कणों के निकाय और घूर्णी गति
Systems of Particles and Rotational Motion
कणों के निकाय और घूर्णी गति
Systems of Particles and Rotational Motion
एक नज़र में (At a Glance):
यह अध्याय कणों के निकायों की सामूहिक गति, द्रव्यमान का केंद्र, केंद्रकर्षण, जड़त्व आघूर्ण, घूर्णी गति के समीकरण, तथा इनसे जुड़े नियमों का अध्ययन करता है। यह विषय वस्त्र, मशीनरी, ब्रह्मांडीय पिंडों आदि की गति को समझने में महत्त्वपूर्ण है।
This chapter covers collective motion of systems of particles, centre of mass, torque, moment of inertia and rotational motion equations. These concepts are crucial to understand the motion of rigid bodies, machinery, celestial objects, etc.
📌 अध्याय का परिचय (Chapter Introduction)
कणों का निकाय (System of particles) वह है जिसमें दो या दो से अधिक कण एक साथ किसी निश्चित परस्पर क्रिया के साथ जुड़े होते हैं। वास्तविक दुनिया में अधिकांश वस्तुएँ कणों के निकाय होती हैं। इनकी गति का अध्ययन करने के लिए तीन प्रमुख अवधारणाएँ आवश्यक हैं:
- द्रव्यमान केंद्र (Centre of Mass)
- जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia)
- घूर्णी गति (Rotational Motion)
कणों के निकाय के अध्ययन से हम यह समझ सकते हैं कि कैसे किसी कठोर पिंड या वस्तु के सभी कण मिलकर सामूहिक रूप से गति करते हैं।
A system of particles is a collection of two or more particles interacting with each other. Most real-world objects are systems of particles. Studying their motion involves three main concepts: Centre of Mass, Moment of Inertia, and Rotational Motion.
📖 प्रमुख विषय (Major Topics)
1. कणों का निकाय (System of Particles)
परिभाषा (Definition): जब दो या दो से अधिक कण आपस में बल लगाते हैं और एक साथ किसी पिंड का निर्माण करते हैं, तो उसे कणों का निकाय कहते हैं।
A system of particles is a collection of two or more particles which interact with each other by forces.
उदाहरण (Examples):
- पृथ्वी, सूर्य और ग्रहों का निकाय (System of earth, sun, and planets)
- खेल की गेंद (Football)
- गाड़ी का पहिया (Car wheel)
2. द्रव्यमान केंद्र (Centre of Mass)
परिभाषा (Definition): किसी निकाय के सभी कणों का द्रव्यमान एक बिंदु पर एकत्र कर दिया जाए, ताकि उस बिंदु पर लगने वाले बल से निकाय वही गति करे जो वास्तविक बल से करता है, तो उस बिंदु को द्रव्यमान केंद्र कहते हैं।
Centre of Mass is the point where the entire mass of a system can be considered to be concentrated for translational motion analysis.
द्रव्यमान केंद्र की स्थिति (Position of Centre of Mass):
a) दो कणों के लिए (For two particles): मान लीजिए दो कण, द्रव्यमान \(m_1\) और \(m_2\), स्थानों \(x_1\) और \(x_2\) पर हैं। Then, \[ x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} \]
b) एन कणों के लिए (For n particles): \[ \vec{R}_{CM} = \frac{\sum_{i=1}^n m_i \vec{r}_i}{\sum_{i=1}^n m_i} \]
जहाँ, \(\vec{R}_{CM}\) = द्रव्यमान केंद्र का स्थान (Position of centre of mass) \(m_i\) = iवें कण का द्रव्यमान (mass of i-th particle) \(\vec{r}_i\) = iवें कण का स्थान सदिश (position vector of i-th particle)
लगातार वितरित द्रव्यमान के लिए (For continuous mass distribution):
\[ \vec{R}_{CM} = \frac{1}{M} \int \vec{r} \, dm \] जहाँ \(M\) कुल द्रव्यमान है। (Where \(M\) is total mass.)
विशेष उदाहरण (Special Cases):
- समवितरित छड़ (Uniform Rod):
द्रव्यमान केंद्र मध्य बिंदु पर होता है। (Centre of mass at midpoint.)
