menu_bookRBSE · गणित (Mathematics) · अध्याय 6

त्रिभुज

Triangles

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Image: Equilateral triangle with median by SG0039 / Wikimedia Commons, source, CC0

त्रिभुज (Triangles)

एक नज़र में:

त्रिभुज ज्यामिति का एक मूलभूत अध्याय है, जिसमें त्रिभुज की परिभाषा, प्रकार, प्रमेय, समानता तथा संगति, और उनसे जुड़े सूत्रों का अध्ययन किया जाता है। यह अध्याय बोर्ड परीक्षा में अत्यंत महत्वपूर्ण है तथा इसमें से प्रतिवर्ष निश्चित रूप से प्रश्न पूछे जाते हैं।

In a nutshell: This chapter deals with triangles, their types, properties, congruence, similarity, key theorems, and related formulas. It is vital for exams and questions from this chapter are asked every year.

📌 अध्याय का परिचय

त्रिभुज, ज्यामिति का सबसे सरल और महत्वपूर्ण बहुभुज (Polygon) है, जिसका अध्ययन हमारे दैनिक जीवन में विभिन्न क्षेत्रों जैसे वास्तुकला, इंजीनियरिंग, कला आदि में भी उपयोगी है। इस अध्याय में आप त्रिभुज की मूल बातें, उनके प्रकार, त्रिभुजों की समानता (Similarity), संगति (Congruence), प्रमेय (Theorems) तथा अनुप्रयोगों को सीखेंगे।

Introduction: The triangle is the simplest and most important polygon in geometry. Its concepts are useful in various fields such as architecture, engineering, and art. In this chapter, you will learn about triangles, their types, similarity, congruence, important theorems, and their applications.

अध्ययन के उद्देश्य (Learning Objectives)

त्रिभुज की परिभाषा, प्रकार एवं प्रमुख गुणधर्मों का अध्ययन
त्रिभुजों की समानता एवं संगति की पहचान
प्रमेयों का प्रयोग कर जटिल समस्याओं का समाधान
बोर्ड परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करना

परीक्षा में महत्त्व (Exam Importance)

1, 2, 3, 5 अंक के प्रश्न
प्रमेयों के प्रमाण व अनुप्रयोग
आरेख (Diagrams) आधारित प्रश्न
MCQ तथा assertion-reason type प्रश्न

📖 प्रमुख विषयवस्तु (Major Topics)

1. त्रिभुज की परिभाषा एवं प्रकार (Definition and Types of Triangles)

त्रिभुज क्या है? (What is a Triangle?)

त्रिभुज (Triangle) एक ऐसा बंद आकृति है, जो तीन रेखा खंडों (Line Segments) द्वारा निर्मित होती है और जिसमें तीन कोण (Angles) तथा तीन भुजाएँ (Sides) होती हैं।

A triangle is a closed figure made with three line segments, having three sides and three angles.

त्रिभुज के प्रकार (Types of Triangles)

त्रिभुजों का वर्गीकरण दो आधारों पर किया जाता है:

भुजाओं के आधार पर (On the basis of sides)
कोणों के आधार पर (On the basis of angles)

(A) भुजाओं के आधार पर (By Sides)

समभुज त्रिभुज (Equilateral Triangle):

सभी भुजाएँ समान होती हैं।

All sides are equal.

सभी कोण 60° के होते हैं।

Each angle is 60°.

[Diagram: एक समभुज त्रिभुज जिसमें सभी भुजाएँ बराबर दर्शाई गई हैं।]

समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles Triangle):

दो भुजाएँ समान होती हैं।

Two sides are equal.

उनके सम्मुख कोण भी समान होते हैं।

Angles opposite to equal sides are also equal.

[Diagram: एक समद्विबाहु त्रिभुज, दो भुजाएँ बराबर चिन्हित।]

विषमभुज त्रिभुज (Scalene Triangle):

सभी भुजाएँ अलग-अलग होती हैं।

All sides are of different lengths.

सभी कोण भी भिन्न होते हैं।

All angles are different.

(B) कोणों के आधार पर (By Angles)

न्यूनकोण त्रिभुज (Acute-angled Triangle):

तीनों कोण 90° से छोटे होते हैं।

All angles are less than 90°.

