समतल में गति

समतल में गति (Motion in a Plane)

एक नज़र में:

समतल में गति वह गति है जिसमें कोई वस्तु एक ही समतल (दो आयामों) में चलती है। इस अध्याय में वेक्टर संकल्पनाएँ, वेक्टर जोड़ और घटाव, वेग व त्वरण के वेक्टर रूप, प्रक्षिप्त गति (Projectile Motion) और वृत्तीय गति (Circular Motion) का अध्ययन किया जाता है।

📌 अध्याय का परिचय (Introduction)

समतल में गति का अर्थ है - दो आयामों (x और y) में वस्तु की गति का अध्ययन करना। जब कोई वस्तु दो दिशाओं में एक साथ गति करती है, तो उसकी स्थिति, वेग और त्वरण को वेक्टर के रूप में व्यक्त किया जाता है।

वास्तविक जीवन में बहुत सी गतियाँ जैसे - क्रिकेट बॉल का प्रक्षेपण, पक्षी की उड़ान, कार का मोड़, आदि, समतल में गति के उदाहरण हैं।

📖 1. वेक्टर और स्केलर राशियाँ (Vectors and Scalars)

परिभाषा (Definition)

• स्केलर राशि (Scalar Quantity): वे राशियाँ जिनके केवल परिमाण (magnitude) होता है, दिशा (direction) नहीं।

उदाहरण: दूरी, द्रव्यमान, समय, तापमान

• वेक्टर राशि (Vector Quantity): वे राशियाँ जिनके परिमाण के साथ दिशा भी होती है।

उदाहरण: विस्थापन, वेग, त्वरण, बल

📖 2. वेक्टर का निरूपण एवं गणितीय स्वरूप (Representation & Mathematical Form of Vectors)

2.1 वेक्टर का निरूपण (Representation of a Vector)

• एक वेक्टर को एक सीधी रेखा के ऊपर एक तीर (arrow) से दर्शाया जाता है।

• तीर का लंबाई वेक्टर के परिमाण को और तीर का सिरा दिशा को दर्शाता है।

प्रतीक (Symbol):

• वेक्टर को मोटे अक्षर या ऊपर एक तीर के साथ दर्शाया जाता है, जैसे:

\(\vec{A}\), \(\vec{v}\), \(\vec{F}\)

2.2 वेक्टर का घटक (Components of a Vector)

• किसी भी वेक्टर को दो लंबवत दिशाओं (x और y) में विभाजित किया जा सकता है।

यदि \(\vec{A}\) वेक्टर θ कोण पर x-अक्ष से बना रहा है, तो:

\[ \vec{A} = A_x \hat{i} + A_y \hat{j} \] जहाँ, \[ A_x = A \cos\theta, \quad A_y = A \sin\theta \]

परिमाण (Magnitude):

\[ |\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2} \]

दिशा (Direction):

\[ \tan\theta = \frac{A_y}{A_x} \]

हल उदाहरण (Solved Example 1)

Q: एक वेक्टर \(\vec{A}\) का परिमाण 10 इकाई है और वह x-अक्ष से 30° ऊपर है। इसके x और y घटक ज्ञात कीजिए।

उत्तर (Solution): \[ A_x = 10 \cos 30^\circ = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 8.66 \] \[ A_y = 10 \sin 30^\circ = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \] तो, x-अक्ष के साथ घटक = 8.66, y-अक्ष के साथ घटक = 5

📖 3. वेक्टरों का योग और घटाव (Addition and Subtraction of Vectors)

3.1 वेक्टरों का योग (Addition of Vectors)

(i) रेखीय विधि (Triangle Law of Addition)

• यदि दो वेक्टर \(\vec{A}\) और \(\vec{B}\) को एक के बाद एक (head to tail) रखा जाए, तो प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक खींची गई रेखा उनका योग (Resultant) देती है।

(ii) समांतर चतुर्भुज विधि (Parallelogram Law)

• यदि दोनों वेक्टर एक ही बिंदु से प्रारंभ होते हैं, तो वे दोनों वेक्टरों द्वारा निर्मित समांतर चतुर्भुज का विकर्ण (diagonal) उनका योग है।

परिमाण (Magnitude):

यदि दो वेक्टर \(\vec{A}\) और \(\vec{B}\) के मध्य θ कोण है: \[ |\vec{R}| = \sqrt{A^2 + B^2 + 2AB\cos\theta} \]

दिशा (Direction):

\[ \tan\alpha = \frac{B \sin\theta}{A + B \cos\theta} \] जहाँ α, \(\vec{R}\) और \(\vec{A}\) के बीच कोण है।

हल उदाहरण (Solved Example 2)

Q: दो वेक्टर A = 6 इकाई, B = 8 इकाई, और उनके बीच का कोण 90° है। उनका योगफल ज्ञात कीजिए।