- समवितरित वृत्त (Uniform Ring):
द्रव्यमान केंद्र वृत्त के केंद्र पर। (Centre of mass at centre.)
सुलझाया गया उदाहरण (Solved Example):
Q. दो कण, द्रव्यमान 2 kg और 3 kg, क्रमशः बिंदु (1,0) m और (3,0) m पर हैं। द्रव्यमान केंद्र कहाँ है? A: \[ x_{CM} = \frac{2 \times 1 + 3 \times 3}{2 + 3} = \frac{2 + 9}{5} = \frac{11}{5} = 2.2\, \text{m} \]
3. द्रव्यमान केंद्र की गति (Motion of Centre of Mass)
निष्कर्ष (Result): किसी निकाय का द्रव्यमान केंद्र ऐसे गति करता है जैसे उस पर कुल द्रव्यमान केंद्र पर केंद्रित होता और उस पर सभी बाह्य बल कार्य करते।
The centre of mass of a system moves as if all external forces are acting on a single particle of mass equal to the total mass placed at the centre of mass.
\[ M \frac{d^2 \vec{R}_{CM}}{dt^2} = \vec{F}_{ext} \] जहाँ, \(\vec{F}_{ext}\) = कुल बाह्य बल (Total external force) \(M\) = कुल द्रव्यमान (Total mass)
उदाहरण (Example):
अगर दो कणों का निकाय बिना बाह्य बल के है, तो द्रव्यमान केंद्र की गति स्थिर (constant velocity) होगी।
4. रैखिक संवेग संरक्षण (Conservation of Linear Momentum)
सिद्धांत (Principle): यदि किसी निकाय पर कोई बाह्य बल कार्य नहीं करता, तो उसका कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है।
If no external force acts on a system, its total linear momentum remains conserved.
\[ \vec{P}_{total} = constant \] जहाँ, \(\vec{P}_{total} = \sum m_i \vec{v}_i\) (Total linear momentum)
उदाहरण (Example):
बंदूक से गोली चलाने पर बंदूक पीछे हटती है; यह रैखिक संवेग संरक्षण का उदाहरण है।
On firing a bullet from a gun, the gun recoils backward. This is an example of conservation of linear momentum.
5. कठोर पिंड (Rigid Body)
परिभाषा (Definition): ऐसा पिंड जिसके सभी कणों के बीच की आपसी दूरी अपरिवर्तित रहती है, उसे कठोर पिंड कहते हैं।
A rigid body is one in which the distance between any two particles remains constant.
नोट: वास्तविकता में कोई भी पिंड पूर्णतः कठोर नहीं होता, परन्तु अधिकांश वस्तुएँ इस आदर्श के बहुत करीब होती हैं।
Note: In reality, no body is perfectly rigid, but most objects closely approximate this ideal.
6. घूर्णी गति (Rotational Motion)
परिभाषा (Definition): जब कोई कठोर पिंड एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन करता है, तो उसकी गति को घूर्णी गति कहते हैं।
When a rigid body rotates about a fixed axis, its motion is called rotational motion.
महत्वपूर्ण शब्दावली (Important Terminology):
- घूर्णन अक्ष (Axis of Rotation): वह सीधी रेखा जिसके चारों ओर पिंड घूमता है। (Line about which body rotates.)
