menu_bookRBSE · गणित (Mathematics) · अध्याय 3

दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म

Pair of Linear Equations in Two Variables

schedule~30 मिनट

downloadDownload TopperApp Free सभी नोट्स

दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

एक नज़र में: दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म का अध्याय हमें दो अज्ञातों वाले दो रैखिक समीकरणों को हल करने के विभिन्न तरीके सिखाता है, जिनका उपयोग दैनिक जीवन की समस्याओं को हल करने में किया जाता है। (This chapter teaches us different methods to solve a pair of linear equations in two variables, which are useful in solving real-life problems.)

📌 अध्याय का परिचय (Introduction)

रियल-लाइफ हुक: मान लीजिए, एक मिठाई की दुकान पर दो प्रकार की मिठाइयां हैं – बर्फी और लड्डू। बर्फी की कीमत ₹20 प्रति पीस और लड्डू की ₹10 प्रति पीस है। अगर आपने कुल 10 मिठाइयां खरीदीं और कुल बिल ₹150 आया, तो आपने कितनी बर्फी और कितने लड्डू खरीदे?

Imagine you buy burfis and laddus from a sweet shop. If burfi costs ₹20 each and laddu costs ₹10 each, you buy 10 sweets in total and pay ₹150. How many burfis and laddus did you buy?

इस अध्याय में आप सीखेंगे:

दो चरों में रैखिक समीकरण क्या होते हैं, उन्हें कैसे पहचानें
दो रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करने के विभिन्न तरीके
रेखाचित्र द्वारा समाधान की व्याख्या
वास्तविक जीवन की समस्याओं का समाधान

परीक्षा में महत्व: यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में 7-10 अंकों के प्रश्नों के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। ‘सॉल्व’ आधारित प्रश्न, शब्द समस्याएँ (word problems) और ग्राफिक समाधान इस अध्याय से अक्सर पूछे जाते हैं।

This chapter is crucial for scoring in board exams, with regular questions on solving equations, word problems, and graphical solutions.

📖 प्रमुख विषय-वस्तु (Major Topics)

1. रैखिक समीकरण क्या है? (What is a Linear Equation?)

परिभाषा (Definition)

दो चरों में रैखिक समीकरण: एक ऐसा समीकरण जिसमें दो अज्ञात (variables) होते हैं, और दोनों की घात (power) 1 होती है, उसे दो चरों में रैखिक समीकरण कहते हैं।

A linear equation in two variables is an equation of the form ax + by + c = 0, where a, b, and c are real numbers, and x and y are variables with power 1.

सामान्य रूप: ax + by + c = 0 जहाँ, a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं; a और b दोनों शून्य नहीं होते।

Standard form: ax + by + c = 0, where a, b, c are real numbers, and a and b are not both zero.

उदाहरण (Examples)

2x + 3y = 5
x – y + 4 = 0
5x + 7y – 9 = 0

2. रैखिक समीकरण का समाधान (Solution of Linear Equation)

हल (Solution): दो चरों में रैखिक समीकरण के हल वे युग्म (x, y) होते हैं, जो समीकरण को सत्य बनाते हैं।

The solution of a linear equation in two variables is a pair of values (x, y) that satisfy the equation.

असीमित हल (Infinite Solutions): एक रैखिक समीकरण के असीमित हल होते हैं, क्योंकि x के प्रत्येक मान के लिए y का एक मान मिलेगा।

A linear equation in two variables has infinitely many solutions.

उदाहरण (Example):

समीकरण: 2x + 3y = 12 अगर x = 0, तो 3y = 12 ⇒ y = 4, अगर x = 3, तो 2×3 + 3y = 12 ⇒ 6 + 3y = 12 ⇒ 3y = 6 ⇒ y = 2

तो, (0, 4) और (3, 2) इसके हल हैं।

3. दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

परिभाषा: दो रैखिक समीकरणों के युग्म को दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म कहते हैं।

A pair of linear equations in two variables consists of two equations, each of which is linear in the same two variables.