समकोण त्रिभुज (Right-angled Triangle):

एक कोण 90° का होता है।

One angle is exactly 90°.

अन्य दो कोण मिलाकर 90° होते हैं।

Other two angles sum up to 90°.

[Diagram: एक समकोण त्रिभुज, एक समकोण चिन्हित।]

अधिककोण त्रिभुज (Obtuse-angled Triangle):

एक कोण 90° से बड़ा होता है।

One angle is more than 90°.

2. त्रिभुज के गुणधर्म (Properties of Triangles)

(A) कोणों का योग (Sum of Angles)

किसी भी त्रिभुज के तीनों आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।

The sum of the three interior angles of a triangle is always 180°.

सिद्ध (Proof):

एक समांतर रेखा खींचकर, वैकल्पिक कोणों का प्रयोग करें।
[Diagram: त्रिभुज ABC, BC के समानांतर एक रेखा PQ, कोणों का मिलान।]

(B) बाह्य कोण का गुणधर्म (Exterior Angle Property)

किसी भी त्रिभुज का बाह्य कोण (Exterior Angle) अपने अपस्थित दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है।

The exterior angle of a triangle is equal to the sum of the two opposite interior angles.

सिद्ध (Proof):

ΔABC में, बाह्य कोण = ∠A + ∠B
[Diagram: त्रिभुज ABC, बाह्य कोण दर्शाया गया।]

(C) त्रिभुज विषमता असमानता (Triangle Inequality Theorem)

किसी भी त्रिभुज की दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।

The sum of any two sides of a triangle is always greater than the third side.

(D) सबसे बड़ी भुजा के सामने सबसे बड़ा कोण (Largest Side Opposite Largest Angle)

त्रिभुज में, सबसे बड़ी भुजा के सामने सबसे बड़ा कोण होता है और सबसे छोटी भुजा के सामने सबसे छोटा कोण।

In a triangle, the largest angle is opposite the largest side, and vice versa.

3. त्रिभुज की संगति (Congruence of Triangles)

संगति (Congruence)

दो त्रिभुज संगत (Congruent) होते हैं यदि वे आकार (Shape) व आकार (Size) में समान हों।

Two triangles are congruent if they are identical in shape and size.

संगति के नियम (Criteria for Congruence)

त्रिभुजों की संगति के चार प्रमुख नियम हैं:

SSS (Side-Side-Side) नियम:

यदि दो त्रिभुजों की तीनों-तीनों भुजाएँ क्रमशः बराबर हों, तो वे संगत होते हैं।

If all three sides of two triangles are equal, they are congruent.

SAS (Side-Angle-Side) नियम:

यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर हो, तो वे संगत होते हैं।

If two sides and the included angle of two triangles are equal, they are congruent.

ASA (Angle-Side-Angle) नियम:

यदि दो त्रिभुजों के दो कोण और उनके बीच की भुजा बराबर हो, तो वे संगत होते हैं।

If two angles and the included side are equal, they are congruent.

RHS (Right angle-Hypotenuse-Side) नियम:

यदि दो समकोण त्रिभुजों में कर्ण (Hypotenuse) और एक अन्य भुजा बराबर हो, तो वे संगत होते हैं।

If in two right triangles, the hypotenuse and one side are equal, they are congruent.

संगति के अनुप्रयोग (Applications)

त्रिभुजों के क्षेत्रफल, कोण, भुजाएँ ज्ञात करना
ज्यामितीय निर्माणों में समरूपता जाँचना

Example (Solved): Q: यदि ΔABC और ΔDEF में AB = DE, BC = EF, CA = FD, तो क्या दोनों त्रिभुज संगत हैं? A: हाँ, SSS नियम से।

Yes, by SSS rule.

4. त्रिभुज की समानता (Similarity of Triangles)

समानता (Similarity)

दो त्रिभुज समान (Similar) होते हैं यदि उनके सभी कोण समान हों और उनकी संगत भुजाओं का अनुपात समान हो।

Two triangles are similar if their corresponding angles are equal and the corresponding sides are in the same ratio.

