major Topics)
1. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन की परिभाषा (Definition of Inverse Trigonometric Functions)
परिभाषा: यदि \( y = f(x) \) एक एक-एकी व सर्वांग सर्वसम्बन्ध फलन है, तो उसका प्रतिलोम फलन \( x = f^{-1}(y) \) कहलाता है।
If \( y = f(x) \) is a one-one and onto function, then its inverse function is denoted by \( x = f^{-1}(y) \).
त्रिकोणमितीय फलनों (जैसे sin x, cos x, tan x आदि) के लिए प्रतिलोम फलन निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किए जाते हैं:
- \( y = \sin^{-1} x \) का अर्थ है: वह कोण y (−π/2 ≤ y ≤ π/2) जिसके लिए \( \sin y = x \)
- \( y = \cos^{-1} x \) का अर्थ है: वह कोण y (0 ≤ y ≤ π) जिसके लिए \( \cos y = x \)
- \( y = \tan^{-1} x \) का अर्थ है: वह कोण y (−π/2 < y < π/2) जिसके लिए \( \tan y = x \)
- इसी प्रकार अन्य फलनों के लिए भी...
1.1 त्रिकोणमितीय फलन के प्रतिलोम की आवश्यकता (Need for Inverses)
त्रिकोणमितीय फलन एक-एकी (One-one) नहीं होते, अतः ये सर्वसम्बन्ध (Onto) भी नहीं होते। अतः हम इनका प्रतिलोम फलन परिभाषित करने के लिए उनके डोमेन व रेंज को सीमित करते हैं।
Trigonometric functions are not one-one, hence not onto either. To define their inverses, we restrict their domain and range.
2. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का डोमेन एवं रेंज (Domain and Range of Inverse Trigonometric Functions)
| फलन (Function) | डोमेन (Domain) | रेंज (Range) | |---------------------|----------------------|----------------------| | \( \sin^{-1} x \) | \( -1 \leq x \leq 1 \) | \( -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} \) | | \( \cos^{-1} x \) | \( -1 \leq x \leq 1 \) | \( 0 \leq y \leq \pi \) | | \( \tan^{-1} x \) | \( x \in ℝ \) | \( -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \) | | \( \cot^{-1} x \) | \( x \in ℝ \) | \( 0 < y < \pi \) | | \( \sec^{-1} x \) | \( |x| \geq 1 \) | \( 0 \leq y \leq \pi, y \neq \frac{\pi}{2} \) | | \( \cosec^{-1} x \) | \( |x| \geq 1 \) | \( -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}, y \neq 0 \) |
3. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के प्रमुख सूत्र (Principal Values and Formulas)
3.1 प्रमुख मान (Principal Value Branch)
प्रत्येक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का एक प्रमुख मान (Principal Value) होता है, जो उसकी रेंज में आता है।
Each inverse trigonometric function has a principal value in its defined range.
उदाहरण (Example): \( \sin^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6} \), क्योंकि \( \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2} \) और \( \frac{\pi}{6} \) मुख्य रेंज \( \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \) में आता है।
3.2 प्रमेय (Identities/Properties)
- \( \sin(\sin^{-1} x) = x, \quad x \in [-1, 1] \)
- \( \sin^{-1}(\sin x) = x, \quad x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right] \)
- \( \cos(\cos^{-1} x) = x, \quad x \in [-1, 1] \)
- \( \cos^{-1}(\cos x) = x, \quad x \in [0, \pi] \)
- \( \tan(\tan^{-1} x) = x, \quad x \in ℝ \)
- \( \tan^{-1}(\tan x) = x, \quad x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \)
- \( \sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x \)
- \( \cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x \)
- \( \tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x \)
- \( \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} \)
- \( \tan^{-1} x + \cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} \)
- \( \sec^{-1} x = \cos^{-1} \left( \frac{1}{x} \right),\ x \geq 1 \)
- \( \cosec^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{1}{x} \right),\ |x| \geq 1 \)
4. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के आलेख (Graphs of Inverse Trigonometric Functions)
4.1 \( y = \sin^{-1} x \)
- डोमेन: \( -1 \leq x \leq 1 \)
- रेंज: \( -\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2} \)
- वक्र (Curve): मूल बिंदु से होकर जाता है, एक-एकी व सांतत्य।
4.2 \( y = \cos^{-1} x \)
- डोमेन: \( -1 \leq x \leq 1 \)
- रेंज: \( 0 \leq y \leq \pi \)
4.3 \( y = \tan^{-1} x \)
- डोमेन: \( x \in ℝ \)
- रेंज: \( -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2} \)
- वक्र क्षैतिज रूप से सीमित है।
Students should practice drawing these graphs; they are frequently asked in exams.
5. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के योग/घटाव सूत्र (Addition/Subtraction Formulas)
5.1 \( \tan^{-1} x + \tan^{-1} y \)
यदि \( x y < 1 \), \( \tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) \)
5.2 \( \tan^{-1} x - \tan^{-1} y \)
यदि \( x y > -1 \), \( \tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x-y}{1+xy} \right) \)
5.3 अन्य सूत्र (Other Formulas)
- \( 2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1-x^2} \right),\ |x| < 1 \)
- \( 2 \sin^{-1} x = \sin^{-1} (2x \sqrt{1-x^2}) \), यदि \( -\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq \frac{1}{\sqrt{2}} \)
6. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मान ज्ञात करना (Finding Values)
उदाहरण 1 (Example 1):
Q. \( \sin^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = ? \)
उत्तर (Solution): \( \sin^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6} \) (क्योंकि \( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \) और \( \frac{\pi}{6} \) रेंज में है।)
उदाहरण 2 (Example 2):
Q. \( \tan^{-1}(1) = ? \)
उत्तर (Solution): \( \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \) (क्योंकि \( \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \))
7. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के संयोजन (Combinations)
उदाहरण 3 (Example 3):
Q. \( \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} \right) + \cos^{-1} \left( \frac{3}{5} \right) = ? \)
उत्तर (Solution): हम जानते हैं, \( \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} \) तो, \( \sin^{-1} \left( \frac{3}{5} \right) + \cos^{-1} \left( \frac{3}{5} \right) = \frac{\pi}{2} \)
8. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन (Differentiation of Inverse Trigonometric Functions)
| फलन (Function) | अवकलज (Derivative) | |----------------------------|--------------------------------------------------------| | \( y = \sin^{-1} x \) | \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) | | \( y = \cos^{-1} x \) | \( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \) | | \( y = \tan^{-1} x \) | \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2} \) | | \( y = \cot^{-1} x \) | \( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2} \) | | \( y = \sec^{-1} x \) | \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} \) | | \( y = \cosec^{-1} x \) | \( \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{|x| \sqrt{x^2-1}} \) |
9. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन (Integration of Inverse Trigonometric Functions)
| फलन (Function) | समाकल (Integral) | |----------------------------|---------------------------------------------------------------------| | \( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \) | \( \sin^{-1} x + C \) | | \( \int \frac{1}{1+x^2} dx \) | \( \tan^{-1} x + C \) | | \( \int \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} dx \) | \( \sec^{-1} x + C \) (x > 1) |
10. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अनुप्रयोग (Applications)
- त्रिभुजों में कोण ज्ञात करना:
जब भुजाओं के अनुपात ज्ञात हों, तब कोण ज्ञात करने के लिए।
- समाकलन व अवकलन में
जटिल फलनों के मान सरल करने में।
- भौतिकी, वेक्टर, इंजीनियरिंग में:
कोणीय वेग, दिशा, संवेग आदि के प्रश्नों में।
11. हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 4 (Example 4):
Q. सिद्ध कीजिए कि \( \tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right),\) यदि \( xy < 1 \)।
उत्तर (Solution): मान लीजिए \( \tan^{-1} x = \alpha \) और \( \tan^{-1} y = \beta \), तो \( x = \tan \alpha, y = \tan \beta \) तो, \( \tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \alpha + \beta \) अब, \( \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{x + y}{1 - xy} \) अतः \( \tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x + y}{1 - xy} \right) \)
उदाहरण 5 (Example 5):
