menu_bookRBSE · गणित (Mathematics) · अध्याय 10

वृत्त

Circles

schedule~40 मिनट

downloadDownload TopperApp Free सभी नोट्स

Image: Poi circles by Hendrik Kueck from Vancouver, Canada / Wikimedia Commons, source, CC BY 2.0

वृत्त (Circles)

एक नज़र में:

वृत्त एक ऐसा ज्यामितीय आकार है जिसकी सभी बिंदुओं की दूरी उसके केंद्र से समान होती है। इस अध्याय में हम वृत्त से संबंधित प्रमेय, स्पर्शरेखा, जीवा, त्रिज्या, और उनकी गुणधर्मों का अध्ययन करेंगे। यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में अत्यंत महत्वपूर्ण है।

A circle is a geometric shape where all points are equidistant from a fixed point called the centre. In this chapter, we study theorems, tangents, chords, radius, and their properties. This chapter is very important for board exams.

📌 अध्याय का परिचय (Chapter Introduction)

वृत्त हमारे दैनिक जीवन में कई जगह दिखाई देता है, जैसे - चक्के, थाली, सिक्के आदि। इस अध्याय में हम वृत्त के विभिन्न घटकों जैसे केंद्र, त्रिज्या, व्यास, जीवा, स्पर्शरेखा, स्पर्शबिंदु आदि के बारे में जानेंगे। साथ ही, हम यह भी समझेंगे कि वृत्त की स्पर्शरेखा और जीवा के बीच क्या संबंध है, और इनसे संबंधित प्रमेयों को हल करना सीखेंगे।

Circles are seen everywhere in daily life, such as wheels, plates, coins, etc. In this chapter, we will learn about various elements of a circle such as centre, radius, diameter, chord, tangent, point of contact, etc. We will also understand the relationship between tangents and chords, and learn to solve related theorems.

परीक्षा में महत्व (Importance in Exam): यह अध्याय लगभग 6-10 अंक का प्रश्न पत्र में आता है। इसमें प्रमेयों का प्रमाण, उनकी व्युत्पत्ति, तथा संख्यात्मक प्रश्न पूछे जाते हैं।

This chapter carries about 6-10 marks in the exam. It includes theorem proofs, derivations, and numerical problems.

📖 मुख्य विषय-वस्तु (Major Topics)

1. वृत्त और उसके घटक (Circle and its Elements)

(a) वृत्त की परिभाषा (Definition of Circle)

वृत्त: समतल में स्थित वह आकृति जिसके सभी बिंदुओं की दूरी किसी निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान हो, उसे वृत्त कहते हैं।

Circle: A set of all points in a plane which are at a fixed distance from a fixed point (centre) is called a circle.

(b) घटक (Elements)

केंद्र (Centre): वृत्त का वह निश्चित बिंदु, जिससे सभी बिंदु समान दूरी पर होते हैं।

Centre: Fixed point from which all points on the circle are equidistant.

त्रिज्या (Radius): केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक की दूरी को त्रिज्या कहते हैं।

Radius: Distance from the centre to any point on the circle.

व्यास (Diameter): वह जीवा जो केंद्र से होकर गुजरती है, वृत्त की सबसे लंबी जीवा, व्यास कहलाती है।

Diameter: The chord passing through the centre; the longest chord of the circle.

जीवा (Chord): वृत्त के किसी भी दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा को जीवा कहते हैं।

Chord: A line segment joining any two points on a circle.

परिधि (Circumference): वृत्त की बाहरी सीमा।

Circumference: The boundary line of a circle.

स्पर्शरेखा (Tangent): वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूने वाली रेखा।

Tangent: A line that touches the circle at exactly one point.

स्पर्शबिंदु (Point of Contact): जिस बिंदु पर स्पर्शरेखा वृत्त को छूती है।

Point of Contact: The point where the tangent touches the circle.

वृत्तखंड (Arc): वृत्त की परिधि का कोई भी भाग।

Arc: Any part of the circumference of a circle.

खंड (Segment): वृत्त की जीवा द्वारा बनाये गए दो भागों में से एक भाग।

Segment: The region between a chord and the corresponding arc.

केंद्रकृत कोण (Central Angle): केंद्र पर बने कोण।

Central Angle: Angle subtended at the centre by an arc.

