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RBSE कक्षा 11 गणित नोट्स हिंदी में

Class 11 Mathematics Notes

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समुच्चय

समुच्चय (Sets)

एक नज़र में (At a Glance):

समुच्चय गणित की एक मौलिक संकल्पना है, जिसमें वस्तुओं के संग्रह को एक इकाई के रूप में अध्ययन किया जाता है। इस अध्याय में समुच्चय की परिभाषा, प्रकार, उपसमुच्चय, संचालन और वेन आरेख का अध्ययन करेंगे। (Set is a fundamental concept in mathematics where a collection of objects is considered as a single entity. In this chapter, we will study the definition, types, subsets, operations, and Venn diagrams of sets.)

📌 अध्याय का परिचय (Introduction of Chapter)

गणित में, हम अक्सर ऐसी वस्तुओं के संग्रह से काम करते हैं, जिनमें कोई विशेष गुण होता है। ऐसे संग्रह को समुच्चय कहते हैं। समुच्चय सिद्धांत गणित की अनेक शाखाओं का आधार है, जैसे बीजगणित, सांख्यिकी, संभाव्यता, आदि। (In mathematics, we often deal with collections of objects that have a specific property. Such collections are called sets. Set theory forms the basis of various branches of mathematics like algebra, statistics, probability, etc.)

📖 मुख्य विषयवस्तु (Major Topics)

1. समुच्चय की परिभाषा (Definition of Set)

परिभाषा (Definition): समुच्चय ऐसी सुव्यवस्थित और भिन्न वस्तुओं का संग्रह है, जिसे स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सके।

A set is a well-defined collection of distinct objects.

समुच्चय की वस्तुएँ - सदस्य (Elements of a Set): समुच्चय में शामिल प्रत्येक वस्तु को उसका सदस्य या अवयव कहते हैं।

Each object in a set is called its element or member.

नोटेशन (Notation): समुच्चय को अंग्रेजी के बड़े अक्षरों से (A, B, C...) और उसके सदस्यों को छोटे अक्षरों से (a, b, c...) दर्शाते हैं।

Sets are denoted by capital letters and their elements by small letters.

प्रतीक (Symbol): यदि 'a' समुच्चय A का सदस्य है, तो लिखते हैं: a ∈ A यदि 'a' A का सदस्य नहीं है, तो लिखते हैं: a ∉ A

If 'a' is an element of set A, we write: a ∈ A; if not, a ∉ A

उदाहरण (Examples):

A = {1, 2, 3, 4}
B = {x : x प्राकृतिक संख्याएँ हैं और x < 6}

B = {x : x is a natural number and x < 6}

2. समुच्चय लिखने के दो तरीके (Two Methods of Representing a Set)

(i) सूची विधि (Roster or Tabular Form)

समुच्चय के सभी सदस्यों को { } के भीतर लिखते हैं और अल्पविराम (,) द्वारा अलग करते हैं।

All elements of a set are listed within curly brackets and separated by commas.

उदाहरण: A = {a, e, i, o, u}

(ii) नियमवाची विधि (Set-builder Form)

सदस्यों के कोई नियम या गुण को लिखते हैं, जिससे समुच्चय के सभी सदस्य निर्दिष्ट होते हैं।

In this, a property is stated to define the elements of the set.

उदाहरण: A = {x : x एक स्वर है} A = {x : x is a vowel in English alphabet}

3. समुच्चय के प्रकार (Types of Sets)

| प्रकार (Type) | परिभाषा (Definition) | उदाहरण (Example) | |----------------------|----------------------|------------------| | शून्य समुच्चय (Null Set) | जिसमें कोई सदस्य न हो | ∅, { } | | एकल समुच्चय (Singleton Set) | जिसमें केवल एक सदस्य हो | {0}, {a} | | समाप्त समुच्चय (Finite Set) | जिसमें सदस्यों की संख्या गिन सकें | {1, 2, 3} | | अनन्त समुच्चय (Infinite Set) | जिसकी सदस्य संख्या अनंत हो | {x : x ∈ N} | | तुल्य समुच्चय (Equal Set) | जिनके सभी सदस्य समान हैं | A = {1,2,3}, B = {3,2,1} ⇒ A = B | | तुल्यकार समुच्चय (Equivalent Set) | जिनमें सदस्यों की संख्या समान है | A = {1,2,3}, B = {a,b,c} ⇒ n(A)=n(B) | | उपसमुच्चय (Subset) | यदि A का प्रत्येक सदस्य B में भी है | A ⊆ B | | सर्वसमुच्चय (Universal Set) | सभी समुच्चयों का सबसे बड़ा समुच्चय | U = {1,2,3,4,5} | | पूरक समुच्चय (Complement) | U के वे सदस्य जो A में नहीं हैं | A' या Ac |

4. उपसमुच्चय (Subsets)

परिभाषा (Definition): यदि A और B दो समुच्चय हैं तथा A का प्रत्येक सदस्य B में भी है, तो A, B का उपसमुच्चय कहलाता है।

If every element of set A is also an element of set B, then A is called a subset of B.

