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RBSE कक्षा 12 गणित महत्वपूर्ण प्रश्न

RBSE कक्षा 12 गणित के महत्वपूर्ण प्रश्न — परीक्षा में बार-बार पूछे जाने वाले विषयपरक व कठिन प्रश्न, उत्तर सहित।

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महत्वपूर्ण विषयपरक प्रश्न

अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)

  1. अवकल समीकरण क्या है? 1 अंक नोट्स
  2. \ का मान लिखिए। ( 1 अंक नोट्स
  3. \ का मान क्या है? ( 1 अंक नोट्स
  4. \ का क्रम एवं डिग्री लिखिए। .) 1 अंक नोट्स
  5. \ \) का मान क्या है? ( 1 अंक नोट्स
  6. समीकरण \ में कौन सी हल की विधि लागू होगी? ?) 1 अंक नोट्स
  7. \( \sin^{-1}(-\frac{1}{2}) \) का प्रमुख मान लिखिए। ( 1 अंक नोट्स
  8. \ का मान क्या है? ( 1 अंक नोट्स

लघु उत्तरीय प्रश्न

  1. \ का अवकल समीकरण बनाईए। .) 2 अंक नोट्स
  2. \ का सामान्य हल लिखिए। .) 2 अंक नोट्स
  3. सिद्ध कीजिए: 2 अंक नोट्स
  4. \ का हल लिखिए, जब \(y(1) = 2\)। , given \(y(1) = 2\).) 2 अंक नोट्स
  5. \ का मान ज्ञात कीजिए 2 अंक नोट्स
  6. \ \) का मान लिखिए 2 अंक नोट्स
  7. यदि \, तो x का मान ज्ञात कीजिए 2 अंक नोट्स
  8. \ \) का मान लिखिए 2 अंक नोट्स

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

  1. समीकरण \ को हल कीजिए। .) 5 अंक नोट्स
  2. समीकरण बनाएँ, जिसका सामान्य हल \ है। .) 5 अंक नोट्स
  3. समीकरण \dx + dy = 0\) को हल कीजिए। dx + dy = 0\).) 5 अंक नोट्स
  4. \ को हल कीजिए। .) 5 अंक नोट्स
  5. \ \) सिद्ध कीजिए, जब \ 5 अंक नोट्स
  6. एक मिश्रण पात्र में आरंभ में 100 लीटर जल है। इसमें प्रति मिनट 5 लीटर जल 2 ग्राम/लीटर सांद्रता के साथ डाला जा रहा है तथा उतनी ही दर से मिश्रण बाहर निकाला जा रहा है। पात्र में t मिनट बाद नमक की मात्रा ज्ञात कीजिए 5 अंक नोट्स
  7. यदि \, तो सिद्ध कीजिए कि \। Solution: मान लीजिए \, तो \ \ \ = \cos \alpha \) अतः, \ \ सिद्ध हुआ 5 अंक नोट्स
  8. \ जब \ सिद्ध कीजिए। Solution: मान लीजिए \ तो \ \ \ = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \) \ अतः, 5 अंक नोट्स
  9. \ ज्ञात कीजिए। Solution: \ \^2}} \cdot 2x = \frac{2x}{\sqrt{1-x^4}} \) 5 अंक नोट्स
  10. \ का हल लिखिए। Solution: 5 अंक नोट्स

कठिन वस्तुनिष्ठ प्रश्न

कठिन वस्तुनिष्ठ प्रश्न

एक डिब्बे में 4 दोषपूर्ण और 6 निर्दोष बल्ब हैं। बिना वापसी के दो बल्ब यादृच्छया निकाले जाते हैं। दोनों के दोषपूर्ण होने की प्रायिकता क्या है?

  1. 2/15
  2. 3/25
  3. 1/15
  4. 4/45
उत्तर देखें
सही उत्तर: 2/15

पहला दोषपूर्ण: 4/10, दूसरा: 3/9। प्रायिकता = (4/10)(3/9) = 12/90 = 2/15।

यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, तो P(A ∪ B) क्या होगी?

  1. 0.58
  2. 0.5
  3. 0.7
  4. 0.12
उत्तर देखें
सही उत्तर: 0.58

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B) = 0.3 + 0.4 - 0.12 = 0.58।

A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1) शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

  1. √3/2
  2. √2
  3. 1
  4. 1/2
उत्तर देखें
सही उत्तर: √3/2

क्षेत्रफल = (1/2)|AB × AC| = (1/2)√3 = √3/2।

यदि A और B दोनों के घटित होने की प्रायिकता 0.15 है तथा B की प्रायिकता 0.3 है, तो B के घटित होने पर A की प्रायिकता क्या होगी?

  1. 0.5
  2. 0.15
  3. 0.3
  4. 0.45
उत्तर देखें
सही उत्तर: 0.5

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.15/0.3 = 0.5।

एक थैले में 5 सफेद, 4 काले और 3 लाल गेंदें हैं। यादृच्छया एक गेंद निकाली जाती है। उसके काली न होने की प्रायिकता क्या है?

  1. 2/3
  2. 1/2
  3. 3/4
  4. 5/12
उत्तर देखें
सही उत्तर: 2/3

कुल गेंदें = 12, काली नहीं = 8। प्रायिकता = 8/12 = 2/3।

यदि P(A) = 0.7, P(B) = 0.6, तथा P(A ∩ B) = 0.3, तो P(A|B) क्या होगा?

