रैखिक असमिकाएं
Linear Inequalities
रैखिक असमिकाएं (Linear Inequalities)
एक नज़र में:
रैखिक असमिकाएं (Linear Inequalities) गणित का एक महत्वपूर्ण भाग हैं, जिनमें दो राशियों के बीच ‘असमान’ संबंध दर्शाया जाता है। इस अध्याय में हम रैखिक असमिकाओं के प्रकार, हल, और ग्राफिक प्रस्तुति का अध्ययन करेंगे, जो आगे चलकर गणित व दैनिक जीवन की समस्याओं को हल करने में सहायक है।
In a nutshell: Linear inequalities form the basis for expressing and analyzing unequal relationships between quantities. This chapter covers their types, solutions, and graphical representation, which are essential for solving mathematical and real-life problems.
📌 अध्याय का परिचय (Chapter Introduction)
रैखिक असमिकाएं गणित की वह शाखा है, जिसमें दो राशियों के बीच ‘असमान’ (inequality) संबंध को दर्शाया जाता है। जब दो रैखिक समीकरणों/अभिव्यक्तियों के बीच ‘=’ के स्थान पर ‘<’, ‘>’, ‘≤’ या ‘≥’ का प्रयोग होता है, तो उसे रैखिक असमिकाएं कहा जाता है।
Linear inequalities deal with relationships where two expressions are not equal but are related by symbols like <, >, ≤, or ≥. When a linear equation uses these symbols instead of "=", it becomes a linear inequality.
आवश्यकता: रैखिक असमिकाएं दैनिक जीवन में विभिन्न परिस्थितियों, जैसे बजट निर्धारण, संसाधन वितरण, आदि में उपयोगी होती हैं।
Linear inequalities are widely used in daily life for budgeting, resource allocation, and similar scenarios.
📖 प्रमुख विषय-वस्तु (Major Topics)
1. असमिकाएं (Inequalities)
परिभाषा (Definition)
अस्मिकाएं वे गणितीय कथन हैं, जिनमें दो राशियों के बीच ‘असमान’ सम्बन्ध होता है।
Inequalities are mathematical statements showing an unequal relationship between two quantities.
मुख्य चिन्ह (Main Symbols)
- ‘<’ (कम है): less than
- ‘>’ (अधिक है): greater than
- ‘≤’ (कम या बराबर है): less than or equal to
- ‘≥’ (अधिक या बराबर है): greater than or equal to
उदाहरण (Example)
- \( 5 < 8 \)
- \( x + 3 > 7 \)
2. असमिकाओं के प्रकार (Types of Inequalities)
(A) वास्तविक असमिकाएँ (Real Inequalities)
जिन असमिकाओं में चर (variable) या संख्याएँ वास्तविक संख्या होती हैं।
Where variables or numbers involved are real numbers.
(B) रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities)
असमिकाएं जिनमें चर की घात (power) 1 होती है और कोई दो चर नहीं होते जिनका गुणनफल हो।
Inequalities where the variable has degree 1 and no product of variables.
रैखिक असमिकाएँ का सामान्य रूप (General Form): एक चर में: \( ax + b < 0, \quad ax + b > 0, \quad ax + b \leq 0, \quad ax + b \geq 0 \)
Typically: \( ax + b < 0 \), \( ax + b > 0 \), \( ax + b \leq 0 \), \( ax + b \geq 0 \), where a, b are real, \( a \neq 0 \).
दो चर में: \( ax + by + c < 0, \quad ax + by + c > 0, \quad ax + by + c \leq 0, \quad ax + by + c \geq 0 \)
In two variables: \( ax + by + c < 0 \), etc.
उदाहरण (Examples)
- \( 2x + 1 > 5 \)
- \( 3x - 2 \leq 7 \)
- \( 2x + 3y > 6 \)
3. असमिकाओं के गुण (Properties of Inequalities)
(i) यदि \( a < b \), तो
- \( a + c < b + c \) (दोनों पक्षों में समान संख्या जोड़ने पर असमिका की दिशा नहीं बदलती)
Adding same number to both sides does not change the inequality.
