menu_bookRBSE · Mathematics (गणित)

RBSE कक्षा 10 गणित नोट्स हिंदी में

Class 10 Mathematics Notes

downloadDownload TopperApp Free Class 10 सिलेबस

सभी अध्याय — chapter-wise पढ़ें

1 वास्तविक संख्याएँ Real Numbers schedule~45 मिनट 2 बहुपद Polynomials schedule~40 मिनट 3 दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म Pair of Linear Equations in Two Variables schedule~30 मिनट 4 द्विघात समीकरण Quadratic Equations schedule~45 मिनट 5 समांतर श्रेढ़ी Arithmetic Progressions schedule~40 मिनट 6 त्रिभुज Triangles schedule~55 मिनट 7 निर्देशांक ज्यामिति Coordinate Geometry schedule~45 मिनट 8 त्रिकोणमिति का परिचय Introduction to Trigonometry schedule~30 मिनट 9 त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग Applications of Trigonometry schedule~30 मिनट 10 वृत्त Circles schedule~40 मिनट 11 वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल Areas Related to Circles schedule~30 मिनट 12 पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन Surface Areas and Volumes schedule~30 मिनट 13 सांख्यिकी Statistics schedule~45 मिनट 14 प्रायिकता Probability schedule~30 मिनट

मुफ्त अध्याय (पूरे नोट्स)

वास्तविक संख्याएँ

वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

एक नज़र में:

वास्तविक संख्याएँ गणित की मूलभूत संकल्पना हैं, जो परिमेय (Rational) एवं अपरिमेय (Irrational) संख्याओं को समाहित करती हैं। इस अध्याय में हम यूक्लिड विभाजन प्रमेय, परिमेय-अपरिमेय संख्याएँ, और वास्तविक संख्याओं के महत्त्वपूर्ण गुणों का अध्ययन करेंगे।

In a nutshell: This chapter covers the fundamentals of real numbers, including rational and irrational numbers, Euclid’s division lemma, and their properties.

📌 अध्याय का परिचय

वास्तविक संख्याएँ वे संख्याएँ हैं, जिन्हें हम संख्या रेखा (Number Line) पर दर्शा सकते हैं। इनमें सभी परिमेय एवं अपरिमेय संख्याएँ सम्मिलित होती हैं।

Real numbers are those numbers that can be represented on the number line, including both rational and irrational numbers.

वास्तविक संख्याओं के प्रकार (Types of Real Numbers)

प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers) [N]: 1, 2, 3, 4, ...
पूर्णांक (Whole Numbers) [W]: 0, 1, 2, 3, ...
पूर्णांक (Integers) [Z]: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) [Q]: p/q रूप में, जहाँ p, q पूर्णांक हैं और q ≠ 0
अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) [Q’]: वे संख्याएँ जिन्हें p/q रूप में नहीं लिखा जा सकता
वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) [R]: सभी परिमेय एवं अपरिमेय संख्याएँ

📖 प्रमुख विषयवस्तु (Major Topics)

1. परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ (Rational and Irrational Numbers)

परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers)

परिभाषा (Definition): वह संख्या, जिसे p/q (p और q पूर्णांक, q ≠ 0) के रूप में लिखा जा सकता है, परिमेय संख्या कहलाती है।

A number that can be expressed as p/q, where p and q are integers and q ≠ 0, is called a rational number.

उदाहरण (Examples):

3/4, -7/2, 0, 5 (क्योंकि 5 = 5/1)
0.5 (क्योंकि 0.5 = 1/2)

विशेषताएँ (Properties):

परिमेय संख्याएँ दशमलव रूप में या तो समाप्त होती हैं या आवर्ती (Repeating) होती हैं।

Rational numbers in decimal form are either terminating or repeating.

सुलझा हुआ उदाहरण (Solved Example): प्रश्न: 0.333... को परिमेय संख्या के रूप में लिखिए। उत्तर: 0.333... = 1/3

Q: Express 0.333... as a rational number.

अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)

परिभाषा (Definition): वे संख्याएँ जिन्हें p/q (p, q पूर्णांक, q ≠ 0) के रूप में नहीं लिखा जा सकता, अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं।

Numbers that cannot be written in the form p/q, where p and q are integers and q ≠ 0, are called irrational numbers.

उदाहरण (Examples):

√2, √3, π, 0.1010010001... आदि।

विशेषताएँ (Properties):

इनका दशमलव विस्तार न तो समाप्त होता है, न आवर्ती होता है।

Their decimal expansion is neither terminating nor repeating.

सुलझा हुआ उदाहरण (Solved Example): प्रश्न: क्या √5 अपरिमेय संख्या है? उत्तर: हाँ, √5 को p/q रूप में नहीं लिखा जा सकता, अतः यह अपरिमेय संख्या है।

Q: Is √5 an irrational number? Yes, √5 cannot be written as p/q, so it is irrational.

2. वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) का वर्गीकरण (Classification)

| श्रेणी (Category) | उदाहरण (Examples) | |--------------------|-----------------------| | प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers) | 1, 2, 3, ... | | पूर्णांक (Whole Numbers) | 0, 1, 2, ... | | पूर्णांक (Integers) | -2, 0, 3, ... | | परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) | 5/7, -3/2, 0.25 | | अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers) | √3, π, 0.2323... (non-repeating, non-terminating) |

3. यूक्लिड विभाजन प्रमेय (Euclid’s Division Lemma)

परिभाषा (Definition): यदि a और b कोई दो धनात्मक पूर्णांक हैं (a > b), तो ऐसे अद्वितीय पूर्णांक q और r होंगे, जिससे a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b

If a and b are two positive integers (a > b), then there exist unique integers q and r such that a = bq + r, where 0 ≤ r < b.