उत्तर (Solution): \[ |\vec{R}| = \sqrt{6^2 + 8^2 + 2 \times 6 \times 8 \cos 90^\circ} \] \[ = \sqrt{36 + 64 + 0} = \sqrt{100} = 10 \]

3.2 वेक्टरों का घटाव (Subtraction of Vectors)

• \(\vec{A} - \vec{B}\) का अर्थ है \(\vec{A}\) में \(\vec{B}\) के विपरीत (opposite) वेक्टर जोड़ना।
• \(\vec{B}\) के विपरीत वेक्टर को \(-\vec{B}\) कहते हैं, जिसकी दिशा \(\vec{B}\) के विपरीत होती है।

हल उदाहरण (Solved Example 3)

Q: यदि \(\vec{A}\) = 5 इकाई पूर्व की ओर, \(\vec{B}\) = 3 इकाई उत्तर की ओर, तो \(\vec{A} - \vec{B}\) ज्ञात करें।

उत्तर (Solution):

• \(\vec{A}\) = 5, x-अक्ष (पूर्व)
• \(\vec{B}\) = 3, y-अक्ष (उत्तर)
• \(-\vec{B}\) = 3, दक्षिण (south)

तो, \(\vec{A} - \vec{B}\) = 5 इकाई पूर्व + 3 इकाई दक्षिण

परिमाण = \(\sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} = 5.83\) इकाई दिशा: \(\tan\theta = \frac{3}{5} \Rightarrow \theta = 30.96^\circ\) दक्षिण पूर्व की ओर।

📖 4. वेक्टर का गुणन (Multiplication of Vectors)

4.1 डॉट गुणन (Scalar Product / Dot Product)

• दो वेक्टरों का डॉट गुणन स्केलर राशि देता है।
• सूत्र:

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = AB \cos\theta \]

उदाहरण:

कार्य (Work) = बल (Force) ⋅ विस्थापन (Displacement)

4.2 क्रॉस गुणन (Vector Product / Cross Product)

• दो वेक्टरों का क्रॉस गुणन वेक्टर राशि देता है।
• सूत्र:

\[ \vec{A} \times \vec{B} = AB \sin\theta \, \hat{n} \]

उदाहरण:

घूर्णन बल (Torque) = स्थिति वेक्टर × बल

📖 5. समतल में वस्तु की स्थिति, वेग एवं त्वरण (Position, Velocity & Acceleration in a Plane)

5.1 स्थिति वेक्टर (Position Vector)

• किसी वस्तु की स्थिति को प्रारंभ बिंदु से एक वेक्टर द्वारा दर्शाया जाता है।
• यदि वस्तु बिंदु (x, y) पर है:

\[ \vec{r} = x \hat{i} + y \hat{j} \]

5.2 विस्थापन (Displacement)

• प्रारंभ और अंतिम बिंदु के स्थिति वेक्टर का अंतर:

\[ \Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 \]

5.3 वेग (Velocity)

• वेग = \(\frac{विस्थापन}{समय}\)
• वेक्टर रूप में:

\[ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} \]

• यदि x और y दोनों में गति है:

\[ \vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j} \]

5.4 त्वरण (Acceleration)

• त्वरण = \(\frac{वेग परिवर्तन}{समय}\)
• वेक्टर रूप में:

\[ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = a_x \hat{i} + a_y \hat{j} \]

हल उदाहरण (Solved Example 4)

Q: एक वस्तु की स्थिति वेक्टर \(\vec{r} = 3t \hat{i} + 4t^2 \hat{j}\) (m में, t सेकंड में) है। t = 2 s पर वेग ज्ञात करें।

उत्तर (Solution): \[ \vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(3t)\hat{i} + \frac{d}{dt}(4t^2)\hat{j} \] \[ = 3\hat{i} + 8t\hat{j} \] t = 2 s पर, \[ \vec{v} = 3\hat{i} + 8\times2\hat{j} = 3\hat{i} + 16\hat{j} \] परिमाण = \(\sqrt{3^2 + 16^2} = \sqrt{9 + 256} = \sqrt{265} = 16.28\) m/s

📖 6. समतल में एकसमान गति (Uniform Motion in a Plane)

यदि कोई वस्तु दोनों दिशाओं में एकसमान गति करती है:

• x-अक्ष में: \(x = x_0 + v_x t\)
• y-अक्ष में: \(y = y_0 + v_y t\)

कुल विस्थापन:

\[ \vec{r} = (x_0 + v_x t) \hat{i} + (y_0 + v_y t) \hat{j} \]

📖 7. प्रक्षिप्त गति (Projectile Motion)

7.1 परिभाषा (Definition)