(ii) यदि \( a < b \) और \( c > 0 \),
- \( ac < bc \) (सकारात्मक संख्या से गुणा करने पर दिशा नहीं बदलती)
Multiplying by a positive number does not change the direction.
(iii) यदि \( a < b \) और \( c < 0 \),
- \( ac > bc \) (ऋणात्मक संख्या से गुणा करने पर असमिका की दिशा बदल जाती है)
Multiplying by a negative number reverses the direction.
(iv) यदि \( a < b \) और \( c > 0 \),
- \( \frac{a}{c} < \frac{b}{c} \) (सकारात्मक संख्या से भाग देने पर दिशा नहीं बदलती)
Dividing by positive number does not change the direction.
(v) यदि \( a < b \) और \( c < 0 \),
- \( \frac{a}{c} > \frac{b}{c} \) (ऋणात्मक संख्या से भाग देने पर दिशा बदल जाती है)
Dividing by negative number reverses the direction.
4. एक चर में रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities in One Variable)
सामान्य रूप (General Form)
\( ax + b < 0 \), \( ax + b > 0 \), \( ax + b \leq 0 \), \( ax + b \geq 0 \) जहाँ \( a \) और \( b \) वास्तविक संख्याएँ हैं, \( a \neq 0 \)।
Where \( a \), \( b \) are real numbers and \( a \neq 0 \).
हल (Solution)
किसी असमिका का हल वे सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं, जो उसे सत्य बनाती हैं।
The solution of an inequality is the set of all real numbers that satisfy it.
Solved Example 1:
Q: \( 2x + 3 > 7 \) को हल कीजिए।
Solve \( 2x + 3 > 7 \).
Solution: \( 2x + 3 > 7 \) \( 2x > 7 - 3 \) \( 2x > 4 \) \( x > 2 \) अर्थात्, हल है: \( x > 2 \)
So, the solution is \( x > 2 \).
Solved Example 2:
Q: \( 5 - 3x \leq 2 \) को हल कीजिए।
Solve \( 5 - 3x \leq 2 \).
Solution: \( 5 - 3x \leq 2 \) \( -3x \leq 2 - 5 \) \( -3x \leq -3 \) अब, -3 से भाग देंगे (जो ऋणात्मक है, अतः असमिका की दिशा बदल जाएगी): \( x \geq 1 \) हल: \( x \geq 1 \)
Solved Example 3 (Combined Inequality):
Q: \( 2 < 3x + 1 \leq 7 \) का हल ज्ञात कीजिए।
Solve \( 2 < 3x + 1 \leq 7 \).
Solution: \( 2 < 3x + 1 \leq 7 \) पहले, \( 2 < 3x + 1 \) और \( 3x + 1 \leq 7 \) को अलग-अलग हल करें:
- \( 2 < 3x + 1 \)
\( 2 - 1 < 3x \) \( 1 < 3x \) \( \frac{1}{3} < x \)
- \( 3x + 1 \leq 7 \)
\( 3x \leq 6 \) \( x \leq 2 \)
तो, हल है: \( \frac{1}{3} < x \leq 2 \)
Number Line Representation (संख्या रेखा पर प्रस्तुति):
रैखिक असमिकाओं के हल को संख्या रेखा (Number Line) पर भी दर्शाया जा सकता है।
- \( x > a \): a के दाएँ भाग में तीर
- \( x < a \): a के बाएँ भाग में तीर
- \( x \geq a \): a को बंद (filled) वृत्त से दर्शाएँ
- \( x > a \): a को खुला (open) वृत्त
Show solutions on number line using open or closed circles and arrows.
