सरल रेखाएं
Straight Lines
सरल रेखाएं (Straight Lines)
एक नज़र में: यह अध्याय सरल रेखा की अवधारणा, उसकी समीकरण, विभिन्न रूपों, दो रेखाओं के बीच सम्बन्ध, तथा रेखा से जुड़े विविध प्रश्नों से सम्बंधित है। बोर्ड परीक्षा में इससे प्रतिवर्ष प्रश्न पूछे जाते हैं।
In a nutshell: This chapter deals with the concept of straight lines, their equations in different forms, relationships between lines, and related problem-solving. Every year, questions are asked from this chapter in the board exams.
📌 अध्याय का परिचय (Introduction)
सरल रेखाएं ज्यामिति (Geometry) का एक मूलभूत विषय है। दो बिंदुओं को मिलाकर बनने वाली सबसे छोटी दूरी को सरल रेखा कहते हैं। इस अध्याय में हम दो-अक्षीय तल (Cartesian Plane) में सरल रेखा के समीकरण, उसके विभिन्न रूप, दो रेखाओं के बीच कोण, दूरी तथा उनके प्रतिच्छेदन बिंदु आदि के बारे में अध्ययन करेंगे।
Simple terms: A straight line is the shortest distance joining two points. In this chapter, we study the equations of straight lines in the Cartesian plane, their different forms, angle between two lines, distance, and intersection points, etc.
📖 मुख्य विषय-वस्तु (Main Topics)
1. निर्देशांक ज्यामिति का पुनरावृत्ति (Revision of Coordinate Geometry)
परिभाषा (Definition)
निर्देशांक ज्यामिति (Coordinate Geometry) गणित की वह शाखा है जिसमें बिंदुओं, रेखाओं, वक्रों आदि की स्थिति व आकृति का अध्ययन निर्देशांकों (Coordinates) के माध्यम से किया जाता है।
Coordinate Geometry is the branch of mathematics in which we study the position and shapes of points, lines, curves, etc., using coordinates.
निर्देशांक अक्ष (Coordinate Axes)
- दो लंबवत रेखाएँ, जिनका प्रतिच्छेदन बिंदु मूल (Origin, O) कहलाता है।
- क्षैतिज रेखा: x-अक्ष (x-axis)
- ऊर्ध्वाधर रेखा: y-अक्ष (y-axis)
- किसी बिंदु P(x, y) के निर्देशांक x और y होते हैं।
दूरी सूत्र (Distance Formula)
यदि दो बिंदु A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) हों, तो उनके बीच की दूरी: \[ AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} \]
मध्य बिंदु सूत्र (Midpoint Formula)
A(x₁, y₁) और B(x₂, y₂) के बीच का मध्य बिंदु M: \[ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]
विभाजन सूत्र (Section Formula)
यदि कोई बिंदु P(x, y), रेखाखंड AB को अनुपात m:n में विभाजित करता है, तो: \[ P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right) \]
2. सरल रेखा का समीकरण (Equation of a Straight Line)
परिभाषा (Definition)
दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटी दूरी जो अनंत तक बढ़ती है, उसे सरल रेखा कहते हैं।
The shortest distance between two points, extending indefinitely in both directions, is called a straight line.
सरल रेखा का सामान्य समीकरण (General Equation of a Straight Line)
\[ ax + by + c = 0 \] जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं एवं a और b दोनों शून्य नहीं हैं।
where a, b, c are real numbers and both a and b are not zero.