प्रतीक (Symbol): A ⊆ B (A is a subset of B)

सभी समुच्चय स्वयं का उपसमुच्चय होते हैं।

Every set is a subset of itself.

∅ प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय है।

The null set is a subset of every set.

उदाहरण: A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4} A ⊆ B

उपसमुच्चयों की कुल संख्या (Number of Subsets): यदि किसी समुच्चय A में n सदस्य हैं, तो उसके उपसमुच्चयों की संख्या = 2^n

If a set has n elements, it has 2^n subsets.

सर्वसमुच्चय (Universal Set): वह समुच्चय जिसमें उस परिभाषित सभी वस्तुएँ होती हैं।

The set containing all objects under consideration.

Solved Example

Q. यदि A = {a, b}, तो इसके उपसमुच्चय लिखिए।

Write all subsets of A = {a, b}

Solution: A के उपसमुच्चय हैं: ∅, {a}, {b}, {a, b}

There are 2^2 = 4 subsets.

5. समुच्चयों के बीच संबंध (Relation Between Sets)

(i) उपसमुच्चय (Subset)

जैसा ऊपर बताया गया।

(ii) समुच्चय का समता (Equality of Sets)

यदि दो समुच्चयों के सभी सदस्य समान हैं तो वे तुल्य (Equal) कहलाते हैं।

If two sets have exactly the same elements, they are called equal sets.

(iii) समुच्चय का समावेश (Superset)

यदि B, A का सुपरसेट है, तो B ⊇ A

If B is a superset of A, then B ⊇ A

6. वेन आरेख (Venn Diagram)

परिचय (Introduction): वेन आरेख समुच्चयों को चित्रात्मक रूप में दर्शाने का तरीका है।

Venn Diagrams are pictorial representations of sets.

सर्वसमुच्चय (Universal Set) को एक आयत से दर्शाते हैं।
अन्य समुच्चयों को वृत्त या अंडाकार आकृति से दर्शाते हैं।
सदस्यों को बिंदुओं द्वारा दिखाते हैं।

उदाहरण: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A = {2, 4, 6, 8} B = {1, 2, 3, 4, 5}

वेन आरेख में U आयत, A और B वृत्त होंगे, और सदस्य बिंदुओं द्वारा।

7. समुच्चयों के संक्रियाएँ (Operations on Sets)

(i) संघ (Union)

परिभाषा: A और B का संघ वह समुच्चय है, जिसमें A या B या दोनों के सभी सदस्य हों।

The union of sets A and B is the set containing all elements of A or B or both.

प्रतीक (Symbol): A ∪ B = {x : x ∈ A या x ∈ B}

उदाहरण: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} A ∪ B = {1, 2, 3, 4}

(ii) छेदन (Intersection)

परिभाषा: A और B का छेदन वह समुच्चय है, जिसमें वे सदस्य हों, जो दोनों में हों।

The intersection of sets A and B is the set containing elements common to both.

प्रतीक: A ∩ B = {x : x ∈ A और x ∈ B}

उदाहरण: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} A ∩ B = {2, 3}

(iii) अंतर (Difference)

परिभाषा: A - B वह समुच्चय है, जिसमें वे सदस्य हों, जो केवल A में हों, B में न हों।

A - B is the set of elements in A but not in B.

प्रतीक: A - B = {x : x ∈ A और x ∉ B}

उदाहरण: A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4} A - B = {1}

(iv) पूरक (Complement)

परिभाषा: A का पूरक वह समुच्चय है, जिसमें सर्वसमुच्चय के वे सदस्य हों, जो A में न हों।

The complement of A is the set of all elements of the universal set not in A.

प्रतीक: A' या Ac = {x : x ∈ U और x ∉ A}

उदाहरण: U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {2, 3} A' = {1, 4, 5}

Solved Example

Q. यदि A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5, 6}, तो (i) A ∪ B, (ii) A ∩ B, (iii) A - B, (iv) B - A ज्ञात कीजिए।

Solution: (i) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} (ii) A ∩ B = {3, 4} (iii) A - B = {1, 2} (iv) B - A = {5, 6}

8. समुच्चय संक्रियाओं के गुण (Properties of Set Operations)

(i) संघ के गुण (Properties of Union)

आबद्धता (Commutativity):

A ∪ B = B ∪ A

संयोजन (Associativity):

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

परित्याग (Idempotency):

A ∪ A = A

शून्य समुच्चय के साथ:

A ∪ ∅ = A

(ii) छेदन के गुण (Properties of Intersection)

आबद्धता:

A ∩ B = B ∩ A

संयोजन:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

परित्याग:

A ∩ A = A

शून्य समुच्चय के साथ:

A ∩ ∅ = ∅

(iii) वितरण (Distributivity)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(iv) डि मॉर्गन के नियम (De Morgan’s Laws)

(A ∪ B)' = A' ∩ B'
(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Solved Example

Q. यदि U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, A = {2,4,6,8,10}, B = {1,2,3,4,5}, तो (i) A' (ii) (A ∪ B)' (iii) A' ∩ B' गणना कीजिए।

Solution: (i) A' = {1,3,5,7,9} (ii) A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,8,10} ⇒ (A ∪ B)' = {7,9} (iii) B' = {6,7,8,9,10} A' ∩ B' = {7,9,10}

9. समुच्चयों की संख्याएँ (Cardinality of Sets)

परिभाषा (Definition): किसी समुच्चय के सदस्यों की संख्या को उसकी संख्यात्मकता (Cardinality) कहते हैं।

The number of elements in a set is called its cardinality.

