पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
Surface Areas and Volumes
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पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes)
एक नज़र में:
यह अध्याय त्रिविमीय ज्यामितीय आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) और आयतन (Volume) की गणना के सूत्र, अनुप्रयोग और विविध समस्याओं का अध्ययन करता है। (This chapter deals with the formulas, applications, and problem-solving of surface areas and volumes of three-dimensional geometrical shapes.)
📌 अध्याय का परिचय
वास्तविक जीवन में उपयोग: क्या आपने कभी एक पानी की टंकी का आयतन निकालने की आवश्यकता महसूस की है या अपने कमरे की दीवारों को रंगने के लिए क्षेत्रफल की गणना की है? ऐसे कई दैनिक जीवन के कार्य हैं, जिनमें पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना की आवश्यकता होती है।
Have you ever needed to calculate the volume of a water tank or the area of walls to paint your room? Many real-life tasks require the calculation of surface area and volume.
विद्यार्थी क्या सीखेंगे:
- विभिन्न त्रिविमीय आकृतियों (जैसे घन, घनाभ, गोला, बेलन, शंकु, गोलार्ध) के पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन के सूत्र।
- जटिल आकृतियों के संयोग, परिवर्तन या काट-छांट से जुड़े प्रश्न हल करना।
- सूत्रों का व्यावहारिक उपयोग व अनुप्रयोग।
- परीक्षा में पूछे जाने वाले प्रश्नों के हल की रणनीति।
Students will learn surface area and volume formulas for cube, cuboid, sphere, cylinder, cone, hemisphere, solve problems involving combination and conversion of solids, and apply these concepts in real-life and exams.
परीक्षा में महत्त्व: यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में 7-10 अंकों तक के प्रश्नों के लिए महत्त्वपूर्ण है। यहाँ से 1, 2, और 5 अंकों के प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं।
This chapter is important for 7-10 marks in the board exam, with frequent 1, 2, and 5 mark questions.
📖 मुख्य विषय (Major Topics)
1. घन (Cube)
परिभाषा (Definition)
एक घन एक ठोस आकृति है, जिसके सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोने समकोण होते हैं।
A cube is a solid with all sides equal and all angles right angles.
पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area)
- सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area):
\[ TSA = 6a^2 \] जहाँ, \( a \) = एक भुजा की लंबाई (side length)
- वक्र/विस्तृत पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral Surface Area):
\[ LSA = 4a^2 \] (सिर्फ चार पार्श्वीय सतहों का क्षेत्रफल)
आयतन (Volume)
\[ V = a^3 \]
Volume of cube = side × side × side
हल उदाहरण (Solved Example)
Q: एक घन की भुजा 5 सेमी है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
A cube has side 5 cm. Find its total surface area and volume.
Solution:
- TSA = 6 × (5)² = 6 × 25 = 150 cm²
- Volume = (5)³ = 125 cm³
2. घनाभ (Cuboid)
परिभाषा (Definition)
तीन भिन्न आयामों (लंबाई, चौड़ाई, ऊँचाई) वाली आयताकार ठोस आकृति को घनाभ कहते हैं।
A cuboid is a solid with three different dimensions: length, breadth, and height.
पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area)
- सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area):
\[ TSA = 2(lb + bh + hl) \] जहाँ, \( l \) = लंबाई (length), \( b \) = चौड़ाई (breadth), \( h \) = ऊँचाई (height)
- वक्र/विस्तृत पृष्ठीय क्षेत्रफल (Lateral Surface Area):
\[ LSA = 2h(l + b) \]
आयतन (Volume)
\[ V = l \times b \times h \]
हल उदाहरण (Solved Example)
Q: एक घनाभ की लंबाई 8 सेमी, चौड़ाई 6 सेमी, और ऊँचाई 5 सेमी है। सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
A cuboid has length 8 cm, breadth 6 cm, height 5 cm. Find its total surface area and volume.
Solution:
- TSA = 2[(8×6)+(6×5)+(5×8)] = 2[48+30+40] = 2[118] = 236 cm²
- Volume = 8 × 6 × 5 = 240 cm³
3. बेलन (Cylinder)
परिभाषा (Definition)
दो समानांतर वृत्तीय आधारों और एक वक्र पृष्ठ द्वारा घिरी ठोस आकृति को बेलन कहते हैं।
A cylinder is a solid with two parallel circular bases joined by a curved surface.
पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area)
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area, CSA):
\[ CSA = 2\pi rh \] जहाँ, \( r \) = आधार का त्रिज्या (radius), \( h \) = ऊँचाई (height)
- सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area, TSA):
\[ TSA = 2\pi r(h + r) \] (दोनों आधारों और वक्र पृष्ठ का योग)
आयतन (Volume)
\[ V = \pi r^2 h \]
हल उदाहरण (Solved Example)
Q: एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी तथा ऊँचाई 10 सेमी है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
A cylinder has radius 7 cm and height 10 cm. Find its total surface area and volume.
Solution:
- TSA = 2 × (22/7) × 7 × (10+7) = 2 × 22 × 17 = 748 cm²
- Volume = (22/7) × 7 × 7 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1540 cm³
4. शंकु (Cone)
परिभाषा (Definition)
एक आधार वृत्त और एक शीर्ष (vertex) से बनी त्रिविमीय आकृति को शंकु कहते हैं।
A cone is a three-dimensional shape with a circular base and a vertex.
पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area)
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area, CSA):
\[ CSA = \pi r l \] जहाँ, \( l \) = शंकु की अपवर्तक (slant height), \( r \) = त्रिज्या (radius) \[ l = \sqrt{r^2 + h^2} \]
slant height formula
- सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area, TSA):
\[ TSA = \pi r (l + r) \]
आयतन (Volume)
\[ V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \]
हल उदाहरण (Solved Example)
Q: एक शंकु की त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
A cone has radius 3 cm and height 4 cm. Find its total surface area and volume.
Solution:
- Slant height, \( l = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5 \) cm
- TSA = π × 3 × (5+3) = π × 3 × 8 = 24π ≈ 75.4 cm²
- Volume = (1/3) × π × 3² × 4 = (1/3) × π × 9 × 4 = (1/3) × π × 36 = 12π ≈ 37.7 cm³
5. गोला (Sphere)
परिभाषा (Definition)
सभी बिंदु जो एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित हैं, मिलकर गोला बनाते हैं।
A sphere is a set of all points in space at a fixed distance from a center.
पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area)
\[ SA = 4\pi r^2 \]
आयतन (Volume)
\[ V = \frac{4}{3}\pi r^3 \]
हल उदाहरण (Solved Example)
Q: एक गोले की त्रिज्या 7 सेमी है। उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
A sphere has radius 7 cm. Find its surface area and volume.
Solution:
- SA = 4 × (22/7) × 7 × 7 = 4 × 22 × 7 = 616 cm²
- Volume = (4/3) × (22/7) × 7 × 7 × 7 = (4/3) × 22 × 49 = (4 × 22 × 49)/3 ≈ 1435.6 cm³
6. अर्द्धगोला (Hemisphere)
परिभाषा (Definition)
एक गोले को उसके केन्द्र से काटने पर बनने वाली प्रत्येक आकृति अर्द्धगोला कहलाती है।
A hemisphere is half of a sphere.
पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area)
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area, CSA):
\[ CSA = 2\pi r^2 \]
- सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area, TSA):
\[ TSA = 3\pi r^2 \] (वक्र पृष्ठ + आधार वृत्त का क्षेत्रफल)
आयतन (Volume)
\[ V = \frac{2}{3}\pi r^3 \]
हल उदाहरण (Solved Example)
Q: एक अर्द्धगोले की त्रिज्या 10 सेमी है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन ज्ञात कीजिए।
A hemisphere has radius 10 cm. Find its total surface area and volume.
Solution:
- TSA = 3 × (22/7) × 10 × 10 = 3 × 22 × 100 / 7 ≈ 942.86 cm²
- Volume = (2/3) × (22/7) × 10 × 10 × 10 = (2 × 22 × 1000) / (3 × 7) ≈ 2095.24 cm³
7. ठोसों का संयोजन (Combination of Solids)
परिभाषा (Definition)
जब दो या दो से अधिक ठोस आकृतियों को जोड़कर या काटकर नई आकृति बनाई जाती है, तो उसे ठोसों का संयोजन कहते हैं।
When two or more solids are combined or cut to form a new shape, it is called combination of solids.