3. सरल रेखा के समीकरण के विभिन्न रूप (Different Forms of the Equation of a Straight Line)
(A) ढाल-छेदन रूप (Slope-Intercept Form)
समीकरण: \[ y = mx + c \] जहाँ m = ढाल (slope) और c = y-अक्ष पर छेदन (y-intercept)।
- m = रेखा की ढाल (slope of the line)
- c = रेखा का y-अक्ष पर छेदन (the y-intercept)
उदाहरण (Example): यदि कोई रेखा y-अक्ष को (0, 2) पर काटती है तथा उसकी ढाल 3 है, तो उसका समीकरण क्या होगा? हल (Solution): यहाँ m = 3, c = 2 तो समीकरण: \( y = 3x + 2 \)
(B) बिंदु-ढाल रूप (Point-Slope Form)
समीकरण: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] जहाँ (x₁, y₁) रेखा पर स्थित बिंदु है, m = ढाल।
उदाहरण (Example): रेखा एक बिंदु (1, 2) से गुजरती है, जिसकी ढाल 4 है, तो समीकरण: \( y - 2 = 4(x - 1) \) या \( y = 4x - 2 \)
(C) दो-बिंदु रूप (Two-Point Form)
समीकरण: \[ \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \] जहाँ (x₁, y₁) और (x₂, y₂) रेखा पर दो बिंदु हैं।
उदाहरण (Example): दो बिंदु (2, 3) और (4, 7) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण: \[ \frac{y-3}{7-3} = \frac{x-2}{4-2} \] \[ \frac{y-3}{4} = \frac{x-2}{2} \] \[ 2(y-3) = 4(x-2) \] \[ 2y - 6 = 4x - 8 \] \[ 4x - 2y - 2 = 0 \]
(D) क्षेतिज एवं ऊर्ध्वाधर रूप (Intercept Form)
समीकरण: \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \] जहाँ a = x-अक्ष पर छेदन, b = y-अक्ष पर छेदन।
उदाहरण (Example): कोई रेखा x-अक्ष को 3 पर, y-अक्ष को 4 पर काटती है, तो समीकरण: \[ \frac{x}{3} + \frac{y}{4} = 1 \]
(E) सामान्य रूप (Normal Form)
समीकरण: \[ x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \] जहाँ p = मूल से रेखा की लघुतम दूरी, α = वह कोण जो लघुतम दूरी रेखा और x-अक्ष के बीच बनता है।
उदाहरण (Example): यदि p = 5, α = 60°, तो समीकरण: \[ x \cos 60^\circ + y \sin 60^\circ = 5 \] \[ x \times \frac{1}{2} + y \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5 \] \[ x + \sqrt{3}y = 10 \]
4. ढाल (Slope) की अवधारणा (Concept of Slope)
परिभाषा (Definition)
किसी सरल रेखा की ढाल (slope, m) वह कोण θ है, जो रेखा x-अक्ष के धनात्मक दिशा के साथ बनाती है।
Slope (m) of a straight line is the tangent of the angle θ which the line makes with the positive direction of x-axis.
\[ m = \tan \theta \]
दो बिंदुओं के माध्यम से ढाल ज्ञात करना (Slope using two points)
यदि रेखा दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) से गुजरती है, तो:
\[ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \quad x_2 \neq x_1 \]
विशेष स्थितियाँ (Special Cases)
- क्षैतिज रेखा (Horizontal): m = 0
- ऊर्ध्वाधर रेखा (Vertical): m = अनन्त (undefined)
5. दो रेखाओं के बीच कोण (Angle between Two Lines)
यदि दो रेखाएँ \( m_1 \) और \( m_2 \) ढालों के साथ हैं, तो उनके बीच θ कोण:
\[ \tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right| \]
- यदि \( m_1 m_2 = -1 \), तो रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं (perpendicular)।
- यदि \( m_1 = m_2 \), तो रेखाएँ समांतर (parallel) हैं।
Example: यदि एक रेखा की ढाल 2 और दूसरी की -1/2 है, तो \[ 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = -1 \] तो वे लम्बवत् हैं।
6. दो रेखाओं की समांतरता एवं लम्बवतता (Parallelism and Perpendicularity)
समांतर रेखाएँ (Parallel Lines)
- यदि दो रेखाओं की ढालें समान हों, तो वे समांतर होती हैं।
\[ m_1 = m_2 \]
- उनके समीकरण: \( y = m x + c_1 \) और \( y = m x + c_2 \)
लम्बवत रेखाएँ (Perpendicular Lines)
- यदि दो रेखाओं की ढालों का गुणनफल -1 हो, तो वे लम्बवत् होती हैं।