नोटेशन: n(A) = A के सदस्यों की संख्या

For set A, n(A) denotes the number of elements.

संपर्क सूत्र (Formula): यदि A और B दो समुच्चय हैं, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)

तीन समुच्चयों के लिए: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(B ∩ C) – n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)

Solved Example

Q. यदि n(A) = 10, n(B) = 15, n(A ∩ B) = 5, तो n(A ∪ B) ज्ञात कीजिए।

Solution: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) = 10 + 15 – 5 = 20

10. व्यावहारिक प्रश्न (Word Problems on Sets)

Example 1

एक विद्यालय में 40 छात्र गणित पढ़ते हैं, 30 विज्ञान, और 20 दोनों पढ़ते हैं। कुल कितने छात्र कम-से-कम एक विषय पढ़ते हैं?

In a school, 40 students study Mathematics, 30 study Science, and 20 study both. How many students study at least one subject?

Solution: Let M = Mathematics, S = Science n(M) = 40, n(S) = 30, n(M ∩ S) = 20 n(M ∪ S) = n(M) + n(S) – n(M ∩ S) = 40 + 30 – 20 = 50

Example 2

एक सर्वेक्षण में 100 लोग शामिल हैं, जिनमें से 60 लोग हिंदी पत्रिका पढ़ते हैं, 45 अंग्रेजी पत्रिका, तथा 20 दोनों पढ़ते हैं। केवल हिंदी पत्रिका पढ़ने वाले लोगों की संख्या ज्ञात कीजिए।

In a survey of 100 people, 60 read Hindi magazine, 45 English magazine, and 20 both. Find the number of people who read only Hindi magazine.

Solution: Let H = Hindi, E = English n(H) = 60, n(E) = 45, n(H ∩ E) = 20 केवल हिंदी पत्रिका = n(H) – n(H ∩ E) = 60 – 20 = 40

11. अनुप्रयोग (Applications of Sets)

गणितीय तर्क (Mathematical Logic)
संभावना (Probability)
संबंध तथा फलन (Relations and Functions)
सांख्यिकी (Statistics)
कंप्यूटर विज्ञान (Computer Science)

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)

समुच्चय सुव्यवस्थित तथा भिन्न वस्तुओं का संग्रह होता है।

A set is a well-defined collection of distinct objects.

समुच्चय के सदस्यों को {} के अंदर लिखते हैं।

Elements of a set are enclosed in curly brackets.

∅ या {} शून्य समुच्चय दर्शाते हैं।

∅ or {} denotes the null set.

यदि A के सभी सदस्य B में भी हैं, तो A, B का उपसमुच्चय है।

If all elements of A are in B, then A is a subset of B.

n-सदस्यीय समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या 2^n होती है।

A set with n elements has 2^n subsets.

A ∪ B में A या B या दोनों के सभी सदस्य होते हैं।

A ∪ B contains all elements of A or B or both.

A ∩ B में केवल वे सदस्य होते हैं, जो दोनों में हों।

A ∩ B contains only elements common to both.

A – B में वे सदस्य होते हैं, जो A में हैं किंतु B में नहीं।

A – B contains elements in A but not in B.

(A ∪ B)' = A' ∩ B' (De Morgan’s Law)
वेन आरेख समुच्चयों को चित्रात्मक रूप से दर्शाने का तरीका है।

Venn diagrams are pictorial representations of sets.

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्र. | गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Approach) | |-----|----------------|------------------------------| | 1 | उपसमुच्चय में ∅ को भूल जाना | ∅ हर समुच्चय का उपसमुच्चय है | | 2 | संघ और छेदन को आपस में बदल देना | संघ (∪) = सभी सदस्य, छेदन (∩) = सामान्य सदस्य | | 3 | A - B और B - A में भ्रम | A - B ≠ B - A | | 4 | उपसमुच्चयों की संख्या गलत लिखना | n सदस्य ⇒ 2^n उपसमुच्चय | | 5 | वेन आरेख में सदस्य गलत स्थान पर दर्शाना | सदस्यों को सही समुच्चय के भीतर दिखाएँ | | 6 | पूरक निकालते समय सर्वसमुच्चय न लिखना | पूरक हमेशा सर्वसमुच्चय के सापेक्ष निकाला जाता है | | 7 | De Morgan’s Laws को उल्टा लिखना | (A ∪ B)' = A' ∩ B', (A ∩ B)' = A' ∪ B' | | 8 | शून्य और एकल समुच्चय में अंतर न समझना | ∅ में कोई सदस्य नहीं, एकल में केवल एक | | 9 | कार्डिनालिटी (संख्यात्मकता) में गलत गिनती | सभी सदस्यों की सही गिनती करें | | 10 | सेट-बिल्डर और सूची विधि में रूपांतरण में त्रुटि | ध्यान से नियम और सदस्य लिखें |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)

1-Mark Questions (1 अंक)

समुच्चय क्या है?

