त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
Introduction to 3D Geometry
त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय (Introduction to 3D Geometry)
एक नज़र में:
त्रिविमीय ज्यामिति में हम बिंदुओं, रेखाओं और विमाओं को तीन दिशाओं में समझते हैं, जिससे वास्तविक दुनिया के स्थान का अध्ययन संभव होता है। यह अध्याय 3D कार्तीय निर्देशांक पद्धति, बिंदु की स्थिति, दो बिंदुओं के बीच की दूरी, तथा विभाजन सूत्र जैसे आधारभूत सिद्धांतों को विस्तार से समझाता है।
In 3D geometry, we study points, lines, and planes in three directions, enabling us to analyze space as it exists in the real world. This chapter covers the basics like 3D Cartesian coordinate system, position of a point, distance between two points, and section formula in detail.
📌 अध्याय का परिचय (Chapter Introduction)
त्रिविमीय ज्यामिति गणित की वह शाखा है, जिसमें हम उन ज्यामितीय आकृतियों का अध्ययन करते हैं, जो तीन विमाओं (त्रिविमीय) में स्थित होती हैं। पूर्व कक्षाओं में हमने द्विविमीय ज्यामिति पढ़ी थी, जिसमें आकृतियाँ केवल दो विमाओं (x और y) में होती थीं। लेकिन वास्तविक जीवन की सभी वस्तुएँ तीन विमाओं (लंबाई, चौड़ाई, ऊँचाई) में होती हैं। इस अध्याय में, हम 3D कार्तीय निर्देशांक पद्धति, बिंदुओं के निर्देशांक, दो बिंदुओं के बीच दूरी, तथा विभाजन सूत्र के बारे में विस्तार से जानेंगे।
Three-dimensional geometry is the branch of mathematics where we study geometric figures situated in three dimensions. Previously, we studied two-dimensional geometry (x and y axes), but real-life objects have three dimensions (length, width, height). In this chapter, we will learn about the 3D Cartesian coordinate system, coordinates of a point, distance between two points, and section formula in detail.
📖 मुख्य विषय (Main Topics)
1. त्रिविमीय निर्देशांक पद्धति (3D Coordinate System)
परिभाषा (Definition)
त्रिविमीय निर्देशांक पद्धति में, किसी बिंदु की स्थिति को तीन संख्याओं (x, y, z) द्वारा व्यक्त किया जाता है, जो क्रमशः x-अक्ष, y-अक्ष, और z-अक्ष के साथ संबंधित होती हैं।
In 3D coordinate system, the position of a point is expressed by three numbers (x, y, z), corresponding to the x-axis, y-axis, and z-axis, respectively.
विस्तार से व्याख्या (Explanation)
- अक्ष (Axes):
- x-अक्ष (X-axis): क्षैतिज रेखा
- y-अक्ष (Y-axis): दूसरी क्षैतिज रेखा, x-अक्ष के लंबवत
- z-अक्ष (Z-axis): ऊर्ध्वाधर रेखा, x और y दोनों के लंबवत
Axes: X-axis is the horizontal line, Y-axis is another horizontal line perpendicular to X, and Z-axis is the vertical line perpendicular to both X and Y.
- मूल बिंदु (Origin):
तीनों अक्ष जहाँ मिलते हैं, उसे मूल बिंदु कहते हैं, जिसे (0, 0, 0) द्वारा दर्शाया जाता है।
The point where all three axes meet is called the origin, denoted by (0, 0, 0).
- निर्देशांक (Coordinates):
किसी भी बिंदु P की स्थिति को (x, y, z) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ x, y और z क्रमशः x, y, z अक्षों के साथ बिंदु की दूरी दर्शाते हैं।
The position of any point P is written as (x, y, z), where x, y, and z represent the distances from the respective axes.
चित्रात्मक व्याख्या (Illustrative Explanation)
कल्पना कीजिए कि आपके पास एक कमरा है — उसकी लंबाई (x), चौड़ाई (y), और ऊँचाई (z) है। यदि आपको कमरे में किसी वस्तु का स्थान बताना हो, तो आप कहेंगे कि वह फर्श से z मीटर ऊपर, बाएँ से x मीटर, और सामने से y मीटर दूर है।
Imagine a room with length (x), width (y), and height (z). To describe the location of an object, you can say it is z meters above the floor, x meters from the left wall, and y meters from the front wall.
उदाहरण (Example)
उदाहरण 1: एक बिंदु P (3, 4, 5) का अर्थ है कि वह x-अक्ष से 3 इकाई, y-अक्ष से 4 इकाई, और z-अक्ष से 5 इकाई दूरी पर स्थित है।
Point P (3, 4, 5) means it is 3 units from the x-axis, 4 units from the y-axis, and 5 units from the z-axis.
