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द्विघात समीकरण

Quadratic Equations

schedule~45 मिनट

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द्विघात समीकरण (Quadratic Equations)

एक नज़र में: द्विघात समीकरणों का रूप, हल करने की विधियाँ एवं उनके वास्तविक जीवन में उपयोग का अध्ययन इस अध्याय में किया जाता है। यह अध्याय गणित की आधारशिला है तथा बोर्ड परीक्षाओं में अत्यंत महत्वपूर्ण है।

In this chapter, we study the form, solution methods, and real-life applications of quadratic equations. This chapter is fundamental in mathematics and highly important for board exams.

📌 अध्याय का परिचय

द्विघात समीकरण हमारे दैनिक जीवन में अनेक समस्याओं के समाधान में प्रयुक्त होते हैं, जैसे क्षेत्रफल की गणना, गति संबंधी प्रश्न, वित्तीय गणना आदि। इस अध्याय में आप जानेंगे कि द्विघात समीकरण क्या होते हैं, इन्हें कैसे पहचाना जाए, किन-किन तरीकों से इन्हें हल किया जा सकता है, एवं इनके हल का वास्तविक अर्थ क्या होता है।

Quadratic equations are used in solving many real-life problems such as area calculations, motion-related questions, financial computations, etc. In this chapter, you will learn what quadratic equations are, how to identify them, various methods to solve them, and the real meaning of their solutions.

परीक्षा में महत्त्व:

लगभग 6-8 अंक के प्रश्न प्रतिवर्ष पूछे जाते हैं।
1, 2, और 5 अंकों के प्रश्न आते हैं।
सूत्रों, हल की विधियों एवं ग्राफिकल व्याख्या से जुड़े प्रश्न पूछे जाते हैं।
यह अध्याय गणित के अन्य अध्यायों (जैसे - क्षेत्रमिति, त्रिकोणमिति) में भी उपयोगी है।

Exam Importance: Questions worth around 6-8 marks are asked every year. Questions of 1, 2, and 5 marks are asked. Questions related to formulas, solution methods, and graphical explanations are asked. This chapter is also useful in other mathematical chapters like mensuration, trigonometry.

📖 प्रमुख विषय-वस्तु (Major Topics)

1. द्विघात समीकरण की परिभाषा (Definition of Quadratic Equation)

परिभाषा: कोई भी समीकरण जिसे ax² + bx + c = 0 के रूप में लिखा जा सके (जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं तथा a ≠ 0) द्विघात समीकरण कहलाता है।

Any equation that can be written in the form ax² + bx + c = 0, where a, b, c are real numbers and a ≠ 0, is called a quadratic equation.

'a' को द्विघात गुणांक (quadratic coefficient),
'b' को रैखिक गुणांक (linear coefficient),
'c' को नियतांक (constant term) कहते हैं।

उदाहरण:

2x² + 3x – 5 = 0
x² – 7x + 12 = 0
5x² – 9 = 0

English: A quadratic equation is an equation of the form ax² + bx + c = 0, where a ≠ 0. Here, 'a' is the quadratic coefficient, 'b' is the linear coefficient, and 'c' is the constant.

2. द्विघात समीकरणों की पहचान (Identification of Quadratic Equations)

किसी समीकरण को द्विघात समीकरण कहने के लिए उसमें चर (variable) का अधिकतम घातांक (highest power) 2 होना चाहिए और a का मान शून्य (0) नहीं होना चाहिए।

To call an equation quadratic, the highest power of the variable must be 2 and a ≠ 0.

सही उदाहरण:

x² + 5x + 6 = 0 (द्विघात समीकरण)

गलत उदाहरण:

x³ + 2x + 1 = 0 (यह घन समीकरण है, द्विघात नहीं)
4x + 7 = 0 (यह रैखिक समीकरण है)

English: For an equation to be quadratic, the highest power of the variable must be 2, and a ≠ 0.

3. द्विघात समीकरणों के मूल (Roots/Zeros of Quadratic Equation)

यदि किसी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिए x = α तथा x = β समीकरण को संतुष्ट करते हैं, तो α और β को समीकरण के मूल (roots) या शून्य (zeros) कहते हैं।

If x = α and x = β satisfy the equation ax² + bx + c = 0, then α and β are called the roots or zeros of the quadratic equation.

English: The values of x that satisfy the quadratic equation ax² + bx + c = 0 are called its roots or zeros.

4. द्विघात समीकरण के रूपांतरण (Transformation to Standard Form)

कई बार समीकरण सीधे ax² + bx + c = 0 के रूप में नहीं होते, उन्हें रूपांतरित करना पड़ता है।

Sometimes, equations are not directly in standard form and need to be transformed.