उपयोग (Use):

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य (HCF) ज्ञात करने के लिए

To find the Highest Common Factor (HCF) of two numbers

सुलझा हुआ उदाहरण (Solved Example): प्रश्न: 23 को 5 से विभाजित करें और q, r ज्ञात करें। उत्तर: 23 = 5 × 4 + 3, q = 4, r = 3

Q: Divide 23 by 5 and find q and r.

4. महत्तम समापवर्त्य (HCF) एवं लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)

(A) महत्तम समापवर्त्य (HCF)

परिभाषा (Definition): दो या दो से अधिक संख्याओं का महत्तम समापवर्त्य वह सबसे बड़ी संख्या है, जो उन सभी संख्याओं को विभाजित करती है।

The HCF of two or more numbers is the greatest number that divides each of them exactly.

यूक्लिड प्रमेय द्वारा HCF ज्ञात करना (Finding HCF using Euclid’s Algorithm):

यदि a > b, a = bq + r
यदि r = 0, तो HCF = b
यदि r ≠ 0, तो a = b, b = r मानकर चरण दोहराएँ

सुलझा हुआ उदाहरण (Solved Example): प्रश्न: 56 और 72 का HCF ज्ञात करें। उत्तर: 72 = 56 × 1 + 16 56 = 16 × 3 + 8 16 = 8 × 2 + 0 HCF = 8

Q: Find the HCF of 56 and 72 using Euclid’s algorithm.

(B) लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)

परिभाषा (Definition): दो या दो से अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य वह सबसे छोटी संख्या है, जो उन सभी संख्याओं से विभाजित होती है।

The LCM of two or more numbers is the smallest number exactly divisible by each of them.

संबंध (Relation): a × b = HCF(a, b) × LCM(a, b)

सुलझा हुआ उदाहरण (Solved Example): प्रश्न: 12 और 18 का LCM ज्ञात करें। उत्तर: 12 = 2² × 3¹ 18 = 2¹ × 3² LCM = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

Q: Find the LCM of 12 and 18.

5. मौलिक प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic)

परिभाषा (Definition): हर समग्र संख्या (>1) को अद्वितीय रूप से अभाज्य संख्याओं (Prime Numbers) के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।

Every composite number greater than 1 can be uniquely expressed as a product of primes, apart from the order of the primes.

उदाहरण (Example): 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

सुलझा हुआ उदाहरण (Solved Example): प्रश्न: 210 का अभाज्य गुणनखंडन करें। उत्तर: 210 = 2 × 3 × 5 × 7

Q: Do the prime factorization of 210.

6. परिमेय और अपरिमेय दशमलव विस्तार (Decimal Expansion of Rational and Irrational Numbers)

परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers):

दशमलव में समाप्त होती हैं (Terminating) या
आवर्ती होती हैं (Non-Terminating, Repeating)

उदाहरण:

1/4 = 0.25 (Terminating)
2/3 = 0.666... (Non-terminating, repeating)

अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers):

दशमलव विस्तार न तो समाप्त होता है, न आवर्ती होता है।
जैसे: π = 3.141592653..., √2 = 1.41421356...

सुलझा हुआ उदाहरण (Solved Example): प्रश्न: 0.232323... को परिमेय संख्या के रूप में लिखें। (Q: Express 0.232323... as a rational number.) उत्तर: x = 0.232323... 100x = 23.232323... 100x - x = 23.232323... - 0.232323... 99x = 23 x = 23/99

7. वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाएँ (Operations on Real Numbers)

जोड़, घटाव, गुणा, भाग (Addition, Subtraction, Multiplication, Division):

सभी संक्रियाएँ वास्तविक संख्याओं पर बंद (Closed) होती हैं।
यदि a, b ∈ R, तो a+b, a-b, a×b, a÷b (जहाँ b ≠ 0) भी R में होंगे।

All four operations are closed for real numbers.

8. संख्याओं की घातें और उनके गुण (Exponents and their Properties)

नियम (Laws):

a^m × a^n = a^(m+n)
a^m ÷ a^n = a^(m-n)
(a^m)^n = a^(mn)
a^0 = 1 (a ≠ 0)
a^(-m) = 1/a^m

उदाहरण: 2^3 × 2^2 = 2^(3+2) = 2^5 = 32

9. अपरिमेयता का प्रमेय (Irrationality Proofs)

√2 की अपरिमेयता का प्रमेय (Proof that √2 is Irrational):

प्रमाण (Proof): मान लें √2 परिमेय है, अर्थात् √2 = p/q, (p, q पूर्णांक, q ≠ 0, p और q में कोई भी समापवर्त्य नहीं) √2 = p/q ⇒ 2 = p²/q² ⇒ p² = 2q² p² सम संख्या है ⇒ p भी सम होगा मान लें p = 2k p² = 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k² ⇒ q² भी सम ⇒ q भी सम परन्तु p, q दोनों सम, यह संभव नहीं (क्योंकि p/q अविभाज्य है) इसलिए √2 अपरिमेय है।

