क्रमचय और संचय
Permutations and Combinations
क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations)
एक नज़र में:
यह अध्याय ‘क्रमचय’ (Permutations) और ‘संचय’ (Combinations) की मूलभूत संकल्पनाओं, सूत्रों, तथा उनके अनुप्रयोगों का अध्ययन कराता है। इसमें वस्तुओं के क्रमबद्ध तथा अक्रमबद्ध चयन की विभिन्न विधियाँ समझाई गई हैं।
This chapter explores the basic concepts, formulas, and applications of permutations and combinations. It teaches how to count arrangements (ordered selection) and selections (unordered selection) of objects.
📌 अध्याय का परिचय
गणना (Counting) गणित का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र है, जिसमें वस्तुओं के चयन या व्यवस्था की संभावनाओं की गणना की जाती है। जब हमें कुछ वस्तुओं में से चयन या व्यवस्था करनी हो, तो दो मुख्य विधियाँ होती हैं—क्रमचय (Permutations) और संचय (Combinations)।
Permutations and combinations are two chief methods in counting, used to calculate the number of ways of arranging or selecting objects.
📖 1. क्रमचय (Permutations)
परिभाषा (Definition)
किसी वस्तु समूह में से कुछ वस्तुओं को चुनकर, उनका विन्यास (व्यवस्था) करने के कुल सम्भव तरीकों की संख्या को क्रमचय कहते हैं।
Permutation is the number of possible arrangements of a given number of objects taken some at a time, where the order matters.
उदाहरण (Example): यदि A, B, C तीन अक्षर हैं, तो दो अक्षरों को चुनकर सभी संभव व्यवस्थाएँ: AB, BA, AC, CA, BC, CB। कुल 6 व्यवस्थाएँ।
If A, B, C are three letters, all possible arrangements of two letters are AB, BA, AC, CA, BC, CB. Total 6 arrangements.
प्रकार (Types)
- सभी वस्तुओं का क्रमचय (Permutation of all objects):
n वस्तुओं के n! (n फैक्टोरियल) क्रमचय होते हैं।
Number of permutations of n distinct objects = n!
- r वस्तुओं का n वस्तुओं में से क्रमचय (Permutation of r objects out of n):
n वस्तुओं में से r वस्तुओं के क्रमचय: \[ {}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!} \]
(Permutation of r objects out of n: \[ {}^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n - r)!} \])
फैक्टोरियल (Factorial)
परिभाषा: n का फैक्टोरियल, n! = n × (n–1) × (n–2) × ... × 3 × 2 × 1 (Definition: n factorial, n! = n × (n–1) × (n–2) × ... × 3 × 2 × 1) विशेष: 0! = 1
उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 1:
5 विद्यार्थियों को एक कतार में बैठाने के कितने तरीके होंगे?
How many ways can 5 students be seated in a row?
हल (Solution): 5 वस्तुओं के सभी क्रमचय = 5! = 5×4×3×2×1 = 120 तरीके।
उदाहरण 2:
6 व्यक्तियों में से 4 का चयन कर, उन्हें एक कतार में बैठाने के कितने तरीके हैं?
How many ways can 4 people be selected and seated in a row out of 6 people?
हल (Solution): पहले 4 व्यक्तियों का चयन: \({}^6C_4\) फिर, 4 व्यक्तियों को व्यवस्थित करना: 4! परंतु, यदि क्रमचय पूछा है: \({}^6P_4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{720}{2} = 360\) तरीके।
पुनरावृत्ति के साथ क्रमचय (Permutations with Repetition)
यदि n वस्तुओं में से r वस्तुएँ चुनी जाती हैं, और प्रत्येक वस्तु को बार-बार चुना जा सकता है, तो कुल क्रमचय: (Number of permutations when repetition is allowed: \({}^nP_r = n^r\))
उदाहरण: 3 रंगों से 2 झंडे बनाने के कितने तरीके हैं?
How many ways can 2 flags be made from 3 colours (with repetition)?