\[ m_1 \times m_2 = -1 \]
7. दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्धारण (Finding the Point of Intersection)
दो रेखाएँ: \[ a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \] \[ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 \] इनका प्रतिच्छेदन बिंदु (x, y) प्राप्त करने के लिए दोनों समीकरण हल करें।
Example: \[ 2x + 3y - 5 = 0 \] \[ x - y + 2 = 0 \] दूसरे समीकरण से \( x = y - 2 \) पहले में रखने पर: \[ 2(y-2) + 3y - 5 = 0 \implies 2y - 4 + 3y - 5 = 0 \implies 5y = 9 \implies y = \frac{9}{5} \] \[ x = \frac{9}{5} - 2 = -\frac{1}{5} \] तो प्रतिच्छेदन बिंदु \( \left(-\frac{1}{5}, \frac{9}{5}\right) \)
8. बिंदु से रेखा की दूरी (Distance from a Point to a Line)
यदि बिंदु P(x₁, y₁) और रेखा \( ax + by + c = 0 \) हो, तो दूरी:
\[ d = \frac{|a x_1 + b y_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Example: बिंदु (2, 3) से रेखा \( 3x + 4y - 10 = 0 \) की दूरी: \[ d = \frac{|3 \times 2 + 4 \times 3 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|6 + 12 - 10|}{5} = \frac{8}{5} = 1.6 \]
9. दो समांतर रेखाओं के बीच दूरी (Distance between Two Parallel Lines)
यदि दो समांतर रेखाएँ: \[ ax + by + c_1 = 0 \] \[ ax + by + c_2 = 0 \] तो उनके बीच की दूरी: \[ d = \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
Example: \( 2x + 3y + 4 = 0 \) और \( 2x + 3y - 6 = 0 \) के बीच की दूरी: \[ d = \frac{|-6 - 4|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{10}{\sqrt{13}} \]
10. कुछ विशेष स्थितियाँ (Some Special Cases)
(A) x-अक्ष एवं y-अक्ष के समांतर रेखाएँ (Lines parallel to axes)
- x-अक्ष के समांतर: \( y = k \)
- y-अक्ष के समांतर: \( x = h \)
(B) रेखा का समकोण (Inclination of a Line)
रेखा का समकोण (θ) x-अक्ष के धनात्मक दिशा के साथ बना कोण है। ढाल m = tan θ.
11. त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of a Triangle using Coordinates)
तीन बिंदुओं \( (x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3) \) से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल:
\[ \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2) \right| \]
Example: बिंदु (1, 1), (4, 5), (7, 2) \[ \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |1(5-2) + 4(2-1) + 7(1-5)| \] \[ = \frac{1}{2} |1 \times 3 + 4 \times 1 + 7 \times (-4)| \] \[ = \frac{1}{2} |3 + 4 - 28| = \frac{1}{2} | -21 | = 10.5 \]
12. सरल रेखा की अवस्थिति (Position of a Point w.r.t. Line)
यदि बिंदु P(x₁, y₁) और रेखा \( ax + by + c = 0 \) हो,
- यदि \( a x_1 + b y_1 + c > 0 \) एवं \( a x_2 + b y_2 + c < 0 \), तो बिंदु रेखा के विपरीत पक्षों पर हैं।
- यदि दोनों में चिन्ह समान, तो एक ही पक्ष पर हैं।
13. रेखा के समीकरण की पुनरावृत्ति (Revision of Line Equations)
सभी रूपों के समीकरणों की पुनरावृत्ति:
- General Form: \( ax + by + c = 0 \)
- Slope-Intercept: \( y = mx + c \)
- Point-Slope: \( y - y_1 = m(x - x_1) \)
- Two-Point: \( \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{x-x_1}{x_2-x_1} \)
- Intercept: \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \)
- Normal: \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \)
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)
- सरल रेखा का सामान्य समीकरण \( ax + by + c = 0 \) है, जहाँ a और b दोनों शून्य नहीं हो सकते।
The general equation of a straight line is \( ax + by + c = 0 \), where both a and b cannot be zero.