सामान्य रूप: a₁x + b₁y + c₁ = 0 a₂x + b₂y + c₂ = 0 जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ वास्तविक संख्याएँ हैं, और a₁² + b₁² ≠ 0, a₂² + b₂² ≠ 0

उदाहरण (Example):

x + 2y = 8 3x – y = 5

4. दो समीकरणों के युग्म का ज्यामितीय निरूपण (Geometric Representation)

स्पष्टीकरण: दो चरों में रैखिक समीकरण का ज्यामितीय निरूपण एक रेखा (straight line) होता है। अतः दो चरों में दो रैखिक समीकरणों का युग्म दो रेखाओं का निरूपण करता है।

Geometrically, each linear equation in two variables represents a straight line in the coordinate plane. So, a pair of linear equations represents two straight lines.

[Diagram:

Description – Draw two lines on the XY-plane, showing their intersection, parallelism, and coincidence.]

5. युग्म के हल की प्रकृति (Nature of Solutions of the Pair)

तीन संभावनाएँ (Three Possibilities):

| स्थिति (Situation) | रेखाएँ (Lines) | हल (Solutions) | |------------------------------------|----------------------|------------------| | 1. एक बिंदु पर मिलती हैं (Intersect at one point) | प्रतिच्छेद रेखाएँ (Intersecting) | एक अद्वितीय हल (Unique Solution) | | 2. समांतर रेखाएँ (Parallel) | कभी नहीं मिलती (Never intersect) | कोई हल नहीं (No Solution) | | 3. संयोगी रेखाएँ (Coincident) | पूरी तरह मिलती हैं (Coincident) | अनंत हल (Infinite Solutions) |

समीकरणों के गुणांक का अनुपात (Ratio of Coefficients):

एक हल (Unique Solution):

\(\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}\)

कोई हल नहीं (No Solution):

\(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}\)

अनंत हल (Infinite Solutions):

\(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}\)

उदाहरण (Examples):

x + y = 2

2x + 2y = 4 \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}\) ⇒ अनंत हल (Coincident lines)

2x – 3y = 8

4x – 6y = 9 \(\dfrac{2}{4} = \dfrac{-3}{-6} \ne \dfrac{8}{9}\) ⇒ कोई हल नहीं (Parallel lines)

6. दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म के हल के तरीके (Methods to Solve Pair of Linear Equations)

(A) रेखाचित्र विधि (Graphical Method)

विधि (Steps):

दोनों समीकरणों के लिए x और y के कुछ मान चुनें और बिंदु ज्ञात करें।
बिंदुओं को XY-कार्तीय तल पर चिह्नित करें।
दोनों रेखाएँ खींचें, जहाँ वे मिलती हैं वही हल है।

विशेष ध्यान: अगर रेखाएँ

एक बिंदु पर मिलती हैं – एक हल
समांतर – कोई हल नहीं
पूरी तरह मिलती – अनंत हल

[Diagram:

Description – Show two intersecting lines on the graph, label the point of intersection as the solution.]

Solved Example: समीकरण: x + y = 6, x – y = 2

| x | y (from 1st eqn) | y (from 2nd eqn, x=... ) | |---|-------------------|--------------------------| | 2 | 4 | 0 | | 4 | 2 | 2 | | 6 | 0 | 4 |

Plot and intersection at (4, 2).

(B) प्रतिस्थापन विधि (Substitution Method)

विधि (Steps):

एक समीकरण से किसी एक चर (x या y) को दूसरे चर के रूप में ज्ञात करें।
इसे दूसरे समीकरण में रखकर हल करें।
प्राप्त मान को पहले समीकरण में रखकर दूसरे चर का मान ज्ञात करें।

Solved Example: x + y = 7 ....(i) x – y = 3 ....(ii)

Step 1: (i) से x = 7 – y Step 2: (ii) में रखें: (7 – y) – y = 3 ⇒ 7 – 2y = 3 ⇒ 2y = 4 ⇒ y = 2 Step 3: x = 7 – 2 = 5

हल: x = 5, y = 2

(C) विलोपन (संयोजन) विधि (Elimination Method)

विधि (Steps):

दोनों समीकरणों को ऐसे गुणा करें कि x या y का गुणांक समान हो जाए।
दोनों समीकरणों को जोड़ें या घटाएँ, जिससे एक चर विलोपित हो जाए।
प्राप्त चर का मान दूसरे समीकरण में रखकर दूसरा चर ज्ञात करें।