उत्तर: \(3^2 = 9\) तरीके।
कुछ वस्तुओं के समान होने पर क्रमचय (Permutations of Objects Not All Distinct)
यदि n वस्तुओं में से p वस्तुएँ एक जैसे, q वस्तुएँ एक जैसे, r वस्तुएँ एक जैसे हैं, तो कुल क्रमचय: (If among n objects, p are alike of one kind, q alike of another, r alike of another, then permutations = \(\frac{n!}{p!q!r!}\))
उदाहरण: 'BALLOON' शब्द के अक्षरों के सभी क्रमचय: B =1, A=1, L=2, O=2, N=1 कुल अक्षर = 7 तो, \[\frac{7!}{2!2!} = \frac{5040}{4} = 1260\] तरीके
वृत्ताकार क्रमचय (Circular Permutations)
यदि n वस्तुओं को वृत्ताकार (गोल) बैठाना है, तो कुल क्रमचय: \[(n-1)!\]
विशेष: यदि उल्टा-सीधा (clockwise/anticlockwise) एक जैसा माना जाए, तब \(\frac{(n-1)!}{2}\)
उदाहरण: 5 व्यक्तियों को वृत्त में बैठाने के तरीके: = (5-1)! = 4! = 24
📖 2. संचय (Combinations)
परिभाषा (Definition)
किसी वस्तु समूह में से कुछ वस्तुओं का चयन करने की कुल सम्भव तरीकों की संख्या को संचय कहते हैं, जब व्यवस्था (क्रम) का कोई महत्व नहीं होता।
Combination is the selection of r objects out of n, where order does not matter.
उदाहरण (Example): A, B, C में से दो का संचय: AB, AC, BC (BA = AB, CA = AC, CB = BC गिने जाते हैं)।
From A, B, C, selection of two: AB, AC, BC.
सूत्र (Formula)
n वस्तुओं में से r का संचय: \[ {}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \]
(Permutation and Combination relation: \({}^nP_r = {}^nC_r \times r!\))
उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 1:
7 विद्यार्थियों में से 3 का चयन करने के कितने तरीके हैं?
How many ways can 3 students be selected from 7?
हल (Solution): \({}^7C_3 = \frac{7!}{3!4!} = \frac{5040}{6\times24} = \frac{5040}{144} = 35\) तरीके
उदाहरण 2:
6 भिन्न रंगों की गेंदों में से 2 चुनने के कितने तरीके हैं?
How many ways can 2 balls be chosen from 6 different coloured balls?
उत्तर: \({}^6C_2 = \frac{6!}{2!4!} = \frac{720}{2\times24} = \frac{720}{48} = 15\) तरीके
पुनरावृत्ति के साथ संचय (Combinations with Repetition)
यदि n वस्तुओं में से r वस्तुएँ चुनी जाती हैं, प्रत्येक वस्तु को एक से अधिक बार चुना जा सकता है, तब संचय: \[ {}^nC_r \text{ with repetition } = {}^{n+r-1}C_{r} \]
उदाहरण: 3 प्रकार की मिठाइयों में से 4 मिठाइयाँ चुनने के कितने तरीके हैं (repetition allowed)?
How many ways to choose 4 sweets from 3 types, repetition allowed?
उत्तर: \({}^{3+4-1}C_4 = {}^6C_4 = 15\) तरीके
संचय के महत्वपूर्ण गुण (Properties of Combinations)
- \({}^nC_0 = {}^nC_n = 1\)
- \({}^nC_r = {}^nC_{n-r}\)
- \({}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}\) (Pascal’s Law)
📖 3. क्रमचय और संचय के अनुप्रयोग (Applications of Permutations and Combinations)
1. शब्दों/संख्या/अक्षरों की व्यवस्था (Arrangements of Words/Numbers/Letters)
- विशेष अक्षर एक साथ/अलग-अलग हों।
- दो विशेष वस्तुएँ साथ/अलग न हों।
- संख्याओं का निर्माण (Odd/Even numbers with given digits)
2. चयन (Selections)
- विशेष वस्तुओं का चयन करना।
- कम-से-कम/अधिक-से-अधिक वस्तुओं का चयन।
3. बटवारा (Distribution)
- वस्तुओं को समूहों में बाँटना।
- प्रत्येक समूह में कम-से-कम एक वस्तु।
4. मानवीय समस्याएँ (Human Arrangements)
- पुरुष/महिलाओं को बैठाना।
- वृत्ताकार व्यवस्था में व्यक्ति।
उदाहरण (Solved Examples)
उदाहरण 1:
6 अक्षरों के ‘NUMBER’ शब्द के अक्षरों के सभी क्रमचय?