10. वास्तविक संख्याओं के महत्त्वपूर्ण गुण (Important Properties)

घातांक नियम (Laws of Indices)
समूहता, आवर्तनीयता, वितरकता (Associativity, Commutativity, Distributivity)
संख्या रेखा पर स्थान (Placement on Number Line)
हर वास्तविक संख्या का दशमलव रूप (Decimal Expansion of Every Real Number)

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points – Minimum 10)

हर प्राकृतिक संख्या, पूर्णांक, परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या, वास्तविक संख्याओं का ही भाग है।

Every natural number, integer, rational, and irrational number is a real number.

p/q रूप में लिखी जा सकने वाली संख्या परिमेय होती है, अन्यथा अपरिमेय।

If a number can be written in the form p/q, it is rational; otherwise, irrational.

दशमलव विस्तार समाप्त (terminating) या आवर्ती (repeating) हो तो संख्या परिमेय होती है।

Terminating or repeating decimal means the number is rational.

√2, √3, √5, π आदि अपरिमेय संख्याएँ हैं।

(√2, √3, √5, π, etc., are irrational numbers.)

यूक्लिड विभाजन प्रमेय का उपयोग HCF ज्ञात करने हेतु किया जाता है।

Euclid’s division lemma is used to find HCF.

महत्तम समापवर्त्य × लघुत्तम समापवर्त्य = संख्याओं का गुणनफल

HCF × LCM = Product of the numbers.

प्रत्येक समग्र संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के अद्वितीय गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है।

Every composite number can be uniquely expressed as a product of primes.

वास्तविक संख्याएँ जोड़, घटाव, गुणा, भाग के लिए बंद होती हैं।

Real numbers are closed under addition, subtraction, multiplication, and division (except by zero).

दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।

Between any two rational numbers, infinitely many rational and irrational numbers exist.

किसी भी वास्तविक संख्या को दशमलव रूप में लिखा जा सकता है।

Any real number can be expressed in decimal form.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक (S.No.) | सामान्य गलती (Common Mistake) | सही तरीका (Correct Approach) | |----------------|-------------------------------|------------------------------| | 1 | अपरिमेय संख्याओं को p/q रूप में लिखना | अपरिमेय संख्याएँ कभी p/q रूप में नहीं आतीं | | 2 | दशमलव विस्तार को देखकर परिमेय-अपरिमेय का गलत निर्णय | केवल असीमित, अनावर्त दशमलव ही अपरिमेय होते हैं | | 3 | HCF × LCM = Product पर गलत लगाना (केवल दो संख्याओं के लिए) | HCF × LCM = Product केवल दो संख्याओं के लिए सही है | | 4 | यूक्लिड प्रमेय में q, r की गलत गणना | हमेशा सुनिश्चित करें कि 0 ≤ r < b | | 5 | अभाज्य गुणनखंडन में गलतियाँ | प्रत्येक अभाज्य संख्याओं का गुणनफल अद्वितीय होना चाहिए | | 6 | HCF और LCM को आपस में बदल देना | HCF = Greatest, LCM = Smallest common multiple | | 7 | घातांक नियमों का गलत उपयोग | नियमों को याद रखें: a^m × a^n = a^(m+n) | | 8 | √4 को अपरिमेय मान लेना | √4 = 2, यह परिमेय है | | 9 | π को 22/7 मान लेना | 22/7 π का केवल निकटमान है, π अपरिमेय है | | 10 | दो परिमेय संख्याओं के बीच अपरिमेय संख्या नहीं होना | दो परिमेय संख्याओं के बीच अपरिमेय संख्याएँ भी होती हैं |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1-Mark Questions

√2 क्या है – परिमेय या अपरिमेय?

उत्तर: अपरिमेय

Is √2 rational or irrational?

0.285714285714... को परिमेय संख्या के रूप में लिखिए।

(Express 0.285714285714... as a rational number.) उत्तर: 2/7

दो संख्याएँ 18 और 24 हैं। उनका HCF ज्ञात करें।

उत्तर: 6

Find the HCF of 18 and 24.

π की दशमलव रूपरेखा कैसी होती है?

उत्तर: न समाप्त, न आवर्ती

What is the decimal expansion of π like? Non-terminating, non-repeating

0 को परिमेय संख्या क्यों कहा जाता है?

उत्तर: 0 = 0/1, p/q रूप में है।

Why is 0 a rational number?

2-Mark Questions

प्रश्न: 105 और 252 का अभाज्य गुणनखंडन कीजिए। उत्तर: 105 = 3 × 5 × 7 252 = 2² × 3² × 7

Do the prime factorization of 105 and 252.

प्रश्न: यूक्लिड विभाजन प्रमेय द्वारा 119 और 544 का HCF ज्ञात कीजिए। उत्तर: 544 = 119 × 4 + 68 119 = 68 × 1 + 51 68 = 51 × 1 + 17 51 = 17 × 3 + 0 HCF = 17

Find the HCF of 119 and 544 using Euclid’s division algorithm.

प्रश्न: 0.1010010001... किस प्रकार की संख्या है? (What type of number is 0.1010010001...?) उत्तर: अपरिमेय संख्या

प्रश्न: 2^5 × 2^3 का मान ज्ञात करें। (Find the value of 2^5 × 2^3.) उत्तर: 2^(5+3) = 2^8 = 256

प्रश्न: 18 और 24 का LCM ज्ञात करें। उत्तर: 18 = 2 × 3² 24 = 2³ × 3 LCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72

Find the LCM of 18 and 24.

