निर्देशांक ज्यामिति
Coordinate Geometry
निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry)
एक नज़र में:
निर्देशांक ज्यामिति वह शाखा है जो ज्यामितीय आकृतियों की स्थिति और उनके आपसी संबंधों का अध्ययन संख्याओं (निर्देशांकों) के माध्यम से करती है। इस अध्याय में, आप बिंदुओं की स्थिति ज्ञात करना, दो बिंदुओं के बीच की दूरी, मध्य बिंदु, त्रिभुज का क्षेत्रफल, आदि सीखेंगे। (Coordinate Geometry is the branch that studies the position and relations of geometric figures using numbers–coordinates. In this chapter, you will learn to find the position of points, distance between two points, midpoint, area of triangle, etc.)
📌 अध्याय का परिचय (Chapter Introduction)
रियल लाइफ में उपयोग: मान लीजिए आपको मानचित्र पर दो शहरों की स्थिति ज्ञात करनी है, या किसी मोबाइल ऐप में अपने वर्तमान स्थान से किसी दुकान की दूरी पता करनी है—ऐसी अनेक समस्याओं का हल निर्देशांक ज्यामिति से मिल सकता है।
Imagine you need to find the location of two cities on a map, or find the distance from your current location to a shop in a mobile app—Coordinate Geometry helps in such problems.
छात्र क्या सीखेंगे:
- बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करना
- दो बिंदुओं के बीच की दूरी निकालना
- मध्य बिंदु और अन्य अनुपात में विभाजन
- त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना
Students will learn how to find coordinates of points, calculate distance, find midpoints and points dividing segments in a given ratio, and compute area of triangles.
परीक्षा में महत्व: यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में 7-10 अंकों तक का आ सकता है। प्रश्न प्रायः सीधे सूत्रों पर आधारित होते हैं, अतः अभ्यास और सूत्रों की समझ अत्यंत आवश्यक है।
This chapter can carry 7-10 marks in board exams. Questions are mostly formula-based, so practice and understanding of formulae are essential.
📖 मुख्य विषय-वस्तु (Major Topics)
1. निर्देशांक प्रणाली (Coordinate System)
परिभाषा (Definition)
निर्देशांक प्रणाली वह व्यवस्था है जिसमें किसी बिंदु की स्थिति दो संख्याओं (x, y) द्वारा दर्शाई जाती है।
Coordinate system is a method in which the position of a point is represented by two numbers (x, y).
व्याख्या (Explanation)
- एक समतल (Plane) पर दो रेखाएँ एक-दूसरे को लम्बवत् (perpendicular) काटती हैं।
- क्षैतिज रेखा को x-अक्ष (x-axis) और लंबवत रेखा को y-अक्ष (y-axis) कहते हैं।
- इन दोनों का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल (Origin) कहलाता है, जिसके निर्देशांक (0,0) होते हैं।
- किसी बिंदु P के निर्देशांक (x, y) होते हैं, जहाँ x को अभिस्थान (abscissa) और y को उच्चस्थान (ordinate) कहते हैं।
- समतल चार चतुर्थांशों (Quadrants) में बंटा होता है।
[Diagram: एक समतल जिसमें x-अक्ष, y-अक्ष, मूल, चार चतुर्थांश, और एक बिंदु P(x,y) दर्शाया गया हो। (Diagram: A plane showing x-axis, y-axis, origin, four quadrants, and a point P(x, y).)]
चतुर्थांश (Quadrants Table)
| चतुर्थांश (Quadrant) | x का संकेत (Sign of x) | y का संकेत (Sign of y) | |----------------------|----------------------|----------------------| | I | + | + | | II | - | + | | III | - | - | | IV | + | - |
उदाहरण (Example)
यदि P(3, -2) है, तो यह चौथे चतुर्थांश में स्थित होगा।
If P(3, -2), it lies in the fourth quadrant.
2. बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करना (Finding Coordinates of a Point)
किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, x-अक्ष पर उसके लंबवत प्रक्षेप और y-अक्ष पर उसके क्षैतिज प्रक्षेप को देखना होता है।
To find the coordinates of a point, see its perpendicular projection on the x-axis and horizontal projection on the y-axis.