उदाहरण (Examples)
- एक बेलन के ऊपर एक शंकु रखा गया है (A cone on top of a cylinder)
- एक घन में से एक गोला निकाल दिया गया है (A sphere cut out from a cube)
हल उदाहरण (Solved Example)
Q: एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है जिसके ऊपर उसी त्रिज्या का शंकु रखा गया है जिसकी ऊँचाई 5 सेमी है। सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A cylinder of radius 7 cm and height 10 cm has a cone of same radius and height 5 cm on top. Find total surface area.
Solution:
- बेलन का CSA = 2πrh = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 cm²
- शंकु का CSA = πrl, \( l = \sqrt{7^2+5^2} = \sqrt{49+25} = \sqrt{74} ≈ 8.6 \)
CSA = (22/7) × 7 × 8.6 ≈ 22 × 8.6 = 189.2 cm²
- दोनों के आधार का वृत्तीय क्षेत्रफल एक बार ही गिना जाएगा: πr² = (22/7) × 7 × 7 = 154 cm²
- Total Surface Area = 440 + 189.2 + 154 = 783.2 cm²
8. ठोसों का रूपांतरण (Conversion of Solids)
परिभाषा (Definition)
जब एक ठोस आकृति को पिघलाकर दूसरी आकृति बनायी जाती है, तो उसे ठोसों का रूपांतरण कहते हैं।
When a solid is melted and recast into another shape, it is called conversion of solids.
सूत्र (Formula)
पिघलाने पर कुल आयतन अपरिवर्तित रहता है।
Total volume remains constant during melting and recasting.
\[ \text{पहली आकृति का आयतन} = \text{नई आकृति का आयतन} \]
हल उदाहरण (Solved Example)
Q: एक घनाभ जिसकी लंबाई 20 सेमी, चौड़ाई 10 सेमी और ऊँचाई 5 सेमी है, को पिघलाकर 1 सेमी त्रिज्या वाली छोटी गोलियों में ढाला गया। कुल कितनी गोलियाँ बनेंगी?
A cuboid of 20 cm × 10 cm × 5 cm is melted into small spheres of radius 1 cm. How many spheres are formed?
Solution:
- घनाभ का आयतन = 20 × 10 × 5 = 1000 cm³
- एक गोले का आयतन = (4/3)π(1)³ = (4/3)π cm³
- गोलियों की संख्या = 1000 ÷ (4/3)π = 1000 × (3/4) × (1/π) ≈ 238.7 ≈ 238 गोलियाँ
9. वृत्तीय छड़ों की लम्बाई (Length of Circular Rods and Pipes)
सूत्र (Formula)
यदि किसी धातु के तार/छड़/पाइप को पिघलाकर अलग आकार में ढाला जाए, तो आयतन समान रहता है।
\[ \text{पहले आकृति का आयतन} = \text{नई आकृति का आयतन} \]
हल उदाहरण (Solved Example)
Q: 44 सेमी³ आयतन की एक बेलनाकार छड़ की त्रिज्या 2 सेमी है। उसकी लम्बाई ज्ञात कीजिए।
A cylindrical rod has volume 44 cm³ and radius 2 cm. Find its length.
Solution:
- Volume = πr²h ⇒ 44 = (22/7) × 2 × 2 × h
- 44 = (22/7) × 4 × h
- 44 = (88/7) × h
- h = 44 × 7 / 88 = 308 / 88 = 3.5 cm
10. दैनिक जीवन में अनुप्रयोग (Applications in Daily Life)
- पानी की टंकी, तेल के ड्रम, गैस सिलेंडर, दूध के टिन, गोलियां आदि के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन।
- दीवारों को रंगने, तार लगवाने, पाइप फिटिंग, आदि में क्षेत्रफल/आयतन की गणना।
- औद्योगिक उत्पादनों में ठोसों का संयोजन/रूपांतरण।
Applications: water tanks, oil drums, gas cylinders, painting walls, fitting pipes, industrial production.
[Diagram:
- घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला, अर्द्धगोला, ठोसों के संयोजन के आकृतियाँ। (Drawings of cube, cuboid, cylinder, cone, sphere, hemisphere, combinations.)