- ढाल (slope) रेखा की प्रवणता को दर्शाता है।
Slope indicates the inclination of a line.
- दो बिंदुओं के माध्यम से रेखा की ढाल \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \) होती है।
The slope between two points is \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
- दो रेखाएँ समांतर हैं यदि उनकी ढालें समान हों।
Two lines are parallel if their slopes are equal.
- दो रेखाएँ लम्बवत् हैं यदि उनकी ढालों का गुणनफल -1 हो।
Two lines are perpendicular if the product of their slopes is -1.
- बिंदु से रेखा की दूरी \( \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) होती है।
Distance from a point to a line is \( \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \).
- दो समांतर रेखाओं के बीच दूरी \( \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) होती है।
Distance between two parallel lines is \( \frac{|c_2 - c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \).
- रेखा के समीकरण के विभिन्न रूप हैं – सामान्य, ढाल-छेदन, बिंदु-ढाल, दो-बिंदु, छेदन, सामान्य।
Various forms of line equations: general, slope-intercept, point-slope, two-point, intercept, and normal.
- त्रिभुज का क्षेत्रफल निर्देशांक विधि से \( \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| \) से निकाला जाता है।
Area of triangle using coordinates formula.
- यदि किसी बिंदु के निर्देशांक रेखा के समीकरण में रखने पर मान शून्य आता है, तो बिंदु रेखा पर स्थित है।
If substituting the coordinates of a point in the line equation gives zero, the point lies on the line.
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| क्र. | गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |-----|-----------------------------------------------|---------------------------------------------------------| | 1 | ढाल निकालते समय x1-x2 की जगह x2-x1 लिखना | ढाल हमेशा \( m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \) है | | 2 | बिंदु-रेखा दूरी में a, b, c के चिन्ह भूलना | हमेशा समीकरण को \( ax + by + c = 0 \) के रूप में लिखें | | 3 | दो रेखाओं के बीच कोण में गलत सूत्र लगाना | सही सूत्र: \( \tan \theta = \left| \frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2} \right| \) | | 4 | समांतर रेखाओं की दूरी में c1, c2 का क्रम उल्टा | \( |c_2 - c_1| \) का मान लेना चाहिए | | 5 | समीकरण के रूपों में c को छेदन समझना | छेदन y-अक्ष पर होता है, c समीकरण का स्वतंत्र पद है | | 6 | सामान्य रूप में α का अर्थ भूलना | α = लघुतम दूरी रेखा और x-अक्ष के बीच कोण | | 7 | त्रिभुज क्षेत्रफल में नकारात्मक उत्तर लेना | हमेशा पूर्णांकित मान (modulus) लेना चाहिए | | 8 | x-अक्ष के समांतर रेखा को y = k न लिखना | x-अक्ष के समांतर रेखा: \( y = k \) | | 9 | रेखा के समीकरण में a और b दोनों को 0 लेना | a और b दोनों शून्य नहीं हो सकते | | 10 | बिंदु के निर्देशांक समीकरण में गलत रखना | सही-सही निर्देशांक रखना आवश्यक |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)
1-Mark Questions
- सरल रेखा के सामान्य समीकरण का रूप लिखिए।
Write the general equation form of a straight line.
उत्तर (Answer): \( ax + by + c = 0 \), जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं एवं a, b दोनों शून्य नहीं हैं।
where a, b, c are real numbers and both a, b are not zero.
- क्षैतिज रेखा की ढाल क्या होती है?
What is the slope of a horizontal line?
उत्तर (Answer): 0
- यदि दो रेखाएँ समांतर हैं, तो उनकी ढालों में क्या संबंध होगा?
If two lines are parallel, what is the relation between their slopes?
उत्तर (Answer): दोनों की ढालें समान होती हैं (m₁ = m₂)।
- रेखा \( x = 5 \) किस अक्ष के समांतर है?