All possible arrangements of 'NUMBER'
उत्तर: 6! = 720
उदाहरण 2:
‘BOOK’ शब्द के अक्षरों से बनने वाले सभी विभिन्न शब्दों की संख्या?
Number of different words from 'BOOK'
उत्तर: B=1, O=2, K=1 \(\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12\)
उदाहरण 3:
8 खिलाड़ियों में से 3 बल्लेबाज और 2 गेंदबाज चुनने के कितने तरीके हैं?
If there are 8 players, how many ways to select 3 batsmen and 2 bowlers?
मान लें 5 बल्लेबाज, 3 गेंदबाज। 3 बल्लेबाज: \({}^5C_3 = 10\) 2 गेंदबाज: \({}^3C_2 = 3\) कुल = 10 × 3 = 30 तरीके
📖 4. क्रमचय और संचय का अंतर (Difference between Permutations and Combinations)
| क्रमचय (Permutations) | संचय (Combinations) | |-------------------------------------|-------------------------------------------| | क्रम (Order) महत्वपूर्ण है। | क्रम (Order) महत्वपूर्ण नहीं है। | | \({}^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}\) | \({}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) | | AB ≠ BA | AB = BA | | सभी व्यवस्थाएँ गिनी जाती हैं। | केवल चयन गिने जाते हैं। |
📖 5. कुछ महत्वपूर्ण प्रश्नों के हल (More Solved Examples)
उदाहरण 1:
10 छात्रों में से एक अध्यक्ष, एक उपाध्यक्ष और एक सचिव चुनने के कितने तरीके हैं?
How many ways can a President, Vice-President and Secretary be chosen from 10 students?
उत्तर: पहले अध्यक्ष = 10 तरीके फिर उपाध्यक्ष = 9 फिर सचिव = 8 कुल = 10×9×8 = 720
या \({}^{10}P_3 = \frac{10!}{7!} = 720\)
उदाहरण 2:
7 व्यक्तियों को वृत्ताकार मेज पर बैठाने के कितने तरीके हैं?
How many ways can 7 people be seated around a round table?
उत्तर: (7-1)! = 6! = 720
उदाहरण 3:
5 अक्षरों वाले ऐसे कितने शब्द बन सकते हैं, जिनमें 'S' हमेशा प्रथम स्थान पर हो, यदि अक्षर REPULSE में से चुने जाएँ?
How many 5-letter words can be formed from the word 'REPULSE' with 'S' always at the first position?
'REPULSE' के अक्षर: R, E, P, U, L, S, E (7 अक्षर, E दो बार) 'S' प्रथम स्थान पर फिक्स — शेष 4 स्थान: R, E, P, U, L, E में से चुनें E दो बार — शेष 6 अक्षर में से 4 अक्षर चुनने हैं, जिसमें E एक या दो बार आ सकता है। यहाँ परस्परता के अनुसार विस्तारपूर्वक हल करें (advanced level, for board exam).
उदाहरण 4:
6 भिन्न वस्तुओं में से 2 वस्तुएँ चुनने और उन्हें पंक्ति में बैठाने के कितने तरीके हैं?
How many ways can 2 objects be chosen and arranged in a row from 6 different objects?
उत्तर: पहले 2 का चयन: \({}^6C_2 = 15\) फिर 2 का क्रमचय: 2! = 2 कुल = 15×2 = 30
या \({}^6P_2 = 30\)
उदाहरण 5:
यदि \({}^nC_{12} = {}^nC_{8}\), तो n का मान ज्ञात कीजिए।
If \({}^nC_{12} = {}^nC_{8}\), find n.