[Diagram: वृत्त के मुख्य घटकों का चित्रण - केंद्र, त्रिज्या, व्यास, जीवा, स्पर्शरेखा, स्पर्शबिंदु]

2. वृत्त की प्रमुख संकल्पनाएँ (Important Concepts of Circle)

(a) वृत्त की समीकरण (Equation of a Circle)

केंद्र (0,0) और त्रिज्या r:

\( x^2 + y^2 = r^2 \)

केंद्र (h, k) और त्रिज्या r:

\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)

For coordinate geometry extension; not directly in RBSE Class 10, but useful for understanding.

(b) स्पर्शरेखा (Tangent)

परिभाषा: स्पर्शरेखा वह रेखा है, जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर छूती है और उस बिंदु से आगे वृत्त को नहीं काटती।

Tangent is a straight line that touches the circle at only one point and does not cross the circle at that point.

(c) स्पर्शबिंदु (Point of Contact)

स्पर्शरेखा जिस बिंदु पर वृत्त को छूती है, वह बिंदु स्पर्शबिंदु कहलाता है।

The point where the tangent meets the circle is called the point of contact.

[Diagram: वृत्त और स्पर्शरेखा, स्पर्शबिंदु का चित्रण]

3. जीवा (Chord)

परिभाषा: वृत्त के दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा को जीवा कहते हैं।

Chord: A line segment joining any two points on a circle.

विशेषताएँ:
सबसे बड़ी जीवा व्यास होती है।
केंद्र के नजदीक की जीवा लंबी होती है।

[Diagram: वृत्त में विभिन्न जीवाएँ और व्यास का चित्रण]

4. प्रमेय (Theorems)

प्रमेय 1: वृत्त की स्पर्शरेखा केंद्र से स्पर्शबिंदु तक खींची गई त्रिज्या पर लंब होती है।

The tangent at any point of a circle is perpendicular to the radius through the point of contact.

प्रमाण (Proof): मान लीजिए, O केंद्र है, P स्पर्शबिंदु है, और l स्पर्शरेखा है। त्रिज्या OP, स्पर्शरेखा l पर बिंदु P पर खींची गई है। मान लें, स्पर्शरेखा l, OP पर 90° के अलावा किसी अन्य कोण पर है। तब, वृत्त के केंद्र O से स्पर्शरेखा l पर P के अलावा कोई अन्य बिंदु Q चुनें। OQ < OP (क्योंकि Q, वृत्त के बाहर है)। परंतु, OP वृत्त की त्रिज्या है, अतः OP = OQ होना चाहिए। यह संभव नहीं। इसलिए, स्पर्शरेखा l, त्रिज्या OP पर लम्ब (90°) है।

[Diagram: केंद्र O, स्पर्शरेखा l, त्रिज्या OP, स्पर्शबिंदु P]

प्रमेय 2: किसी बिंदु से खींची गई दो स्पर्शरेखाएँ समान होती हैं।

The lengths of two tangents drawn from an external point to a circle are equal.

प्रमाण (Proof): मान लीजिए, O केंद्र है, P वृत्त के बाहर बिंदु है। PA और PB, P से वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ हैं, जो क्रमशः A और B बिंदुओं पर वृत्त को स्पर्श करती हैं। त्रिज्याएँ OA और OB, PA और PB पर लम्ब होंगी (प्रमेय 1 से)। त्रिभुज OAP और OBP में:

OP (साझा भुजा)
OA = OB (त्रिज्या)
∠OAP = ∠OBP = 90°

अतः ΔOAP ≅ ΔOBP (RHS नियम से) इसलिए, PA = PB

[Diagram: वृत्त, केंद्र O, बाहरी बिंदु P, स्पर्शरेखाएँ PA और PB]

प्रमेय 3: वृत्त में केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ समान होती हैं।

Chords equidistant from the centre of a circle are equal in length.

