दोलन

दोलन (Oscillations)

एक नज़र में:

दोलन (Oscillations) वह अवस्था है जिसमें किसी वस्तु की स्थिति समय के साथ बार-बार दोहराई जाती है। इस अध्याय में सरल दोलन, आवृति, आवर्त काल, सरल आवर्त दोलन (SHM), ऊर्जा, और दोलनों के प्रकारों का विस्तार से अध्ययन किया गया है। (Oscillations refer to the repetitive motion of an object about a mean position over time. This chapter covers types of oscillations, frequency, period, Simple Harmonic Motion (SHM), energy, and the mathematical analysis of oscillatory systems.)

📌 अध्याय का परिचय (Chapter Introduction)

दोलन प्रकृति में बहुत सामान्य घटना है। पेंडुलम की गति, हार्मोनियम की तार, इलेक्ट्रॉनिक सर्किट, बच्चों की झूला, आदि सभी में दोलन पाया जाता है। इस अध्याय में हम दोलन के विभिन्न प्रकार, उनके गणितीय विश्लेषण और दैनिक जीवन में उनके महत्व को समझेंगे।

📖 प्रमुख विषयवस्तु (Major Topics)

1. दोलन की परिभाषा (Definition of Oscillation)

दोलन: किसी वस्तु की स्थिति समय के साथ निरंतर बदलती है और वह पुनः अपनी प्रारंभिक स्थिति के पास आती है, तो उसे दोलन कहते हैं।

उदाहरण:

• पेंडुलम
• झूला
• स्प्रिंग में लगी वस्तु
• हार्मोनियम की तार

2. दोलन के प्रकार (Types of Oscillations)

(a) मुक्त दोलन (Free Oscillations)

वह दोलन जिसमें किसी वस्तु को एक बार विक्षिप्त करके छोड़ दिया जाता है और वह बिना किसी बाहरी बल या घर्षण के दोलन करती है।

उदाहरण:

• बिना घर्षण के पेंडुलम
• स्प्रिंग में लगी वस्तु

(b) बाधित दोलन (Damped Oscillations)

वह दोलन जिसमें घर्षण या प्रतिरोध के कारण दोलन की आयाम (amplitude) समय के साथ घटती जाती है।

उदाहरण:

• वायु घर्षण में पेंडुलम
• स्प्रिंग में लगी वस्तु पर घर्षण

(c) विवश दोलन (Forced Oscillations)

वह दोलन जिसमें बाहरी आवधिक बल (periodic force) लगाया जाता है ताकि वस्तु लगातार दोलन करती रहे।

उदाहरण:

• हार्मोनियम की तार को लगातार बजाना
• रेडियो में इलेक्ट्रॉनिक सर्किट

(d) अनुनाद (Resonance)

जब विवश दोलन की आवृत्ति, वस्तु की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर होती है, तो आयाम अत्यधिक बढ़ जाता है।

उदाहरण:

• गिलास को तोड़ने वाली ध्वनि
• रेडियो ट्यूनिंग

3. दोलन के मूल तत्व (Basic Elements of Oscillations)

(a) आवर्त काल (Period, T): वह समय जो एक पूर्ण दोलन (एक चक्र) पूरा करने में लगता है।

सूत्र: \[ T = \frac{1}{f} \] जहाँ \( f \) = आवृत्ति (Frequency)

(b) आवृत्ति (Frequency, f): एक सेकंड में होने वाले दोलनों की संख्या।

सूत्र: \[ f = \frac{1}{T} \]

(c) आयाम (Amplitude, A): मध्यम स्थिति (mean position) से अधिकतम विक्षेपण।

(d) फेज (Phase): किसी क्षण में दोलन की स्थिति और दिशा का संकेत।

4. सरल आवर्त दोलन (Simple Harmonic Motion - SHM)

परिभाषा: यदि किसी वस्तु की पुनर्स्थापन बल (restoring force) उसकी विक्षेपण (displacement) के अनुपात में और विपरीत दिशा में कार्य करता है, तो वह सरल आवर्त दोलन करती है।

गणितीय रूप: \[ F = -k x \] जहाँ

• \( F \) = पुनर्स्थापन बल (Restoring force)
• \( x \) = विक्षेपण (Displacement)
• \( k \) = स्थिरांक (Constant)