Q. \( \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Solution): हमें ज्ञात है, \( \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \) तो, \( \sin^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\pi}{4} \)
उदाहरण 6 (Example 6):
Q. \( \cos^{-1}(-\frac{1}{2}) \) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Solution): \( \cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} \) रेंज \( [0, \pi] \) में \( \frac{2\pi}{3} \) आता है। इसलिए, \( \cos^{-1}(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3} \)
उदाहरण 7 (Example 7):
Q. यदि \( x = \sin^{-1} a \) और \( y = \cos^{-1} a \), तो \( x + y \) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Solution): \( \sin^{-1} a + \cos^{-1} a = \frac{\pi}{2} \)
उदाहरण 8 (Example 8):
Q. \( \tan^{-1} 3 + \tan^{-1} 2 \) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Solution): \( \tan^{-1} 3 + \tan^{-1} 2 = \tan^{-1} \left( \frac{3+2}{1-3 \cdot 2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{5}{-5} \right) = \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4} \)
उदाहरण 9 (Example 9):
Q. \( \sec^{-1} 2 \) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर (Solution): \( \sec y = 2 \Rightarrow y = \sec^{-1} 2 \) \( \cos y = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \cos^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{3} \) अतः, \( \sec^{-1} 2 = \frac{\pi}{3} \)
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)
- प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के लिए डोमेन व रेंज सीमित होती है।
- प्रत्येक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का एक प्रमुख मान (principal value) होता है।
- \( \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} \) सदैव सत्य है।
- \( \tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x + y}{1 - xy} \right) \) जब \( xy < 1 \)
- \( \tan^{-1} x - \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x - y}{1 + xy} \right) \) जब \( xy > -1 \)
- \( \sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x \) (प्रतिसममित)
- \( \cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x \)
- \( \tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1} x \)
- प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलज और समाकलन के सूत्र अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।
- इन फलनों का उपयोग उच्चतर गणित में कोण ज्ञात करने, समीकरण हल करने आदि में होता है।
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| गलती (Mistake) | स्पष्टीकरण (Explanation) | |----------------|--------------------------| | रेंज का गलत चयन | प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का उत्तर उसकी रेंज में ही होना चाहिए। (The answer must be in the principal value range.) | | \( \sin^{-1} x = \sin^{-1}(-x) \) मानना | गलत, क्योंकि \( \sin^{-1}(-x) = -\sin^{-1} x \) | | \( \cos^{-1}(-x) = -\cos^{-1} x \) मानना | गलत, सही है: \( \cos^{-1}(-x) = \pi - \cos^{-1} x \) | | योग/घटाव सूत्रों में डोमेन की जाँच न करना | \( \tan^{-1} x + \tan^{-1} y \) के लिए \( xy < 1 \) आवश्यक है। | | अवकलज/समाकलन के सूत्रों का गलत उपयोग | प्रत्येक सूत्र को उसके डोमेन के अनुसार ही प्रयोग करें। | | ग्राफ बनाते समय डोमेन व रेंज न दर्शाना | ग्राफ में डोमेन एवं रेंज सही दर्शाएँ। | | \( \sin^{-1}(1) = 90^\circ \) लिखना | उत्तर रेडियन में देना चाहिए: \( \frac{\pi}{2} \) | | मूल त्रिकोणमितीय फलन और प्रतिलोम के अर्थ में भ्रम | \( \sin^{-1} x \) का अर्थ \( \frac{1}{\sin x} \) नहीं, बल्कि \( \arcsin x \) है। | | प्रतिलोम फलनों के उत्तरों को डिग्री में लिखना | जब तक विशेष निर्देश न हो, उत्तर रेडियन में दें। |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)
1 अंक (1-Mark) प्रश्न
- \( \sin^{-1} 0 \) का मान लिखिए।
Ans: 0
- \( \cos^{-1} 1 \) का मान क्या है?
Ans: 0
- \( \tan^{-1} (-1) \) का मान क्या है?
(Ans: \( -\frac{\pi}{4} \) )
- \( \sin^{-1}(-\frac{1}{2}) \) का प्रमुख मान लिखिए।
(Ans: \( -\frac{\pi}{6} \) )
- \( \sec^{-1} 2 \) का मान क्या है?