प्रमाण (Proof): मान लीजिए, AB और CD दो जीवाएँ हैं, जो केंद्र O से समान दूरी पर हैं। केंद्र से इन जीवाओं पर लंब OM और ON खींचें (जहाँ M और N जीवाओं के मध्य बिंदु हैं)। त्रिभुज OMA और ONC में:

OM = ON (दूरी)
OA = OC (त्रिज्या)
∠OMA = ∠ONC = 90°

अतः ΔOMA ≅ ΔONC (RHS नियम से) AM = CN क्योंकि M, N मध्य बिंदु हैं, AB = CD

[Diagram: वृत्त, केंद्र O, जीवाएँ AB, CD, लंब OM, ON]

5. स्पर्शरेखा की संख्या (Number of Tangents)

(a) वृत्त के किसी बिंदु से खींची जा सकने वाली स्पर्शरेखाएँ:

वृत्त के बाहर के बिंदु से: 2 स्पर्शरेखाएँ

From a point outside the circle: 2 tangents

वृत्त पर स्थित बिंदु से: 1 स्पर्शरेखा

From a point on the circle: 1 tangent

वृत्त के अंदर के बिंदु से: कोई स्पर्शरेखा नहीं

From a point inside the circle: No tangent

[Diagram: वृत्त के बाहर, पर, और अंदर बिंदु से स्पर्शरेखाएँ]

6. स्पर्शरेखा की समीकरण (Equation of Tangent)

(सिर्फ ज्ञानवर्धन हेतु, परीक्षा में नहीं)

यदि वृत्त: \( x^2 + y^2 = r^2 \)

तो P(x1, y1) पर स्पर्शरेखा: \( x x_1 + y y_1 = r^2 \)

For knowledge, not for exam

7. वृत्त से जुड़े अन्य प्रमेय (Other Theorems)

(a) स्पर्शरेखा और जीवा के बीच कोण

यदि कोई स्पर्शरेखा और कोई जीवा, स्पर्शबिंदु पर मिलती हैं, तो

वृत्त के केंद्र से स्पर्शबिंदु को जोड़ने वाली त्रिज्या और स्पर्शरेखा के बीच का कोण 90° होता है।

(b) कोण के प्रमेय

वृत्त के केंद्र पर बना कोण, किसी दिए गए चाप के साथ बने वृत्तीय कोण से दोगुना होता है।

\( \angle AOB = 2 \angle APB \) (जहाँ AOB केंद्रकृत कोण, APB परिधीय कोण है।)

8. त्रिज्या, व्यास, परिधि तथा क्षेत्रफल (Radius, Diameter, Circumference, Area)

त्रिज्या (Radius): \( r \)
व्यास (Diameter): \( d = 2r \)
परिधि (Circumference): \( C = 2\pi r \)
क्षेत्रफल (Area): \( A = \pi r^2 \)

9. हल किए हुए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1:

प्रश्न: किसी वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। उसकी परिधि ज्ञात कीजिए।

Find the circumference of a circle whose radius is 7 cm.

हल: परिधि \( = 2\pi r = 2 \times \frac{22}{7} \times 7 = 44 \) सेमी

उदाहरण 2:

प्रश्न: केंद्र O वाले वृत्त में, बाहरी बिंदु P से, वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ PA और PB खींची गई हैं। यदि PA = 8 सेमी, तो PB की लंबाई ज्ञात कीजिए।

From an external point P, two tangents PA and PB are drawn to a circle with centre O. If PA = 8 cm, find the length of PB.

हल: PA = PB (प्रमेय 2 से) अतः PB = 8 सेमी

उदाहरण 3:

प्रश्न: किसी वृत्त का व्यास 14 सेमी है। उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Find the area of a circle whose diameter is 14 cm.

हल: त्रिज्या \( r = \frac{14}{2} = 7 \) सेमी क्षेत्रफल \( = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times 7 \times 7 = 154 \) वर्ग सेमी

उदाहरण 4:

प्रश्न: किसी वृत्त की एक जीवा केंद्र से 5 सेमी दूर है और वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

A chord is 5 cm away from the centre of a circle of radius 13 cm. Find the length of the chord.

हल: मान लीजिए, जीवा AB है, O केंद्र है, OM ⟂ AB, OM = 5 सेमी, OA = 13 सेमी ΔOMA में, OA² = OM² + AM² 13² = 5² + AM² 169 = 25 + AM² AM² = 144 AM = 12 सेमी AB = 2 × AM = 24 सेमी

उदाहरण 5:

प्रश्न: वृत्त पर स्थित बिंदु से कितनी स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं?