विशेषता:

• गति आवर्त होती है
• परास (Amplitude) निश्चित होती है
• आवृत्ति और आवर्त काल निश्चित होते हैं
• गति का ग्राफ (x-t ग्राफ) साइन या कोसाइन प्रकार का होता है

SHM का समीकरण (Equation of SHM)

1. विक्षेपण (Displacement): \[ x(t) = A \sin (\omega t + \phi) \] या \[ x(t) = A \cos (\omega t + \phi) \] जहाँ

• \( A \) = आयाम (Amplitude)
• \( \omega \) = कोणीय आवृत्ति (Angular frequency)
• \( t \) = समय (Time)
• \( \phi \) = प्रारंभिक फेज (Initial phase)

2. वेग (Velocity): \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = A \omega \cos (\omega t + \phi) \] या \[ v(t) = -A \omega \sin (\omega t + \phi) \]

3. त्वरण (Acceleration): \[ a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -A \omega^2 \sin (\omega t + \phi) \] या \[ a(t) = -\omega^2 x \]

4. कोणीय आवृत्ति (Angular Frequency): \[ \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \]

SHM के उदाहरण (Examples of SHM)

• स्प्रिंग में लगी वस्तु
• साधारण पेंडुलम (small angle)
• हार्मोनियम की तार
• इलेक्ट्रॉनिक सर्किट में करंट

SHM की ऊर्जा (Energy in SHM)

SHM में ऊर्जा दो रूपों में होती है: (i) गतिज ऊर्जा (Kinetic Energy, KE) (ii) स्थितिज ऊर्जा (Potential Energy, PE)

1. गतिज ऊर्जा (KE): \[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \] जहाँ

• \( m \) = द्रव्यमान (Mass)
• \( v \) = वेग (Velocity)

2. स्थितिज ऊर्जा (PE): \[ PE = \frac{1}{2} k x^2 \] जहाँ

• \( k \) = स्प्रिंग स्थिरांक (Spring constant)
• \( x \) = विक्षेपण (Displacement)

3. कुल ऊर्जा (Total Energy): \[ E = KE + PE = \frac{1}{2} k A^2 \] कुल ऊर्जा हमेशा स्थिर रहती है।

SHM का ग्राफ (Graphical Representation)

• x-t ग्राफ: साइन/कोसाइन तरंग
• v-t ग्राफ: 90° फेज से आगे
• a-t ग्राफ: 180° फेज से आगे

5. स्प्रिंग में लगी वस्तु का SHM (Mass-Spring System)

स्प्रिंग में लगी वस्तु का SHM: अगर एक वस्तु को स्प्रिंग के साथ जोड़कर खींचा जाए और छोड़ दिया जाए, तो वह SHM करती है।

पुनर्स्थापन बल: \[ F = -k x \]

आवर्त काल: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \] जहाँ

• \( m \) = वस्तु का द्रव्यमान (Mass)
• \( k \) = स्प्रिंग स्थिरांक (Spring constant)

Solved Example: एक 0.5 kg द्रव्यमान को 200 N/m स्प्रिंग से जोड़ा गया है। आवर्त काल ज्ञात करें।

Solution: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.5}{200}} = 2\pi \sqrt{0.0025} = 2\pi \times 0.05 = 0.314 \text{ s} \]

6. साधारण पेंडुलम (Simple Pendulum)

साधारण पेंडुलम: एक पतली डोरी के सिरे पर छोटा द्रव्यमान (बॉब) लटकाया जाता है और छोटी कोणीय विचलन पर दोलन करता है।

आवर्त काल: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \] जहाँ

• \( l \) = डोरी की लंबाई (Length)
• \( g \) = गुरुत्वाकर्षण त्वरण (Acceleration due to gravity)

Solved Example: एक पेंडुलम की लंबाई 1 m है। \( g = 9.8 \) m/s² है। आवर्त काल ज्ञात करें।

Solution: \[ T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{9.8}} = 2\pi \sqrt{0.102} = 2\pi \times 0.319 = 2.006 \text{ s} \]

7. दोलन का गणितीय विश्लेषण (Mathematical Analysis of Oscillations)

SHM की समीकरण प्राप्ति (Derivation of SHM Equation)