हल: \({}^nC_{12} = {}^nC_{n-12}\) परंतु \({}^nC_{12} = {}^nC_{8}\) इसलिए, \(n-12 = 8\) \(\Rightarrow n = 20\)
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)
- n वस्तुओं के क्रमचय: n!
Permutation of n objects: n!
- n वस्तुओं में से r वस्तुओं के क्रमचय: \({}^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}\)
- n वस्तुओं में से r वस्तुओं के संचय: \({}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)
- \({}^nP_r = {}^nC_r × r!\)
- किसी शब्द में समान अक्षरों के साथ क्रमचय: \(\frac{n!}{p!q!r!}\), जहाँ p, q, r समान वस्तुओं की संख्या है।
- वृत्ताकार क्रमचय: (n–1)!; यदि उल्टा-सीधा एक जैसा माना जाए तो \(\frac{(n-1)!}{2}\)
- संचय में क्रम का महत्त्व नहीं; क्रमचय में क्रम का महत्त्व है।
- \({}^nC_r = {}^nC_{n-r}\)
- \({}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}\) (Pascal’s Law)
- संचय में पुनरावृत्ति के साथ: \({}^{n+r-1}C_{r}\)
- 0! = 1
- यदि \({}^nC_r = {}^nC_s\), तो r = s या r + s = n
- n वस्तुओं के सभी उपसमुच्चयों की संख्या: \(2^n\)
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Approach) | |--------------------------------------------------|---------------------------------------------------------------------| | क्रमचय और संचय में फर्क न समझना | क्रमचय में क्रम महत्त्वपूर्ण, संचय में नहीं। | | \({}^nP_r\) और \({}^nC_r\) के सूत्रों में उलझना | क्रमचय: \(\frac{n!}{(n-r)!}\), संचय: \(\frac{n!}{r!(n-r)!}\) | | फैक्टोरियल की गणना में गलती | n! = n×(n–1)×...×1, 0! = 1 | | दोहराव वाली वस्तुओं में साधारण n! लगा देना | दोहराव होने पर \(\frac{n!}{p!q!r!}\) का प्रयोग करें | | चयन (संचय) के प्रश्नों में क्रमचय का फार्मूला लगाना | चयन में केवल \({}^nC_r\), व्यवस्था में \({}^nP_r\) लगाएँ | | वृत्ताकार में n! लगा देना | वृत्ताकार में (n–1)! | | \({}^nC_r\) = \({}^nC_{n-r}\) का उपयोग न करना | जब प्रश्न में r > n/2 हो, तो \({}^nC_{n-r}\) का प्रयोग करें | | संचय में पुनरावृत्ति का फार्मूला भूल जाना | पुनरावृत्ति में \({}^{n+r-1}C_r\) का प्रयोग करें | | Pascal’s Law का गलत प्रयोग | \({}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r\) | | शब्दों के क्रमचय में सभी अक्षर भिन्न मानना | समान अक्षर हों तो \(\frac{n!}{p!q!r!}\) प्रयोग करें |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)
1-Mark Questions
- 0! का मान क्या है?
What is the value of 0! ?
उत्तर: 1
- \({}^9C_3\) का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of \({}^9C_3\).
उत्तर: \(\frac{9!}{3!6!} = 84\)
- यदि n वस्तुओं के सभी संचय लिए जाएँ, तो कुल संचय कितने होंगे?
If all combinations of n objects are taken, how many combinations will be there?
उत्तर: \(2^n\)
- \({}^nC_r = {}^nC_{?}\)
Fill in: \({}^nC_r = {}^nC_{?}\)
उत्तर: \({}^nC_{n-r}\)
- 5! का मान क्या है?
What is the value of 5! ?
उत्तर: 120
2-Mark Questions
- 7 विद्यार्थियों को एक पंक्ति में बैठाने के कितने क्रमचय होंगे?
How many permutations of 7 students in a row?
उत्तर: 7! = 5040
- 'SCHOOL' शब्द के सभी अक्षरों के कितने क्रमचय संभव हैं?
How many permutations of all letters of the word 'SCHOOL'?
S=1, C=1, H=1, O=2, L=1 \(\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360\)
- \({}^{10}P_2\) का मान ज्ञात कीजिए।
Find the value of \({}^{10}P_2\).