उदाहरण (Example)
यदि बिंदु Q x-अक्ष से 4 इकाई दाईं ओर और y-अक्ष से 5 इकाई ऊपर है, तो Q के निर्देशांक (4, 5) होंगे।
If point Q is 4 units to the right of x-axis and 5 units above y-axis, Q has coordinates (4, 5).
3. दो बिंदुओं के बीच की दूरी (Distance Between Two Points)
सूत्र (Formula)
यदि दो बिंदुओं के निर्देशांक P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) हैं, तो उनके बीच की दूरी: \[ PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
If the coordinates of two points are P(x₁, y₁) and Q(x₂, y₂), then the distance between them is as above.
[Diagram: दो बिंदुओं P और Q को जोड़ती रेखा, उनके x और y अक्ष पर प्रक्षेप]
उदाहरण (Example)
P(2, 3) और Q(7, 6) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Given P(2, 3) and Q(7, 6), find the distance.
हल (Solution): \[ PQ = \sqrt{(7-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \]
4. मध्य बिंदु सूत्र (Midpoint Formula)
सूत्र (Formula)
P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) को जोड़ने वाली रेखा का मध्य बिंदु M के निर्देशांक: \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]
The coordinates of the midpoint M joining P(x₁, y₁) and Q(x₂, y₂) are as above.
[Diagram: रेखा PQ और उस पर बिंदु M, जो मध्य बिंदु है]
उदाहरण (Example)
P(1, 4) और Q(5, 8) के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Find the coordinates of the midpoint of P(1, 4) and Q(5, 8).
हल (Solution): \[ M = \left( \frac{1+5}{2}, \frac{4+8}{2} \right) = \left( \frac{6}{2}, \frac{12}{2} \right) = (3, 6) \]
5. किसी अनुपात में विभाजन सूत्र (Section Formula)
सूत्र (Formula)
यदि बिंदु P(x₁, y₁) और Q(x₂, y₂) को जोड़ने वाली रेखा को बिंदु R अनुपात m:n में विभाजित करता है, तो R के निर्देशांक: \[ R = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right) \]
If a point R divides PQ in ratio m:n, then its coordinates are as above.
[Diagram: रेखा PQ, उस पर बिंदु R अनुपात m:n में विभाजित करता हुआ]
उदाहरण (Example)
P(2, 3) और Q(8, 7) को जोड़ने वाली रेखा को बिंदु R अनुपात 1:2 में विभाजित करता है। R के निर्देशांक ज्ञात करें।
Point R divides PQ in the ratio 1:2. Find coordinates of R.
हल (Solution): यहाँ, m=1, n=2 \[ R = \left( \frac{1 \times 8 + 2 \times 2}{1+2}, \frac{1 \times 7 + 2 \times 3}{1+2} \right) = \left( \frac{8+4}{3}, \frac{7+6}{3} \right) = \left( \frac{12}{3}, \frac{13}{3} \right) = (4, \frac{13}{3}) \]
6. त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle)
सूत्र (Formula)
यदि बिंदुओं A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) हैं, तो त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल: \[ \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \]
Areas of triangle formula as above.
[Diagram: त्रिभुज ABC, जिसके शीर्षों के निर्देशांक दर्शाए गए]
उदाहरण (Example)
A(1, 2), B(4, 6), C(6, 2) के शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
Find area of triangle with vertices A(1, 2), B(4, 6), C(6, 2).
हल (Solution): \[ \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | 1(6-2) + 4(2-2) + 6(2-6) | = \frac{1}{2} | 1 \times 4 + 4 \times 0 + 6 \times (-4) | = \frac{1}{2} | 4 + 0 -24 | = \frac{1}{2} | -20 | = 10 \text{ वर्ग इकाई} \]
7. बिंदुओं की सह-रेखीयता (Collinearity of Points)
तीन बिंदु सह-रेखीय होते हैं, यदि वे एक ही रेखा पर स्थित होते हैं।
Three points are collinear if they lie on the same straight line.