What is a set?

शून्य समुच्चय का एक उदाहरण लिखिए।

Give an example of a null set.

यदि A = {2, 4, 6, 8}, तो n(A) = ?

(If A = {2, 4, 6, 8}, what is n(A)?)

यदि a ∈ A, तो इसका क्या अर्थ है?

If a ∈ A, what does it mean?

यदि A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, तो A ∩ B = ?

(If A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4}, find A ∩ B.)

2-Mark Questions (2 अंक)

सूची विधि और नियमवाची विधि में अंतर समझाइए।

Differentiate between roster form and set-builder form.

A = {a, b}, इसके सभी उपसमुच्चय लिखिए।

Write all subsets of A = {a, b}.

यदि n(A) = 5, तो A के उपसमुच्चयों की संख्या कितनी होगी?

If n(A) = 5, how many subsets does A have?

यदि U = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6}, तो A' ज्ञात कीजिए।

(If U = {1,2,3,4,5,6}, A = {2,4,6}, find A'.)

A = {x : x एक अंक है, x > 5}, सूची विधि में लिखिए।

Write A = {x : x is a digit, x > 5} in roster form.

5-Mark Questions (5 अंक)

(i) A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {3, 4, 5, 6} (ii) A ∪ B ∪ C ज्ञात कीजिए। (iii) A ∩ B ∩ C ज्ञात कीजिए। (iv) (A ∪ B) ∩ C ज्ञात कीजिए। सभी का समाधान वेन आरेख द्वारा भी दर्शाइए।

Find A ∪ B ∪ C, A ∩ B ∩ C, (A ∪ B) ∩ C and represent them using Venn diagram.

एक परीक्षा में 60 विद्यार्थी गणित, 40 भौतिकी, और 25 दोनों विषय पढ़ते हैं। (i) केवल गणित पढ़ने वाले विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए। (ii) केवल भौतिकी पढ़ने वाले विद्यार्थियों की संख्या ज्ञात कीजिए। (iii) कम-से-कम एक विषय पढ़ने वाले विद्यार्थियों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।

In an exam, 60 students study Mathematics, 40 Physics, and 25 study both. Find (i) students studying only Mathematics, (ii) only Physics, (iii) total studying at least one subject.

डि मॉर्गन के नियमों को सिद्ध कीजिए तथा उदाहरण द्वारा स्पष्ट कीजिए।

Prove De Morgan’s Laws and illustrate with an example.

यदि n(U) = 100, n(A) = 60, n(B) = 50, n(A ∩ B) = 30, तो (i) n(A ∪ B) (ii) n(A') (iv) n(A' ∩ B') गणना कीजिए। (If n(U) = 100, n(A) = 60, n(B) = 50, n(A ∩ B) = 30, find (i) n(A ∪ B), (ii) n(A'), (iii) n(B'), (iv) n(A' ∩ B').)

iii) n(B'

A = {1, 3, 5, 7, 9}, B = {2, 3, 5, 7}, U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} (i) A ∪ B (ii) A ∩ B (iii) A - B (iv) (A ∪ B)' गणना कीजिए।

Calculate A ∪ B, A ∩ B, A - B, (A ∪ B)' for the given sets.

अध्याय का सारांश (Summary of Chapter)

समुच्चय गणित की आधारभूत संकल्पना है।
समुच्चय को सूची या नियमवाची विधि से दर्शाते हैं।
संघ, छेदन, अंतर, पूरक जैसी संक्रियाएँ समुच्चयों पर की जाती हैं।
वेन आरेख द्वारा समुच्चयों को चित्रात्मक रूप में दर्शाते हैं।
डि मॉर्गन के नियम, कार्डिनालिटी और व्यावहारिक प्रश्न परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

यह नोट्स RBSE कक्षा 11 गणित की परीक्षा के लिए संपूर्ण, विस्तृत, और परीक्षा उपयोगी हैं।

This note is comprehensive, detailed, and exam-relevant for RBSE Class 11 Mathematics.

