सम्मिश्र संख्याएं और द्विघातीय समीकरण

सम्मिश्र संख्याएं और द्विघातीय समीकरण (Complex Numbers and Quadratic Equations)

एक नज़र में (At a Glance):

यह अध्याय सम्मिश्र संख्याओं के सिद्धांत, उनके संक्रियाएँ (operations), द्विघातीय समीकरणों के हल और उनके वास्तविक तथा काल्पनिक मूल (roots) की चर्चा करता है। इससे छात्रों को गणित के उच्चतर विषयों की नींव मजबूत होती है।

📌 अध्याय का परिचय

सम्मिश्र संख्याएँ गणित का एक महत्वपूर्ण विषय है, जो वास्तविक और काल्पनिक संख्याओं का संयोग है। द्विघातीय समीकरण (Quadratic Equations) के हल कभी-कभी वास्तविक नहीं होते; ऐसे में सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग आवश्यक होता है। इस अध्याय में, हम सम्मिश्र संख्याओं की परिभाषा, उनके गुण, संक्रियाएँ, द्विघातीय समीकरणों के प्रकार और उनके हल के बारे में विस्तार से अध्ययन करेंगे।

📖 मुख्य विषय (Main Topics)

1. सम्मिश्र संख्याओं की परिभाषा (Definition of Complex Numbers)

परिभाषा: ऐसी संख्या जिसे \( z = a + ib \) के रूप में लिखा जा सके, जहाँ \( a, b \) वास्तविक संख्याएँ हैं तथा \( i \) एक काल्पनिक इकाई है, जिसे \( i^2 = -1 \) से परिभाषित किया जाता है, 'सम्मिश्र संख्या' कहलाती है।

यहाँ:

• \( a \) = वास्तविक भाग (Real part)
• \( b \) = काल्पनिक भाग (Imaginary part)
• \( i \) = काल्पनिक इकाई (Imaginary unit)

उदाहरण (Examples):

• \( 3 + 4i \)
• \( -2 + 0i \) (केवल वास्तविक संख्या)
• \( 0 + 5i \) (केवल काल्पनिक संख्या)

2. सम्मिश्र संख्याओं के प्रकार (Types of Complex Numbers)

1. शुद्ध वास्तविक संख्या (Pure Real Number):

जब \( b = 0 \), जैसे \( 5 + 0i = 5 \)

1. शुद्ध काल्पनिक संख्या (Pure Imaginary Number):

जब \( a = 0 \), जैसे \( 0 + 7i = 7i \)

1. शून्य सम्मिश्र संख्या (Zero Complex Number):

जब \( a = 0 \) और \( b = 0 \), जैसे \( 0 + 0i = 0 \)

3. सम्मिश्र संख्याओं का अभिव्यक्ति रूप (Representation of Complex Numbers)

(A) द्विआयामी ज्यामितीय रूप (Geometric Representation in Argand Plane)

• समिश्र संख्या \( z = a + ib \) को हम \( (a, b) \) बिंदु के रूप में आर्गैंड तल (Argand Plane) में प्रदर्शित कर सकते हैं।
• क्षैतिज अक्ष (x-axis) - वास्तविक भाग
• ऊर्ध्वाधर अक्ष (y-axis) - काल्पनिक भाग

आरेख (Diagram): (चित्रण करें: a लंबवत, b क्षैतिज, बिंदु (a, b))

(B) ध्रुवीय रूप (Polar Form)

• \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \)
• यहाँ, \( r = \sqrt{a^2 + b^2} \) (मापांक / modulus)
• \( \theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right) \) (आर्गुमेंट / argument)

उदाहरण: \( z = 1 + i \), \( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \), \( \theta = \tan^{-1}(1/1) = 45^\circ \)

4. सम्मिश्र संख्याओं के संक्रियाएँ (Operations on Complex Numbers)

(A) योग (Addition):

\( (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) \)

उदाहरण: \( (3 + 2i) + (1 + 5i) = 4 + 7i \)

(B) अंतर (Subtraction):

\( (a + ib) - (c + id) = (a - c) + i(b - d) \)

उदाहरण: \( (6 + 4i) - (2 + 7i) = 4 - 3i \)

(C) गुणा (Multiplication):

\( (a + ib) \times (c + id) = (ac - bd) + i(ad + bc) \)

उदाहरण: \( (2 + 3i) \times (4 + 5i) = (8 - 15) + i(10 + 12) = -7 + 22i \)

(D) भाग (Division):

\[ \frac{a + ib}{c + id} = \frac{(a + ib) \cdot (c - id)}{(c + id) \cdot (c - id)} = \frac{(ac + bd) + i(bc - ad)}{c^2 + d^2} \]