परीक्षण (Test)
यदि A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), C(x₃, y₃) हैं, तो वे सह-रेखीय होंगे यदि:
- त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 0
Area of triangle ABC = 0
उदाहरण (Example)
A(2, 3), B(4, 7), C(6, 11) के लिए जाँचें कि वे सह-रेखीय हैं या नहीं। (Check if A(2, 3), B(4, 7), C(6, 11) are collinear.)
हल (Solution): \[ \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} | 2(7-11) + 4(11-3) + 6(3-7) | \\ = \frac{1}{2} | 2 \times (-4) + 4 \times 8 + 6 \times (-4) | \\ = \frac{1}{2} | -8 + 32 -24 | = \frac{1}{2} | 0 | = 0 \] अतः तीनों बिंदु सह-रेखीय हैं।
Therefore, points are collinear.
8. विशेष स्थितियाँ (Special Cases)
x-अक्ष या y-अक्ष पर बिंदु की स्थिति
- यदि बिंदु x-अक्ष पर हो, तो y = 0
Point on x-axis: y = 0
- यदि बिंदु y-अक्ष पर हो, तो x = 0
Point on y-axis: x = 0
- यदि बिंदु मूल पर हो, तो x = 0, y = 0
Point at origin: x = 0, y = 0
उदाहरण (Example)
बिंदु (5, 0) x-अक्ष पर है, (0, -3) y-अक्ष पर है।
9. अनुप्रयोग (Applications)
- मानचित्र बनाना (Map making)
- जीपीएस, मोबाइल ऐप्स
- इंजीनियरिंग, आर्किटेक्चर
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)
- निर्देशांक प्रणाली में x-अक्ष क्षैतिज तथा y-अक्ष लंबवत होता है।
In coordinate system, x-axis is horizontal and y-axis is vertical.
- मूल (Origin) के निर्देशांक सदैव (0, 0) होते हैं।
Coordinates of origin are always (0, 0).
- बिंदु के निर्देशांक लिखते समय x पहले, y बाद में आता है: (x, y)।
While writing coordinates, x comes first, then y: (x, y).
- प्रथम चतुर्थांश में दोनों निर्देशांक धनात्मक होते हैं।
In 1st quadrant, both coordinates are positive.
- दूरी सूत्र \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\) है।
Distance formula as above.
- मध्य बिंदु सूत्र: \(\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)\)।
Midpoint formula as above.
- किसी अनुपात m:n में विभाजन सूत्र: \(\left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)\)।
Section formula as above.
- त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपयुक्त सूत्र का प्रयोग करें।
Use correct formula for area of triangle.
- तीन बिंदु सह-रेखीय होंगे, यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 हो।
Three points are collinear if area of triangle is 0.
- x-अक्ष पर y=0, y-अक्ष पर x=0।
On x-axis, y=0; on y-axis, x=0.
- सूत्रों का अभ्यास करें और इकाई का ध्यान रखें।
Practice formulae and note units.
- अनुपात m:n में विभाजन में m और n को सही स्थान पर रखें।
Place m and n correctly in section formula.
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| क्रमांक (No.) | गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Method) | |---------------|----------------|----------------------------| | 1 | x और y के स्थान बदल देना | हमेशा (x, y) क्रम में लिखें (Always write in (x, y) order) | | 2 | दूरी सूत्र में माइनस के चिन्ह का उपयोग न करना | अंतर का वर्ग लें, चिन्ह मायने नहीं रखता (Use squares, sign doesn’t matter) | | 3 | अनुपात m:n में m और n को उल्टा रखना | m के साथ x₂/y₂, n के साथ x₁/y₁ रखें (m with x₂, n with x₁) | | 4 | त्रिभुज क्षेत्रफल के सूत्र में गलत संकेत | पूर्ण मान (modulus) का प्रयोग करें (Use absolute value) | | 5 | चतुर्थांश की पहचान में भूल | संकेत तालिका देखें (Refer sign table) | | 6 | बिंदु (0, y) को y-अक्ष पर न पहचानना | यदि x=0, तो बिंदु y-अक्ष पर है (If x=0, point is on y-axis) | | 7 | मूल को (1,1) मान लेना | मूल हमेशा (0,0) होता है (Origin is always (0,0)) | | 8 | अनुपात में कुल जोड़ना भूलना | m+n से भाग दें (Always divide by m+n) | | 9 | क्षेत्रफल में ½ का गुणन भूलना | आधा (½) अवश्य लें (Multiply by ½) | | 10 | सह-रेखीयता जाँचने में त्रुटि | क्षेत्रफल = 0 देखना (Check area = 0) |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)
1-Mark Questions (1 अंक)
- मूल (Origin) के निर्देशांक क्या हैं?