(Ans: \( \frac{\pi}{3} \) )
2 अंक (2-Mark) प्रश्न
- सिद्ध कीजिए: \( \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2} \)
उत्तर: मान लीजिए \( \sin^{-1} x = \theta \), तो \( x = \sin \theta \) \( \cos^{-1} x = \cos^{-1} (\sin \theta) = \frac{\pi}{2} - \theta \) अतः, \( \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \theta + (\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{\pi}{2} \)
- \( \tan^{-1} 1 + \tan^{-1} 2 + \tan^{-1} 3 \) का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: \( \tan^{-1} 1 + \tan^{-1} 2 = \tan^{-1} \left( \frac{1+2}{1-1 \times 2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{3}{-1} \right) = \tan^{-1}(-3) \) अब, \( \tan^{-1}(-3) + \tan^{-1} 3 = 0 \) (क्योंकि \( \tan^{-1} x + \tan^{-1} (-x) = 0 \)) अतः, उत्तर = 0
- \( \sin^{-1} \left( -\frac{1}{2} \right) \) का मान लिखिए।
उत्तर: \( \sin^{-1} \left( -\frac{1}{2} \right) = -\sin^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6} \)
- यदि \( \cos^{-1} x = \frac{\pi}{3} \), तो x का मान ज्ञात कीजिए।
उत्तर: \( \cos^{-1} x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \)
- \( \tan(\tan^{-1} 2) \) का मान लिखिए।
उत्तर: \( \tan(\tan^{-1} 2) = 2 \)
5 अंक (5-Mark) प्रश्न
- \( \tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \tan^{-1} \left( \frac{x+y}{1-xy} \right) \) सिद्ध कीजिए, जब \( xy < 1 \)।
उत्तर:
Same as Example 4 above; detailed derivation expected.
- यदि \( \sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \frac{\pi}{2} \), तो सिद्ध कीजिए कि \( x^2 + y^2 = 1 \)।
Solution: मान लीजिए \( \sin^{-1} x = \alpha, \sin^{-1} y = \beta \), तो \( \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} \) \( x = \sin \alpha, y = \sin \beta \) \( \beta = \frac{\pi}{2} - \alpha \Rightarrow y = \sin \left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha \) अतः, \( x = \sin \alpha, y = \cos \alpha \) \( x^2 + y^2 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) सिद्ध हुआ।
- \( \sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \sin^{-1} [x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2}] \) जब \( x^2 + y^2 \leq 1 \) सिद्ध कीजिए।
Solution: मान लीजिए \( \sin^{-1} x = \alpha, \sin^{-1} y = \beta \) तो \( x = \sin \alpha, y = \sin \beta \) \( \sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \alpha + \beta \) \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \) \( = x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2} \) अतः, \( \sin^{-1} x + \sin^{-1} y = \sin^{-1} [x \sqrt{1-y^2} + y \sqrt{1-x^2}] \)
- \( \frac{d}{dx} \left[ \sin^{-1} x^2 \right] \) ज्ञात कीजिए।
Solution: \( y = \sin^{-1} x^2 \) \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(x^2)^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}} \)
- \( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \) का हल लिखिए।
Solution: \( \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \sin^{-1} x + C \)
समाप्त (End of Notes)
नोट: उपरोक्त सभी सूत्र, ग्राफ, सिद्धांत एवं उदाहरण परीक्षा हेतु अत्यंत महत्वपूर्ण हैं। प्रत्येक सूत्र, रेंज, डोमेन, प्रमुख मान (principal value) तथा योग-घटाव सूत्रों को भली-भांति अभ्यास करें।
All above formulas, graphs, theorems, and examples are extremely important for exams. Practice all formulas, ranges, domains, principal values, and addition-subtraction formulas thoroughly.
मुख्य बिंदु (Key Points)
- प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, मूल त्रिकोणमितीय फलनों (जैसे sin, cos, tan आदि) के प्रतिलोम होते हैं, जो उनकी मुख्य परिभाषा-क्षेत्रों में परिभाषित होते हैं।
- प्रत्येक प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन के लिए प्रमुख मान शाखा (principal value branch) चुनी जाती है, जिससे यह एकलमान और सुव्यवस्थित हो जाता है।
- arcsin(x) का परिभाषा-क्षेत्र [-1, 1] है और इसका मान-क्षेत्र (प्रमुख मान) [-π/2, π/2] है।
- arccos(x) का परिभाषा-क्षेत्र [-1, 1] है और इसका मान-क्षेत्र (प्रमुख मान) [0, π] है।
- arctan(x) का परिभाषा-क्षेत्र (-∞, ∞) है और इसका मान-क्षेत्र (प्रमुख मान) (-π/2, π/2) है।
- arccot(x) का परिभाषा-क्षेत्र (-∞, ∞) है और इसका मान-क्षेत्र (प्रमुख मान) (0, π) है।
- arcsec(x) का परिभाषा-क्षेत्र (-∞, -1] ∪ [1, ∞) है और इसका मान-क्षेत्र (प्रमुख मान) [0, π] है, π/2 को छोड़कर।
- arccosec(x) का परिभाषा-क्षेत्र (-∞, -1] ∪ [1, ∞) है और इसका मान-क्षेत्र (प्रमुख मान) [-π/2, π/2] है, 0 को छोड़कर।
- प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को sin⁻¹x, cos⁻¹x, tan⁻¹x आदि से दर्शाया जाता है।
- x ∈ [-1, 1] के लिए sin(sin⁻¹x) = x और y ∈ [-π/2, π/2] के लिए sin⁻¹(sin y) = y होता है।
- प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तिता (periodicity), सममिति (symmetry) जैसी महत्वपूर्ण विशेषताएँ होती हैं और ये विभिन्न समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।
- प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कलन (calculus), समीकरण हल करने तथा भौतिकी एवं अभियांत्रिकी जैसे क्षेत्रों में उपयोगी होते हैं।
Key Points
- The inverse trigonometric functions are the inverses of the basic trigonometric functions (sin, cos, tan, etc.) within their principal domains.