• जब कोई वस्तु क्षैतिज दिशा में किसी वेग के साथ प्रक्षिप्त की जाती है और उस पर केवल गुरुत्वाकर्षण कार्य करता है, तो उसकी गति प्रक्षिप्त गति कहलाती है।
• इसका पथ परवलयाकार (parabolic) होता है।

7.2 प्रारंभिक वेग के संकल्पन (Resolution of Initial Velocity)

यदि वस्तु को u वेग से θ कोण पर क्षैतिज से ऊपर फेंका गया:

• क्षैतिज घटक (Horizontal component): \(u_x = u\cos\theta\)
• लम्बवत घटक (Vertical component): \(u_y = u\sin\theta\)

7.3 क्षैतिज (x) और लम्बवत (y) गति समीकरण (Equations of Motion)

क्षैतिज गति (Horizontal Motion):

• त्वरण (a_x) = 0
• विस्थापन: \(x = u_x t = (u\cos\theta)t\)

लम्बवत गति (Vertical Motion):

• त्वरण (a_y) = –g (नीचे की ओर)
• विस्थापन: \(y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2 = (u\sin\theta)t - \frac{1}{2}gt^2\)

7.4 प्रक्षिप्त के पथ का समीकरण (Equation of Trajectory)

x और y के बीच संबंध:

\[ y = x\tan\theta - \frac{gx^2}{2u^2\cos^2\theta} \]

यह परवलय का समीकरण है।

7.5 अन्य प्रमुख परिणाम (Other Important Results)

(a) अधिकतम ऊँचाई (Maximum Height, \(H\)):

\[ H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g} \]

(b) कुल क्षैतिज दूरी (Range, \(R\)):

\[ R = \frac{u^2 \sin2\theta}{g} \]

(c) कुल समय (Time of Flight, \(T\)):

\[ T = \frac{2u\sin\theta}{g} \]

हल उदाहरण (Solved Example 5)

Q: एक गेंद को 20 m/s की गति से क्षैतिज से 30° ऊपर फेंका गया। अधिकतम ऊँचाई, क्षैतिज दूरी एवं कुल समय ज्ञात कीजिए। (g = 10 m/s²)

उत्तर (Solution):

• \(u = 20\) m/s, \(\theta = 30^\circ\)
• \(u\sin\theta = 20 \times 0.5 = 10\) m/s
• \(u\cos\theta = 20 \times 0.866 = 17.32\) m/s

(i) Maximum Height: \[ H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g} = \frac{20^2 \times (0.5)^2}{2 \times 10} = \frac{400 \times 0.25}{20} = \frac{100}{20} = 5 \text{ m} \]

(ii) Time of Flight: \[ T = \frac{2u\sin\theta}{g} = \frac{2 \times 20 \times 0.5}{10} = \frac{20}{10} = 2 \text{ s} \]

(iii) Range: \[ R = u\cos\theta \times T = 17.32 \times 2 = 34.64 \text{ m} \] या, \[ R = \frac{u^2 \sin2\theta}{g} = \frac{400 \times \sin60^\circ}{10} = \frac{400 \times 0.866}{10} = \frac{346.4}{10} = 34.64 \text{ m} \]

📖 8. वृत्तीय गति (Circular Motion)

8.1 परिभाषा (Definition)

• जब कोई वस्तु एक वृत्त की परिधि पर नियत त्रिज्या एवं गति से घूमती है, तो उसे वृत्तीय गति कहते हैं।

8.2 कोणीय विस्थापन, वेग एवं त्वरण (Angular Displacement, Velocity, Acceleration)

• कोणीय विस्थापन (\(\theta\)): वृत्त के केंद्र से वस्तु द्वारा बनाए गए कोण को रैडियन में मापते हैं।
• कोणीय वेग (\(\omega\)): \(\omega = \frac{d\theta}{dt}\)
• कोणीय त्वरण (\(\alpha\)): \(\alpha = \frac{d\omega}{dt}\)

8.3 आवर्त गति (Uniform Circular Motion)

• परिभाषा: यदि वस्तु नियत वेग (speed) से वृत्त पर चलती है।
• तात्क्षणिक (instantaneous) वेग सदैव स्पर्शीय (tangent) होता है।
• त्वरण का मान:

\[ a = \frac{v^2}{r} = r\omega^2 \] (यह केन्द्राभि त्वरण/centripetal acceleration है।)

हल उदाहरण (Solved Example 6)

Q: एक वस्तु 2 m त्रिज्या के वृत्त पर 4 m/s की गति से घूम रही है। केन्द्राभि त्वरण ज्ञात करें।

उत्तर (Solution): \[ a = \frac{v^2}{r} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \text{ m/s}^2 \]