- कोणीय विस्थापन (\(\theta\), Angular displacement): घूर्णन द्वारा तय किया गया कोण।
- कोणीय वेग (\(\omega\), Angular velocity):
\[ \omega = \frac{d\theta}{dt} \]
- कोणीय त्वरण (\(\alpha\), Angular acceleration):
\[ \alpha = \frac{d\omega}{dt} \]
रैखिक व कोणीय राशियों का संबंध (Relation between Linear and Angular Quantities):
| घूर्णी राशि (Rotational Quantity) | रैखिक राशि (Linear Quantity) | संबंध (Relation) | |:----------------------------------|:-----------------------------|:-----------------| | कोणीय विस्थापन (\(\theta\)) | विस्थापन (s) | \(s = r\theta\) | | कोणीय वेग (\(\omega\)) | वेग (v) | \(v = r\omega\) | | कोणीय त्वरण (\(\alpha\)) | त्वरण (a) | \(a = r\alpha\) |
7. घूर्णी गति के समीकरण (Equations of Rotational Motion)
यदि कोणीय त्वरण (\(\alpha\)) नियत है (For constant angular acceleration):
\[ \begin{align*} \omega &= \omega_0 + \alpha t \\ \theta &= \omega_0 t + \frac{1}{2}\alpha t^2 \\ \omega^2 &= \omega_0^2 + 2\alpha \theta \\ \end{align*} \]
जहाँ, \(\omega_0\) = प्रारंभिक कोणीय वेग (Initial angular velocity) \(\omega\) = अंतिम कोणीय वेग (Final angular velocity) \(\theta\) = कोणीय विस्थापन (Angular displacement) \(\alpha\) = कोणीय त्वरण (Angular acceleration) \(t\) = समय (Time)
8. बल आघूर्ण (Torque)
परिभाषा (Definition): बल आघूर्ण वह मात्रा है जो किसी पिंड को घुमाने की प्रवृत्ति को मापती है।
Torque measures the tendency of a force to rotate an object about an axis.
\[ \vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} \] जहाँ, \(\vec{\tau}\) = आघूर्ण (Torque) \(\vec{r}\) = बल का अनुप्रयुक्त बिंदु से अक्ष तक दूरी सदिश (Position vector) \(\vec{F}\) = बल (Force)
परिमाण (Magnitude): \[ \tau = r F \sin\theta \] जहाँ \(\theta\) = \(\vec{r}\) और \(\vec{F}\) के बीच कोण
एक्सेल के चारों ओर बल आघूर्ण (Torque about axis):
यदि बल का अनुप्रयुक्त बिंदु और अक्ष के बीच लम्बवत दूरी \(l\) है: \[ \tau = F \times l \]
इकाई: न्यूटन-मीटर (N-m)
9. कोणीय संवेग (Angular Momentum)
परिभाषा (Definition): किसी कण का कोणीय संवेग उसके रैखिक संवेग और स्थिति सदिश का क्रॉस गुणन होता है।
The angular momentum of a particle is the cross product of its position vector and its linear momentum.
\[ \vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} \] जहाँ, \(\vec{L}\) = कोणीय संवेग (Angular momentum) \(\vec{r}\) = स्थिति सदिश (Position vector) \(\vec{p}\) = रैखिक संवेग (Linear momentum)
कठोर पिंड के लिए (For rigid body rotating about an axis):
\[ L = I \omega \] जहाँ, \(I\) = जड़त्व आघूर्ण (Moment of inertia) \(\omega\) = कोणीय वेग (Angular velocity)
इकाई: किलोग्राम-मीटर²/सेकंड (kg·m²/s)
कोणीय संवेग संरक्षण (Conservation of Angular Momentum):
यदि किसी पिंड पर कोई बाह्य आघूर्ण नहीं लगता, तो उसका कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
If no external torque acts, the angular momentum of a system remains constant.
\[ L_{initial} = L_{final} \] \[ I_1\omega_1 = I_2\omega_2 \]
उदाहरण: आइस स्केटर अपने हाथ अंदर करता है, तो उसकी घूर्णन गति बढ़ जाती है।
When an ice skater pulls in their arms, their rotation speed increases.
10. जड़त्व आघूर्ण (Moment of Inertia)
परिभाषा (Definition): किसी पिंड के द्रव्यमान का वितरण घूर्णन अक्ष के सापेक्ष उसकी घूर्णन गति का प्रतिरोध करने की प्रवृत्ति को जड़त्व आघूर्ण कहते हैं।
Moment of inertia is the measure of an object's resistance to change in its rotational motion about an axis.