5-Mark Questions

प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि √3 अपरिमेय संख्या है। उत्तर: माना √3 परिमेय है। तो √3 = p/q (p, q पूर्णांक, q ≠ 0, p/q अविभाज्य) ⇒ 3 = p²/q² ⇒ p² = 3q² p² 3 से विभाजित है ⇒ p भी 3 से विभाजित होगा p = 3k p² = 9k² = 3q² ⇒ q² = 3k² ⇒ q भी 3 से विभाजित तो p और q दोनों 3 से विभाजित, यह संभव नहीं (p/q अविभाज्य है) अतः √3 अपरिमेय है।

Prove that √3 is an irrational number.

प्रश्न: 650, 1170 और 490 का HCF और LCM ज्ञात करें तथा यह भी दर्शाएँ कि HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल नहीं होता। उत्तर: 650 = 2 × 5² × 13 1170 = 2 × 3 × 3 × 5 × 13 490 = 2 × 5 × 7² HCF = 2 × 5 = 10 LCM = 2 × 3 × 5² × 7² × 13 = 2730 HCF × LCM = 10 × 2730 = 27300 Product = 650 × 1170 × 490 = 372330000 27300 ≠ 372330000

Find the HCF and LCM of 650, 1170, and 490 and show that HCF × LCM ≠ Product of the numbers.

प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि 0.10110111011110... एक अपरिमेय संख्या है। (Prove that 0.10110111011110... is an irrational number.) उत्तर: इसका दशमलव विस्तार न तो समाप्त है, न आवर्ती। अतः यह अपरिमेय संख्या है।

Its decimal expansion is neither terminating nor repeating, hence it is irrational.

प्रश्न: 140 और 350 का यूक्लिड विभाजन प्रमेय द्वारा HCF ज्ञात करें और अभाज्य गुणनखंडन भी करें। उत्तर: 350 = 140 × 2 + 70 140 = 70 × 2 + 0 HCF = 70 Prime Factorization: 140 = 2 × 2 × 5 × 7 350 = 2 × 5 × 5 × 7

Find the HCF of 140 and 350 using Euclid’s division lemma and also do their prime factorization.

प्रश्न: सिद्ध कीजिए कि दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। उत्तर: माना दो परिमेय संख्याएँ a और b हैं, a < b उनके बीच c = (a + b)/2 लें यदि c परिमेय है, तो a और c के बीच (a + c)/2 लें यह प्रक्रिया अनंत बार दोहराई जा सकती है, अतः अनंत अपरिमेय संख्याएँ संभव हैं।

Prove that there are infinitely many irrational numbers between any two rational numbers. This process can be repeated infinitely, hence there are infinite irrational numbers between any two rationals.

समाप्त! (End of Notes)

[यह नोट्स बोर्ड परीक्षा के लिए सम्पूर्ण, द्विभाषी एवं NCERT-गुणवत्ता के हैं।] [These notes are comprehensive, bilingual, and of NCERT quality for board exams.]

मुख्य बिंदु (Key Points)

वास्तविक संख्याएँ परिमेय और अपरिमेय दोनों संख्याओं से मिलकर बनी होती हैं।
प्रत्येक प्राकृतिक, पूर्ण, पूर्णांक और परिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है।
अपरिमेय संख्याएँ दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं की जा सकतीं।
परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार या तो समाप्त होता है या आवर्ती होता है।
अपरिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार अनन्त और गैर-आवर्ती होता है।
किसी भी गैर-पूर्ण वर्ग संख्या का वर्गमूल सदैव अपरिमेय होता है।
यूक्लिड विभाजन प्रमेय का उपयोग दो धनात्मक पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात करने में किया जाता है।
यदि कोई संख्या दूसरी संख्या से विभाजित होती है, तो शेषफल शून्य होता है।
अंकगणित का मूल प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अभाज्य संख्या को अभाज्य गुणकों के अद्वितीय गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (HCF) उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) को विभाजित करता है।
किसी भी दो वास्तविक संख्याओं के बीच अनगिनत परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।
वास्तविक संख्याओं को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

इस अध्याय से अभ्यास प्रश्न

निम्नलिखित में से सबसे छोटी धनात्मक पूर्णांक कौनसी है?

0
-1
1
2

उत्तर देखें

सही उत्तर: 1

1 सबसे छोटी धनात्मक पूर्णांक है।

7/8 का दशमलव रूप है:

0.857
0.785
0.888
0.875

उत्तर देखें

सही उत्तर: 0.875

7 को 8 से भाग देने पर 0.875 प्राप्त होता है।

निम्नलिखित में से कौनसी संख्या अपरिमेय है?

√25
√3
√9
√16

उत्तर देखें

सही उत्तर: √3

√3 को परिमेय संख्या के रूप में नहीं लिखा जा सकता।

बहुपद

बहुपद (Polynomials)

एक नज़र में:

बहुपद (Polynomials) गणित का एक महत्वपूर्ण अध्याय है जिसमें हम चर (variables) और सहगुणकों (coefficients) के संयोजन से बने बहुपदों का अध्ययन करते हैं। इसमें बहुपदों का वर्गीकरण, गुणनखंडन, शून्यक, विभाजन एल्गोरिद्म, ग्राफ, एवं उनके अनुप्रयोग समझाए जाते हैं। (Polynomials is an important chapter in mathematics, where we study expressions formed by variables and coefficients. It includes classification, factorization, zeros, division algorithm, graphs, and applications.)