स्प्रिंग में लगी वस्तु: स्प्रिंग के साथ लगी वस्तु को खींचने पर पुनर्स्थापन बल \[ F = -k x \] न्यूटन का द्वितीय नियम \[ F = m \frac{d^2x}{dt^2} \] तो \[ m \frac{d^2x}{dt^2} = -k x \] \[ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0 \]

इस समीकरण का हल, SHM का समीकरण है। \[ x(t) = A \sin (\omega t + \phi) \] जहाँ \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \]

8. दोलन की ऊर्जा (Energy in Oscillation)

SHM में ऊर्जा:

• कुल ऊर्जा: स्थिर
• गतिज ऊर्जा अधिकतम जब \( x = 0 \)
• स्थितिज ऊर्जा अधिकतम जब \( x = \pm A \)

गतिज ऊर्जा: \[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \] जहाँ \[ v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \]

स्थितिज ऊर्जा: \[ PE = \frac{1}{2} k x^2 \]

कुल ऊर्जा: \[ E = \frac{1}{2} k A^2 \]

9. ध्वनि दोलन (Oscillations in Sound)

ध्वनि तरंगें भी दोलन का उदाहरण हैं।

तरंग का समीकरण: \[ y(x, t) = A \sin (kx - \omega t + \phi) \]

10. दैनिक जीवन में दोलन (Oscillations in Daily Life)

• झूला
• पेंडुलम घड़ी
• म्यूजिक इंस्ट्रूमेंट
• इलेक्ट्रॉनिक सर्किट
• ह्रदय की धड़कन

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

1. दोलन वह गति है जिसमें वस्तु बार-बार अपनी स्थिति दोहराती है।

1. दोलन के प्रकार हैं: मुक्त, बाधित, विवश, और अनुनाद।

1. SHM में पुनर्स्थापन बल विक्षेपण के अनुपात में और विपरीत दिशा में होता है।

1. SHM का समीकरण: \( x = A \sin (\omega t + \phi) \)

1. स्प्रिंग-मास सिस्टम का आवर्त काल: \( T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \)

1. साधारण पेंडुलम का आवर्त काल: \( T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \)

1. SHM में कुल ऊर्जा: \( E = \frac{1}{2} k A^2 \), स्थिर रहती है।

1. गति के x-t, v-t, a-t ग्राफ साइन/कोसाइन प्रकार के होते हैं।

1. अनुनाद में आयाम अत्यधिक बढ़ जाता है।

1. दैनिक जीवन में कई घटनाएँ दोलन पर आधारित हैं।

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक | त्रुटि (Mistake) | सुधार (Correction) | |--------|----------------------------------------------------|--------------------------------------------------------| | 1 | आवर्त काल और आवृत्ति को उल्टा समझना | \( T = 1/f \), \( f = 1/T \) | | 2 | SHM में पुनर्स्थापन बल को सही दिशा में नहीं लेना | बल हमेशा mean position की ओर होता है | | 3 | पेंडुलम का आवर्त काल बड़े कोणों के लिए लागू करना | केवल छोटे कोण (\(<15^\circ\)) के लिए सही है | | 4 | स्प्रिंग स्थिरांक की इकाई गलत लिखना | सही इकाई: N/m (Newton per meter) | | 5 | कुल ऊर्जा को बदलता मानना | SHM में कुल ऊर्जा स्थिर रहती है | | 6 | फेज और आयाम में अंतर नहीं समझना | फेज: स्थिति/दिशा; आयाम: अधिकतम विक्षेपण | | 7 | अनुनाद को विवश दोलन समझना | अनुनाद विशेष अवस्था है जब आवृत्ति बराबर होती है | | 8 | ग्राफ के फेज अंतर को नजरअंदाज करना | v-t ग्राफ x-t से 90° आगे, a-t 180° आगे | | 9 | स्प्रिंग-मास सिस्टम में द्रव्यमान जोड़ना भूलना | आवर्त काल में केवल स्प्रिंग से जुड़ा द्रव्यमान | | 10 | ऊर्जा के समीकरण में A (आयाम) का गलत मान लेना | कुल ऊर्जा में \( A^2 \) है, न कि \( A \) |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1-mark Questions

1. दोलन की परिभाषा लिखिए।

1. सरल आवर्त दोलन का समीकरण क्या है?