The line \( x = 5 \) is parallel to which axis?
उत्तर (Answer): y-अक्ष (y-axis)
- बिंदु (2, 1) और (4, 5) के बीच की दूरी क्या होगी?
What is the distance between the points (2, 1) and (4, 5)?
उत्तर (Answer): \[ \sqrt{(4-2)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
2-Mark Questions
- बिंदु (3, 4) से रेखा \( 5x + 12y - 13 = 0 \) की दूरी ज्ञात कीजिए।
Find the distance of the point (3, 4) from the line \( 5x + 12y - 13 = 0 \).
उत्तर (Answer): \[ d = \frac{|5 \times 3 + 12 \times 4 - 13|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|15 + 48 - 13|}{13} = \frac{50}{13} \]
- दो रेखाएँ \( 2x - 3y + 4 = 0 \) और \( 2x - 3y - 9 = 0 \) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Find the distance between the lines \( 2x - 3y + 4 = 0 \) and \( 2x - 3y - 9 = 0 \).
उत्तर (Answer): \[ d = \frac{|-9 - 4|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{13}{\sqrt{13}} = \sqrt{13} \]
- रेखा \( y = 2x + 1 \) की ढाल और y-अक्ष छेदन लिखिए।
Write the slope and y-intercept of the line \( y = 2x + 1 \).
उत्तर (Answer): ढाल (slope), m = 2; y-अक्ष छेदन (y-intercept), c = 1
- बिंदु (1, 2) तथा (3, 6) को मिलाने वाली रेखा का समीकरण लिखिए।
Find the equation of the line passing through (1, 2) and (3, 6).
उत्तर (Answer): ढाल \( m = \frac{6-2}{3-1} = 2 \) समीकरण: \( y - 2 = 2(x-1) \rightarrow y = 2x \)
- यदि \( m_1 = 3 \), \( m_2 = -\frac{1}{3} \), तो दोनों रेखाएँ किस प्रकार की हैं?
If \( m_1 = 3 \), \( m_2 = -\frac{1}{3} \), what is the relation between the two lines?
उत्तर (Answer): \( m_1 \times m_2 = -1 \), अतः दोनों रेखाएँ लम्बवत् हैं।
The lines are perpendicular.
5-Mark Questions
- दो बिंदु A(2, -1) तथा B(5, 7) को मिलाने वाली रेखा के समीकरण के सभी रूप लिखिए तथा उसका x एवं y-अक्ष पर छेदन ज्ञात कीजिए।
Write all forms of the equation of the line joining A(2, -1) and B(5, 7) and find its intercepts on x and y axes.
उत्तर (Answer): दो-बिंदु रूप (Two-point form): \[ \frac{y+1}{7+1} = \frac{x-2}{5-2} \implies \frac{y+1}{8} = \frac{x-2}{3} \] \[ 3(y+1) = 8(x-2) \implies 3y + 3 = 8x - 16 \implies 8x - 3y - 19 = 0 \] सामान्य रूप (General form): \[ 8x - 3y - 19 = 0 \] ढाल-छेदन रूप (Slope-intercept): \[ m = \frac{7 - (-1)}{5 - 2} = \frac{8}{3} \] \[ y - (-1) = \frac{8}{3}(x - 2) \implies y + 1 = \frac{8}{3}x - \frac{16}{3} \implies y = \frac{8}{3}x - \frac{19}{3} \] x-अक्ष छेदन: y = 0 में रखने पर, \[ 8x - 3(0) - 19 = 0 \implies 8x = 19 \implies x = \frac{19}{8} \] y-अक्ष छेदन: x = 0 में रखने पर, \[ 8(0) - 3y - 19 = 0 \implies -3y = 19 \implies y = -\frac{19}{3} \]
- बिंदु P(4, 5) से होकर जाने वाली वह रेखा लिखिए, जो रेखा \( 3x - 4y + 7 = 0 \) के समांतर है।
Find the equation of the line through P(4, 5) parallel to \( 3x - 4y + 7 = 0 \).