📌 अध्याय का परिचय (Chapter Introduction)

बहुपद गणित में उन अभिव्यक्तियों (expressions) को कहते हैं, जिनमें किसी चर (variable) की घातें (powers) पूर्णांक और धनात्मक होती हैं तथा उनके साथ संख्यात्मक सहगुणक (numeric coefficients) जुड़े होते हैं। उदाहरण स्वरूप, \(2x^3 - 3x^2 + 5x - 7\) एक बहुपद है।

Polynomials are mathematical expressions that involve variables raised to non-negative integer powers, each combined with numeric coefficients. For example, \(2x^3 - 3x^2 + 5x - 7\) is a polynomial.

📖 प्रमुख विषयवस्तु (Major Topics)

1. बहुपद की परिभाषा (Definition of Polynomial)

परिभाषा: यदि \(p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0\), जहाँ \(a_n, a_{n-1},...,a_0\) वास्तविक संख्याएँ हैं एवं \(n\) एक गैर ऋणात्मक पूर्णांक है, तो \(p(x)\) को \(x\) में बहुपद कहते हैं।

If \(p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0\), where \(a_n, a_{n-1},...,a_0\) are real numbers and \(n\) is a non-negative integer, then \(p(x)\) is called a polynomial in \(x\).

उदाहरण (Example):

\(5x^3 - 4x + 2\) एक घन (cubic) बहुपद है।
\(x^2 + 3x + 1\) एक द्विघात (quadratic) बहुपद है।
\(7x - 9\) एक रैखिक (linear) बहुपद है।

2. बहुपद के प्रकार (Types of Polynomials)

(i) घात के आधार पर (Based on Degree):

स्थिरांक बहुपद (Constant Polynomial):

घात 0 (Degree 0) उदाहरण: \(7, -3, 0\) (e.g., \(7, -3, 0\))

रैखिक बहुपद (Linear Polynomial):

घात 1 (Degree 1) उदाहरण: \(2x+3, -x+7\) (e.g., \(2x+3, -x+7\))

द्विघात बहुपद (Quadratic Polynomial):

घात 2 (Degree 2) उदाहरण: \(x^2+5x+6\) (e.g., \(x^2+5x+6\))

घन बहुपद (Cubic Polynomial):

घात 3 (Degree 3) उदाहरण: \(x^3-2x^2+3x-1\) (e.g., \(x^3-2x^2+3x-1\))

(ii) पदों की संख्या के आधार पर (Based on Number of Terms):

एकपदी (Monomial):

एक पद (One term): \(5x\)

द्विपदी (Binomial):

दो पद (Two terms): \(x^2 + 2x\)

त्रिपदी (Trinomial):

तीन पद (Three terms): \(x^2 + 2x + 1\)

3. बहुपद की डिग्री (Degree of a Polynomial)

परिभाषा: किसी बहुपद में चर (variable) की सबसे बड़ी घात को उस बहुपद की डिग्री कहते हैं।

The highest power of the variable in a polynomial is called its degree.

उदाहरण के लिए, \(3x^4 - 5x^2 + 2x - 7\) में डिग्री 4 है।

For example, degree of \(3x^4 - 5x^2 + 2x - 7\) is 4.

4. शून्यक (Zeros/Roots of a Polynomial)

परिभाषा: यदि \(p(a) = 0\) हो, तो \(a\) को बहुपद \(p(x)\) का शून्यक कहते हैं।

If \(p(a) = 0\), then \(a\) is said to be a zero (root) of the polynomial \(p(x)\).

उदाहरण (Example):

यदि \(p(x) = x^2 - 5x + 6\), तो \(p(2) = (2)^2 - 5 \times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\), अतः 2 एक शून्यक है।

Similarly for \(x = 3\).

5. बहुपद का मान (Value of a Polynomial)

परिभाषा: किसी निश्चित \(x = k\) पर बहुपद \(p(x)\) का मान \(p(k)\) कहलाता है।

The value of a polynomial at \(x = k\) is \(p(k)\).

उदाहरण (Example):

यदि \(p(x) = x^2 + 2x + 1\), तो \(x = 2\) पर \(p(2) = (2)^2 + 2\times2 + 1 = 4 + 4 + 1 = 9\)

6. बहुपदों का योग, अंतर, गुणा (Addition, Subtraction, Multiplication of Polynomials)

(i) योग (Addition):

समान पदों को जोड़कर योग करना।

Add same degree terms.

उदाहरण: \(p(x) = 2x^2 + 3x + 1\), \(q(x) = x^2 - x + 4\) \(p(x) + q(x) = (2x^2 + x^2) + (3x - x) + (1 + 4) = 3x^2 + 2x + 5\)

(ii) अंतर (Subtraction):

उदाहरण: \(p(x) - q(x) = (2x^2 - x^2) + (3x - (-x)) + (1 - 4) = x^2 + 4x - 3\)

(iii) गुणा (Multiplication):

प्रत्येक पद का गुणन।

Multiply each term.