\[ I = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 \] या, \[ I = \int r^2 \, dm \] जहाँ, \(r_i\) = iवें कण की अक्ष से दूरी (distance from axis) \(m_i\) = iवें कण का द्रव्यमान (mass)
इकाई: किलोग्राम-मीटर² (kg·m²)
विशेष बातें:
- जड़त्व आघूर्ण घूर्णन अक्ष पर निर्भर करता है।
- द्रव्यमान जितना दूर, \(I\) उतना अधिक।
सामान्य पिंडों के जड़त्व आघूर्ण (Moments of Inertia for Standard Bodies):
| पिंड (Body) | अक्ष (Axis) | जड़त्व आघूर्ण (I) | |:---------------------------------|:------------------------------|:--------------------------| | पतली छड़ (Thin rod) | केंद्र के बारे में लम्बवत | \(I = \frac{1}{12}ML^2\) | | पतली छड़ (Thin rod) | सिरों के बारे में लम्बवत | \(I = \frac{1}{3}ML^2\) | | वृत्ताकार वलय (Ring) | केंद्र के बारे में | \(I = MR^2\) | | वृत्ताकार डिस्क (Disc) | केंद्र के बारे में | \(I = \frac{1}{2}MR^2\) | | ठोस गोला (Solid sphere) | व्यास के बारे में | \(I = \frac{2}{5}MR^2\) | | खोखला गोला (Hollow sphere) | व्यास के बारे में | \(I = \frac{2}{3}MR^2\) | | पतली प्लेट (Thin plate) | केंद्र के बारे में | \(I = \frac{1}{12}ML^2\) |
11. पार्श्व प्रमेय (Parallel Axis Theorem)
विधान (Statement): यदि किसी पिंड का जड़त्व आघूर्ण उसके द्रव्यमान केंद्र (COM) के अक्ष के सापेक्ष \(I_{CM}\) है, और एक अन्य अक्ष उसी के समानांतर दूरी \(d\) पर है, तो:
If the moment of inertia of a body about an axis through its centre of mass is \(I_{CM}\), then about a parallel axis at a distance \(d\):
\[ I = I_{CM} + Md^2 \] जहाँ, \(M\) = कुल द्रव्यमान (Total mass) \(d\) = अक्षों के बीच की दूरी (Distance between axes)
12. प्रमुख प्रमेय (Perpendicular Axis Theorem)
विधान (Statement): यदि कोई पिंड एक समतल (plane) में है, तो उसके दो लम्बवत अक्षों के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण का योग, समतल के लम्बवत अक्ष के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण के बराबर होता है।
For a planar body in the XY-plane, the sum of moments of inertia about X and Y axes through the centre is equal to the moment of inertia about the perpendicular Z axis.
\[ I_z = I_x + I_y \]
13. घूर्णन की कार्य-ऊर्जा प्रमेय (Work-Energy Theorem for Rotation)
\[ W = \tau \theta \] \[ KE_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2 \]
जहाँ,
- \(W\) = कार्य (Work)
- \(\tau\) = आघूर्ण (Torque)
- \(\theta\) = कोणीय विस्थापन (Angular displacement)
- \(KE_{rot}\) = घूर्णन गतिज ऊर्जा (Rotational kinetic energy)
14. घूर्णन के साथ-साथ स्थानांतरण (Rolling Motion)
परिभाषा (Definition): जब कोई गोल पिंड (जैसे पहिया) सतह पर बिना फिसले घूमता है, तो वह स्थानांतरण (translation) और घूर्णन (rotation) दोनों करता है।
When a round body like a wheel moves on a surface without slipping, it exhibits both translational and rotational motion.
रिश्ता: \[ v = R\omega \] जहाँ, \(v\) = केंद्र का वेग (Velocity of centre) \(R\) = त्रिज्या (Radius) \(\omega\) = कोणीय वेग (Angular velocity)
घूर्णन + स्थानांतरण ऊर्जा (Total kinetic energy): \[ KE_{total} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \]
सुलझाए गए उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 1: एक घूर्णनशील डिस्क (द्रव्यमान 2 kg, त्रिज्या 0.5 m) का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।
Find the moment of inertia of a rotating disc of mass 2 kg and radius 0.5 m.
उत्तर (Solution): डिस्क के केंद्र के बारे में: \[ I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.5)^2 = 1 \times 0.25 = 0.25\, kg\, m^2 \]
उदाहरण 2: एक ठोस गोले (द्रव्यमान 3 kg, त्रिज्या 10 cm) का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।
Find the moment of inertia of a solid sphere of mass 3 kg and radius 10 cm.