उदाहरण:

(x – 2)(x + 3) = 7

इसे विस्तार करें: x² + 3x – 2x – 6 = 7 x² + x – 6 – 7 = 0 x² + x – 13 = 0

English: Equations not in standard form need to be expanded and rearranged to get ax² + bx + c = 0.

5. द्विघात समीकरणों को हल करने के तरीके (Methods of Solving Quadratic Equations)

(A) गुणनखंड विधि (Factorization Method)

सिद्धांत: ax² + bx + c = 0 को दो ऐसे गुणनखंडों में विभाजित करें, जिनका गुणनफल ac तथा योग b हो।

Split the middle term such that the product is ac and the sum is b.

Steps:

ac का गुणनफल निकालें।
ऐसे दो संख्याएँ खोजें जिनका गुणनफल ac एवं योग b हो।
b को इन दो संख्याओं के रूप में विभाजित करें।
समान पदों का समूह बनाकर, आम गुणनखंड निकालें।
दो द्विपदों (binomials) के गुणनखंड लिखें।
प्रत्येक को शून्य के बराबर रखकर x के मान निकालें।

Solved Example (Hindi + English):

Q: x² + 7x + 12 = 0 को हल करें। (Solve x² + 7x + 12 = 0.)

Solution: ac = (1)(12) = 12 b = 7 ऐसी दो संख्याएँ = 3 और 4 (3 × 4 = 12, 3 + 4 = 7) x² + 3x + 4x + 12 = 0 x(x + 3) + 4(x + 3) = 0 (x + 3)(x + 4) = 0 अतः x + 3 = 0 ⇒ x = –3 या x + 4 = 0 ⇒ x = –4 (So, x = –3, –4)

(B) पूर्ण वर्ग विधि (Completing the Square Method)

सिद्धांत: ax² + bx + c = 0 को इस प्रकार व्यवस्थित करें कि बाएँ पक्ष पर पूर्ण वर्ग बने।

Arrange the equation such that the left side forms a perfect square.

Steps:

समीकरण को ax² + bx = –c के रूप में लिखें।
दोनों पक्षों को a से भाग दें (Divide by a).
x² + (b/a)x = –c/a
बाएँ पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए (b/2a)² जोड़ें और घटाएँ।
दोनों पक्षों को बराबर रखने के बाद वर्गमूल लें।
x के मान निकालें।

Solved Example (Hindi + English):

Q: x² + 6x – 7 = 0 को पूर्ण वर्ग विधि से हल करें।

Solve x² + 6x – 7 = 0 by completing the square.

Solution: x² + 6x = 7 बाएँ पक्ष को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए (6/2)² = 9 जोड़ें: x² + 6x + 9 = 7 + 9 (x + 3)² = 16 x + 3 = ±4 x = –3 + 4 = 1 x = –3 – 4 = –7 So, x = 1, –7

(C) सूत्र विधि (Quadratic Formula Method)

Quadratic Formula: यदि ax² + bx + c = 0 हो, तो x = [–b ± √(b² – 4ac)] / 2a

Stepwise Explanation:

समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में रखें।
a, b, c के मान पहचानें।
D = b² – 4ac (विवर्ण) निकालें।
सूत्र में मान रखें और x के मान निकालें।

Solved Example (Hindi + English):

Q: 2x² – 4x – 6 = 0 को सूत्र विधि से हल करें।

Solve 2x² – 4x – 6 = 0 using quadratic formula.

Solution: a = 2, b = –4, c = –6 D = b² – 4ac = (–4)² – 4×2×(–6) = 16 + 48 = 64 x = [–(–4) ± √64] / (2×2) = [4 ± 8]/4 x₁ = (4 + 8)/4 = 12/4 = 3 x₂ = (4 – 8)/4 = (–4)/4 = –1 So, x = 3, –1

[Diagram: Description] एक साधारण द्विघात घनफल (parabola) का ग्राफ, जो x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है, दर्शाता है कि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं।

A simple parabola graph intersecting the x-axis at two points, showing two real roots of the equation.

6. द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति (Nature of Roots)

मूलों की प्रकृति D = b² – 4ac (विवर्ण, Discriminant) के मान पर निर्भर करती है।

| D का मान (Value of D) | प्रकृति (Nature) | English Explanation | |--------------------------|----------------------------------------------------------|--------------------------------------------------| | D > 0 | दो वास्तविक एवं भिन्न मूल (Two distinct real roots) | Roots are real and unequal | | D = 0 | दो वास्तविक एवं समान मूल (Two equal real roots) | Roots are real and equal | | D < 0 | कोई वास्तविक मूल नहीं (No real roots; complex roots) | Roots are complex (not real) |

Example: x² + 4x + 5 = 0 a = 1, b = 4, c = 5 D = 16 – 20 = –4 D < 0, अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है।

D < 0, so no real roots.