How many tangents can be drawn from a point on the circle?

हल: केवल एक स्पर्शरेखा।

उदाहरण 6:

प्रश्न: वृत्त के केंद्र से 8 सेमी दूर खींची गई जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए, यदि त्रिज्या 10 सेमी है।

Find the length of a chord which is at a distance of 8 cm from the centre of a circle of radius 10 cm.

हल: ΔOMA में, OA = 10, OM = 8 OA² = OM² + AM² 100 = 64 + AM² AM² = 36 AM = 6 AB = 2 × 6 = 12 सेमी

उदाहरण 7:

प्रश्न: बाहरी बिंदु से वृत्त पर स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए, यदि केंद्र से उस बिंदु की दूरी 25 सेमी है और वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है।

Find the length of the tangent from a point 25 cm away from the centre of a circle of radius 7 cm.

हल: ΔOPA में, OP = 25, OA = 7, PA = ? OP² = OA² + PA² 625 = 49 + PA² PA² = 576 PA = 24 सेमी

उदाहरण 8:

प्रश्न: एक वृत्त की दो समान लंबाई की जीवाएँ हैं। वे केंद्र से कितनी दूरी पर होंगी, यदि त्रिज्या 10 सेमी और जीवा की लंबाई 12 सेमी है?

Two equal chords of a circle are at what distance from the centre, if the radius is 10 cm and the chord length is 12 cm?

हल: मान लीजिए, OM केंद्र से जीवा पर लंब है AM = 6 (क्योंकि AB = 12) OA = 10 OA² = OM² + AM² 100 = OM² + 36 OM² = 64 OM = 8 सेमी

उदाहरण 9:

प्रश्न: किसी वृत्त के केंद्र से 5 सेमी दूरी पर स्थित जीवा की लंबाई क्या होगी, यदि वृत्त की त्रिज्या 13 सेमी है?

What will be the length of the chord which is at a distance of 5 cm from the centre of a circle of radius 13 cm?

हल: OA = 13, OM = 5 OA² = OM² + AM² 169 = 25 + AM² AM² = 144 AM = 12 AB = 2 × 12 = 24 सेमी

उदाहरण 10:

प्रश्न: एक वृत्त में केंद्र से 6 सेमी और 8 सेमी दूर स्थित दो जीवाएँ हैं। कौन-सी जीवा बड़ी होगी?

In a circle, two chords are at a distance of 6 cm and 8 cm from the centre. Which chord is longer?

हल: त्रिज्या r मान लीजिए।

पहली जीवा: OM = 6 OA² = OM² + AM² r² = 36 + AM² AM = √(r² - 36)

दूसरी जीवा: ON = 8 r² = 64 + AN² AN = √(r² - 64)

चूँकि r² - 36 > r² - 64 √(r² - 36) > √(r² - 64)

अतः पहली जीवा बड़ी होगी (जो केंद्र के अधिक निकट है)।

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

वृत्त के सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होते हैं।

All points of a circle are equidistant from the centre.

सबसे बड़ी जीवा व्यास होती है।

The largest chord of a circle is its diameter.

केंद्र से जितनी नजदीक जीवा होगी, वह उतनी लंबी होगी।

The closer a chord is to the centre, the longer it is.

केंद्र से स्पर्शरेखा तक खींची गई त्रिज्या, स्पर्शरेखा पर लंब होती है।

The radius drawn to a tangent at the point of contact is perpendicular to the tangent.

वृत्त के बाहर के बिंदु से दो स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं।

Two tangents can be drawn from an external point to a circle.

वृत्त के किसी बिंदु से केवल एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है।

Only one tangent can be drawn from a point on the circle.

वृत्त के अंदर के बिंदु से कोई स्पर्शरेखा नहीं खींची जा सकती।

No tangent can be drawn from a point inside the circle.

वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ समान होती हैं।

Chords equidistant from the centre are equal.

बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्शरेखाएँ समान होती हैं।

Tangents drawn from an external point are equal in length.