उदाहरण: \[ \frac{3 + 2i}{1 - i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + 2i + 2i^2}{1^2 - (i)^2} = \frac{3 + 5i - 2}{1 + 1} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i \]

5. सम्मिश्र संख्याओं के मापांक और आर्गुमेंट (Modulus and Argument of Complex Numbers)

(A) मापांक (Modulus):

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \] जहाँ \( z = a + ib \)

उदाहरण: \( z = 3 + 4i \) \( |z| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)

(B) आर्गुमेंट (Argument):

\[ \arg(z) = \theta = \tan^{-1} \left( \frac{b}{a} \right ) \]

उदाहरण: \( z = 1 + \sqrt{3}i \) \( \theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}/1) = 60^\circ \)

6. सम्मिश्र संख्याओं का संयुग्म (Conjugate of Complex Numbers)

परिभाषा: यदि \( z = a + ib \), तो उसका संयुग्म \( \bar{z} = a - ib \) होगा।

गुण:

• \( z \cdot \bar{z} = (a + ib)(a - ib) = a^2 + b^2 = |z|^2 \)

उदाहरण: \( z = 5 - 2i \), \( \bar{z} = 5 + 2i \)

7. द्विघातीय समीकरण (Quadratic Equations)

परिभाषा: प्रकार \( ax^2 + bx + c = 0 \), जहाँ \( a \neq 0 \), को द्विघातीय समीकरण कहते हैं।

द्विघातीय समीकरण के मूल (Roots of Quadratic Equation):

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

• \( b^2 - 4ac \) को विवेक (Discriminant, D) कहते हैं।

विवेक (Discriminant):

• यदि \( D > 0 \): दो भिन्न वास्तविक मूल (Two distinct real roots)
• यदि \( D = 0 \): दो समान वास्तविक मूल (Two equal real roots)
• यदि \( D < 0 \): दो सम्मिश्र संख्याओं के रूप में मूल (Two complex conjugate roots)

उदाहरण: \( x^2 + 2x + 5 = 0 \) यहाँ, \( a = 1, b = 2, c = 5 \)

\( D = 2^2 - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16 < 0 \) मूल: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i \]

8. द्विघातीय समीकरण के मूलों का प्रकार (Nature of Roots)

| विवेक (D) | मूलों का प्रकार (Nature of Roots) | |------------|-----------------------------------------------------| | D > 0 | दो भिन्न वास्तविक मूल (Two distinct real roots) | | D = 0 | दो समान वास्तविक मूल (Two equal real roots) | | D < 0 | दो सम्मिश्र मूल (Two complex conjugate roots) |

9. द्विघातीय समीकरण के गुण (Properties of Quadratic Equations)

• मूलों का योग (Sum of roots):

\( \alpha + \beta = -\frac{b}{a} \)

• मूलों का गुणनफल (Product of roots):

\( \alpha \beta = \frac{c}{a} \)

• यदि किसी द्विघातीय समीकरण के मूल सम्मिश्र हैं, तो वे हमेशा संयुग्म रूप में होते हैं।

उदाहरण: यदि \( x^2 + 4x + 13 = 0 \), मूल: \( x = -2 + 3i, -2 - 3i \)

10. द्विघातीय समीकरण का निर्माण (Forming Quadratic Equation Given Roots)

यदि मूल \(\alpha\) और \(\beta\) दिए गए हैं, तो समीकरण होगा: \[ x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0 \]

उदाहरण: मूल: \( 2 + 5i, 2 - 5i \)

\(\alpha + \beta = 4\), \(\alpha \beta = (2 + 5i)(2 - 5i) = 4 + 25 = 29\)

समीकरण: \( x^2 - 4x + 29 = 0 \)

11. सम्मिश्र संख्याओं के गुण (Properties of Complex Numbers)

• संयुग्म का गुणा:

\( z \cdot \bar{z} = |z|^2 \)

• मापांक का गुणा:

\( |z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2| \)

• मापांक का भाग:

\( \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} \)

• संयुग्म का योग/अंतर:

\( \overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z}_1 \pm \bar{z}_2 \)

• संयुग्म का भाग:

\( \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\bar{z}_1}{\bar{z}_2} \)

12. सम्मिश्र संख्याओं के घातांक रूप एवं डी-मॉयवर प्रमेय (Exponential Form & De Moivre's Theorem) [आवश्यक जानकारी]

घातांक रूप (Exponential Form):

\[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta} \]

डी-मॉयवर प्रमेय (De Moivre's Theorem):

\[ [ r(\cos \theta + i \sin \theta) ]^n = r^n [ \cos n\theta + i \sin n\theta ] \]