What are the coordinates of origin?
- बिंदु (0, 5) किस अक्ष पर स्थित है?
On which axis does the point (0, 5) lie?
- प्रथम चतुर्थांश में निर्देशांकों के संकेत क्या होते हैं?
What are the signs of coordinates in the first quadrant?
- दूरी सूत्र लिखिए।
Write the distance formula.
- यदि किसी बिंदु के निर्देशांक (x, 0) हैं, तो वह किस अक्ष पर स्थित है?
If a point has coordinates (x, 0), on which axis does it lie?
2-Mark Questions (2 अंक)
- बिंदु A(2, 3) और B(4, 7) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Find the distance between A(2, 3) and B(4, 7).
- बिंदु (6, 0) और (0, 8) को जोड़ने वाली रेखा का मध्य बिंदु ज्ञात कीजिए।
Find the midpoint of the line joining (6, 0) and (0, 8).
- बिंदु (3, 0) किस अक्ष पर स्थित है? कारण सहित बताइए।
On which axis does the point (3, 0) lie? Explain.
- यदि P(2, 3) और Q(6, 11) हैं, तो बिंदु R अनुपात 1:3 में विभाजित करता है। R के निर्देशांक ज्ञात करें।
Point R divides PQ in ratio 1:3. Find coordinates of R.
- बिंदु (–2, 5) किस चतुर्थांश में स्थित है?
In which quadrant does the point (–2, 5) lie?
5-Mark Questions (5 अंक)
- बिंदु A(1, 2), B(4, 6), C(6, 2) के लिए
(i) त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (ii) क्या तीनों बिंदु सह-रेखीय हैं? (For points A(1, 2), B(4, 6), C(6, 2): (i) Find area of triangle ABC.
ii) Are the points collinear?
- बिंदु P(2, 3) और Q(8, 7) को जोड़ने वाली रेखा को बिंदु R अनुपात 2:3 में विभाजित करता है। R के निर्देशांक ज्ञात करें।
Point R divides PQ in ratio 2:3. Find coordinates of R.
- एक त्रिभुज के शीर्ष A(3, 4), B(–1, 2), C(5, –2) हैं।
(i) त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें। (ii) यदि क्षेत्रफल शून्य है, तो टिप्पणी दें। (A triangle has vertices A(3, 4), B(–1, 2), C(5, –2): (i) Find area.
ii) If area is zero, comment.
- सिद्ध कीजिए कि बिंदु A(1, 1), B(2, 2), C(3, 3) सह-रेखीय हैं।
Show that points A(1, 1), B(2, 2), C(3, 3) are collinear.
- x-अक्ष पर स्थित दो बिंदुओं (–4, 0) और (6, 0) के बीच की दूरी ज्ञात करें।
Find the distance between two points on x-axis: (–4, 0) and (6, 0).
🎯 अतिरिक्त अभ्यास (Extra Practice)
- बिंदु (–3, 2) और (5, –6) के बीच की दूरी ज्ञात करें।
- बिंदु (2, 4) और (–2, 8) का मध्य बिंदु ज्ञात करें।
- यदि बिंदु P(–1, 2) और Q(3, 8) को बिंदु R अनुपात 3:1 में विभाजित करता है, तो R के निर्देशांक क्या होंगे?