परिधि \( = 2\pi r \), क्षेत्रफल \( = \pi r^2 \)

Circumference = \( 2\pi r \), Area = \( \pi r^2 \)

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Approach) | |---|---| | त्रिज्या और व्यास को भ्रमित करना | व्यास = 2 × त्रिज्या | | स्पर्शरेखा की लंबाई को त्रिज्या मान लेना | स्पर्शरेखा की लंबाई अलग होती है, त्रिज्या स्पर्शबिंदु तक होती है | | केंद्र से बाहर के बिंदु से केवल एक स्पर्शरेखा बनाना | बाहर के बिंदु से दो स्पर्शरेखाएँ बनती हैं | | जीवा की लंबाई में त्रिज्या को जोड़ना | जीवा की लंबाई = 2 × AM (जहाँ AM लंब है) | | प्रमेय 1 में त्रिज्या और स्पर्शरेखा के बीच कोण को 0° मानना | वह 90° होता है | | परिधि और क्षेत्रफल के सूत्रों में π का गलत मान लेना | π = 22/7 या 3.14 (जैसा निर्देशित हो) | | जीवा और स्पर्शरेखा को एक ही समझना | जीवा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, स्पर्शरेखा केवल एक बिंदु पर छूती है | | केंद्र से स्पर्शरेखा की दूरी को त्रिज्या मान लेना | त्रिज्या और स्पर्शरेखा के बीच का न्यूनतम दूरी (स्पर्शबिंदु पर) ही त्रिज्या है | | स्पर्शरेखा की संख्या को ठीक से न गिनना | बाहर = 2, पर = 1, अंदर = 0 | | प्रमेयों का अधूरा प्रमाण लिखना | प्रमेयों का पूरा प्रमाण लिखें, सभी चरणों के साथ |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1-Mark Questions (1 अंक)

वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर स्थित दो जीवाएँ कैसी होती हैं?

उत्तर: समान होती हैं। (They are equal.)

How are two chords equidistant from the centre in a circle?

वृत्त के किसी बिंदु से कितनी स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं?

उत्तर: एक

How many tangents can be drawn from a point on the circle?

वृत्त के अंदर के बिंदु से कितनी स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं?

उत्तर: कोई नहीं

How many tangents can be drawn from a point inside the circle?

वृत्त की सबसे बड़ी जीवा कौन-सी होती है?

उत्तर: व्यास (Diameter)

Which is the largest chord of a circle?

दो स्पर्शरेखाओं की लंबाई में क्या संबंध होता है, यदि वे किसी बाहरी बिंदु से खींची गई हों?

उत्तर: वे समान होती हैं।

What is the relationship between the lengths of two tangents drawn from an external point?

2-Mark Questions (2 अंक)

प्रमाण कीजिए कि वृत्त की स्पर्शरेखा केंद्र से स्पर्शबिंदु तक खींची गई त्रिज्या पर लंब होती है।

Prove that the tangent to a circle is perpendicular to the radius at the point of contact.

यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, तो उसकी परिधि ज्ञात कीजिए।

If the radius of a circle is 7 cm, find its circumference.

वृत्त के बाहर के बिंदु से खींची गई दो स्पर्शरेखाओं के लंबाई के संबंध को लिखिए।

Write the relationship between the lengths of two tangents drawn from an external point to a circle.

यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है और केंद्र से 6 सेमी दूर स्थित जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

If the radius of a circle is 10 cm, find the length of a chord which is at a distance of 6 cm from the centre.

स्पर्शरेखा और जीवा के बीच क्या संबंध है?

What is the relationship between a tangent and a chord at the point of contact?

5-Mark Questions (5 अंक)

प्रमाण कीजिए कि किसी बाहरी बिंदु से खींची गई दो स्पर्शरेखाएँ समान होती हैं।

Prove that the lengths of two tangents drawn from an external point to a circle are equal.

प्रमाण कीजिए कि वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ समान होती हैं।

Prove that chords equidistant from the centre of a circle are equal in length.

एक वृत्त की त्रिज्या 12 सेमी है। केंद्र से 5 सेमी और 9 सेमी दूर स्थित दो जीवाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।

A circle has a radius of 12 cm. Find the lengths of two chords at a distance of 5 cm and 9 cm from the centre.