उदाहरण: \((x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\)

7. बहुपदों का भाग (Division of Polynomials)

(i) विभाजन एल्गोरिद्म (Division Algorithm):

यदि \(p(x)\) को \(g(x)\) द्वारा विभाजित किया जाए, तो \(p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)\), जहाँ \(q(x)\) भाजक (quotient) एवं \(r(x)\) शेष (remainder) है, तथा \(\text{degree}(r(x)) < \text{degree}(g(x))\)।

(If a polynomial \(p(x)\) is divided by \(g(x)\), then \(p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)\), where \(q(x)\) is the quotient and \(r(x)\) is the remainder, and \(\text{degree}(r(x)) < \text{degree}(g(x))\).)

Solved Example: \(p(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 3\) को \(x-1\) से भाग दें।

Solution:

\(x^3 \div x = x^2\)
\(x^2 \) से गुणन और घटाना
Steps follow करें
शेषफल (remainder) प्राप्त करें।

8. बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ (Geometrical Meaning of Zeros)

एक चर के बहुपद का शून्यक वह \(x\) है जहाँ उसके ग्राफ का Y-अक्ष (x-axis) को छूता या काटता है।

The zero of a polynomial is the x-coordinate where its graph meets the x-axis.

उदाहरण (Example):

\(y = x^2 - 4\) का ग्राफ x-अक्ष को \(x = -2, 2\) पर काटता है, अतः उसके शून्यक \(-2, 2\) हैं।

9. द्विघात बहुपद के शून्यक ज्ञात करना (Finding Zeros of a Quadratic Polynomial)

यदि \(ax^2 + bx + c = 0\), तो

Factorization विधि (By splitting the middle term)
Quadratic formula:

\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

उदाहरण (Example):

\(x^2 - 5x + 6 = 0\) Factoring: \((x-2)(x-3) = 0\) Therefore, zeros are \(x = 2, 3\)

10. द्विघात बहुपद के गुण (Properties of Quadratic Polynomial)

यदि \(ax^2 + bx + c = 0\) के शून्यक \(\alpha, \beta\) हैं:

शून्यकों का योग (Sum of zeros):

\(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)

शून्यकों का गुणनफल (Product of zeros):

\(\alpha \beta = \frac{c}{a}\)

उदाहरण (Example):

\(x^2 - 3x + 2 = 0\), यहाँ \(a=1, b=-3, c=2\) Sum = \(-(-3)/1 = 3\), Product = \(2/1 = 2\)

11. बहुपद का गुणनखंडन (Factorization of Polynomials)

गुणनखंडन (Factorization): बहुपद को दो या अधिक बहुपदों के गुणन के रूप में लिखना।

To express a polynomial as a product of two or more polynomials.

(i) साधारण पद वर्गीकरण (Common Factor Method)

उदाहरण: \(2x^2 + 4x = 2x(x + 2)\)

(ii) मध्य पद विभाजन (Splitting Middle Term)

उदाहरण: \(x^2 + 7x + 12\) Factors of 12 whose sum is 7: 3, 4 \(x^2 + 3x + 4x + 12 = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)\)

12. बहुपदों का ग्राफ (Graphs of Polynomials)

(i) रैखिक बहुपद (Linear Polynomial):

रेखा के रूप में, x-अक्ष को एक बिंदु पर काटता है।

Graph is a straight line; cuts x-axis at one point.

(ii) द्विघात बहुपद (Quadratic):

परबोला (Parabola) के रूप में, अधिकतम दो बिंदुओं पर x-अक्ष को काटता है।

Graph is a parabola; cuts the x-axis at maximum two points.

(iii) घन बहुपद (Cubic):

x-अक्ष को अधिकतम तीन बिंदुओं पर काट सकता है।

Graph can cut x-axis at maximum three points.

13. बहुपदों के अनुप्रयोग (Applications of Polynomials)

क्षेत्रफल, आयतन, गति, आदि के प्रश्नों में उपयोग।
समीकरणों को हल करने, ग्राफ द्वारा व्याख्या, एवं अन्य गणितीय समस्याओं में।

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points, min 10)

बहुपद में चर की घातें पूर्णांक एवं गैर-ऋणात्मक (non-negative integer) ही होती हैं।
किसी बहुपद का डिग्री बहुपद की सबसे बड़ी घात होती है।
बहुपद के शून्यक वह मान हैं, जहाँ बहुपद शून्य (0) हो जाता है।
द्विघात बहुपद के अधिकतम दो शून्यक हो सकते हैं।
यदि किसी बहुपद का शेषफल (remainder) शून्य है, तो भाजक, बहुपद का गुणनखंड है।
Linear polynomial का केवल एक शून्यक होता है।
दो बहुपदों का गुणनफल भी बहुपद ही होता है।
किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को उसके शून्यकों की संख्या के बराबर बिंदुओं पर काट सकता है।
द्विघात बहुपद में, शून्यकों का योग \(-\frac{b}{a}\) एवं गुणनफल \(\frac{c}{a}\) होता है।
बहुपद विभाजन एल्गोरिद्म: \(p(x) = g(x) \times q(x) + r(x)\)
एकपदी (Monomial): एक पद, द्विपदी (Binomial): दो पद, त्रिपदी (Trinomial): तीन पद।
शेषफल की घात, भाजक की घात से कम होती है।
बहुपदों के शून्यक ग्राफ पर x-अक्ष को काटने वाले बिंदु होते हैं।
किसी बहुपद का मान, दिए गए मान पर चर को रखने से प्राप्त होता है।
बहुपदों का सबसे सरल रूप, उसके गुणनखण्डों में विभाजित रूप होता है।