मुख्य बिंदु (Key Points)

समुच्चय वस्तुओं का सुव्यवस्थित और विशिष्ट संग्रह होता है।
समुच्चयों को सामान्यतः बड़े अक्षरों जैसे A, B, C द्वारा दर्शाया जाता है।
समुच्चय के तत्वों को कर्वी ब्रैकेट {} के अंदर लिखा जाता है।
समुच्चय में तत्वों की संख्या को उसका कार्डिनल संख्या कहते हैं।
समुच्चय को सूची या सारणी रूप और सेट-बिल्डर रूप में दर्शाया जा सकता है।
रिक्त समुच्चय (शून्य समुच्चय) में कोई तत्व नहीं होता और इसे {} या φ से दर्शाते हैं।
सार्वत्रिक समुच्चय में उस चर्चा के सभी तत्व होते हैं जिन पर विचार किया जा रहा है।
उपसमुच्चय: यदि समुच्चय A का प्रत्येक तत्व समुच्चय B में भी है, तो A, B का उपसमुच्चय है।
समान समुच्चयों में बिल्कुल समान तत्व होते हैं।
दो समुच्चय A और B का संघ वह समुच्चय है जिसमें दोनों के सभी तत्व होते हैं।
दो समुच्चयों का छेदन वह समुच्चय है जिसमें दोनों के सामान्य तत्व होते हैं।
दो समुच्चय A और B का अंतर वह समुच्चय है जिसमें A के वे तत्व हैं जो B में नहीं हैं।

इस अध्याय से अभ्यास प्रश्न

निम्नलिखित में से कौन-सा प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है?

शून्य समुच्चय
सर्वसमुच्चय
ससीमित समुच्चय
एकतत्वीय समुच्चय

उत्तर देखें

सही उत्तर: शून्य समुच्चय

शून्य समुच्चय प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।

{x: x अंग्रेजी वर्णमाला का स्वर है} में कितने तत्त्व होते हैं?

उत्तर देखें

सही उत्तर: 5

स्वर a, e, i, o, u हैं; अतः 5 तत्त्व हैं।

यदि A = {1, 2, 3} है, तो A के उपसमुच्चयों की संख्या है:

उत्तर देखें

सही उत्तर: 8

n तत्त्वों वाले समुच्चय के 2^n उपसमुच्चय होते हैं। यहाँ 2^3 = 8।

संबंध एवं फलन

संबंध एवं फलन (Relations and Functions)

एक नज़र में: यह अध्याय संबंध (Relations) और फलन (Functions) की मूलभूत अवधारणाओं, उनके प्रकार, चित्रण, तथा दैनिक जीवन और गणित में उनके अनुप्रयोगों को विस्तार से समझाता है। (This chapter explains the fundamental concepts of relations and functions, their types, representations, and applications in daily life and mathematics.)

📌 अध्याय का परिचय (Introduction)

गणित में, 'संबंध' और 'फलन' दो अत्यंत महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं, जो विभिन्न सेट्स के तत्त्वों के बीच के संबंधों और नियमों को दर्शाती हैं।

Relations and functions are two fundamental concepts in mathematics, representing the connections and rules between elements of different sets.

यह अध्याय निम्नलिखित विषयों को कवर करता है:

संबंध (Relations): परिभाषा, प्रकार, और उदाहरण
फलन (Functions): परिभाषा, प्रकार, और चित्रण
संबंध तथा फलन में अंतर
समुच्चय, कार्डिनल नंबर, तथा चित्रण विधियाँ

📖 1. समुच्चय (Set)

परिभाषा (Definition)

सुस्पष्ट और भिन्न वस्तुओं का संग्रह जिसे एक साथ 'समुच्चय' कहते हैं।

A well-defined collection of distinct objects is called a set.

उदाहरण (Examples):

प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय: N = {1, 2, 3, ...}
स्वर (Vowels) का समुच्चय: V = {a, e, i, o, u}

📖 2. कार्तीय गुणनफल (Cartesian Product)

परिभाषा (Definition)

यदि A और B दो समुच्चय हैं, तो उनका कार्तीय गुणनफल A × B उस सभी क्रमबद्ध युग्मों (a, b) का समुच्चय है, जहाँ a ∈ A और b ∈ B।

If A and B are two sets, their Cartesian product A × B is the set of all ordered pairs (a, b), where a ∈ A and b ∈ B.

सूत्र (Formula): A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

उदाहरण (Example): यदि A = {1, 2} और B = {x, y}, तो A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}

नोट: n(A × B) = n(A) × n(B), जहाँ n(A) और n(B) क्रमशः A और B के तत्त्वों की संख्या है।

📖 3. संबंध (Relation)

परिभाषा (Definition)

यदि A और B दो समुच्चय हैं, तो A और B के बीच एक संबंध R, A × B का कोई उप-समुच्चय होता है।

If A and B are two sets, a relation R from A to B is any subset of A × B.

समीकरण (Notation): यदि (a, b) ∈ R, तो कहा जाएगा कि 'a' का 'b' से संबंध है, अर्थात् a R b.

उदाहरण (Example):

A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}, R = {(1, 4), (2, 5)} is a relation from A to B.