2. त्रिविमीय निर्देशांक अक्षों के गुण (Properties of 3D Coordinate Axes)
मुख्य गुण (Main Properties)
- तीनों अक्ष एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।
All three axes are mutually perpendicular.
- इनका मिलन बिंदु मूल बिंदु (O) कहलाता है।
The point where they meet is called the origin (O).
- प्रत्येक अक्ष दो दिशाओं में बढ़ती है: धनात्मक (+ve) और ऋणात्मक (–ve)।
Each axis extends in two directions: positive and negative.
त्रिविमीय निर्देशांक बिंदु के चतुर्थांश (Octants)
त्रिविमीय निर्देशांक पद्धति में, तीन अक्ष मिलकर अंतरिक्ष को आठ भागों (चतुर्थांशों) में बाँटते हैं, जिन्हें ऑक्टेंट्स (Octants) कहते हैं।
In 3D geometry, the axes divide the space into eight regions called octants.
3. किसी बिंदु के निर्देशांक (Coordinates of a Point)
परिभाषा (Definition)
त्रिविमीय निर्देशांक पद्धति में किसी बिंदु P की स्थिति को (x, y, z) के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ x, y, z तीनों अक्षों के साथ बिंदु की दूरी होते हैं।
In the 3D coordinate system, the position of a point P is represented as (x, y, z), where x, y, z are its distances from the three axes.
विस्तार से व्याख्या (Explanation)
यदि बिंदु P (x, y, z) है, तो:
- x = मूल से x-अक्ष के समानांतर दूरी
- y = मूल से y-अक्ष के समानांतर दूरी
- z = मूल से z-अक्ष के समानांतर दूरी
(If the point P is (x, y, z):
- x = distance from the origin along x-axis
- y = distance from the origin along y-axis
- z = distance from the origin along z-axis)
4. दो बिंदुओं के बीच की दूरी (Distance Between Two Points)
सूत्र (Formula)
यदि दो बिंदु A(x₁, y₁, z₁) और B(x₂, y₂, z₂) हों, तो उनके बीच की दूरी (d) निम्नलिखित सूत्र से ज्ञात की जाती है: If two points A(x₁, y₁, z₁) and B(x₂, y₂, z₂) are given, then the distance (d) between them is given by:
\[ \text{दूरी} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
उदाहरण (Example)
उदाहरण 2: A(2, –1, 3) तथा B(5, 3, 2) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Find the distance between A(2, –1, 3) and B(5, 3, 2).
हल (Solution): \[ d = \sqrt{(5 – 2)^2 + (3 – (–1))^2 + (2 – 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2 + (–1)^2} = \sqrt{9 + 16 + 1} = \sqrt{26} \]
5. बिंदु और निर्देशांक तल (Point and Coordinate Planes)
निर्देशांक तल (Coordinate Planes)
त्रिविमीय ज्यामिति में तीन मुख्य निर्देशांक तल होते हैं:
In 3D geometry, there are three main coordinate planes:
- xy-तल (xy-plane): z = 0
- yz-तल (yz-plane): x = 0
- zx-तल (zx-plane): y = 0
यदि कोई बिंदु इन तलों पर स्थित है, तो संबंधित निर्देशांक शून्य होगा।
If a point lies on any of these planes, the corresponding coordinate will be zero.
उदाहरण (Example)
उदाहरण 3: बिंदु (5, 0, 2) किस तल पर स्थित है?
On which plane does the point (5, 0, 2) lie?
हल (Solution): यहाँ y = 0 है, अतः यह बिंदु zx-तल पर स्थित है।
Here, y = 0, so the point lies on the zx-plane.
6. बिंदु के निर्देशांक की सांकेतिकता (Sign Convention of Coordinates)
- x, y, z के संकेत (signs) बिंदु के ऑक्टेंट पर निर्भर करते हैं।
Signs of x, y, z depend on the octant in which the point lies.
- पहले ऑक्टेंट में, सभी निर्देशांक धनात्मक होते हैं।
In the first octant, all coordinates are positive.
7. आंतरिक एवं बाह्य विभाजन सूत्र (Section Formula: Internal & External Division)
परिभाषा (Definition)
यदि कोई बिंदु P, रेखाखंड AB को अनुपात m:n में विभाजित करता है, तो P के निर्देशांक निम्नलिखित सूत्र द्वारा ज्ञात किए जाते हैं:
If a point P divides the line segment AB in the ratio m:n, then the coordinates of P are given by the following formula:
आंतरिक विभाजन (Internal Division)
यदि बिंदु P, A(x₁, y₁, z₁) और B(x₂, y₂, z₂) को अनुपात m:n में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, तो:
\[ P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n},\ \frac{my_2 + ny_1}{m+n},\ \frac{mz_2 + nz_1}{m+n} \right) \]
बाह्य विभाजन (External Division)
यदि बिंदु P, रेखाखंड AB को अनुपात m:n में बाह्य रूप से विभाजित करता है, तो:
\[ P = \left( \frac{mx_2 - nx_1}{m-n},\ \frac{my_2 - ny_1}{m-n},\ \frac{mz_2 - nz_1}{m-n} \right) \]
उदाहरण (Example)
उदाहरण 4: A(2, 3, 4) तथा B(4, 7, 8) को बिंदु P आंतरिक रूप से 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है। P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Point P divides AB internally in the ratio 2:1. Find the coordinates of P.