उत्तर (Answer): समांतर रेखा का समीकरण: \( 3x - 4y + c = 0 \) बिंदु (4, 5) रखने पर: \( 3 \times 4 - 4 \times 5 + c = 0 \implies 12 - 20 + c = 0 \implies c = 8 \) अतः समीकरण: \( 3x - 4y + 8 = 0 \)
- बिंदु A(1, 2), B(4, 6), C(5, 7) के लिए जाँचिए कि क्या ये त्रिभुज बनाते हैं या एक ही सरल रेखा पर हैं?
Check whether points A(1, 2), B(4, 6), C(5, 7) form a triangle or are collinear.
उत्तर (Answer): क्षेत्रफल: \[ \frac{1}{2} |1(6-7) + 4(7-2) + 5(2-6)| = \frac{1}{2} |-1 + 20 - 20| = \frac{1}{2}( -1 ) = 0.5 \] त्रुटि: पुनर्गणना करें: \[ = \frac{1}{2} |1(6-7) + 4(7-2) + 5(2-6)| = \frac{1}{2} |-1 + 20 - 20| = \frac{1}{2}(-1) = 0.5 \] यहाँ क्षेत्रफल 0.5 है (शून्य नहीं), अतः ये बिंदु एक ही सरल रेखा पर नहीं हैं, त्रिभुज बनाते हैं।
- दो रेखाएँ \( y = 2x + 3 \) और \( 3y - 6x = 4 \) के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Find the coordinates of intersection point of the lines \( y = 2x + 3 \) and \( 3y - 6x = 4 \).
उत्तर (Answer): पहले समीकरण से: \( y = 2x + 3 \) दूसरे में रखने पर: \[ 3(2x + 3) - 6x = 4 \implies 6x + 9 - 6x = 4 \implies 9 = 4 \] यह असंगत है, अतः कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है, रेखाएँ समांतर हैं।
- रेखा \( 4x - 3y + 12 = 0 \) के लिए सामान्य रूप में समीकरण लिखिए।
Write the normal form of the line \( 4x - 3y + 12 = 0 \).
उत्तर (Answer): सामान्य रूप: \( x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \) सबसे पहले, समीकरण को \( a^2 + b^2 = 1 \) के रूप में लिखें: \[ 4x - 3y + 12 = 0 \implies 4x - 3y = -12 \] \[ \frac{4}{5}x - \frac{3}{5}y = -\frac{12}{5} \] अतः \[ x \cos \alpha + y \sin \alpha = p \] जहाँ \( \cos \alpha = \frac{4}{5}, \sin \alpha = -\frac{3}{5}, p = -\frac{12}{5} \)
अध्याय सारांश (Chapter Summary)
- सरल रेखाएं निर्देशांक ज्यामिति का मूल आधार हैं।
- इस अध्याय में रेखा के समीकरण के सभी रूप, ढाल, छेदन, दो रेखाओं के बीच संबंध, बिंदु से दूरी, प्रतिच्छेदन, क्षेत्रफल आदि की गहन व्याख्या की गई है।
- परीक्षा में समीकरण के रूप, दूरी, कोण, समांतरता, लम्बवतता, क्षेत्रफल पर आधारित प्रश्न अवश्य पूछे जाते हैं।
- अभ्यास, सूत्रों का याद रखना एवं सही रूपों का प्रयोग करना अत्यंत आवश्यक है।
अभ्यास करें, सूत्र याद रखें, और परीक्षा में सफलता पाएँ!
Practice well, remember the formulas, and achieve success in exams!