संबंध लिखने के तरीके (Ways to Represent Relations):

रॉस्टर विधि (Roster Method):

सभी युग्मों को {} में लिखना e.g., R = {(1, 4), (2, 5)}

सेट बिल्डर विधि (Set Builder Method):

R = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B, a + b = 6}

चित्रात्मक विधि (Pictorial/Arrow Diagram):

एक चित्र में A और B के तत्त्वों को बिंदुओं द्वारा दर्शाकर, संबंधित तत्त्वों को तीर से जोड़ना।

संबंध के प्रकार (Types of Relations)

1. रिक्त संबंध (Void/Empty Relation)

अगर R ⊆ A × A में कोई भी युग्म नहीं है, तो उसे रिक्त संबंध कहते हैं।

If R = φ, it is called void relation.

2. सार्वत्रिक संबंध (Universal Relation)

यदि R = A × A, अर्थात् प्रत्येक संभव युग्म संबंध में है।

If R = A × A, it is called universal relation.

3. प्रतिबिंबित संबंध (Reflexive Relation)

यदि ∀ a ∈ A, (a, a) ∈ R, तो R प्रतिबिंबित है।

If for all a ∈ A, (a, a) ∈ R, then R is reflexive.

4. सममित संबंध (Symmetric Relation)

यदि (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R, तो R सममित है।

If (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R, then R is symmetric.

5. पारगम्य संबंध (Transitive Relation)

यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R, तो R पारगम्य है।

If (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R, then R is transitive.

6. तुल्यता संबंध (Equivalence Relation)

यदि R प्रतिबिंबित, सममित और पारगम्य है, तो R तुल्यता संबंध है।

If R is reflexive, symmetric, and transitive, then R is an equivalence relation.

उदाहरण (Examples):

Q: A = {1, 2, 3}; R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}. जांचिए कि R प्रतिबिंबित, सममित, पारगम्य है या नहीं।

उत्तर (Solution):

प्रतिबिंबित: (1,1), (2,2), (3,3) ∈ R ⇒ प्रतिबिंबित।
सममित: (1,2) ∈ R और (2,1) ∈ R ⇒ सममित।
पारगम्य: (1,2) ∈ R, (2,1) ∈ R ⇒ (1,1) ∈ R ⇒ पारगम्य।

तो, यह तुल्यता संबंध है।

📖 4. फलन (Function)

परिभाषा (Definition)

A और B दो समुच्चय हैं। यदि A का प्रत्येक तत्त्व B के एक और केवल एक तत्त्व से संबंधित है, तो उसे A से B में एक फलन कहते हैं।

Let A and B be two sets. A function f from A to B is a relation such that every element of A is related to exactly one element of B.

समीकरण (Notation): f: A → B, f(a) = b, जहाँ a ∈ A, b ∈ B

Domain, Co-domain, Range:

Domain (प्रांत): A (जिससे फलन परिभाषित है)
Co-domain (सहप्रांत): B
Range (परास): B के वे तत्त्व जिनके लिए कोई a ∈ A है कि f(a) = b

उदाहरण (Example): A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6} f: A → B, f(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 4 यह एक फलन है क्योंकि A के हर तत्त्व के लिए B में एक ही तत्त्व है।

फलन के प्रकार (Types of Functions)

1. एक-एक फलन (One-One Function/Injective)

f: A → B, यदि f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2, तो f एक-एक है।

f is one-one if different elements of A have different images in B.

2. कई एक फलन (Many-One Function)

यदि f(a1) = f(a2) और a1 ≠ a2, तो f कई-एक है।

f is many-one if two or more elements of A have the same image in B.

3. सहावी फलन (Onto Function/Surjective)

यदि B का हर तत्त्व A के किसी तत्त्व का फलन है, तो f सहावी है।

f is onto if every element of B is the image of some element of A.

4. एक-एक सहावी (One-One Onto Function/Bijective)

यदि f एक-एक भी है और सहावी भी है, तो f एक-एक सहावी (bijective) है।

f is bijective if it is both one-one and onto.

उदाहरण (Examples):

Q: f: {1, 2, 3} → {a, b, c} defined as f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c यह कौन सा फलन है? उत्तर: यह एक-एक सहावी (bijective) फलन है।

फलन का चित्रण (Representation of Functions)

चित्रात्मक विधि (Arrow Diagram):

A और B के तत्त्वों को बिंदुओं द्वारा दर्शाकर, संबंधित तत्त्वों को तीर द्वारा जोड़ना।

समीकरण (Equation):

जैसे, f(x) = x^2, f(x) = sin x

तालिका (Table):

x: 1, 2, 3 f(x): 2, 4, 6

विशेष फलन (Special Functions)

स्थिर फलन (Constant Function):

f(x) = c, ∀ x ∈ A

पहचान फलन (Identity Function):

f(x) = x, ∀ x ∈ A

शून्य फलन (Zero Function):

f(x) = 0, ∀ x ∈ A

मूल्य फलन (Modulus Function):

f(x) = |x|

घात फलन (Polynomial Function):

f(x) = ax^n + bx^{n-1} + ... + k

फलनों के बीच योग, गुणा, भाजन (Addition, Multiplication, Division of Functions)