5. दो चर में रैखिक असमिकाएँ (Linear Inequalities in Two Variables)
सामान्य रूप (General Form)
\( ax + by + c < 0 \), \( ax + by + c > 0 \), \( ax + by + c \leq 0 \), \( ax + by + c \geq 0 \) जहाँ \( a, b, c \) वास्तविक संख्याएँ हैं, और कम से कम एक \( a \) या \( b \) शून्य नहीं है।
In two variables: \( ax + by + c < 0 \), etc., with at least one of \( a \) or \( b \) nonzero.
हल (Solution)
दो चर में असमिका का हल वे सभी \((x, y)\) युग्म हैं, जो असमिका को संतुष्ट करते हैं।
The solution is the set of all ordered pairs \((x, y)\) satisfying the inequality.
ग्राफिक प्रस्तुति (Graphical Representation)
- असमिका के बराबर (equality) को रेखा \( ax + by + c = 0 \) के रूप में दर्शाते हैं।
- असमिका के प्रकार पर निर्भर करता है कि रेखा ठोस (solid) होगी या बिंदुवत (dashed)।
- ‘<’, ‘>’: बिंदुवत रेखा (dashed line)
- ‘≤’, ‘≥’: ठोस रेखा (solid line)
- रेखा के एक ओर का क्षेत्र हल क्षेत्र (solution region) होता है।
Solved Example 4:
Q: \( x + y \leq 4 \) का ग्राफ बनाइए।
Plot the graph of \( x + y \leq 4 \).
Solution:
- पहले \( x + y = 4 \) को रेखा के रूप में चित्रित करें।
- \( x = 0 \) ⇒ \( y = 4 \) (बिंदु: (0,4))
- \( y = 0 \) ⇒ \( x = 4 \) (बिंदु: (4,0))
- रेखा को ठोस (solid) बनाएँ क्योंकि ‘≤’ है।
- अब, \( x + y < 4 \) के लिए, (0,0) (देखें: \( 0 + 0 = 0 < 4 \), अतः हल क्षेत्र है।)
- रेखा के नीचे का क्षेत्र (including the line) हल क्षेत्र है।
Solved Example 5:
Q: \( 2x - y > 1 \) का ग्राफ बनाइए।
Plot the graph of \( 2x - y > 1 \).
Solution:
- पहले \( 2x - y = 1 \) को बिंदुवत रेखा (dashed line) के रूप में चित्रित करें।
- \( x = 0 \) ⇒ \( -y = 1 \) ⇒ \( y = -1 \) (बिंदु: (0, -1))
\( y = 0 \) ⇒ \( 2x = 1 \) ⇒ \( x = 0.5 \) (बिंदु: (0.5, 0))
- (0,0) जाँचें: \( 2×0 - 0 = 0 \)
\( 0 > 1 \)? गलत। अतः (0,0) हल क्षेत्र में नहीं है।
- रेखा के ऊपर का भाग हल क्षेत्र है।
6. दो चर में असमिकाओं की प्रणाली (System of Linear Inequalities in Two Variables)
परिभाषा (Definition)
जब दो या अधिक रैखिक असमिकाएं एक साथ दी जाएँ, तो उसे असमिकाओं की प्रणाली कहते हैं।
A system of linear inequalities is a set of two or more inequalities considered together.
हल (Solution)
सभी असमिकाओं के हल क्षेत्रों का समांतर (intersection) वह क्षेत्र है, जो सभी असमिकाओं को संतुष्ट करता है।
The solution region is the intersection of solution regions of each inequality.