- The principal value branch is chosen for each inverse trigonometric function to make it single-valued and well-defined.
- The domain of arcsin(x) is [-1, 1] and its range (principal value) is [-π/2, π/2].
- The domain of arccos(x) is [-1, 1] and its range (principal value) is [0, π].
- The domain of arctan(x) is (-∞, ∞) and its range (principal value) is (-π/2, π/2).
- The domain of arccot(x) is (-∞, ∞) and its range (principal value) is (0, π).
- The domain of arcsec(x) is (-∞, -1] ∪ [1, ∞) and its range (principal value) is [0, π] except π/2.
- The domain of arccosec(x) is (-∞, -1] ∪ [1, ∞) and its range (principal value) is [-π/2, π/2] except 0.
- Inverse trigonometric functions are denoted as sin⁻¹x, cos⁻¹x, tan⁻¹x, etc.
- For x in [-1, 1], sin(sin⁻¹x) = x and for y in [-π/2, π/2], sin⁻¹(sin y) = y.
- Inverse trigonometric functions have important properties like periodicity, symmetry, and satisfy various identities.
- Inverse trigonometric functions are useful in calculus, solving equations, and in various fields such as physics and engineering.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
sin⁻¹(1/2) का प्रमुख मान है:
निम्नलिखित में से cos⁻¹(x) का परास (range) क्या है?
tan⁻¹(1) बराबर है:
sin⁻¹(-1) का मान है:
sin⁻¹(x) का परिभाग (domain) कौन सा है?
महत्वपूर्ण विषयपरक प्रश्न
अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
- \ का मान लिखिए। ( 1 अंक नोट्स
- \ का मान क्या है? ( 1 अंक नोट्स
- \ \) का मान क्या है? ( 1 अंक नोट्स
- \( \sin^{-1}(-\frac{1}{2}) \) का प्रमुख मान लिखिए। ( 1 अंक नोट्स
- \ का मान क्या है? ( 1 अंक नोट्स
लघु उत्तरीय प्रश्न
- सिद्ध कीजिए: 2 अंक नोट्स
- \ का मान ज्ञात कीजिए 2 अंक नोट्स
- \ \) का मान लिखिए 2 अंक नोट्स
- यदि \, तो x का मान ज्ञात कीजिए 2 अंक नोट्स
- \ \) का मान लिखिए 2 अंक नोट्स
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
- \ \) सिद्ध कीजिए, जब \ 5 अंक नोट्स
- यदि \, तो सिद्ध कीजिए कि \। Solution: मान लीजिए \, तो \ \ \ = \cos \alpha \) अतः, \ \ सिद्ध हुआ 5 अंक नोट्स
- \ जब \ सिद्ध कीजिए। Solution: मान लीजिए \ तो \ \ \ = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \) \ अतः, 5 अंक नोट्स
- \ ज्ञात कीजिए। Solution: \ \^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}} \) 5 अंक नोट्स
- \ का हल लिखिए। Solution: 5 अंक नोट्स
उत्तर कुंजी (Answer Key)
प्रश्न 1 का उत्तर
प्रश्न 2 का उत्तर
प्रश्न 3 का उत्तर
प्रश्न 4 का उत्तर
प्रश्न 5 का उत्तर
प्रश्न 6 का उत्तर
प्रश्न 7 का उत्तर
प्रश्न 8 का उत्तर
प्रश्न 9 का उत्तर
प्रश्न 10 का उत्तर
प्रश्न 11 का उत्तर
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