समानता के नियम (Criteria for Similarity)

AAA (Angle-Angle-Angle) या AA (Angle-Angle) नियम:

यदि दो त्रिभुजों के दो कोण बराबर हों, तो तीसरा स्वतः बराबर होगा और त्रिभुज समान होंगे।

If two angles of one triangle are equal to two angles of another, the triangles are similar.

SSS (Side-Side-Side) समानता नियम:

यदि दो त्रिभुजों की सभी भुजाओं का अनुपात समान हो, तो वे समान हैं।

If the ratios of the corresponding sides are equal, the triangles are similar.

SAS (Side-Angle-Side) समानता नियम:

यदि दो त्रिभुजों की दो भुजाओं का अनुपात समान हो और उनके बीच का कोण बराबर हो, तो वे समान हैं।

If two sides are in the same ratio and the included angle is equal, triangles are similar.

समानता के अनुप्रयोग (Applications)

ऊँचाई, दूरी, छाया आदि ज्ञात करने में
समरूप आकृतियों की पहचान

Example (Solved): Q: ΔABC और ΔDEF में ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, तो क्या दोनों त्रिभुज समान हैं? A: हाँ, AA नियम से।

Yes, by AA rule.

5. समानता की प्रमेयें (Theorems on Similarity)

(A) थेल्स का प्रमेय (Thales’ Theorem) या समानुपाती रेखा प्रमेय (Basic Proportionality Theorem - BPT)

प्रमेय: यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा को काटने वाली रेखा अन्य दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह रेखा उन भुजाओं के समानांतर होगी।

If a line is drawn parallel to one side of a triangle to intersect the other two sides, it divides those sides in the same ratio.

सिद्ध (Proof):

ΔABC में, DE || BC, D और E क्रमशः AB और AC पर
तो, AD/DB = AE/EC
[Diagram: त्रिभुज ABC, DE || BC, अनुपात दर्शाया गया।]

Example (Solved): Q: ΔABC में DE || BC, यदि AD = 1.5, DB = 3, AE = 2, तो EC = ? A: AD/DB = AE/EC ⇒ 1.5/3 = 2/EC ⇒ EC = 4

(B) समानता का प्रमेय (Similarity Theorem)

यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ अन्य त्रिभुज की दो भुजाओं के समान अनुपात में हों और उनके बीच का कोण बराबर हो, तो दोनों त्रिभुज समान होते हैं।

If two sides of a triangle are in proportion to two sides of another triangle and included angles are equal, triangles are similar.

6. त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of Triangle)

क्षेत्रफल के सूत्र (Formulas for Area)

आधार × ऊँचाई:

क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

Area = ½ × base × height

हीरोन का सूत्र (Heron's Formula):

यदि त्रिभुज की तीनों भुजाएँ a, b, c हैं, तो s = (a + b + c)/2 (अर्ध परिमाप, semi-perimeter) क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]

Example (Solved): Q: त्रिभुज की भुजाएँ 7cm, 8cm, 9cm हैं। क्षेत्रफल ज्ञात करें। A: s = (7+8+9)/2 = 12 Area = √[12×5×4×3] = √720 = 26.83 cm²

7. समकोण त्रिभुज और पाइथागोरस प्रमेय (Right Triangle and Pythagoras Theorem)

पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem)

यदि किसी त्रिभुज का एक कोण 90° हो, तो

If a triangle has a right angle, then

प्रमेय: कर्ण² = आधार² + ऊँचाई²

Hypotenuse² = Base² + Height²

Example (Solved): Q: समकोण त्रिभुज में आधार = 6 cm, ऊँचाई = 8 cm, तो कर्ण = ? A: कर्ण² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100 ⇒ कर्ण = 10 cm

8. त्रिभुज के रेखांश (Lines and Segments Associated with Triangle)

मध्यिका (Median):

वह रेखा, जो किसी शिखर (Vertex) से विपरीत भुजा के मध्य बिंदु तक जाती है।

A line joining a vertex to the midpoint of the opposite side.

लंब (Altitude):

वह रेखा, जो किसी शिखर से विपरीत भुजा या उसके विस्तार पर लम्बवत् जाती है।

A perpendicular from a vertex to the opposite side or its extension.