Solved Example 6:
Q: निम्न असमिकाओं का ग्राफ द्वारा हल क्षेत्र दर्शाइए: \( x + y \leq 4 \) \( x \geq 0 \) \( y \geq 0 \)
Solution:
- \( x + y \leq 4 \): पहले समझाया जा चुका है।
- \( x \geq 0 \): y-अक्ष के दाईं ओर का क्षेत्र
- \( y \geq 0 \): x-अक्ष के ऊपर का क्षेत्र
- सभी क्षेत्रों के मिलान (intersection) से त्रिभुजाकार हल क्षेत्र प्राप्त होगा, जिसकी सीमाएँ हैं: (0,0), (4,0), (0,4)
7. दैनिक जीवन में रैखिक असमिकाओं का उपयोग (Applications in Daily Life)
रैखिक असमिकाओं का उपयोग संसाधनों के आवंटन, बजट निर्धारण, समय प्रबंधन, उत्पादन क्षमता, आदि समस्याओं के समाधान में किया जाता है।
Linear inequalities are used in resource allocation, budgeting, time management, production capacity, etc.
Solved Example 7 (Word Problem):
Q: राधा के पास अधिकतम ₹ 200 हैं। वह ₹ 15 प्रति कप में चाय और ₹ 25 प्रति कप में कॉफी खरीद सकती है। वह अधिकतम 10 कप खरीद सकती है। रैखिक असमिकाएं बनाइए।
Radha has at most ₹ 200. She can buy tea at ₹15/cup and coffee at ₹25/cup. She can buy at most 10 cups. Formulate linear inequalities.
Solution: Let \( x \): Number of tea cups, \( y \): Number of coffee cups
- \( 15x + 25y \leq 200 \) (Budget constraint)
- \( x + y \leq 10 \) (Maximum cups)
- \( x \geq 0, \quad y \geq 0 \) (Non-negativity)
8. असमिकाओं का युक्ति-समाधान (Logical Solution of Inequalities)
कभी-कभी असमिकाओं को हल करने के लिए तर्कशक्ति/युक्ति का प्रयोग किया जाता है, विशेषकर जब सीमा (boundaries) या युक्ति-आधारित प्रश्न हों।
Solved Example 8:
Q: यदि \( x > 2 \) और \( x < 5 \), तो \( x \) के लिए क्या मान्य है?
If \( x > 2 \) and \( x < 5 \), what is valid for \( x \)?
Solution: \( 2 < x < 5 \) x की सभी मान जो 2 और 5 के बीच हैं, हल हैं।
All values of x between 2 and 5 are valid.
9. असमिकाओं के हल की संख्या (Number of Solutions of Inequalities)
- एक चर में: हल अनंत हो सकते हैं (अगर असमिका संभव हो)।
- दो चर में: हल क्षेत्र (region) अनंत बिंदुओं का समूह हो सकता है।
- असमिकाओं की प्रणाली: समाधान शून्य (no solution), एक, या अनंत हो सकते हैं।
The number of solutions can be none, one, or infinitely many.
10. असमिकाओं की युगपत हल (Simultaneous Solution of Inequalities)
जब दो या अधिक असमिकाएं एक साथ हल करनी हों, तो उनका समांतर (intersection) ही युगपत हल कहलाता है।
Solved Example 9:
Q: \( x > 1 \) और \( x < 5 \) को एक साथ हल कीजिए।
Simultaneously solve \( x > 1 \) and \( x < 5 \).
Solution: \( 1 < x < 5 \)
11. संकेत परिवर्तन के नियम (Rules for Change of Sign)
- असमिका को हल करते समय ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करने पर असमिका का चिन्ह बदल जाता है।
While solving, multiplying or dividing by a negative number reverses the inequality sign.
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)
- असमिका में ‘=’ के स्थान पर ‘<’, ‘>’, ‘≤’, या ‘≥’ का प्रयोग होता है।
Inequalities use <, >, ≤, or ≥ instead of =.
- रैखिक असमिकाओं में चर की घात अधिकतम 1 होती है।
In linear inequalities, the highest power of variable is 1.
- एक चर में असमिकाओं के हल को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।
Solutions in one variable are shown on a number line.
- दो चर में असमिकाओं के हल को ग्राफ पर क्षेत्र के रूप में दर्शाते हैं।
In two variables, solutions are shown as regions on a graph.