- ठोसों के रूपांतरण का चित्र: एक ठोस आकृति पिघलकर दूसरी आकृति बन जाती है। (Melting and recasting illustration.)
]
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)
- सभी पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्र याद रखें।
Memorize all surface area and volume formulas.
- π (pi) का मान सामान्यतः 22/7 या 3.14 लिया जाता है।
Take π as 22/7 or 3.14 as per question.
- सभी मात्राएँ समान इकाई में रखें (cm, m आदि)।
Keep all quantities in the same unit.
- ठोसों के संयोजन/रूपांतरण में कुल आयतन समान रहता है।
Total volume remains unchanged in combination/conversion.
- क्षेत्रफल वर्ग इकाई में (cm², m²), आयतन घन इकाई में (cm³, m³) लिखा जाता है।
Write area in square units, volume in cubic units.
- शंकु की अपवर्तक लंबाई \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \) से निकालें।
Calculate slant height of cone using \( l = \sqrt{r^2 + h^2} \).
- अर्द्धगोला के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में आधार का क्षेत्रफल जोड़ना न भूलें।
Don’t forget to add base area in hemisphere’s total surface area.
- ठोसों के संयोजन में समान आधार को दो बार न गिनें।
Don’t count common base twice in combination problems.
- दैनिक जीवन के अनुप्रयोगों में सही आकृति की पहचान करें।
Identify correct shape in real-life applications.
- उत्तर में इकाई (unit) अवश्य लिखें।
Always write unit in the answer.
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |-----------------------------------------------------|--------------------------------------------------------------| | त्रिज्या और व्यास (radius and diameter) में भ्रम | व्यास = 2 × त्रिज्या, सही मान का उपयोग करें। (Use correct value: diameter = 2 × radius) | | इकाइयों का मिलान न करना (unit mismatch) | सभी आयाम एक ही इकाई में रखें। (Keep all dimensions in same unit) | | पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्रों में उलझन | सही सूत्र का चुनाव करें। (Use correct formula for area/volume) | | π का गलत मान लेना (wrong value of π) | प्रश्न में दिए अनुसार 22/7 या 3.14 का उपयोग करें। (Use π as given or standard) | | अर्द्धगोला के TSA में आधार का क्षेत्रफल छोड़ देना | TSA = 3πr² लें। (Include base area in hemisphere TSA) | | ठोसों के संयोजन में साझा सतह को दो बार जोड़ना | साझा सतह को केवल एक बार जोड़ें। (Count common surface only once) | | शंकु की अपवर्तक लंबाई न निकालना | l = √(r² + h²) से slant height निकालना न भूलें। (Don't forget to calculate slant height) | | उत्तर में इकाई न लिखना | प्रत्येक उत्तर के साथ इकाई अवश्य लिखें। (Always write unit with answer) |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)
1 अंक के प्रश्न (1 Mark Questions)
- घन की एक भुजा 4 सेमी है। उसका आयतन क्या होगा?
A cube has side 4 cm. What is its volume?
- गोला का पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र लिखिए।
Write the formula for surface area of a sphere.
- बेलन की वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र क्या है?
What is the formula for curved surface area of a cylinder?
- शंकु की अपवर्तक लंबाई कैसे निकालते हैं?
How is the slant height of a cone calculated?
- 1 मीटर = ? सेमी
1 meter = ? cm
2 अंक के प्रश्न (2 Mark Questions)
- 7 सेमी त्रिज्या और 14 सेमी ऊँचाई वाला बेलन का आयतन ज्ञात कीजिए।
Find the volume of a cylinder with radius 7 cm and height 14 cm.
- एक घन के सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्र लिखिए।
Write formulas for total surface area and volume of a cube.
- एक अर्द्धगोले की त्रिज्या 3.5 सेमी है। उसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Find total surface area of a hemisphere with radius 3.5 cm.
- शंकु की त्रिज्या 6 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है। उसकी अपवर्तक लंबाई ज्ञात करें।
Find slant height of cone with radius 6 cm, height 8 cm.
5 अंक के प्रश्न (5 Mark Questions)
- एक घनाभ की लंबाई 15 सेमी, चौड़ाई 10 सेमी, और ऊँचाई 8 सेमी है। उसे पिघलाकर 5 सेमी त्रिज्या और 10 सेमी ऊँचाई वाले बेलन में ढाला गया। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
A cuboid of 15 cm × 10 cm × 8 cm is melted and recast into a cylinder of radius 5 cm. Find height of the cylinder.