कोण द्विभाजक (Angle Bisector):

वह रेखा, जो किसी कोण को दो बराबर भागों में बाँटती है।

A line dividing an angle into two equal parts.

लंब मध्यिका (Perpendicular Bisector):

वह रेखा, जो किसी भुजा को उसके मध्य बिंदु पर 90° पर काटती है।

A line which bisects a side at 90° at its midpoint.

ऊष्णकेंद्र, अंतःकेंद्र, बहिर्केंद्र, लंबरंभ (Centroid, Incentre, Circumcentre, Orthocentre):

मध्यिका का छेदन बिंदु = ऊष्णकेंद्र (Centroid)
कोण द्विभाजकों का छेदन बिंदु = अंतःकेंद्र (Incentre)
लंब मध्यिकाओं का छेदन बिंदु = बहिर्केंद्र (Circumcentre)
लंबों का छेदन बिंदु = लंबरंभ (Orthocentre)

9. त्रिभुज के अनुप्रयोग (Applications of Triangles)

इमारतों की ऊँचाई, पेड़ों की छाया, नदी की चौड़ाई आदि मापने में
त्रिकोणमिति में आधारभूत
वास्तुकला, इंजीनियरिंग, ड्राइंग में
मानचित्र, सर्वेक्षण, निर्माण कार्य आदि में

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)

त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।

Sum of interior angles is 180°.

बाह्य कोण = अपस्थित आंतरिक कोणों का योग।

Exterior angle = sum of opposite interior angles.

किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा होता है।

Sum of any two sides > third side.

समभुज त्रिभुज के सभी कोण 60° होते हैं।

All angles of equilateral triangle are 60°.

संगति के प्रमुख नियम: SSS, SAS, ASA, RHS।

Congruence rules: SSS, SAS, ASA, RHS.

समानता के मुख्य नियम: AAA (AA), SSS, SAS।

Similarity rules: AA, SSS, SAS.

पाइथागोरस प्रमेय केवल समकोण त्रिभुज में लागू होती है।

Pythagoras theorem applies only to right triangles.

क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

Area = ½ × base × height.

हीरोन का सूत्र तब प्रयोग करें जब तीनों भुजाएँ ज्ञात हों।

Use Heron's formula if all three sides are known.

BPT (Thales' Theorem) का प्रयोग अनुपात ज्ञात करने में करें।

Use BPT for finding ratios in triangles.

त्रिभुज के मध्यिका, लंब, कोण द्विभाजक, लंब मध्यिका, आदि की परिभाषाएँ याद रखें।

Remember definitions of median, altitude, angle bisector, perpendicular bisector.

सबसे बड़ी भुजा के सामने सबसे बड़ा कोण होता है।

Largest angle is opposite the largest side.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक (No.) | गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |---|------------------------------|----------------------| | 1 | त्रिभुज के कोणों का योग 180° न मानना | त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 180° होता है। (Sum always 180°) | | 2 | SSS नियम को समानता के लिए प्रयोग करना | SSS नियम संगति के लिए, SSS अनुपात समानता के लिए। (SSS is for congruence, SSS in ratio is for similarity)| | 3 | पाइथागोरस प्रमेय सभी त्रिभुजों में लागू करना | केवल समकोण त्रिभुज में लागू करें। (Only in right triangles)| | 4 | आधार और ऊँचाई सही नहीं पहचानना | ऊँचाई हमेशा आधार पर लंब होती है। (Height is perpendicular to base)| | 5 | संगति और समानता में अंतर न समझना | संगति में आकार व आकार समान; समानता में केवल आकार समान, भुजा अनुपात में। (Congruence: same size & shape; Similarity: same shape, side ratio)| | 6 | Thales’ Theorem के अनुप्रयोग में अनुपात उल्टा लिखना | अनुपात: AD/DB = AE/EC (Correct ratio order)| | 7 | हीरोन के सूत्र में s गलत निकालना | s = (a+b+c)/2 (Correct semi-perimeter)| | 8 | कोणों के नामों या भुजाओं की संगति गलत लिखना | हमेशा संगत कोणों/भुजाओं का मिलान सही करें।| | 9 | RHS नियम को गैर-समकोण त्रिभुज में लागू करना | RHS केवल समकोण त्रिभुज के लिए।| | 10| क्षेत्रफल की इकाई लिखना भूल जाना | हमेशा cm², m² आदि इकाई लिखें।|

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)

1-अंकीय प्रश्न (1-mark Questions)

त्रिभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग कितना होता है?