- असमिका को हल करते समय यदि ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग करें, तो असमिका का चिन्ह बदलना आवश्यक है।
When multiplying or dividing by a negative number, reverse the sign.
- असमिकाओं की प्रणाली का हल सभी असमिकाओं के हल क्षेत्रों का समांतर (intersection) होता है।
The solution of a system is the intersection of all solution regions.
- ‘≤’ और ‘≥’ के लिए रेखा ठोस (solid) बनाई जाती है, जबकि ‘<’ और ‘>’ के लिए बिंदुवत (dashed) रेखा।
Use solid line for ≤, ≥ and dashed for <, >.
- असमिकाओं के हल अनंत हो सकते हैं।
Solutions can be infinite.
- दैनिक जीवन की समस्याओं को असमिकाओं के रूप में रूपांतरित कर हल किया जा सकता है।
Real-life problems can be modeled and solved using inequalities.
- रैखिक असमिकाएं बहुपद असमिकाओं की अपेक्षा सरल होती हैं।
Linear inequalities are simpler than polynomial inequalities.
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| क्रमांक (No.) | छात्र की सामान्य गलती (Common Student Mistake) | सही तरीका (Correct Approach) | |--------------|----------------------------------------------------|-----------------------------------------------------------| | 1 | ऋणात्मक संख्या से गुणा/भाग करते समय चिन्ह न बदलना | गुणा/भाग करते समय चिन्ह अवश्य बदलें | | 2 | ग्राफ बनाते समय रेखा का प्रकार गलत बनाना | ‘≤’, ‘≥’ के लिए ठोस, ‘<’, ‘>’ के लिए बिंदुवत रेखा बनाएं | | 3 | हल क्षेत्र की पहचान में गलती | परीक्षण बिंदु (जैसे (0,0)) से जाँचें | | 4 | असमिकाओं के हल की संख्या सीमित मानना | असमिकाओं के हल अनंत हो सकते हैं | | 5 | संख्या रेखा पर खुला/बंद वृत्त गलत बनाना | ‘<’, ‘>’ के लिए खुला, ‘≤’, ‘≥’ के लिए बंद वृत्त बनाएं | | 6 | असमिकाओं के हल को ग्राफ पर सही से न दिखाना | सभी असमिकाओं के हल क्षेत्र का समांतर लें | | 7 | प्रश्न में दी गई सीमाओं को शामिल न करना | सभी दी गई सीमाओं (constraints) को असमिकाओं में शामिल करें | | 8 | समीकरण (equality) और असमिका (inequality) में भ्रम | चिन्हों पर ध्यान दें: ‘=’ और ‘<’, ‘>’, ‘≤’, ‘≥’ | | 9 | दो चर में रेखा के दोनों ओर के क्षेत्र की पहचान न कर पाना | परीक्षण बिंदु से हल क्षेत्र निर्धारित करें | | 10 | असमिकाओं को समीकरण समझकर हल करना | असमिका के अनुसार हल करें, समाधान एक मान नहीं, एक क्षेत्र हो सकता है |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Board Exam Questions)
1 Mark Questions
- \( x + 5 < 9 \) को हल कीजिए।
Solve \( x + 5 < 9 \).
उत्तर: \( x < 4 \)
- असमिका में किस चिन्ह का प्रयोग होता है?
Which symbols are used in inequalities?
उत्तर: ‘<’, ‘>’, ‘≤’, ‘≥’
2 Mark Questions
- \( 3x - 4 \geq 8 \) को हल कीजिए।
Solve \( 3x - 4 \geq 8 \).
उत्तर: \( 3x \geq 12 \) \( x \geq 4 \)
- \( 2 < x + 3 < 7 \) का हल ज्ञात कीजिए।
Solve \( 2 < x + 3 < 7 \).