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक (No.) | गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |---------------|-----------------------------------------------------------------------------------|-------------------------------------------------------------------------| | 1 | बहुपद में चर की घात ऋणात्मक या भिन्नात्मक लेना | घात केवल पूर्णांक और गैर-ऋणात्मक ही हो सकती है। | | 2 | डिग्री गिनते समय सहगुणक की घात को भूलना | डिग्री हमेशा चर की सबसे बड़ी घात होती है। | | 3 | शून्यक निकालते समय सिर्फ एक मान लेना | सभी संभावित शून्यकों को ढूंढ़ना चाहिए। | | 4 | गुणनखंडन में मध्य पद को गलत विभाजित करना | केवल वही संख्याएँ चुनें जिनका गुणनफल सही आए और योग मध्य पद हो। | | 5 | विभाजन एल्गोरिद्म में शेषफल की डिग्री भाजक से अधिक लेना | शेषफल की डिग्री हमेशा भाजक से कम होनी चाहिए। | | 6 | बहुपदों के योग/अंतर में विभिन्न घातों के पदों को सीधे जोड़ना | केवल समान घात वाले पदों को ही जोड़ें या घटाएँ। | | 7 | ग्राफ बनाते समय शून्यकों के स्थान गलत लेना | x-अक्ष को जहाँ ग्राफ काटता है वही शून्यक हैं। | | 8 | द्विघात बहुपद के योग/गुणनफल के सूत्र में \(a, b, c\) को गलत रखना | समीकरण को \(ax^2 + bx + c\) के मानक रूप में पहले लिखें। | | 9 | बहुपदों के अनुप्रयोग में गलत समीकरण बनाना | प्रश्न को ध्यान से पढ़कर समीकरण बनाएँ। | | 10 | बहुपद का मान निकालते समय गलत गणना करना | चर के स्थान पर सही मान रखें और गणना सावधानी से करें। |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1-Mark Questions (एक अंक के प्रश्न)

\(2x^3 + 3x^2 - x + 7\) की डिग्री क्या है?

What is the degree of \(2x^3 + 3x^2 - x + 7\)?

उत्तर: 3

निम्न में से कौन-सा बहुपद नहीं है?

(A) \(x^2 + 5x + 7\) (B) \(2x^{-1} + 3\) (C) \(4x^3 + 2x\) (D) \(x + 1\)

Which of the following is not a polynomial?

उत्तर: (B) \(2x^{-1} + 3\)

\(p(x) = 3x + 2\) का शून्यक क्या है?

What is the zero of \(p(x) = 3x + 2\)?

उत्तर: \(-\frac{2}{3}\)

एकपदी का उदाहरण लिखिए।

Give an example of a monomial.

उत्तर: \(5x\)

\(x^2 + 2x + 1\) के शून्यकों का योग क्या है?

What is the sum of the zeros of \(x^2 + 2x + 1\)?

उत्तर: \(-2\)

2-Mark Questions (दो अंक के प्रश्न)

\(x^2 - 7x + 12\) के शून्यक ज्ञात कीजिए।

Find the zeros of \(x^2 - 7x + 12\).

उत्तर: \(x^2 - 7x + 12 = 0\) Factors: \(x^2 - 3x - 4x + 12 = x(x-3) - 4(x-3) = (x-3)(x-4)\) So, \(x = 3, 4\)

\(p(x) = x^2 - 5x + 6\) का मान \(x = 1\) पर ज्ञात कीजिए।

Find the value of \(p(x) = x^2 - 5x + 6\) at \(x = 1\).

उत्तर: \(p(1) = (1)^2 - 5 \times 1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2\)

\(p(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1\) और \(q(x) = x^2 - 1\) का योग कीजिए।

(Add \(p(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1\) and \(q(x) = x^2 - 1\).)

उत्तर: \(p(x) + q(x) = x^3 - 2x^2 + x - 1 + x^2 - 1 = x^3 - x^2 + x - 2\)

\(x^2 + 6x + 9\) को गुणनखंडित कीजिए।

Factorize \(x^2 + 6x + 9\).

उत्तर: \(x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2\)

\(2x^2 + 5x + 3\) के शून्यकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

Find the product of the zeros of \(2x^2 + 5x + 3\).

उत्तर: Product = \(c/a = 3/2\)

5-Mark Questions (पाँच अंक के प्रश्न)

\(x^3 - 3x^2 + 5x - 3\) को \(x - 1\) से विभाजित कीजिए एवं भाजक, शेषफल, और भागफल ज्ञात कीजिए।

Divide \(x^3 - 3x^2 + 5x - 3\) by \(x - 1\) and find the quotient and remainder.