(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(f × g)(x) = f(x) × g(x)
(f/g)(x) = f(x)/g(x), जहाँ g(x) ≠ 0
(f – g)(x) = f(x) – g(x)

फलन का संयोजन (Composition of Functions)

f: A → B, g: B → C, तो, (g ∘ f): A → C, (g ∘ f)(x) = g(f(x))

उदाहरण (Example): f(x) = x + 3, g(x) = 2x (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 3) = 2(x + 3) = 2x + 6

📖 5. संबंध एवं फलन में अंतर (Difference between Relation and Function)

| विषय (Topic) | संबंध (Relation) | फलन (Function) | |-------------------|------------------|-----------------------| | परिभाषा (Def.) | कोई भी उप-समुच्चय | विशेष प्रकार का संबंध | | नियम | आवश्यक नहीं | प्रत्येक a ∈ A का एक ही b ∈ B | | चित्रण | तीर किसी भी तरह | हर a से केवल एक तीर |

📖 6. व्यावहारिक उदाहरण (Practical Examples)

Example 1:

A = {1, 2, 3}, B = {x, y}; रॉस्टर विधि द्वारा A × B लिखिए। उत्तर: {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}

Example 2:

f(x) = x^2, x ∈ {–2, –1, 0, 1, 2} तालिका द्वारा चित्रण करें x: –2, –1, 0, 1, 2 f(x): 4, 1, 0, 1, 4

Example 3:

यदि f(x) = x + 1 और g(x) = 2x, तो (f + g)(2) ज्ञात कीजिए। उत्तर: f(2) = 3, g(2) = 4; (f + g)(2) = 3 + 4 = 7

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)

संबंध A × B का कोई उप-समुच्चय है।
फलन एक विशेष प्रकार का संबंध है जिसमें A के प्रत्येक तत्त्व का B के केवल एक तत्त्व से संबंध है।
प्रतिबिंबित संबंध में (a, a) ∈ R सभी a ∈ A के लिए।
सममित संबंध में (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R।
पारगम्य संबंध में (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R।
तुल्यता संबंध में तीनों गुण होते हैं।
एक-एक फलन में कोई दो अलग-अलग तत्त्व एक ही छवि नहीं रखते।
सहावी फलन में सहप्रांत (Co-domain) का हर तत्त्व किसी न किसी तत्त्व की छवि है।
संयोजन फलन में (g ∘ f)(x) = g(f(x))
फलन का चित्रण चित्रात्मक, समीकरण, तालिका आदि से किया जा सकता है।
समुच्चय के तत्त्वों की संख्या ज्ञात करने के लिए n(A × B) = n(A) × n(B)।
प्रत्येक फलन एक संबंध है, पर प्रत्येक संबंध फलन नहीं होता।
रिक्त संबंध में कोई भी तत्त्व नहीं होता।
सार्वत्रिक संबंध में सभी संभव युग्म होते हैं।
स्थिर, पहचान, शून्य, मूल्य फलन के विशेष महत्व हैं।

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक (No.) | गलतियाँ (Mistake) | सही तरीका (Correction) | |---------------|----------------------------------------------------------------------|-----------------------------------------------------------------------| | 1 | फलन में एक तत्त्व से एक से अधिक तीर जोड़ना | हर तत्त्व से केवल एक तीर जोड़ें (Only one arrow from each element) | | 2 | हर संबंध को फलन मान लेना | हर संबंध फलन नहीं होता (Not all relations are functions) | | 3 | संयोजन फलन में क्रम बदलना | (g ∘ f)(x) ≠ (f ∘ g)(x) सामान्यतः | | 4 | सहप्रांत (Co-domain) और परास (Range) में भ्रमित होना | सहप्रांत = B, परास ⊆ B | | 5 | फलन को चित्र में ठीक से न दर्शाना | हर A के तत्त्व से केवल एक तीर होना चाहिए | | 6 | प्रतिबिंबित, सममित, पारगम्य संबंध की परिभाषा में गड़बड़ी | परिभाषाएँ ध्यान से याद करें | | 7 | कई-एक और एक-एक फलन में अंतर न समझना | एक-एक में हर छवि अलग, कई-एक में दो या अधिक तत्त्वों की छवि एक हो सकती है | | 8 | रिक्त और सार्वत्रिक संबंध में भ्रम | रिक्त में कोई युग्म नहीं, सार्वत्रिक में सभी युग्म होते हैं | | 9 | तालिका में गलत फलन मान निकालना | x के हर मान के लिए f(x) सावधानी से निकालें | | 10 | संयोजन फलन में पहले f(x), फिर g(f(x)) निकालना भूलना | क्रम (Order) सही रखें |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)

1-Mark Questions (1 अंक)

संबंध की परिभाषा लिखिए।

Define relation.

फलन का समीकरण लिखिए।

Write the equation of a function.

यदि A = {1, 2}, B = {3, 4}, तो A × B में कुल कितने तत्त्व होंगे?