- एक ठोस धातु का गोला जिसकी त्रिज्या 9 सेमी है, को पिघलाकर 1.5 सेमी त्रिज्या वाली छोटी गोलियों में ढाला गया। कितनी गोलियाँ बनेंगी?
A solid sphere of radius 9 cm is melted into small spheres of radius 1.5 cm. How many spheres will be formed?
- एक पानी की टंकी बेलनाकार है जिसकी त्रिज्या 1.4 मीटर और ऊँचाई 3 मीटर है। उसमें अधिकतम कितने लीटर पानी भरा जा सकता है?
A cylindrical water tank has radius 1.4 m and height 3 m. What is the maximum capacity in litres?
- एक बेलन के ऊपर शंकु रखा गया है। दोनों की त्रिज्या 7 सेमी है, बेलन की ऊँचाई 10 सेमी और शंकु की ऊँचाई 5 सेमी है। सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A cone is placed on top of a cylinder. Both have radius 7 cm, cylinder height 10 cm, cone height 5 cm. Find total surface area.
- एक कमरे की लंबाई 5 मीटर, चौड़ाई 4 मीटर, और ऊँचाई 3 मीटर है। चारों दीवारों को रंगने के लिए क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
A room is 5 m long, 4 m wide and 3 m high. Find area to be painted on four walls.
[नोट: बोर्ड परीक्षा में प्रश्नों की भाषा हिंदी एवं अंग्रेज़ी दोनों में आती है। इसलिए प्रश्नों को दोनों भाषाओं में पढ़ें और समझें।]
इस अध्याय की गहराई से समझ, सूत्रों का अभ्यास, और हल उदाहरणों का अनुकरण आपको परीक्षा में उत्कृष्ट अंक दिलाने में सहायक होगा!
A thorough understanding, formula practice, and solved examples will help you score high in exams!
मुख्य बिंदु (Key Points)
- घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(lb + bh + hl) होता है, जहाँ l, b, h क्रमशः लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई हैं।
- घनाभ का आयतन l × b × h होता है।
- घन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 6a² होता है, जहाँ a घन की भुजा है।
- घन का आयतन a³ होता है।
- वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πrh होता है, जहाँ r त्रिज्या और h ऊँचाई है।
- वृत्तीय बेलन का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr(r + h) होता है।
- वृत्तीय बेलन का आयतन πr²h होता है।
- शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल πrl होता है, जहाँ l तिर्यक ऊँचाई है।
- शंकु का सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल πr(r + l) होता है।
- शंकु का आयतन (1/3)πr²h होता है।
- गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr² होता है।
- गोले का आयतन (4/3)πr³ होता है।
Key Points
- The surface area of a cuboid is given by 2(lb + bh + hl), where l, b, and h are length, breadth, and height respectively.
- The volume of a cuboid is l × b × h.
- The total surface area of a cube is 6a², where a is the length of an edge.
- The volume of a cube is a³.
- The curved surface area (CSA) of a cylinder is 2πrh, where r is the radius and h is the height.
- The total surface area (TSA) of a cylinder is 2πr(r + h).
- The volume of a cylinder is πr²h.
- The curved surface area of a cone is πrl, where l is the slant height.
- The total surface area of a cone is πr(r + l).
- The volume of a cone is (1/3)πr²h.
- The surface area of a sphere is 4πr².
- The volume of a sphere is (4/3)πr³.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
लंबाई l, चौड़ाई b और ऊँचाई h वाले घनाभ का आयतन क्या है?
बेलन का आयतन निम्न में से किससे दिया जाता है?
आधार त्रिज्या r और तिर्यक ऊँचाई l वाले शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है:
त्रिज्या r वाले गोले का आयतन का सूत्र क्या है?
एक गोले की त्रिज्या 7 सेमी है। उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?
App में अगला अध्याय / पूरा कोर्स
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन lock
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Areas and Volumes) एक नज़र में: यह अध्याय त्रिविमीय ज्यामितीय आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) और आयतन (Volume)…
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