1. आवर्त काल और आवृत्ति में संबंध लिखिए।

1. स्प्रिंग स्थिरांक की SI इकाई क्या है?

1. अनुनाद क्या है?

2-mark Questions

1. मुक्त दोलन और विवश दोलन में अंतर बताइए।

1. SHM में पुनर्स्थापन बल की दिशा क्या होती है?

1. साधारण पेंडुलम का आवर्त काल का सूत्र लिखिए।

1. SHM में कुल ऊर्जा की अभिव्यक्ति दीजिए।

1. आयाम और फेज में अंतर बताइए।

5-mark Questions

1. स्प्रिंग में लगे द्रव्यमान का SHM समझाइए एवं आवर्त काल का सूत्र प्राप्त कीजिए।

उत्तर: स्प्रिंग में लगी वस्तु को equilibrium से x दूरी तक खींचने पर पुनर्स्थापन बल \[ F = -k x \] न्यूटन का द्वितीय नियम \[ F = m \frac{d^2x}{dt^2} \] तो \[ m \frac{d^2x}{dt^2} = -k x \] \[ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0 \] यह SHM की समीकरण है, जिसमें \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \] आवर्त काल \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \]

1. साधारण पेंडुलम का आवर्त काल प्राप्त कीजिए।

उत्तर: साधारण पेंडुलम में, पुनर्स्थापन बल \[ F = -mg \sin \theta \] यदि \( \theta \) छोटा है, \[ \sin \theta \approx \theta \] तो \[ F = -mg \theta \] डोरी की लंबाई \( l \) \[ x = l \theta \] तो \[ F = -mg \frac{x}{l} \] न्यूटन का द्वितीय नियम \[ m \frac{d^2x}{dt^2} = -mg \frac{x}{l} \] \[ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{g}{l} x = 0 \] यह SHM है, \[ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} \] आवर्त काल \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \]

1. SHM में ऊर्जा का वितरण समझाइए।

उत्तर: SHM में कुल ऊर्जा \[ E = \frac{1}{2} k A^2 \] यह स्थिर रहती है।

• गतिज ऊर्जा (\( KE \)) अधिकतम जब \( x = 0 \)
• स्थितिज ऊर्जा (\( PE \)) अधिकतम जब \( x = \pm A \)

किसी भी क्षण पर \[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \] \[ PE = \frac{1}{2} k x^2 \] जहाँ \[ v = \omega \sqrt{A^2 - x^2} \] SHM में ऊर्जा गतिज और स्थितिज ऊर्जा में बदलती रहती है, लेकिन कुल ऊर्जा स्थिर है।

1. SHM का समीकरण प्राप्त कीजिए एवं ग्राफ द्वारा समझाइए।

उत्तर: स्प्रिंग में लगी वस्तु के लिए \[ m \frac{d^2x}{dt^2} = -k x \] \[ \frac{d^2x}{dt^2} + \frac{k}{m} x = 0 \] इसका हल \[ x(t) = A \sin (\omega t + \phi) \] जहाँ \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \] ग्राफ x-t (साइन वेव), v-t (90° फेज आगे), a-t (180° फेज आगे)। x-t ग्राफ में आयाम अधिकतम, v-t में वेग अधिकतम जब x=0, a-t में त्वरण अधिकतम जब x=±A।

1. दोलन के प्रकार समझाइए एवं दैनिक जीवन में उनके उदाहरण दीजिए।

उत्तर: दोलन के प्रकार: (i) मुक्त दोलन (Free): बिना बाहरी बल, जैसे पेंडुलम (ii) बाधित दोलन (Damped): घर्षण के कारण आयाम घटता, जैसे स्प्रिंग में घर्षण (iii) विवश दोलन (Forced): बाहरी आवधिक बल, जैसे हार्मोनियम की तार (iv) अनुनाद (Resonance): आवृत्ति बराबर, जैसे रेडियो ट्यूनिंग दैनिक जीवन में: झूला, पेंडुलम घड़ी, म्यूजिक इंस्ट्रूमेंट, इलेक्ट्रॉनिक सर्किट, ह्रदय की धड़कन।

End of Chapter Notes