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

1. वेक्टर और स्केलर के बीच अंतर समझना अति आवश्यक है।

1. प्रत्येक वेक्टर के दो घटक होते हैं - x और y।

1. वेक्टरों का योग त्रिभुज या समांतर चतुर्भुज नियम से किया जाता है।

1. प्रक्षिप्त गति में क्षैतिज और लम्बवत गति स्वतंत्र होती हैं।

1. वृत्तीय गति में वेग का मान नियत परंतु दिशा बदलती रहती है।

1. केन्द्राभि त्वरण सदैव वृत्त के केंद्र की ओर होता है।

1. अधिकतम ऊँचाई, सीमा (range), और कुल समय के सूत्र याद रखें।

1. x और y में गति का विश्लेषण अलग-अलग किया जाता है।

1. डॉट गुणन से स्केलर, क्रॉस गुणन से वेक्टर प्राप्त होता है।

1. समतल में गति के सभी प्रश्नों में वेक्टर संकल्पना का उपयोग जरूरी है।

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक | गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Approach) | |--------|-----------------------------------------------------------|---------------------------------------------------------------| | 1 | वेक्टर के घटकों में sin और cos का गलत उपयोग। | x के लिए cos, y के लिए sin का प्रयोग करें। | | 2 | प्रक्षिप्त गति में x और y की गति को जोड़ देना। | x और y गति स्वतंत्र हैं, अलग-अलग विश्लेषण करें। | | 3 | वृत्तीय गति में त्वरण को 0 मान लेना। | वृत्तीय गति में त्वरण शून्य नहीं है, केन्द्राभि त्वरण होता है। | | 4 | वेक्टर जोड़ते समय दिशा का ध्यान नहीं रखना। | दिशा का ध्यान रखते हुए वेक्टर जोड़ें। | | 5 | समय निकालते समय g का मान गलत लेना। | SI में g = 9.8 या 10 m/s² का प्रयोग करें। | | 6 | वेग और गति (speed) में अंतर न समझना। | वेग वेक्टर है, गति स्केलर है। | | 7 | परवलय के समीकरण में cos²θ भूल जाना। | पथ समीकरण में cos²θ अवश्य लिखें। | | 8 | वेक्टर घटाव में विपरीत दिशा का ध्यान न रखना। | घटाव में दूसरे वेक्टर की दिशा उल्टी करें। | | 9 | डॉट और क्रॉस गुणन में θ का गलत उपयोग। | डॉट में cosθ, क्रॉस में sinθ का प्रयोग करें। | | 10 | वृत्तीय गति में वेग की दिशा का गलत आकलन। | वेग स्पर्शरेखा की दिशा में होता है। |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1-अंक (1-mark):

1. स्केलर और वेक्टर में एक अंतर लिखिए।

1. प्रक्षिप्त गति का पथ कैसा होता है?

1. वृत्तीय गति में केन्द्राभि त्वरण किस दिशा में होता है?

1. \(\vec{A} \cdot \vec{B}\) किस प्रकार की राशि होती है?

1. वेग और गति में कोई एक अंतर लिखिए।

2-अंक (2-mark):

1. यदि दो वेक्टर समान परिमाण के हैं और उनके बीच का कोण 60° है, तो उनका योगफल ज्ञात कीजिए।

1. प्रक्षिप्त गति में अधिकतम ऊँचाई का सूत्र लिखिए तथा प्रत्येक प्रतीक का अर्थ बताइए।

1. वृत्तीय गति में कोणीय वेग और तात्क्षणिक वेग में संबंध स्थापित कीजिए।

1. वेक्टर के घटक ज्ञात करने की विधि समझाइए।

1. x और y में गति के समीकरण लिखिए।

5-अंक (5-mark):

1. प्रक्षिप्त गति की व्याख्या कीजिए। प्रक्षिप्त के पथ का समीकरण सिद्ध कीजिए।

1. वेक्टरों का योग समांतर चतुर्भुज नियम द्वारा समझाइए। एक हल उदाहरण सहित।

1. वृत्तीय गति में केन्द्राभि त्वरण का सूत्र सिद्ध कीजिए।

1. निम्नलिखित स्थिति वेक्टर के लिए t = 3 s पर वेग और त्वरण ज्ञात कीजिए:

\(\vec{r} = 2t^2 \hat{i} + 3t \hat{j}\)

1. एक गेंद को 25 m/s की गति से क्षैतिज से 37° ऊपर फेंका गया। अधिकतम ऊँचाई, क्षैतिज दूरी एवं कुल समय ज्ञात कीजिए। (g = 10 m/s²)

नोट:

• उपरोक्त बिंदुओं का गहन अध्ययन करें, सूत्रों का प्रयोग हल उदाहरणों में देखिए, और परीक्षा के लिए प्रश्नों का अभ्यास करें।