उत्तर: \( 2 < x + 3 < 7 \) \( -1 < x < 4 \)
5 Mark Questions
- निम्न असमिकाओं का ग्राफ द्वारा हल क्षेत्र दर्शाइए:
\( x + y \leq 6 \) \( x \geq 0 \) \( y \geq 0 \)
Sketch the solution region for the following: \( x + y \leq 6 \), \( x \geq 0 \), \( y \geq 0 \).
उत्तर:
- \( x + y = 6 \): बिंदु (0,6), (6,0) को मिलाकर रेखा खींचें।
- रेखा ठोस होगी क्योंकि ‘≤’ है।
- \( x \geq 0 \): y-अक्ष के दाईं ओर।
- \( y \geq 0 \): x-अक्ष के ऊपर।
- हल क्षेत्र: त्रिभुज, जिसकी सीमा (0,0), (6,0), (0,6) है।
- एक छात्र के पास ₹ 120 है। वह ₹ 10 प्रति पेन और ₹ 20 प्रति पेंसिल खरीदता है। वह अधिकतम 10 वस्तुएँ खरीद सकता है। पेन की संख्या x और पेंसिल की संख्या y है। रैखिक असमिकाएं बनाइए और ग्राफ द्वारा हल क्षेत्र दर्शाइए।
A student has ₹120. He buys pens at ₹10 each and pencils at ₹20 each. He can buy at most 10 items. Let x = pens, y = pencils. Formulate inequalities and sketch solution.
उत्तर:
- \( 10x + 20y \leq 120 \) (Budget constraint)
- \( x + y \leq 10 \) (Maximum items)
- \( x \geq 0, y \geq 0 \) (Non-negativity)
ग्राफ द्वारा हल क्षेत्र दर्शाएँ, सभी असमिकाओं के समांतर (intersection) से हल क्षेत्र प्राप्त होगा।
- \( 2x + 3 \geq 7 \) और \( x - 1 < 4 \) को एक साथ हल कीजिए।
Solve \( 2x + 3 \geq 7 \) and \( x - 1 < 4 \) simultaneously.
उत्तर:
- \( 2x + 3 \geq 7 \) ⇒ \( 2x \geq 4 \) ⇒ \( x \geq 2 \)
- \( x - 1 < 4 \) ⇒ \( x < 5 \)
- युगपत हल: \( 2 \leq x < 5 \)
- \( x + 2y > 6 \) तथा \( x - y < 2 \) का ग्राफ बनाइए।
Plot the graphs of \( x + 2y > 6 \) and \( x - y < 2 \).
उत्तर:
- \( x + 2y = 6 \): बिंदु (0,3), (6,0), रेखा बिंदुवत (dashed)
- \( x - y = 2 \): बिंदु (2,0), (0,-2), रेखा बिंदुवत
- हल क्षेत्र दोनों असमिकाओं के समांतर क्षेत्र में होगा।
- यदि एक असमिका \( x < 3 \) है, तो उसका संख्या रेखा पर प्रस्तुतीकरण कीजिए।
Represent \( x < 3 \) on a number line.
उत्तर: संख्या रेखा पर 3 पर खुला वृत्त बनाएँ, और बाएँ ओर तीर लगाएँ।
- रैखिक असमिकाएं दैनिक जीवन में कहाँ उपयोगी हैं?
Where are linear inequalities useful in daily life?