मुख्य बिंदु (Key Points)
- समतल में सरल रेखा का सामान्य समीकरण ax + by + c = 0 होता है, जहाँ a, b, c वास्तविक नियतांक हैं तथा a और b दोनों एक साथ शून्य नहीं होते।
- सरल रेखा का ढाल (m) वह कोण θ का स्पर्शज्या होती है, जो रेखा x-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाती है: m = tanθ।
- सरल रेखा का ढाल-अवरोध रूप: y = mx + c, जहाँ m ढाल है और c y-अवरोध है।
- बिंदु-ढाल रूप: y - y₁ = m(x - x₁), जहाँ (x₁, y₁) रेखा पर स्थित बिंदु है और m ढाल है।
- दो बिंदु रूप: (x₁, y₁) तथा (x₂, y₂) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण (y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁) होता है।
- अवरोध रूप: वह रेखा जो x-अक्ष को a तथा y-अक्ष को b पर काटती है, उसका समीकरण x/a + y/b = 1 होता है।
- समान्तरता की शर्त: दो रेखाएँ तब समान्तर होती हैं जब उनके ढाल समान होते हैं।
- लंबवतता की शर्त: दो रेखाएँ तब लंबवत होती हैं जब उनके ढालों का गुणनफल -1 होता है।
- दो रेखाओं के बीच का कोण, जिनके ढाल m₁ और m₂ हैं, tanθ = |(m₂ - m₁)/(1 + m₁m₂)| द्वारा दिया जाता है।
- बिंदु (x₁, y₁) से रेखा ax + by + c = 0 की दूरी |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²) होती है।
- दो रेखाओं L₁ = 0 और L₂ = 0 के प्रतिछेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का परिवार L₁ + λL₂ = 0 होता है, जहाँ λ एक पैरामीटर है।
- दो रेखाओं a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0 के बीच कोणों के द्विभाजकों का समीकरण (a₁x + b₁y + c₁)/√(a₁² + b₁²) = ±(a₂x + b₂y + c₂)/√(a₂² + b₂²) होता है।
Key Points
- The general equation of a straight line in the plane is ax + by + c = 0, where a, b, c are real constants and a, b are not both zero.
- Slope (m) of a straight line is defined as the tangent of the angle θ which the line makes with the positive direction of x-axis: m = tanθ.
- Slope-intercept form of a straight line: y = mx + c, where m is the slope and c is the y-intercept.
- Point-slope form: y - y₁ = m(x - x₁), where (x₁, y₁) is a point on the line and m is the slope.
- Two-point form: Equation of the line passing through points (x₁, y₁) and (x₂, y₂) is (y - y₁)/(y₂ - y₁) = (x - x₁)/(x₂ - x₁).
- Intercept form: The equation of a line which cuts x-axis at a and y-axis at b is x/a + y/b = 1.
- Condition for parallelism: Two lines are parallel if their slopes are equal.
- Condition for perpendicularity: Two lines are perpendicular if the product of their slopes is -1.
- Angle between two lines with slopes m₁ and m₂ is given by tanθ = |(m₂ - m₁)/(1 + m₁m₂)|.
- Distance of point (x₁, y₁) from line ax + by + c = 0 is |ax₁ + by₁ + c| / √(a² + b²).
- Family of lines passing through the intersection point of two lines L₁ = 0 and L₂ = 0 is L₁ + λL₂ = 0, where λ is a parameter.
- Equation of the bisectors of the angles between two lines a₁x + b₁y + c₁ = 0 and a₂x + b₂y + c₂ = 0 is (a₁x + b₁y + c₁)/√(a₁² + b₁²) = ±(a₂x + b₂y + c₂)/√(a₂² + b₂²).
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
निम्न में से कौन सी रेखा x-अक्ष के समांतर है?
x = 5 समीकरण किस रेखा को दर्शाता है?
यदि कोई रेखा (0,0) तथा (2,2) से गुजरती है, तो उसका समीकरण है:
निम्न में से कौन सी रेखा (1,2) से गुजरती है?
रेखा 2x + 3y = 6 का ढाल क्या है?
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सरल रेखाएं lock
सरल रेखाएं (Straight Lines) एक नज़र में: यह अध्याय सरल रेखा की अवधारणा, उसकी समीकरण, विभिन्न रूपों, दो रेखाओं के बीच सम्बन्ध, तथा रेखा से जुड़े विविध प्रश्नों…
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