7. द्विघात समीकरण और उनके ग्राफ (Quadratic Equation and its Graph)

द्विघात समीकरण y = ax² + bx + c का ग्राफ एक परवलय (parabola) होता है।
यदि a > 0, तो परवलय ऊपर की ओर खुला होता है (opens upwards)।
यदि a < 0, तो परवलय नीचे की ओर खुला होता है (opens downwards)।
परवलय x-अक्ष को जहां काटता है, वे समीकरण के वास्तविक मूल होते हैं।
यदि D > 0: दो बिंदुओं पर x-अक्ष को काटेगा।
यदि D = 0: केवल एक बिंदु (स्पर्श करेगा)।
यदि D < 0: x-अक्ष को नहीं काटेगा।

[Diagram: Description] तीन परवलय - एक x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है, एक स्पर्श करता है, एक नहीं काटता।

Three parabolas - one cuts x-axis at two points, one touches it, one doesn’t cut it.

8. द्विघात समीकरण के मूलों का योग और गुणनफल (Sum and Product of Roots)

यदि α और β, समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल हों, तो:

मूलों का योग (Sum of roots): α + β = –b / a
मूलों का गुणनफल (Product of roots): αβ = c / a

Proof/Derivation: x² + (b/a)x + (c/a) = 0 x² + px + q = 0 (जहाँ p = b/a, q = c/a) Roots: α, β (x – α)(x – β) = 0 Expanding: x² – (α + β)x + αβ = 0 Comparing coefficients: α + β = –p = –b/a αβ = q = c/a

Example: x² – 5x + 6 = 0 α + β = 5 αβ = 6

9. वास्तविक जीवन में द्विघात समीकरण (Quadratic Equations in Real Life)

कई समस्याएँ, जैसे क्षेत्रफल, गति, संख्या संबंधी, आयत या वर्ग के आयाम आदि द्विघात समीकरणों के रूप में आती हैं।

Example (Hindi + English):

Q: एक आयत का क्षेत्रफल 60 वर्ग मीटर है। उसकी लम्बाई, चौड़ाई से 7 मीटर अधिक है। लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

Area of a rectangle is 60 sq m. Length is 7 m more than breadth. Find length and breadth.

Solution: मान लीजिए, चौड़ाई = x m लम्बाई = x + 7 m क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = 60 (x + 7)x = 60 x² + 7x – 60 = 0 x² + 12x – 5x – 60 = 0 x(x + 12) – 5(x + 12) = 0 (x + 12)(x – 5) = 0 x = –12 (अर्थहीन, breadth cannot be negative) x = 5 चौड़ाई = 5 m, लम्बाई = 12 m

Breadth = 5 m, Length = 12 m

10. द्विघात समीकरण की शब्द समस्याएँ (Word Problems based on Quadratic Equations)

Steps to Solve Word Problems:

समस्या को ध्यानपूर्वक पढ़ें।
चर (variable) को मान लें।
सभी शर्तों के अनुसार समीकरण बनाएं।
समीकरण को द्विघात रूप में लाएं।
उपयुक्त विधि से हल करें।
उत्तर की जांच करें।

Example: किसी संख्या में 8 जोड़ने पर, परिणाम 48 के बराबर हो जाता है। वह संख्या ज्ञात कीजिए।

Let the number be x. x + 8 = 48 ⇒ x = 40

Quadratic Example: किसी आयत की लम्बाई, चौड़ाई से 4 मीटर अधिक है। यदि क्षेत्रफल 60 वर्ग मीटर है, तो लम्बाई और चौड़ाई ज्ञात करें। (Let breadth = x m, length = x + 4 m, Area = 60 So, x(x + 4) = 60 ⇒ x² + 4x – 60 = 0, solve for x.)