उत्तर: बजट निर्धारण, संसाधन आवंटन, उत्पादन क्षमता, समय प्रबंधन, आदि में।
[नोट: ऊपर दिए गए सभी उदाहरण, परिभाषाएँ, तथा प्रश्न दोनों भाषाओं में हैं, जिससे आपकी परीक्षा तैयारी पूर्ण व सुस्पष्ट हो सके।]
📚 Extra Practice (अतिरिक्त अभ्यास)
- \( 4x - 5 > 7 \) को हल कीजिए।
- \( x + y \geq 3 \), \( x \geq 0 \), \( y \geq 0 \) का ग्राफ बनाइए।
- \( -2x \leq 8 \) को हल कीजिए।
- निम्न असमिकाओं के लिए हल क्षेत्र दर्शाइए: \( x + 2y < 8 \), \( x \geq 0 \), \( y \geq 0 \)
- एक असमिका का उदाहरण दें, जिसका हल कोई वास्तविक संख्या नहीं है।
समाप्त (End of Notes)
मुख्य बिंदु (Key Points)
- रैखिक असमिकाएं वे असमिकाएं होती हैं जिनमें एक या अधिक चर वाले रैखिक व्यंजक शामिल होते हैं।
- एक चर में रैखिक असमिकाओं का सामान्य रूप ax + b < c, ax + b > c, ax + b ≤ c या ax + b ≥ c होता है।
- रैखिक असमिकाओं का हल वह सभी मानों का समूह है जो असमिकाओं को संतुष्ट करते हैं।
- असमिका को हल करते समय, यदि दोनों पक्षों को ऋणात्मक संख्या से गुणा या भाग किया जाए तो असमिका का चिन्ह बदल जाता है।
- ग्राफ की दृष्टि से, एक चर में रैखिक असमिकाओं का हल संख्या रेखा पर दर्शाया जाता है।
- दो चर में, रैखिक असमिकाएं ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c या ax + by ≥ c के रूप में होती हैं।
- दो चर में रैखिक असमिकाओं का हल निर्देशांक तल में एक क्षेत्र द्वारा दर्शाया जाता है।
- ax + by < c को दर्शाने के लिए, रेखा ax + by = c के नीचे का क्षेत्र छायांकित करें (यदि असमिका कड़ी है तो रेखा को शामिल न करें)।
- ax + by ≤ c के लिए, रेखा सहित उसके नीचे का क्षेत्र छायांकित किया जाता है।
- रैखिक असमिकाओं का तंत्र दो या अधिक समान चर वाले रैखिक असमिकाओं का समूह होता है।
- रैखिक असमिकाओं के तंत्र का हल वह क्षेत्र है जो सभी असमिकाओं को संतुष्ट करता है।
- रैखिक असमिकाओं का वास्तविक जीवन में उपयोग अनुकूलन (optimization) तथा संसाधन आवंटन जैसी समस्याओं में बंधनों को दर्शाने के लिए किया जाता है।
Key Points
- A linear inequality is an inequality which involves a linear expression in one or more variables.
- The general form of a linear inequality in one variable is ax + b < c, ax + b > c, ax + b ≤ c, or ax + b ≥ c.
- The solution of a linear inequality is the set of all values of the variable that satisfy the inequality.
- While solving inequalities, the direction of the inequality sign reverses when both sides are multiplied or divided by a negative number.
- Graphically, the solution of a linear inequality in one variable is represented on the number line.
- In two variables, a linear inequality is of the form ax + by < c, ax + by > c, ax + by ≤ c, or ax + by ≥ c.
- The solution of a linear inequality in two variables is represented by a region in the coordinate plane.
- To represent ax + by < c, shade the region below the line ax + by = c (excluding the line if strict inequality).
- For ax + by ≤ c, the region below the line including the line is shaded.
- A system of linear inequalities is a set of two or more linear inequalities with the same variables.
- The solution of a system of linear inequalities is the intersection region that satisfies all inequalities.
- Linear inequalities are widely used in real life for representing constraints in problems like optimization and resource allocation.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
निम्न में से कौन एक चर में रैखिक असमिकता है?
यदि -2x > 6, तो x है:
'से बड़ा या बराबर' को कौन सा चिन्ह दर्शाता है?
3x + 2 ≤ 11 का हल समुच्चय है:
असमिकता x - 4 < 2 का हल समुच्चय है:
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रैखिक असमिकाएं lock
रैखिक असमिकाएं (Linear Inequalities) एक नज़र में: रैखिक असमिकाएं (Linear Inequalities) गणित का एक महत्वपूर्ण भाग हैं, जिनमें दो राशियों के बीच ‘असमान’ संबंध…
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