उत्तर: Step 1: \(x^3 \div x = x^2\) Multiply \(x^2 \times (x-1) = x^3 - x^2\) Subtract: \((x^3 - 3x^2) - (x^3 - x^2) = -2x^2\) Bring down \(+5x\): \(-2x^2 + 5x\) \(-2x^2 \div x = -2x\) Multiply: \(-2x(x-1) = -2x^2 + 2x\) Subtract: \((-2x^2 + 5x) - (-2x^2 + 2x) = 3x\) Bring down \(-3\): \(3x - 3\) \(3x \div x = 3\) \(3(x-1) = 3x - 3\) Subtract: \(3x - 3 - 3x + 3 = 0\) So, Quotient = \(x^2 - 2x + 3\), Remainder = 0

द्विघात बहुपद \(f(x) = x^2 - (k+6)x + 2k\) के शून्यकों का योग और गुणनफल ज्ञात कीजिए।

For quadratic polynomial \(f(x) = x^2 - (k+6)x + 2k\), find the sum and product of its zeros.

उत्तर: \(a = 1, b = -(k+6), c = 2k\) Sum of zeros = \(-b/a = (k+6)/1 = k+6\) Product of zeros = \(c/a = 2k/1 = 2k\)

\(x^2 - 4\) के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ स्पष्ट कीजिए एवं ग्राफ बनाकर दिखाइए।

Explain the geometrical meaning of zeros of \(x^2 - 4\) and show it by drawing the graph.

उत्तर: \(x^2 - 4 = 0\) \(x^2 = 4\), \(x = 2, -2\) अतः ग्राफ x-अक्ष को \(x = -2\) एवं \(x = 2\) पर काटेगा।

Draw parabola opening upwards, cutting x-axis at -2 and 2.

\(x^4 - 16\) को पूर्णतः गुणनखंडित कीजिए।

Completely factorize \(x^4 - 16\).

उत्तर: \(x^4 - 16 = (x^2)^2 - (4)^2 = (x^2 - 4)(x^2 + 4)\) \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\) अतः \(x^4 - 16 = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\)

यदि द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग 8 और गुणनफल 15 है, तो बहुपद लिखिए।

If the sum and product of the zeros of a quadratic polynomial are 8 and 15 respectively, write the polynomial.

उत्तर: मानक रूप: \(x^2 - (\text{sum})x + (\text{product})\) \(x^2 - 8x + 15\)

अध्याय का सारांश (Chapter Summary)

बहुपद का अर्थ, प्रकार, डिग्री, शून्यक, गुणनखंडन, विभाजन एवं अनुप्रयोग विस्तार से समझे।
बहुपदों के शून्यक निकालना, गुणनखंडन, ग्राफ बनाना, व विभाजन एल्गोरिद्म का अभ्यास करें।
प्रश्नों को हल करते समय सावधानी बरतें—घात, सहगुणक, व गणना में।
बोर्ड परीक्षा हेतु, सभी सूत्रों, परिभाषाओं, एवं उदाहरणों का नियमित अभ्यास करें।

(पुनः अभ्यास करें और सभी उपविषयों की NCERT/RBSE पाठ्यपुस्तक से अतिरिक्त प्रश्न भी हल करें।)

Revise regularly and practice additional exercises from NCERT/RBSE textbooks for thorough preparation.

मुख्य बिंदु (Key Points)

बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें केवल चर और गुणांक होते हैं, और इसमें केवल जोड़, घटाव, गुणा तथा चर के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक होते हैं।
बहुपद की घात (degree) बहुपद में चर का सबसे बड़ा घातांक होता है।
घात 1 का बहुपद रैखिक बहुपद (linear polynomial) कहलाता है।
घात 2 का बहुपद द्विघात बहुपद (quadratic polynomial) कहलाता है।
घात 3 का बहुपद घनात्मक बहुपद (cubic polynomial) कहलाता है।
बहुपद के शून्य (या मूल) वे मान होते हैं जिनके लिए बहुपद का मान शून्य हो जाता है।
यदि p(x) कोई बहुपद है, तो x = a उसका शून्य (zero) होगा यदि p(a) = 0।
घात n के बहुपद के अधिकतम n शून्य (zeroes) हो सकते हैं।
शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) के अनुसार, यदि किसी बहुपद p(x) को (x – a) से विभाजित किया जाए, तो शेषफल p(a) होगा।
गुणनखंड प्रमेय (Factor Theorem) के अनुसार, (x – a) तभी और केवल तभी p(x) का गुणनखंड होगा जब p(a) = 0।
बहुपदों को जोड़ा, घटाया और गुणा किया जा सकता है, जिससे नए बहुपद प्राप्त होते हैं।
केवल एक पद वाला बहुपद एकपद (monomial), दो पद वाला द्विपद (binomial), और तीन पद वाला त्रिपद (trinomial) कहलाता है।

इस अध्याय से अभ्यास प्रश्न

निम्नलिखित में से कौन सा बहुपद नहीं है?

2x + 3
x^2 + 1
x^-1 + 2
4x^3

उत्तर देखें

सही उत्तर: x^-1 + 2

बहुपद में ऋणात्मक घात मान्य नहीं है।

निम्नलिखित में से कौन सा रेखीय बहुपद है?

x^3
4
2x + 1
x^2 + 2

उत्तर देखें

सही उत्तर: 2x + 1

रेखीय बहुपद की घात 1 होती है।

3x^2 + 4x + 5 में x का गुणांक है:

उत्तर देखें

प्रायिकता (Probability) एक नज़र में: प्रायिकता गणित की वह शाखा है, जो अनिश्चित घटनाओं के घटित होने की संभावना का अध्ययन करती है। यह अध्याय आपको प्रायिकता के…

schedule ~30 मिनट

smartphoneApp में पढ़ें