- त्रिभुज के शीर्ष (0, 0), (4, 0), (4, 3) हैं। उसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।
- जाँचिए कि बिंदु (1, 2), (3, 6), (5, 10) सह-रेखीय हैं या नहीं।
✨ सारांश (Summary)
निर्देशांक ज्यामिति गणित की एक रोचक और व्यावहारिक शाखा है। इसमें बिंदुओं की स्थिति, दूरी, मध्य बिंदु, विभाजन, तथा क्षेत्रफल के सूत्रों का ज्ञान आवश्यक है। उपरोक्त सूत्रों, उदाहरणों, और सावधानियों के साथ आप बोर्ड परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त कर सकते हैं।
Coordinate Geometry is interesting and practical. Mastery of position of points, distance, midpoint, section, and area formulae is crucial. With the above formulae, examples, and precautions, you can score well in board exams.
[समाप्त | End of Notes]
मुख्य बिंदु (Key Points)
- कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में किसी बिंदु को स्थित करने के लिए दो लम्बवत अक्ष (x-अक्ष और y-अक्ष) का उपयोग किया जाता है।
- किसी बिंदु के निर्देशांक (x, y) के रूप में लिखे जाते हैं, जहाँ x अभिक्ष (abscissa) और y अपवर्त (ordinate) होता है।
- दो बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) के बीच की दूरी का सूत्र है: √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]।
- बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है: ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)।
- बिंदुओं (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है: 1/2 |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|।
- यदि किसी बिंदु का y-निर्देशांक शून्य हो, तो वह बिंदु x-अक्ष पर स्थित होता है, अर्थात् (x, 0)।
- यदि किसी बिंदु का x-निर्देशांक शून्य हो, तो वह बिंदु y-अक्ष पर स्थित होता है, अर्थात् (0, y)।
- खंड सूत्र के अनुसार, बिंदु (x1, y1) और (x2, y2) को m:n अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु है: ((mx2+nx1)/(m+n), (my2+ny1)/(m+n))।
- मूल बिंदु (0, 0) वह बिंदु है जहाँ x-अक्ष और y-अक्ष एक-दूसरे को काटते हैं।
- प्रथम चतुर्थांश में बिंदु के दोनों निर्देशांक धनात्मक होते हैं।
- द्वितीय चतुर्थांश में बिंदु के निर्देशांक (–, +) होते हैं, अर्थात् x ऋणात्मक और y धनात्मक।
- तृतीय चतुर्थांश में बिंदु के दोनों निर्देशांक ऋणात्मक होते हैं।
Key Points
- The Cartesian coordinate system uses two perpendicular axes (x-axis and y-axis) to locate a point in a plane.
- The coordinates of a point are written as (x, y), where x is the abscissa and y is the ordinate.
- The distance between two points (x1, y1) and (x2, y2) is given by the formula: √[(x2-x1)² + (y2-y1)²].
- The midpoint of the line segment joining (x1, y1) and (x2, y2) is ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2).
- The area of a triangle with vertices (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) is 1/2 |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|.
- A point lies on the x-axis if its y-coordinate is zero, i.e., (x, 0).
- A point lies on the y-axis if its x-coordinate is zero, i.e., (0, y).
- The section formula divides the line joining (x1, y1) and (x2, y2) in the ratio m:n at ((mx2+nx1)/(m+n), (my2+ny1)/(m+n)).
- The origin is the point (0, 0) where the x-axis and y-axis intersect.
- The coordinates of a point in the first quadrant are both positive.
- The coordinates of a point in the second quadrant are (–, +), i.e., x is negative and y is positive.
- The coordinates of a point in the third quadrant are both negative.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
(4, 6) और (8, 10) को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु क्या है?
यदि किसी बिंदु के निर्देशांक (x, 0) हैं, तो वह बिंदु किस पर स्थित है?
बिंदु (-5, 4) किस चतुर्थांश में स्थित है?
(2, 3) और (5, 7) बिंदुओं के बीच की दूरी क्या है?
बिंदु (0, 5) की मूल बिंदु से दूरी क्या है?
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