\(\frac{10!}{8!} = 10×9 = 90\)
- यदि \({}^nC_7 = {}^nC_{13}\), तो n का मान ज्ञात कीजिए।
If \({}^nC_7 = {}^nC_{13}\), find n.
\(n-7 = 13 \implies n = 20\)
- संचय और क्रमचय में अंतर स्पष्ट कीजिए।
Differentiate between combination and permutation.
उत्तर: क्रमचय में क्रम महत्त्वपूर्ण है, संचय में नहीं।
5-Mark Questions
- 8 विभिन्न रंगों की गेंदों में से 5 गेंदें चुनने के कितने तरीके हैं? यदि चुनी गई गेंदों को एक लाइन में रखा जाए तो कितने तरीके होंगे?
How many ways to select 5 balls out of 8 different colours? If the balls are arranged in a line, how many ways?
उत्तर: चयन = \({}^8C_5 = 56\) व्यवस्था = \({}^8P_5 = 6720\)
- 'MATHEMATICS' शब्द के अक्षरों के कितने भिन्न क्रमचय होंगे?
How many different permutations of the letters in the word 'MATHEMATICS'?
अक्षर: M=2, A=2, T=2, H=1, E=1, I=1, C=1, S=1 (कुल 11) \(\frac{11!}{2!2!2!}\)
\(11! = 39916800\) \(2! = 2, 2! = 2, 2! = 2 \implies 2\times2\times2 = 8\) अंतिम उत्तर: \(\frac{39916800}{8} = 4989600\)
- 10 विद्यार्थियों में से एक अध्यक्ष, उपाध्यक्ष, सचिव और कोषाध्यक्ष चुनने के कितने तरीके हैं?
How many ways can a President, Vice President, Secretary, and Treasurer be chosen from 10 students?
\({}^{10}P_4 = \frac{10!}{6!} = 5040\)
- 5 पुरुष और 4 महिलाओं को एक वृत्ताकार मेज पर इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो महिलाएँ साथ न बैठें। कितने तरीके हैं?
5 men and 4 women are to be seated around a round table so that no two women sit together. In how many ways can they be arranged?
हल: 5 पुरुषों को वृत्ताकार में: (5–1)! = 24 5 पुरुषों के बीच 5 स्थान—4 में महिलाएँ बैठ सकती हैं: \( {}^5C_4 = 5 \) 4 महिलाओं की व्यवस्था: 4! = 24 कुल = 24 × 5 × 24 = 2880
- यदि \({}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{r+2}\), तो n और r का सम्बन्ध ज्ञात कीजिए।
If \({}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{r+2}\), find the relation between n and r.
हल: \({}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n - r}\) \(\Rightarrow r = n - (r+2) \Rightarrow n = 2r + 2\)
- 12 छात्रों में से 6 का चयन करने के कितने तरीके हैं, यदि A और B दोनों का चयन अनिवार्य हो?
How many ways to select 6 out of 12 students if A and B must be selected?
हल: A और B चुने गए—शेष 10 में से 4 का चयन: \({}^{10}C_4 = 210\)
- 7 भिन्न वस्तुओं को 3-3 के दो समूहों और शेष वस्तुओं के एक समूह में बाँटने के कितने तरीके हैं?
How many ways can 7 different objects be divided into two groups of 3 each and a group of 1?
हल: प्रथम 3 का चयन: \({}^7C_3\) शेष 4 में से 3 का चयन: \({}^4C_3\) शेष 1 स्वतः परंतु 3-3 के समूह अदल-बदल लिए एक जैसे होंगे, अतः कुल = \(\frac{{}^7C_3 × {}^4C_3}{2} = \frac{35×4}{2} = 70\)
- 5 भिन्न रंगों की गेंदों में से कम-से-कम 2 गेंदें चुनने के कितने तरीके हैं?
How many ways at least 2 balls can be chosen from 5 different coloured balls?