उत्तर: \[ I = \frac{2}{5}MR^2 = \frac{2}{5} \times 3 \times (0.1)^2 = \frac{6}{5} \times 0.01 = 0.012\, kg\, m^2 \]
उदाहरण 3: 10 kg की पतली छड़ जिसकी लंबाई 1 m है, उसके सिरे के बारे में जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें।
Find the moment of inertia of a thin rod of mass 10 kg and length 1 m about its end.
उत्तर: \[ I = \frac{1}{3}ML^2 = \frac{1}{3} \times 10 \times (1)^2 = \frac{10}{3} = 3.33\, kg\, m^2 \]
उदाहरण 4: एक गोल डिस्क 100 rad/s के कोणीय वेग से घूम रही है। यदि इसका जड़त्व आघूर्ण 0.2 kg m² है, तो उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा ज्ञात करें।
A disc rotates at an angular velocity of 100 rad/s. If its moment of inertia is 0.2 kg m², find its rotational kinetic energy.
उत्तर: \[ KE_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times (100)^2 = 0.1 \times 10000 = 1000\, J \]
उदाहरण 5: एक 2 kg की पतली छड़ जिसकी लंबाई 1 m है, उसका जड़त्व आघूर्ण उसके केंद्र के बारे में 0.167 kg m² है। उसके सिरे के बारे में जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करें।
A thin rod of mass 2 kg and length 1 m has its moment of inertia about the centre as 0.167 kg m². Find its moment of inertia about an end.
उत्तर: पार्श्व प्रमेय लगाएँ: \[ I = I_{CM} + Md^2 = 0.167 + 2 \times (0.5)^2 = 0.167 + 2 \times 0.25 = 0.167 + 0.5 = 0.667\, kg\, m^2 \]
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)
- द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु है जिस पर पूरे निकाय का द्रव्यमान केंद्रित माना जा सकता है।
Centre of mass is the point where the total mass of a system can be considered to be concentrated.
- द्रव्यमान केंद्र की गति केवल बाह्य बलों पर निर्भर करती है, आंतरिक बलों पर नहीं।
Motion of centre of mass depends only on external forces, not on internal forces.
- रैखिक संवेग संरक्षण का नियम तब लागू होता है जब बाह्य बल न हो।
Conservation of linear momentum applies only in absence of external force.
- कठोर पिंड के सभी कणों के बीच की दूरी स्थिर रहती है।
In a rigid body, the distance between all particles remains constant.
- घूर्णी गति में कोणीय वेग एवं कोणीय त्वरण की अवधारणा महत्वपूर्ण है।
Angular velocity and acceleration are important in rotational motion.
- बल आघूर्ण घूर्णन उत्पन्न करने की प्रवृत्ति का मात्रक है।
Torque is the measure of tendency to produce rotation.
- कोणीय संवेग और जड़त्व आघूर्ण रैखिक संवेग और द्रव्यमान के समकक्ष हैं।
Angular momentum and moment of inertia are rotational analogues of linear momentum and mass.
- जड़त्व आघूर्ण घूर्णन अक्ष और द्रव्यमान वितरण पर निर्भर करता है।
Moment of inertia depends on axis of rotation and mass distribution.
- पार्श्व प्रमेय और प्रमुख प्रमेय से विभिन्न अक्षों के सापेक्ष जड़त्व आघूर्ण ज्ञात किये जा सकते हैं।
Parallel and perpendicular axis theorems help find moments of inertia about different axes.
- बिना फिसले घूर्णन (Rolling without slipping) में \(v = R\omega\) होता है।
In rolling without slipping, \(v = R\omega\).