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

द्विघात समीकरण का सामान्य रूप ax² + bx + c = 0 है, जहाँ a ≠ 0।
समीकरण का अधिकतम घातांक 2 होना चाहिए।
द्विघात समीकरण के हल को ‘मूल’ या ‘शून्य’ कहते हैं।
गुणनखंड, पूर्ण वर्ग, तथा सूत्र विधि से हल किया जा सकता है।
विवर्ण D = b² – 4ac, मूलों की प्रकृति बताता है।
D > 0: दो भिन्न वास्तविक मूल; D = 0: दो समान वास्तविक मूल; D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं।
मूलों का योग = –b/a; मूलों का गुणनफल = c/a।
द्विघात समीकरण का ग्राफ परवलय (parabola) होता है।
परवलय x-अक्ष को जहां काटता है, वही समीकरण के वास्तविक मूल होते हैं।
द्विघात समीकरणों का उपयोग क्षेत्रफल, गति, तथा अन्य व्यावहारिक समस्याओं के समाधान में होता है।

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक (No.) | गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Approach) | |---------------|--------------------------------------------------------------------|----------------------------------------------------------------------| | 1 | a = 0 होने पर भी द्विघात समीकरण मान लेना | a ≠ 0 होना चाहिए | | 2 | b² – 4ac निकालते समय चिन्ह (sign) की गलती | बारीकी से मान रखें, negative sign पर ध्यान दें | | 3 | गुणनखंड विधि में गलत जोड़ी चुनना | ac के गुणनफल और b के योग वाली सही जोड़ी चुनें | | 4 | पूर्ण वर्ग विधि में (b/2a)² जोड़ना भूल जाना | हमेशा (b/2a)² जोड़ें | | 5 | सूत्र विधि में –b के स्थान पर b रखना | हमेशा –b रखें | | 6 | D < 0 होने पर भी वास्तविक हल लिखना | D < 0 में हल काल्पनिक (imaginary) होंगे, वास्तविक नहीं | | 7 | समीकरण को ax² + bx + c = 0 के रूप में न लाना | पहले समीकरण को मानक रूप में रखें | | 8 | मूलों का योग और गुणनफल निकालते समय a, b, c की गलत पहचान | स्पष्ट रूप से a, b, c की पहचान करें | | 9 | ग्राफ बनाते समय a के चिन्ह को न देखना | a > 0: ऊपर की ओर, a < 0: नीचे की ओर परवलय बनता है | | 10 | शाब्दिक समस्याओं में गलत variable मान लेना | variable को प्रश्न के अनुसार सही रूप में मान लें |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न

1-Mark Questions (प्रत्येक 1 अंक)

द्विघात समीकरण का सामान्य रूप लिखिए।

Write the general form of a quadratic equation.

यदि D = 0 हो, तो द्विघात समीकरण के मूल कैसे होंगे?

If D = 0, what will be the nature of the roots?

समीकरण x² – 4x + 3 = 0 के लिए मूलों का योग ज्ञात कीजिए।

Find sum of roots for x² – 4x + 3 = 0.

x² + 2x + 1 = 0 के लिए a, b, c के मान लिखिए।

Write values of a, b, c for x² + 2x + 1 = 0.

यदि द्विघात समीकरण में a = 0 हो, तो वह किस प्रकार का समीकरण होगा?

If a = 0 in a quadratic equation, what type of equation is it?

2-Mark Questions (प्रत्येक 2 अंक)

समीकरण 2x² + 7x + 3 = 0 के मूलों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

Find product of roots for 2x² + 7x + 3 = 0.

द्विघात समीकरण x² – 2x + 1 = 0 के लिए विवर्ण (Discriminant) निकालिए और मूलों की प्रकृति बताइए।

Calculate discriminant and nature of roots for x² – 2x + 1 = 0.

समीकरण 3x² – 5x + 2 = 0 को गुणनखंड विधि से हल कीजिए।

Solve 3x² – 5x + 2 = 0 by factorization.

x² + 5x + 6 = 0 के लिए सूत्र विधि से हल कीजिए।

Solve x² + 5x + 6 = 0 using quadratic formula.

y = x² – 4 के ग्राफ का संक्षिप्त वर्णन कीजिए।

Give a brief description of the graph of y = x² – 4.

5-Mark Questions (प्रत्येक 5 अंक)

निम्नलिखित द्विघात समीकरण को तीनों विधियों (गुणनखंड, पूर्ण वर्ग, सूत्र) से हल कीजिए:

x² – 5x + 6 = 0

Solve x² – 5x + 6 = 0 by all three methods.

एक आयत की लम्बाई, चौड़ाई से 3 मीटर अधिक है। यदि क्षेत्रफल 70 वर्ग मीटर है, तो उसकी लम्बाई एवं चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

Length of a rectangle is 3 m more than breadth. Area is 70 sq m. Find length and breadth.

सिद्ध कीजिए कि द्विघात समीकरण के मूलों का योग –b/a तथा गुणनफल c/a होता है।

Prove that sum of roots is –b/a and product is c/a for a quadratic equation.