हल: कुल संचय = \(2^5 = 32\) कम-से-कम 2 का चयन = कुल – (0 और 1 का चयन) = 32 – 1 – 5 = 26
- 9 भिन्न वस्तुओं को तीन बॉक्सों में बाँटने के कितने तरीके हैं, प्रत्येक बॉक्स में कम-से-कम एक वस्तु हो?
How many ways can 9 different objects be distributed in 3 boxes so that each box contains at least one object?
हल: 3 बॉक्सों में 9 वस्तुएँ बाँटना—प्रत्येक वस्तु के लिए 3 विकल्प: \(3^9\) परंतु प्रत्येक बॉक्स में कम-से-कम एक वस्तु—अवलोकन विधि (Inclusion-Exclusion Principle) से उत्तर = \(3^9 – 3×2^9 + 3\times1^9 = 19683 – 3×512 + 3 = 19683 – 1536 + 3 = 18150\)
- किसी शब्द के सभी अक्षर भिन्न होने पर n अक्षरों के शब्दों की कुल संख्या कितनी होगी?
If all letters of a word are different, what is the total number of words of length n that can be formed?
उत्तर: n!
यह अध्ययन-सामग्री RBSE बोर्ड परीक्षा की तैयारी के लिये उपयुक्त, संपूर्ण एवं द्विभाषी है।
This study material is comprehensive, bilingual, and tailored for RBSE Board Exam preparation.
मुख्य बिंदु (Key Points)
- वस्तुओं को किसी विशेष क्रम में सजाने को क्रमचय (Permutation) कहते हैं।
- वस्तुओं का चयन, बिना क्रम का ध्यान रखते हुए, संचय (Combination) कहलाता है।
- n विभिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं के क्रमचय की संख्या nPr = n! / (n–r)! होती है।
- n विभिन्न वस्तुओं में से r वस्तुओं के संचय की संख्या nCr = n! / [r! (n–r)!] होती है।
- सभी n ≥ r ≥ 0 के लिए, nPr = nCr × r! होता है।
- nC0 = nCn = 1, तथा nC1 = n होता है।
- nCr = nC(n–r) होता है।
- यदि पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो n वस्तुओं के r क्रमचय की संख्या n^r होती है।
- n वस्तुओं को वृत्ताकार में सजाने के तरीके (n–1)! होते हैं।
- यदि कुछ वस्तुएँ समान हों, तो क्रमचयों की संख्या n! को समान वस्तुओं के फैक्टोरियल से भाग देकर प्राप्त होती है।
- किसी n के लिए सभी संचयों का योग 2^n होता है, अर्थात् ΣnCr = 2^n (r=0 से n तक)।
- क्रमचय और संचय का उपयोग सांख्यिकी और प्रायिकता में व्यापक रूप से किया जाता है।
Key Points
- The arrangement of objects in a specific order is called a permutation.
- The selection of objects without considering the order is called a combination.
- The number of permutations of n different objects taken r at a time is nPr = n! / (n–r)!
- The number of combinations of n different objects taken r at a time is nCr = n! / [r! (n–r)!]
- For all n ≥ r ≥ 0, nPr = nCr × r!
- nC0 = nCn = 1, and nC1 = n
- nCr = nC(n–r)
- If repetition is allowed, the number of permutations of n objects taken r at a time is n^r.
- The number of ways to arrange n objects in a circle is (n–1)!
- If some objects are identical, the number of permutations is n! divided by the factorials of identical items.
- The sum of all combinations for a given n is 2^n, i.e., ΣnCr = 2^n (r=0 to n).
- Permutations and combinations are widely used in probability and statistics.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
6 व्यक्तियों में से 3 व्यक्ति कितने तरीकों से चुने जा सकते हैं?
3 पुस्तकों को एक शेल्फ पर कितने तरीकों से सजाया जा सकता है?
4 भिन्न गेंदों में से 2 गेंदें कितने तरीकों से निकाली जा सकती हैं?
'CAT' शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?
5 लोगों को एक पंक्ति में कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है?
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क्रमचय और संचय (Permutations and Combinations) एक नज़र में: यह अध्याय ‘क्रमचय’ (Permutations) और ‘संचय’ (Combinations) की मूलभूत संकल्पनाओं, सूत्रों, तथा उनके…
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