उदाहरण: \( [\cos \theta + i \sin \theta]^5 = \cos 5\theta + i \sin 5\theta \)

13. सम्मिश्र संख्याओं के उपयोग (Applications of Complex Numbers)

• द्विघातीय समीकरण के काल्पनिक मूलों की गणना
• भौतिकी, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, सिग्नल प्रोसेसिंग आदि में

14. हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

उदाहरण 1:

सवाल: \( z = 4 - 3i \) का मापांक और आर्गुमेंट ज्ञात कीजिए। हल: \( |z| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \) \( \theta = \tan^{-1}\left(\frac{-3}{4}\right) \)

उदाहरण 2:

सवाल: \( (2 + 3i) \times (1 - 2i) \) का मान ज्ञात कीजिए। हल: \( = 2 \times 1 + 2 \times (-2i) + 3i \times 1 + 3i \times (-2i) \) \( = 2 - 4i + 3i - 6i^2 \) \( = 2 - i + 6 \) (क्योंकि \( i^2 = -1 \)) \( = 8 - i \)

उदाहरण 3:

सवाल: समीकरण \( x^2 + 2x + 10 = 0 \) के मूल ज्ञात कीजिए। हल: \( D = 2^2 - 4 \times 1 \times 10 = 4 - 40 = -36 \) मूल: \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-2 \pm 6i}{2} = -1 \pm 3i \)

उदाहरण 4:

सवाल: यदि \( z = 1 + i \), तो उसका संयुग्म और मापांक ज्ञात कीजिए। हल: संयुग्म: \( \bar{z} = 1 - i \) मापांक: \( |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \)

उदाहरण 5:

सवाल: यदि द्विघातीय समीकरण के मूल \( 2 + 5i \) और \( 2 - 5i \) हैं, तो समीकरण लिखिए। हल: \( x^2 - (2+5i + 2-5i)x + (2+5i)(2-5i) = 0 \) \( x^2 - 4x + (4 + 25) = 0 \) \( x^2 - 4x + 29 = 0 \)

उदाहरण 6:

सवाल: \( \frac{5 + 2i}{3 - 4i} \) का मान ज्ञात कीजिए। हल: गुणा करें \( 3 + 4i \) से:

\[ \frac{5 + 2i}{3 - 4i} \times \frac{3 + 4i}{3 + 4i} = \frac{(5 + 2i)(3 + 4i)}{3^2 + 4^2} \] \[ = \frac{15 + 20i + 6i + 8i^2}{9 + 16} = \frac{15 + 26i - 8}{25} = \frac{7 + 26i}{25} \]

उदाहरण 7:

सवाल: \( (1 + i)^8 \) का सरलीकृत मान ज्ञात कीजिए। हल: पहले मापांक और आर्गुमेंट निकालें: \( r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \), \( \theta = 45^\circ \) तो, \[ (1 + i)^8 = [\sqrt{2} (\cos 45^\circ + i\sin 45^\circ)]^8 = (\sqrt{2})^8 [\cos(8 \times 45^\circ) + i\sin(8 \times 45^\circ)] \] \( (\sqrt{2})^8 = (2^4) = 16 \), \( 8 \times 45^\circ = 360^\circ \), तो, \[ = 16 (\cos 0^\circ + i\sin 0^\circ) = 16 \times 1 = 16 \]

15. द्विघातीय समीकरणों के वास्तविक और सम्मिश्र मूल (Real and Complex Roots of Quadratic Equations)

• यदि विवेक (D) ऋणात्मक है, तो मूल सम्मिश्र और संयुग्म रूप में होंगे।
• यदि D धनात्मक है, तो मूल वास्तविक होंगे।

🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)

1. \( i^2 = -1 \) है।
2. प्रत्येक वास्तविक संख्या एक सम्मिश्र संख्या है।
3. प्रत्येक सम्मिश्र संख्या का एक संयुग्म होता है।
4. द्विघातीय समीकरण के काल्पनिक मूल सदा संयुग्म रूप में होते हैं।
5. \( z \bar{z} = |z|^2 \)
6. सम्मिश्र संख्याएँ आर्गैंड तल में बिंदु के रूप में प्रदर्शित की जाती हैं।
7. द्विघातीय समीकरण \( ax^2 + bx + c = 0 \) के मूलों का योग \( -\frac{b}{a} \) और गुणनफल \( \frac{c}{a} \) होता है।
8. \( D = b^2 - 4ac \), D के अनुसार मूलों का प्रकार निर्धारित होता है।
9. यदि द्विघातीय समीकरण के मूल सम्मिश्र हैं, तो वे संयुग्म होते हैं।
10. डी-मॉयवर प्रमेय के अनुसार, \( [r(\cos \theta + i\sin \theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta) \)
11. सम्मिश्र संख्याओं का भाग, संयुग्म से गुणा कर के किया जाता है।
12. ध्रुवीय रूप में, \( r = |z| \) और \( \theta = \arg(z) \) होता है।
13. यदि \( z = a + ib \) और \( \bar{z} = a - ib \), तो \( z + \bar{z} = 2a \) और \( z - \bar{z} = 2ib \)

⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)

| क्रमांक | गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |--------|------------------------------------------------------------------|-------------------------------------------------------------------| | 1 | \( i^2 = 1 \) लिखना | \( i^2 = -1 \) | | 2 | संयुग्म निकालते समय चिन्ह न बदलना | \( a + ib \) का संयुग्म \( a - ib \) है | | 3 | मापांक निकालते समय केवल \( a \) या \( b \) लेना | \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) | | 4 | द्विघात समीकरण के मूल निकालते समय विवेक (D) की गलत गणना | \( b^2 - 4ac \) का सही से मान निकालें | | 5 | ध्रुवीय रूप में \( \theta \) गलत दिशा में लेना | \( \tan^{-1}(b/a) \) सही से लें | | 6 | भाग करते समय संयुग्म से गुणा करना भूल जाना | हर बार हरसंख्या के संयुग्म से गुणा करें | | 7 | द्विघात समीकरण के मूलों का योग/गुणनफल में a के स्थान पर 1 लेना | \( -\frac{b}{a}, \frac{c}{a} \) का सही प्रयोग करें | | 8 | सम्मिश्र संख्या को आर्गैंड तल में गलत प्लॉट करना | \( (a, b) \) बिंदु पर ही प्लॉट करें | | 9 | डी-मॉयवर प्रमेय में घातांक को सीधे गुणा करना भूल जाना | कोण को भी \( n \) से गुणा करें | | 10 | द्विघात समीकरण के मूलों के रूप में संयुग्म लिखना भूल जाना | हमेशा \( \alpha \pm \beta i \) के रूप में दो मूल लिखें |

📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)

1-Mark Questions

1. \( i^2 \) का मान क्या है?

1. \( z = 5 - 3i \) का संयुग्म क्या है?

1. द्विघातीय समीकरण \( x^2 + 2x + 1 = 0 \) के विवेक (D) का मान बताइए।

1. सम्मिश्र संख्या \( z = 7i \) का वास्तविक भाग क्या है?

1. \( z = 3 + 4i \) का मापांक क्या है?

2-Mark Questions

1. \( (2 + 3i) + (4 - 2i) \) का योग ज्ञात कीजिए।

1. \( (3 + 2i) \times (1 - 4i) \) का मान ज्ञात कीजिए।

1. निम्नलिखित द्विघातीय समीकरण के मूलों का प्रकार बताइए: \( x^2 + 4x + 6 = 0 \)

1. यदि \( z = 2 + 5i \), तो \( |z| \) और \( \arg(z) \) ज्ञात कीजिए।

(If \( z = 2 + 5i \), find \( |z| \) and \( \arg(z) \).)

1. \( \frac{3 + 4i}{1 - 2i} \) का सरलीकृत मान ज्ञात कीजिए।

5-Mark Questions

1. निम्नलिखित समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए: \( x^2 + 6x + 13 = 0 \)।

1. द्विघातीय समीकरण \( x^2 - 2x + 5 = 0 \) के मूलों का योग और गुणनफल ज्ञात कीजिए। समीकरण के मूलों का प्रकार भी बताइए।

1. यदि द्विघातीय समीकरण के मूल \( 1 + 2i \) और \( 1 - 2i \) हैं, तो समीकरण लिखिए।

1. \( (1 + i)^8 \) का मान ज्ञात कीजिए।

1. \( z_1 = 2 + 2i \), \( z_2 = 1 - 3i \) के लिए \( z_1 \times z_2 \), \( \frac{z_1}{z_2} \), \( \bar{z_1} \) और \( |z_2| \) ज्ञात कीजिए।

(For \( z_1 = 2 + 2i \), \( z_2 = 1 - 3i \), find \( z_1 \times z_2 \), \( \frac{z_1}{z_2} \), \( \bar{z_1} \), and \( |z_2| \).)

यह अध्याय बोर्ड परीक्षा के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। हर संकल्पना को अच्छे से समझें, उदाहरणों का अभ्यास करें, और पूर्व वर्षों के प्रश्नपत्र अवश्य हल करें।