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| क्रमांक (No.) | गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Approach) | |:-------------|:-----------------------------------------------------------------------|:--------------------------------------------------------------| | 1 | द्रव्यमान केंद्र को द्रव्यमान के स्थान के बजाय ज्यामितीय केंद्र मान लेना | द्रव्यमान वितरण ध्यान में रखें (Consider mass distribution) | | 2 | पार्श्व प्रमेय में \(d\) का गलत मान लेना | \(d\) = अक्षों के बीच लम्बवत दूरी (d = perpendicular distance)| | 3 | घूर्णन गतिज ऊर्जा में केवल \(\frac{1}{2}I\omega^2\) लेना, स्थानांतरण ऊर्जा भूलना | रोलिंग में दोनों ऊर्जा जोड़ें (\(\frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2\)) | | 4 | कोणीय संवेग संरक्षण में बाह्य आघूर्ण को अनदेखा करना | बाह्य आघूर्ण शून्य होना चाहिए (External torque must be zero) | | 5 | \(v = r\omega\) में \(r\) का गलत चयन | \(r\) = केंद्र से उस बिंदु तक की दूरी (r = distance from axis)| | 6 | जड़त्व आघूर्ण की इकाई गलत लिखना | सही इकाई: kg·m² (Correct unit: kg·m²) | | 7 | बल आघूर्ण की दिशा गलत लेना | \(\vec{r} \times \vec{F}\) द्वारा दिशा निर्धारित करें | | 8 | घूर्णन समीकरणों में रैखिक/कोणीय राशियों का मिश्रण | रैखिक और कोणीय राशियों में भ्रम न करें | | 9 | कठोर पिंड की परिभाषा में लचीलापन मान लेना | कठोर पिंड में कोई विकृति नहीं होती | | 10 | घूर्णन अक्ष बदलने पर \(I\) को अपरिवर्तित मान लेना | \(I\) अक्ष पर निर्भर करता है |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Board Exam Questions)
1-मार्क प्रश्न (1 Mark Questions)
- द्रव्यमान केंद्र क्या है?
What is centre of mass?
- कठोर पिंड की परिभाषा लिखिए।
Define rigid body.
- बल आघूर्ण की SI इकाई क्या है?
What is the SI unit of torque?
- कोणीय वेग का SI मात्रक क्या है?
What is the SI unit of angular velocity?
- घूर्णन गतिज ऊर्जा का सूत्र लिखिए।
Write the formula for rotational kinetic energy.
2-मार्क प्रश्न (2 Mark Questions)
- दो कणों के लिए द्रव्यमान केंद्र ज्ञात करने का सूत्र लिखिए तथा समझाइए।
Write and explain the formula for centre of mass for two particles.
- रैखिक संवेग संरक्षण का नियम संक्षेप में समझाइए।
Briefly explain the law of conservation of linear momentum.
- पार्श्व प्रमेय क्या है? सूत्र सहित लिखिए।
What is parallel axis theorem? Write its statement and formula.
- घूर्णी गति में कोणीय त्वरण और कोणीय वेग के बीच संबंध लिखिए।
Write the relation between angular acceleration and angular velocity in rotational motion.
- रोलिंग गति में \(v = R\omega\) का अर्थ लिखिए।
Explain the meaning of \(v = R\omega\) in rolling motion.
5-मार्क प्रश्न (5 Mark Questions)
- द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा दीजिए। दो या तीन कणों के लिए द्रव्यमान केंद्र की स्थिति ज्ञात करने की विधि समझाइए। उदाहरण सहित।
Define centre of mass. Explain the method to find centre of mass for two or three particles with example.
- बल आघूर्ण (Torque) क्या है? इसका गणितीय निरूपण कीजिए। कोणीय संवेग और बल आघूर्ण के बीच संबंध स्थापित कीजिए।
What is torque? Derive its mathematical expression. Establish the relation between angular momentum and torque.
- जड़त्व आघूर्ण किसे कहते हैं? विभिन्न पिंडों के लिए जड़त्व आघूर्ण के सूत्र लिखिए। पार्श्व प्रमेय का व्युत्पादन कीजिए।
What is moment of inertia? Write its formula for different bodies. Derive the parallel axis theorem.
- कोणीय संवेग संरक्षण का सिद्धांत समझाइए। आइस स्केटर के उदाहरण द्वारा स्पष्ट कीजिए।
Explain the law of conservation of angular momentum. Illustrate with the example of an ice skater.
- घूर्णी गति के समीकरणों को व्युत्पन्न कीजिए। रैखिक एवं घूर्णी राशियों के बीच संबंध स्पष्ट कीजिए।
Derive equations of rotational motion. Clarify the relation between linear and rotational quantities.