How many elements in A × B if A = {1, 2}, B = {3, 4}?

प्रतिबिंबित संबंध की परिभाषा लिखिए।

Define reflexive relation.

f(x) = x^2; x = 2, तो f(x) = ?

(f(x) = x^2; find f(2).)

2-Mark Questions (2 अंक)

A = {1, 2}, B = {3, 4};

A × B और B × A लिखिए।

Write A × B and B × A.

f(x) = x + 1, x ∈ {1, 2, 3};

तालिका द्वारा चित्रण कीजिए।

Represent f(x) = x + 1 in table form for x = 1, 2, 3.

f(x) = 2x, g(x) = x – 1;

(f + g)(2) ज्ञात कीजिए। (Find (f + g)(2).)

एक-एक सहावी फलन का उदाहरण दीजिए।

Give an example of a one-one onto function.

रिक्त संबंध क्या है?

What is a void relation?

5-Mark Questions (5 अंक)

A = {1, 2, 3}; R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}

जाँचिए कि R प्रतिबिंबित, सममित, पारगम्य है या नहीं।

Check whether R is reflexive, symmetric, and transitive.

निम्नलिखित फलनों के संयोजन ज्ञात कीजिए:

f(x) = x + 2, g(x) = 3x; (a) (g ∘ f)(x) (b) (f ∘ g)(x)

संबंध और फलन में अंतर स्पष्ट कीजिए।

Differentiate between relation and function.

एक तुल्यता संबंध का एक उदाहरण दीजिए और सिद्ध कीजिए।

Give an example of an equivalence relation and prove it.

f(x) = x^2, x ∈ {–2, –1, 0, 1, 2}

तालिका एवं चित्र द्वारा फलन का चित्रण कीजिए।

Represent the function f(x) = x^2 for x = –2 to 2 in table and diagram.

नोट:

सभी परिभाषाएँ, सूत्र, उदाहरण, और चित्र दो भाषाओं में समझें।
परीक्षा की तैयारी हेतु, प्रत्येक प्रकार के संबंध और फलन के उदाहरण और उनके चित्रण अभ्यास करें।
तालिका, चित्र और समीकरण के माध्यम से फलन को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना सीखें।

यह अध्याय संबंध एवं फलन की मजबूत नींव तैयार करता है, जो गणित के उच्चतर अध्ययन के लिए अत्यंत आवश्यक है।

This chapter builds a strong foundation of relations and functions, essential for higher studies in mathematics.

मुख्य बिंदु (Key Points)

संबंध दो सेटों के कार्तीय गुणन का एक उपसमुच्चय होता है।
यदि (a, b) संबंध R में है, तो a, b से R के अंतर्गत संबंधित होता है।
संबंध का डोमेन सभी क्रमित युग्मों के पहले तत्वों का सेट होता है।
संबंध की रेंज सभी क्रमित युग्मों के दूसरे तत्वों का सेट होती है।
फलन संबंध का एक विशेष प्रकार है जिसमें डोमेन के प्रत्येक तत्व की कोडोमेन में केवल एक छवि होती है।
जिस सेट से फलन मान लेता है, उसे डोमेन कहते हैं।
जिस सेट में फलन मान निर्दिष्ट करता है, उसे कोडोमेन कहते हैं।
यदि डोमेन के प्रत्येक तत्व को कोडोमेन के एक अद्वितीय तत्व से जोड़ा जाए, तो संबंध फलन होता है।
फलनों को तीर आरेख, सारणी या समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है।
एक-एक फलन (इंजेक्टिव) डोमेन के भिन्न तत्वों को कोडोमेन के भिन्न तत्वों से जोड़ता है।
ऑन-टू फलन (सर्जेक्टिव) कोडोमेन के सभी तत्वों को डोमेन से छवियों द्वारा कवर करता है।
बिजेक्टिव फलन एक-एक और ऑन-टू दोनों होता है।

इस अध्याय से अभ्यास प्रश्न

यदि R = {(1,2), (2,3), (3,4)}, तो R का डोमेन क्या है?

{1,3,4}
{1,2,3}
{1,2,3,4}
{2,3,4}

उत्तर देखें

सही उत्तर: {1,2,3}

डोमेन सभी पहले अवयवों का समुच्चय है: {1,2,3}।

निम्नलिखित में से कौन A = {1, 2, 3} से B = {4, 5} पर एक फलन है?

{(1,4), (2,5)}
{(1,4), (1,5), (2,4), (3,5)}
{(1,4), (2,4), (3,5)}
{(2,4), (3,5)}

उत्तर देखें

सही उत्तर: {(1,4), (2,4), (3,5)}

फलन प्रत्येक A के सदस्य को B के एक ही सदस्य से जोड़ता है। केवल विकल्प A सही है।

निम्नलिखित में से कौन सा समुच्चय संबंध R = {(2,5), (3,6), (4,5)} की रेंज है?

{2,5,6}
{5,6}
{2,3,4}
{5,6,4}

उत्तर देखें

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