Solved Example: 3x + 4y = 10 ...(i) 2x – 4y = 2 ...(ii)

Step 1: जोड़ें (i) + (ii) (3x + 4y) + (2x – 4y) = 10 + 2 5x = 12 ⇒ x = 12/5 = 2.4

Step 2: x का मान (i) में रखें: 3×2.4 + 4y = 10 7.2 + 4y = 10 ⇒ 4y = 2.8 ⇒ y = 0.7

हल: x = 2.4, y = 0.7

(D) गुणांक तुलना विधि (Cross Multiplication Method)

सामान्य रूप: a₁x + b₁y + c₁ = 0 a₂x + b₂y + c₂ = 0

सूत्र (Formula): \[ \frac{x}{(b_1c_2 - b_2c_1)} = \frac{y}{(c_1a_2 - c_2a_1)} = \frac{1}{(a_1b_2 - a_2b_1)} \]

विधि (Steps):

समीकरणों को सामान्य रूप में लिखें।
उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करें।

Solved Example: 2x + 3y = 13 3x – 2y = 4

Rewriting: 2x + 3y – 13 = 0 3x – 2y – 4 = 0

x / [(3)×(–4) – (–2)×(–13)] = y / [(–13)×3 – (–4)×2] = 1 / [2×(–2) – 3×3]

x / [–12 – 26] = y / [–39 + 8] = 1 / [–4 – 9] x / (–38) = y / (–31) = 1 / (–13)

x = (–38)/ (–13) = 38/13 y = (–31) / (–13) = 31/13

(E) अन्य विधियाँ (Other Methods)

विकर्ण विधि (Determinant/Cramer's Rule):

(सीखने के लिए उच्चतर कक्षाओं में उपयुक्त)

7. शब्द समस्याएँ (Word Problems)

Approach:

समस्या को पढ़कर x, y के लिए चर निर्धारित करें।
दोनों समीकरण स्थापित करें।
उपयुक्त विधि से हल करें।

उदाहरण (Example):

Q: दो संख्याओं का योग 20 है। पहली संख्या दूसरी से 4 अधिक है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

The sum of two numbers is 20. The first number is 4 more than the second. Find the numbers.

Let first number = x, second = y x + y = 20 x = y + 4 ⇒ x – y = 4

Solve: x + y = 20 x – y = 4

जोड़ें: 2x = 24 ⇒ x = 12 y = 20 – 12 = 8

उत्तर: 12 और 8

8. रेखाचित्र द्वारा हल के प्रकार (Types of Solutions by Graphs)

[Diagram: Description]

दो रेखाएँ एक बिंदु पर मिलती हैं – एक हल (Unique Solution)
दो रेखाएँ समांतर – कोई हल नहीं (No Solution)
दो रेखाएँ पूरी तरह मिलती – अनंत हल (Infinite Solutions)

9. दैनिक जीवन में अनुप्रयोग (Applications in Daily Life)

आयु संबंधी प्रश्न (Age problems)
मिश्रण संबंधी प्रश्न (Mixture problems)
दूरी, समय, गति (Distance, Time, Speed)
पैसों का लेन-देन (Money transactions)

10. दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म का सारांश (Summary)

रैखिक समीकरण का सामान्य रूप ax + by + c = 0
दो समीकरणों का युग्म दो रेखाओं का निरूपण करता है
हल के प्रकार: एक हल, कोई हल नहीं, अनंत हल
हल करने की विधियाँ: रेखाचित्र, प्रतिस्थापन, विलोपन, गुणांक तुलना

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points) [At least 10]

दो चरों में रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 के असीमित हल होते हैं।

A linear equation in two variables has infinite solutions.

दो रैखिक समीकरणों के युग्म का समाधान (x, y) वह बिंदु है जहाँ दोनों समीकरण संतुष्ट होते हैं।

The solution is the point (x, y) that satisfies both equations.

समीकरणों के युग्म का हल रेखाचित्र में रेखाओं के प्रतिच्छेद से मिलता है।

Graphically, the solution is the intersection point of the lines.

\(\dfrac{a_1}{a_2} \ne \dfrac{b_1}{b_2}\) होने पर एक हल होता है।

Unique solution if the ratios of coefficients of x and y are not equal.