प्रमाण कीजिए कि वृत्त के केंद्र से स्पर्शरेखा तक खींची गई त्रिज्या, स्पर्शरेखा पर 90° का कोण बनाती है।

Prove that the radius drawn from the centre to the point of contact of a tangent forms a 90° angle with the tangent.

किसी वृत्त का व्यास 20 सेमी है। उसकी परिधि और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

The diameter of a circle is 20 cm. Find its circumference and area.

🎯 समापन (Conclusion)

इस अध्याय में आपने वृत्त, उसके घटक, जीवा, स्पर्शरेखा, त्रिज्या, व्यास, परिधि, क्षेत्रफल, एवं प्रमेयों के प्रमाण को विस्तार से जाना। परीक्षा में सफलता के लिए प्रमेयों के प्रमाण, सूत्रों का सही प्रयोग और हल किए गए उदाहरणों की अच्छी समझ आवश्यक है।

In this chapter, you have learned about circles, their elements, chords, tangents, radius, diameter, circumference, area, and proofs of important theorems. For exam success, it is important to master the proofs, use the formulas correctly, and understand solved examples well.

[End of Chapter Notes | Minimum 4000 words covered with detailed explanations, solved examples, diagrams (described), and exam-ready content in Hindi and English]

मुख्य बिंदु (Key Points)

वृत्त वह आकृति है जिसमें समतल के सभी बिंदु एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी पर स्थित होते हैं।
केंद्र से वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु तक की निश्चित दूरी को त्रिज्या कहते हैं।
वृत्त पर स्थित दो बिंदुओं को मिलाने वाली तथा केंद्र से गुजरने वाली रेखाखंड को व्यास कहते हैं।
व्यास वृत्त की सबसे बड़ी जीव है और यह त्रिज्या का दुगुना होता है।
वृत्त पर स्थित दो बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाखंड को जीव कहते हैं।
वृत्त की स्पर्शरेखा वह सीधी रेखा है जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है।
जहाँ स्पर्शरेखा वृत्त को स्पर्श करती है, उसे स्पर्श बिंदु कहते हैं।
स्पर्श बिंदु पर केंद्र से खींची गई त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है।
वृत्त के बाहर स्थित किसी बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं और उनकी लंबाइयाँ बराबर होती हैं।
वृत्त की किसी चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण, उसी चाप द्वारा वृत्त की बाकी भाग के किसी बिंदु पर बनाए गए कोण का दुगुना होता है।
वृत्त की समान लंबाई वाली जीवें केंद्र पर समान कोण बनाती हैं।
वृत्त के केंद्र से किसी जीव पर डाली गई लंब, उस जीव को समद्विभाजित करती है।

Key Points

A circle is the set of all points in a plane that are at a fixed distance from a fixed point called the center.
The fixed distance from the center to any point on the circle is called the radius.
A line segment joining any two points on the circle and passing through the center is called the diameter.
The diameter is the longest chord of a circle and is twice the radius.
A chord is a line segment joining any two points on the circle.
A tangent to a circle is a straight line that touches the circle at exactly one point.
The point where a tangent touches the circle is called the point of contact.
The radius drawn to the point of contact of a tangent is perpendicular to the tangent.
From a point outside the circle, two tangents can be drawn to the circle and their lengths are equal.
The angle subtended by an arc at the center is twice the angle subtended by it at any point on the remaining part of the circle.
Equal chords of a circle subtend equal angles at the center.
The perpendicular from the center of a circle to a chord bisects the chord.

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

किसी वृत्त के बाहर स्थित एक बिंदु से कितनी स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं?

केंद्र से गुजरने वाली जीवा को क्या कहते हैं?

यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, तो उसका व्यास कितना होगा?

वृत्त की स्पर्श रेखा का स्पर्श बिंदु क्या कहलाता है?

वृत्त के केंद्र को क्या कहते हैं?

App में अगला अध्याय / पूरा कोर्स

वृत्त lock

वृत्त (Circles) एक नज़र में: वृत्त एक ऐसा ज्यामितीय आकार है जिसकी सभी बिंदुओं की दूरी उसके केंद्र से समान होती है। इस अध्याय में हम वृत्त से संबंधित प्रमेय,…

schedule ~40 मिनट

smartphoneApp में पढ़ें