उत्तर: 180°

What is the sum of all interior angles of a triangle?

समभुज त्रिभुज में प्रत्येक कोण का मान क्या होता है?

उत्तर: 60°

What is the value of each angle in an equilateral triangle?

पाइथागोरस प्रमेय किस त्रिभुज पर लागू होती है?

उत्तर: समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle)

Which triangle does Pythagoras theorem apply to?

संगति के कितने नियम हैं?

उत्तर: 4 (SSS, SAS, ASA, RHS)

How many rules of congruence are there?

BPT का पूर्ण नाम क्या है?

उत्तर: Basic Proportionality Theorem

What is the full form of BPT?

2-अंकीय प्रश्न (2-mark Questions)

यदि ΔABC में ∠A = 90°, AB = 5 cm, AC = 12 cm, तो BC ज्ञात करें।

उत्तर: BC² = AB² + AC² = 25 + 144 = 169 ⇒ BC = 13 cm

If ΔABC has ∠A = 90°, AB = 5 cm, AC = 12 cm, find BC.

ΔPQR और ΔXYZ में ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, क्या दोनों त्रिभुज समान होंगे?

उत्तर: हाँ, AA नियम से दोनों त्रिभुज समान होंगे।

If in ΔPQR and ΔXYZ, ∠P = ∠X, ∠Q = ∠Y, are the triangles similar?

ΔDEF में DE = 3cm, EF = 4cm, FD = 5cm. क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर: s = (3+4+5)/2 = 6 Area = √[6×3×2×1] = √36 = 6 cm²

Find area of triangle with sides 3, 4, 5 cm.

ΔABC में DE || BC, यदि AD = 2, DB = 3, AE = 4, तो EC = ?

(In ΔABC, DE || BC, AD = 2, DB = 3, AE = 4, find EC.) उत्तर: AD/DB = AE/EC ⇒ 2/3 = 4/EC ⇒ EC = 6

5-अंकीय प्रश्न (5-mark Questions)

थेल्स के प्रमेय का प्रमाण दीजिए।

उत्तर: [Proof as in the textbook, with diagram: ΔABC, DE || BC, D on AB, E on AC. Draw lines and show AD/DB = AE/EC using similar triangles.]

Prove Thales’ Theorem (Basic Proportionality Theorem).

ΔABC में, AB = 6 cm, AC = 8 cm, DE || BC, D on AB such that AD = 3 cm. AE = 4 cm, E on AC. ज्ञात करें:

(a) DB (b) EC (c) DE का BC से अनुपात उत्तर: (a) AD/DB = AE/EC ⇒ 3/DB = 4/EC AB = AD + DB ⇒ 6 = 3 + DB ⇒ DB = 3 cm AC = AE + EC ⇒ 8 = 4 + EC ⇒ EC = 4 cm DE/BC = AD/AB = 3/6 = 1/2

ΔABC और ΔPQR में

AB = 2PQ, BC = 2QR, AC = 2PR, यदि ∠B = ∠Q, तो दिखाइए कि दोनों त्रिभुज समान हैं। उत्तर: भुजाएँ अनुपात में और समवर्ती कोण बराबर ⇒ SAS समानता नियम से समान।

If in ΔABC and ΔPQR, sides are in ratio 2:1 and ∠B = ∠Q, prove triangles are similar.

एक समकोण त्रिभुज के आधार, ऊँचाई और कर्ण में संबंध स्थापित कीजिए तथा उदाहरण सहित समझाइए।

उत्तर: कर्ण² = आधार² + ऊँचाई² (पाइथागोरस प्रमेय)। जैसे, आधार = 5, ऊँचाई = 12 ⇒ कर्ण = 13

Establish the relationship between sides in a right triangle with example.

हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधि समझाइए।

उत्तर: भुजाएँ ज्ञात हों तो s = (a+b+c)/2 Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)] उदाहरण सहित (as above).