किसी संख्या के वर्ग में 8 जोड़ने पर परिणाम 33 के बराबर हो जाता है। संख्या ज्ञात कीजिए।

When 8 is added to the square of a number, the result is 33. Find the number.

द्विघात समीकरण x² + bx + c = 0 के मूलों की प्रकृति D = b² – 4ac के आधार पर समझाइए तथा चित्र द्वारा स्पष्ट कीजिए।

Explain the nature of roots of x² + bx + c = 0 based on D = b² – 4ac, with diagram.

[Diagram: Description] परवलय तथा x-अक्ष के साथ तीन अवस्थाओं का चित्र: (i) दो बिंदुओं पर कटाव (D > 0), (ii) स्पर्श (D = 0), (iii) x-अक्ष को न काटना (D < 0)।

Parabola with x-axis showing: (i) intersection at two points (D > 0), (ii) tangent (D = 0), (iii) no intersection (D < 0).

अध्याय-सारांश (Chapter Summary)

द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में होते हैं, जहाँ a ≠ 0।
इनके हल के तीन मुख्य तरीके हैं: गुणनखंड, पूर्ण वर्ग, सूत्र विधि।
विवर्ण D = b² – 4ac के अनुसार मूलों की प्रकृति ज्ञात होती है।
द्विघात समीकरण का ग्राफ परवलय होता है।
द्विघात समीकरण का व्यवहारिक जीवन में व्यापक उपयोग है।
बोर्ड परीक्षा में इस अध्याय से विविध प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं, इसलिए प्रत्येक विधि का अभ्यास करें।

🔚 सम्पूर्ण अध्याय का अध्ययन करने के पश्चात, छात्र द्विघात समीकरणों की पहचान, हल करने की सभी विधियाँ, मूलों की प्रकृति तथा शब्द समस्याओं को हल करने में सक्षम होंगे।

After studying the complete chapter, students will be able to identify quadratic equations, apply all solution methods, determine nature of roots, and solve word problems.

मुख्य बिंदु (Key Points)

द्विघात समीकरण वह समीकरण है, जिसका रूप ax² + bx + c = 0 होता है, जहाँ a ≠ 0।
द्विघात समीकरण में चर का उच्चतम घातांक 2 होता है।
द्विघात समीकरण का मानक रूप ax² + bx + c = 0 होता है।
द्विघात समीकरण के मूल वे x के मान होते हैं, जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
द्विघात समीकरणों को गुणनखंड विधि, वर्ग पूर्ण करने की विधि या द्विघात सूत्र द्वारा हल किया जा सकता है।
द्विघात सूत्र: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)
b² - 4ac को द्विघात समीकरण का विविक्तक (D) कहते हैं।
यदि D > 0 हो, तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं।
यदि D = 0 हो, तो समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं।
यदि D < 0 हो, तो समीकरण के कोई वास्तविक मूल नहीं होते (मूल काल्पनिक होते हैं)।
मूलों का योग = -b/a तथा मूलों का गुणनफल = c/a होता है।
द्विघात समीकरण के हमेशा दो मूल होते हैं, जो वास्तविक या सम्मिश्र हो सकते हैं।

Key Points

A quadratic equation is an equation of the form ax² + bx + c = 0, where a ≠ 0.
The highest power of the variable in a quadratic equation is 2.
The standard form of a quadratic equation is ax² + bx + c = 0.
The roots of a quadratic equation are the values of x which satisfy the equation.
Quadratic equations can be solved by factorization, completing the square, or using the quadratic formula.
Quadratic formula: x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)
The expression b² - 4ac is called the discriminant (D) of the quadratic equation.
If D > 0, the equation has two distinct real roots.
If D = 0, the equation has two equal real roots.
If D < 0, the equation has no real roots (roots are imaginary).
Sum of the roots = -b/a and product of the roots = c/a.
A quadratic equation always has two roots, which may be real or complex.

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

समीकरण x^2 + 2x + 1 = 0 के लिए विवर्तक (D) का मान क्या है?

यदि x^2 - 4 = 0 का एक हल x = 2 है, तो दूसरा हल क्या है?

द्विघात समीकरण का प्रामाणिक रूप क्या है?

निम्नलिखित में से कौन-सा 'a' का मान ax^2 + bx + c को द्विघात समीकरण नहीं बनाएगा?

यदि विवर्तक D < 0 है, तो द्विघात समीकरण के मूल कैसे होंगे?

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द्विघात समीकरण (Quadratic Equations) एक नज़र में: द्विघात समीकरणों का रूप, हल करने की विधियाँ एवं उनके वास्तविक जीवन में उपयोग का अध्ययन इस अध्याय में किया…

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