[यह अध्ययन-सामग्री RBSE बोर्ड परीक्षा के लिए अत्यंत उपयोगी है। सभी प्रमुख अवधारणाओं, सूत्रों, उदाहरणों एवं त्रुटियों का समावेश किया गया है।]
This study material is extremely useful for RBSE board exams. All key concepts, formulas, examples, and common mistakes are included.
मुख्य बिंदु (Key Points)
- द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु है जहाँ किसी निकाय का पूरा द्रव्यमान संकेन्द्रित मानकर संचलन गति का अध्ययन किया जा सकता है।
- कणों के निकाय के लिए द्रव्यमान केंद्र का स्थिति सदिश, उनके स्थिति सदिशों का द्रव्यमान के अनुपात में औसत होता है।
- बाह्य बल के अभाव में, द्रव्यमान केंद्र स्थिर वेग से चलता है।
- कणों के निकाय का रैखिक संवेग, कुल द्रव्यमान और द्रव्यमान केंद्र की वेग का गुणनफल होता है।
- घूर्णी गति का वर्णन कोणीय विस्थापन, कोणीय वेग और कोणीय त्वरण से किया जाता है।
- जड़त्व आघूर्ण, द्रव्यमान का घूर्णी समतुल्य है और यह घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान वितरण पर निर्भर करता है।
- जड़त्व आघूर्ण की एस.आई. इकाई किलोग्राम मीटर वर्ग (kg·m²) है।
- आघूर्ण, बल का घूर्णी समतुल्य है और यह कोणीय संवेग में परिवर्तन लाता है।
- कोणीय संवेग (L), जड़त्व आघूर्ण (I) और कोणीय वेग (ω) का गुणनफल होता है: L = Iω।
- कोणीय संवेग संरक्षण का नियम कहता है कि यदि बाह्य आघूर्ण शून्य हो, तो कोणीय संवेग स्थिर रहता है।
- समानांतर एवं लम्बवत् अक्ष प्रमेयों का उपयोग जटिल पिण्डों के जड़त्व आघूर्ण की गणना के लिए किया जाता है।
- लुढ़कती गति, संचलन और घूर्णन गति का संयोजन होती है।
Key Points
- Centre of mass is the point where the entire mass of a system can be assumed to be concentrated for translational motion analysis.
- The position vector of the centre of mass for a system of particles is given by the mass-weighted average of their position vectors.
- In the absence of external force, the centre of mass moves with constant velocity.
- Linear momentum of a system is equal to the total mass multiplied by the velocity of the centre of mass.
- Rotational motion is described using angular displacement, angular velocity, and angular acceleration.
- Moment of inertia is the rotational analogue of mass and depends on the mass distribution about the axis of rotation.
- The SI unit of moment of inertia is kg·m².
- Torque is the rotational analogue of force and causes change in angular momentum.
- Angular momentum (L) is given by the product of moment of inertia (I) and angular velocity (ω): L = Iω.
- Law of conservation of angular momentum states that if external torque is zero, angular momentum remains constant.
- Parallel and perpendicular axis theorems help in calculating the moment of inertia for complex bodies.
- Rolling motion is a combination of translational and rotational motion.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
यदि एक समान छड़ को उसके मध्य बिंदु से लटकाया जाए, तो उसका द्रव्यमान केंद्र कहाँ होगा?
बाहरी बल के अभाव में कौन-सी राशि संरक्षित रहती है?
धुरी से r दूरी पर स्थित बिंदु द्रव्यमान m का जड़त्व आघूर्ण क्या है?
कोणीय वेग की SI इकाई क्या है?
दो कण जिनके द्रव्यमान m1 और m2 हैं, को बिंदुओं x1 और x2 पर रखा गया है। उनका द्रव्यमान केंद्र क्या होगा?
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कणों के निकाय और घूर्णी गति lock
कणों के निकाय और घूर्णी गति (Systems of Particles and Rotational Motion) एक नज़र में (At a Glance): यह अध्याय कणों के निकायों की सामूहिक गति, द्रव्यमान का…
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