\(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}\) होने पर कोई हल नहीं।

No solution if the ratios of coefficients of x and y are equal but not equal to the ratio of constants.

\(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} = \dfrac{c_1}{c_2}\) होने पर अनंत हल।

Infinite solutions if all three ratios are equal.

प्रतिस्थापन विधि में एक समीकरण से एक चर को व्यक्त कर दूसरे में रखा जाता है।

In substitution, express one variable in terms of the other.

विलोपन विधि में एक चर को हटाकर दूसरा ज्ञात करते हैं।

In elimination, eliminate one variable to solve for the other.

शब्द समस्याओं में उपयुक्त चरों की परिभाषा बहुत महत्वपूर्ण है।

Define variables clearly in word problems.

बोर्ड परीक्षा में ग्राफ बनाते समय स्केल, बिंदु, और रेखा को स्पष्ट बनाना चाहिए।

While drawing graphs in exams, use clear scale, mark points, and draw lines properly.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Method) | |----------------|-----------------------------| | समीकरणों को सामान्य रूप में न लिखना | समीकरणों को ax + by + c = 0 में लिखें | | जोड़/घटाव करते समय संकेत बदलना भूलना | संकेतों का ध्यान रखें (signs) | | अनुपात की गलत गणना | अनुपात सही ढंग से निकालें | | ग्राफ बनाते समय गलत बिंदु लेना | बिंदुओं की जाँच करें | | चर की परिभाषा न करना | x, y को स्पष्ट रूप से परिभाषित करें | | हल के बाद जाँच न करना | हल को दोनों समीकरणों में जाँचें | | decimal calculation में त्रुटि | गणना सावधानीपूर्वक करें | | एक ही समीकरण को दो बार लेना | दोनों समीकरण अलग-अलग हों | | variable बदलना (x, y को उल्टा रखना) | प्रारंभिक परिभाषा के अनुसार चलें | | शब्द समस्या में समीकरण गलत बनाना | समस्या को ध्यान से पढ़ें और समीकरण स्थापित करें |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)

1-मार्क प्रश्न (1-mark Questions)

दो चरों में रैखिक समीकरण का सामान्य रूप क्या है?

What is the standard form of a linear equation in two variables?

समीकरण x – 2y = 5 का एक हल लिखिए।

Write one solution of x – 2y = 5.

दो समीकरणों के युग्म का ज्यामितीय निरूपण क्या है?

What is the geometric representation of a pair of linear equations?

2-मार्क प्रश्न (2-mark Questions)

जाँचिए कि निम्न समीकरणों के युग्म का हल है या नहीं:

x + 2y = 5, 3x – y = 4 पर (x, y) = (2, 1)

Check whether (2, 1) is a solution of x + 2y = 5, 3x – y = 4.

समीकरण 2x + 3y = 9 और 4x + 6y = 18 का हल बताइए।

Find the solution of 2x + 3y = 9 and 4x + 6y = 18.

\(\dfrac{a_1}{a_2} = \dfrac{b_1}{b_2} \ne \dfrac{c_1}{c_2}\) का क्या अर्थ है?

What does it mean if the ratios of coefficients are equal but not equal to the ratio of constants?

5-मार्क प्रश्न (5-mark Questions)

निम्न समीकरणों को विलोपन विधि द्वारा हल कीजिए:

x + y = 10, x – y = 4

Solve the following equations by elimination method: x + y = 10, x – y = 4.

एक स्कूल में कक्षा 10 के छात्रों की कुल संख्या 80 है। लड़कों की संख्या लड़कियों से 10 अधिक है। लड़के और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

The total number of students in class 10 is 80. The number of boys is 10 more than girls. Find the number of boys and girls.

एक दुकानदार ने दो प्रकार की पेंसिल खरीदीं – एक की कीमत ₹3 प्रति पीस और दूसरी की ₹5 प्रति पीस। कुल 50 पेंसिलों के लिए ₹200 भुगतान किया। प्रत्येक प्रकार की पेंसिल की संख्या ज्ञात कीजिए।

A shopkeeper buys two types of pencils at ₹3 each and ₹5 each. For a total of 50 pencils, he pays ₹200. Find the number of each type.