Explain method of finding area of triangle using Heron's formula.

[अतिरिक्त अभ्यास के लिए]

अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

ΔABC में, AB = 7 cm, AC = 10 cm, BC = 9 cm. क्षेत्रफल ज्ञात करें।
त्रिभुज के तीनों रेखांशों (मध्यिका, लंब, कोण द्विभाजक) को आरेख सहित समझाइए।
ΔDEF में ∠E = 90°, DE = 8 cm, EF = 15 cm, DF ज्ञात करें।
यदि ΔPQR और ΔXYZ में PQ/XY = QR/YZ = PR/XZ, तो क्या दोनों त्रिभुज समान हैं? किस नियम से?
समद्विबाहु त्रिभुज के दो कोण 70°-70° हैं, तीसरा कोण ज्ञात करें।

[समाप्त]

यह अध्ययन-सामग्री बोर्ड परीक्षा के लिए पूर्ण, सुव्यवस्थित और दोभाषीय (NCERT-स्तर) है। सभी प्रमुख विषय, प्रमेय, सूत्र, उदाहरण, परीक्षा-प्रश्न, गलतियाँ, और परीक्षा टिप्स शामिल हैं।

This is a complete, structured, bilingual NCERT-level study resource for RBSE boards, covering all key topics, theorems, formulas, examples, exam questions, mistakes, and tips.

मुख्य बिंदु (Key Points)

त्रिभुज एक बहुभुज है जिसमें तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं।
त्रिभुज के सभी कोणों का योग सदैव 180 डिग्री होता है।
भुजाओं के आधार पर त्रिभुज के प्रकार: विषमभुज, समद्विबाहु और समभुज।
कोणों के आधार पर त्रिभुज के प्रकार: तीक्ष्णकोणीय, समकोणीय और स्थूलकोणीय त्रिभुज।
समभुज त्रिभुज में सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर होते हैं (प्रत्येक कोण 60° होता है)।
पाइथागोरस प्रमेय: समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²।
त्रिभुजों की सर्वांगसमता: SSS, SAS, ASA, RHS मापदंड।
समान्तर त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं और संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।
मूल समानुपात प्रमेय (थेल्स प्रमेय): यदि त्रिभुज की एक भुजा के समांतर एक रेखा खींची जाए, तो वह शेष दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई।
हीरोन सूत्र: क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], जहाँ s = (a+b+c)/2।
समान्तर त्रिभुजों में, उनके क्षेत्रों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।

Key Points

A triangle is a polygon with three sides and three angles.
The sum of the angles of a triangle is always 180 degrees.
Types of triangles based on sides: scalene, isosceles, and equilateral.
Types of triangles based on angles: acute, right, and obtuse triangle.
In an equilateral triangle, all sides and all angles are equal (each angle is 60°).
Pythagoras Theorem: In a right triangle, (Hypotenuse)² = (Base)² + (Perpendicular)².
Congruence of triangles: SSS, SAS, ASA, RHS criteria.
Similar triangles have equal corresponding angles and proportional corresponding sides.
Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem): If a line is drawn parallel to one side of a triangle, it divides the other two sides in the same ratio.
Area of a triangle = 1/2 × base × height.
Heron's formula: Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], where s = (a+b+c)/2.
In similar triangles, the ratio of the areas is equal to the square of the ratio of their corresponding sides.

इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)

समकोण त्रिभुज में, समकोण के विपरीत भुजा को क्या कहते हैं?

दो त्रिभुजों को सर्वांगसम सिद्ध करने के लिए कौन-सा नियम प्रयोग होता है जब दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण बराबर हो?

निम्नलिखित में से कौन-सा सभी त्रिभुजों का गुण है?

किस त्रिभुज की सभी भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं?

यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण बराबर हैं, तो प्रत्येक कोण का मान क्या होगा?

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त्रिभुज (Triangles) एक नज़र में: त्रिभुज ज्यामिति का एक मूलभूत अध्याय है, जिसमें त्रिभुज की परिभाषा, प्रकार, प्रमेय, समानता तथा संगति, और उनसे जुड़े सूत्रों का…

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