  1. 0.6
  2. 0.5
  3. 0.3
  4. 1.0
उत्तर देखें
सही उत्तर: 0.5

P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B) = 0.3/0.6 = 0.5।

यदि ताश की गड्डी से बिना वापसी के दो पत्ते निकाले जाएँ, तो दोनों के इक्का (Ace) होने की प्रायिकता क्या है?

  1. 1/1326
  2. 1/221
  3. 1/663
  4. 1/169
उत्तर देखें
सही उत्तर: 1/221

पहला इक्का: 4/52, दूसरा: 3/51। प्रायिकता = (4/52)×(3/51) = 1/221।

किसी LPP का द्वैतीय क्या होता है?

  1. मूल LPP से प्राप्त अन्य LPP
  2. बंध रहित तंत्र
  3. द्विघात प्रोग्रामन समस्या
  4. अ-रैखिक प्रोग्रामन समस्या
उत्तर देखें
सही उत्तर: मूल LPP से प्राप्त अन्य LPP

द्वैतीय मूल LPP से प्राप्त अन्य रैखिक प्रोग्रामन समस्या होती है।

LPP: Z = 4x + 3y अधिकतम करें, बंध: x + 2y ≤ 8, x + y ≤ 6, x ≥ 0, y ≥ 0, (2,3) पर Z का मान क्या होगा?

  1. 10
  2. 18
  3. 17
  4. 12
उत्तर देखें
सही उत्तर: 17

Z = 4×2 + 3×3 = 8 + 9 = 17।

\( \int \frac{dx}{x \ln x} \) का मान ज्ञात करें।

  1. arctan x + C
  2. 1/x + C
  3. ln|\ln x| + C
  4. ln x + C
उत्तर देखें
सही उत्तर: ln|\ln x| + C

t = ln x रखें; dt = dx/x; समाकलन ln|t| + C = ln|ln x| + C होता है।

\( \int e^{x^2} dx \) का मान ज्ञात करें।

  1. x e^{x^2} + C
  2. कोई प्राथमिक फलन नहीं
  3. e^{x^2} + C
  4. 2x e^{x^2} + C
उत्तर देखें
सही उत्तर: कोई प्राथमिक फलन नहीं

इस समाकलन का कोई प्राथमिक फलन नहीं है।

निम्न में से कौन सा LPP के लिए आवश्यक नहीं है?

  1. सभी बंध समीकरण होने चाहिए
  2. सभी चर गैर-ऋणात्मक होने चाहिए
  3. लक्ष्य फलन रैखिक होना चाहिए
  4. सभी बंध रैखिक होने चाहिए
उत्तर देखें
सही उत्तर: सभी बंध समीकरण होने चाहिए

बंध असमानताएँ भी हो सकते हैं, समीकरण होना आवश्यक नहीं।

यदि a, b, c समतलीय हैं, तो a · (b × c) का मान है:

  1. 0
  2. 1
  3. b
  4. a
उत्तर देखें
सही उत्तर: 0

समतलीय सदिशों के लिए स्केलर त्रैतीय गुणनफल शून्य होता है।

(i + j) × (i - j) का मान है:

  1. k
  2. 2k
  3. -2k
  4. 0
उत्तर देखें
सही उत्तर: 2k

(i + j) × (i - j) = i×i - i×j + j×i - j×j = 0 - k + k - 0 = 0।

यदि R, A पर समतुल्य संबंध है, तो R के समतुल्यता वर्ग (equivalence classes):

  1. परस्पर अपवर्ती (disjoint) होते हैं
  2. आवृत होते हैं
  3. केवल A के कुछ भाग को ढँकते हैं
  4. रिक्त हो सकते हैं
उत्तर देखें
सही उत्तर: परस्पर अपवर्ती (disjoint) होते हैं

समतुल्यता वर्ग समुच्चय को परस्पर अपवर्ती उपसमुच्चयों में विभाजित करते हैं।

उत्तर कुंजी (Answer Key)

प्रश्न 2 का उत्तर
0)
प्रश्न 3 का उत्तर
0)
प्रश्न 5 का उत्तर
\( -\frac{\pi}{4} \) )
प्रश्न 7 का उत्तर
\( -\frac{\pi}{6} \) )
प्रश्न 8 का उत्तर
\( \frac{\pi}{3} \) )
प्रश्न 11 का उत्तर
मान लीजिए \( \sin^{-1} x = \theta \), तो \( x = \sin \theta \) \( \cos^{-1} x = \cos^{-1} (\sin \theta) = \frac{\pi}{2} - \theta \) अतः, \( \sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \theta + (\frac{\pi}{2} - \theta) = \frac{\pi}{2} \)
प्रश्न 13 का उत्तर
\( \tan^{-1} 1 + \tan^{-1} 2 = \tan^{-1} \left( \frac{1+2}{1-1 \times 2} \right) = \tan^{-1} \left( \frac{3}{-1} \right) = \tan^{-1}(-3) \) अब, \( \tan^{-1}(-3) + \tan^{-1} 3 = 0 \) (क्योंकि \( \tan^{-1} x + \tan^{-1} (-x) = 0 \)) अतः, उत्तर = 0
प्रश्न 14 का उत्तर
\( \sin^{-1} \left( -\frac{1}{2} \right) = -\sin^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6} \)
प्रश्न 15 का उत्तर
\( \cos^{-1} x = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \)
प्रश्न 16 का उत्तर
\( \tan(\tan^{-1} 2) = 2 \)
प्रश्न 21 का उत्तर
(Same as Example 4 above; detailed derivation expected.)

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