ग्राफ की सहायता से निम्न समीकरणों का हल ज्ञात कीजिए:

2x + y = 8, x – y = 2

Solve the following equations graphically: 2x + y = 8, x – y = 2.

यदि दो रैखिक समीकरणों के युग्म के हल का प्रकार समझाइए, जब

(i) रेखाएँ समांतर हों (ii) रेखाएँ संयोगी हों (iii) रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हों।

Explain the types of solutions for a pair of linear equations when lines are (i) parallel, (ii) coincident, (iii) intersecting.

[Diagram: Description]

Graph of two intersecting lines: Draw axes, plot points from both equations, draw lines, label intersection as solution.
Parallel lines: Draw two lines with same slope, not meeting.
Coincident lines: Draw a single line, both equations represented by the same line.

अध्याय का सार: दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म गणित की आधारशिला है, जिसका प्रयोग दैनिक जीवन की समस्याओं के समाधान एवं उच्च गणित की नींव के लिए किया जाता है।

This chapter forms the foundation for solving real-life and advanced mathematical problems.

[End of Notes]

मुख्य बिंदु (Key Points)

दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म को a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के रूप में लिखा जा सकता है।
रैखिक समीकरण युग्म का हल वह बिंदु (x, y) होता है, जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है।
यदि समीकरण युग्म का केवल एक हल है, तो इसे सुसंगत (consistent) कहते हैं और रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
यदि समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है, तो इसे असंगत (inconsistent) कहते हैं और रेखाएँ समांतर होती हैं।
यदि समीकरण युग्म के अनंत हल हैं, तो समीकरण आश्रित (dependent) होते हैं और रेखाएँ एक-दूसरे पर स्थित होती हैं।
एक अद्वितीय हल के लिए शर्त है: (a₁/a₂) ≠ (b₁/b₂)।
कोई हल न होने की शर्त है: (a₁/a₂) = (b₁/b₂) ≠ (c₁/c₂)।
अनंत हलों की शर्त है: (a₁/a₂) = (b₁/b₂) = (c₁/c₂)।
हल करने की विधियाँ: आलेखीय, प्रतिस्थापन, विलोपन, तथा क्रॉस-गुणन विधि।
आलेखीय विधि में प्रत्येक समीकरण एक सीधी रेखा दर्शाता है।
प्रतिस्थापन विधि में एक चर को दूसरे चर के रूप में व्यक्त कर, उसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है।
विलोपन विधि में गुणांक बराबर कर, जोड़ या घटाव द्वारा एक चर को समाप्त किया जाता है।

Key Points

A pair of linear equations in two variables can be written in the form: a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0.
The solution of a pair of linear equations is the point (x, y) that satisfies both equations.
If the pair of equations has exactly one solution, it is called consistent and the lines intersect at a point.
If the pair of equations has no solution, it is called inconsistent and the lines are parallel.
If the pair of equations has infinitely many solutions, the equations are dependent and the lines coincide.
The condition for a unique solution is: (a₁/a₂) ≠ (b₁/b₂).
The condition for no solution is: (a₁/a₂) = (b₁/b₂) ≠ (c₁/c₂).
The condition for infinitely many solutions is: (a₁/a₂) = (b₁/b₂) = (c₁/c₂).
Methods to solve: Graphical, Substitution, Elimination, and Cross-multiplication.
In the graphical method, each equation represents a straight line.
In the substitution method, one variable is expressed in terms of the other and substituted in the second equation.
In the elimination method, coefficients are made equal and one variable is eliminated by addition or subtraction.

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

निम्न में से कौन-सा दो चरों में रैखिक समीकरण नहीं है?

x + 2y = 5 और 3x + ky = 15 समीकरणों का अद्वितीय हल किस k के लिए होगा?

दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म का सामान्य रूप क्या है?

दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए निम्न में से कौन-सा तरीका उपयोग किया जा सकता है?

यदि दो रेखाएँ समांतर हैं, तो उनके रैखिक समीकरण युग्म के कितने हल होंगे?

App में अगला अध्याय / पूरा कोर्स

दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म lock

दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables) एक नज़र में: दो चरों में रैखिक समीकरण युग्म का अध्याय हमें दो अज्ञातों वाले दो रैखिक…

schedule ~30 मिनट

smartphoneApp में पढ़ें