हल (Solution): यहाँ m = 2, n = 1 \[ P = \left( \frac{2\times4 + 1\times2}{2+1},\ \frac{2\times7 + 1\times3}{2+1},\ \frac{2\times8 + 1\times4}{2+1} \right) = \left( \frac{8+2}{3},\ \frac{14+3}{3},\ \frac{16+4}{3} \right) = \left( \frac{10}{3},\ \frac{17}{3},\ \frac{20}{3} \right) \]
8. मध्य बिंदु सूत्र (Mid-point Formula)
सूत्र (Formula)
A(x₁, y₁, z₁) और B(x₂, y₂, z₂) के मध्य बिंदु M के निर्देशांक:
\[ M = \left( \frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2},\ \frac{z_1+z_2}{2} \right) \]
उदाहरण (Example)
उदाहरण 5: A(1, 2, 3) और B(5, 6, 7) के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Find the coordinates of the midpoint of A(1, 2, 3) and B(5, 6, 7).
हल (Solution): \[ M = \left( \frac{1+5}{2},\ \frac{2+6}{2},\ \frac{3+7}{2} \right) = (3, 4, 5) \]
9. त्रिविमीय ज्यामिति में अनुप्रयोग (Applications in 3D Geometry)
- भौतिकी, इंजीनियरिंग, वास्तुकला, भौगोलिक सूचना प्रणाली (GIS), कंप्यूटर ग्राफिक्स आदि में त्रिविमीय निर्देशांक का व्यापक उपयोग होता है।
3D coordinates are widely used in physics, engineering, architecture, GIS, computer graphics, etc.
10. त्रिविमीय ज्यामिति के अन्य महत्वपूर्ण सूत्र (Other Important Formulae)
त्रिज्या (Radius) और केंद्र (Centre) से गोला (Sphere) का समीकरण:
यदि किसी गोले का केंद्र C(h, k, l) और त्रिज्या r है, तो उसका समीकरण:
\[ (x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-l)^2 = r^2 \]
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)
- त्रिविमीय निर्देशांक पद्धति में प्रत्येक बिंदु को (x, y, z) द्वारा दर्शाया जाता है।
Every point in 3D coordinate system is represented by (x, y, z).
- x, y, z-अक्ष पर बिंदु के निर्देशांक क्रमशः (x, 0, 0), (0, y, 0), (0, 0, z) होते हैं।
On x, y, z axes, the coordinates of points are (x, 0, 0), (0, y, 0), (0, 0, z) respectively.
- मूल बिंदु (Origin) के निर्देशांक (0, 0, 0) होते हैं।
The coordinates of the origin are (0, 0, 0).
- दो बिंदुओं के बीच की दूरी:
\(\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}\)
- बिंदु के निर्देशांक के संकेत उसके ऑक्टेंट पर निर्भर करते हैं।
The sign of the coordinates depends on the octant.
- बिंदु के निर्देशांक में कोई एक शून्य होने पर बिंदु संबंधित निर्देशांक तल पर स्थित होता है।
If any one coordinate is zero, the point lies on the corresponding coordinate plane.
- विभाजन सूत्र द्वारा किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात किए जा सकते हैं।
The section formula helps find the coordinates of a point dividing a segment.
- मध्य बिंदु सूत्र के द्वारा दो बिंदुओं के मध्य का बिंदु ज्ञात किया जाता है।
The midpoint formula gives the coordinates of the point midway between two points.
- त्रिविमीय ज्यामिति के सिद्धांत दैनिक जीवन की समस्याओं के समाधान में सहायक होते हैं।
3D geometry principles help solve real-life problems.
- गोले का समीकरण:
\((x-h)^2 + (y-k)^2 + (z-l)^2 = r^2\)
- तीनों अक्षों का मिलन बिंदु मूल बिंदु कहलाता है।
The intersection point of the three axes is called the origin.
- त्रिविमीय निर्देशांक पद्धति में आठ ऑक्टेंट होते हैं।
There are eight octants in the 3D coordinate system.
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| क्रमांक (S. No.) | गलती (Mistake) | सही तरीका (Correct Approach) | |------------------|-------------------------------------------------------------------------------|----------------------------------------------------------------------------------| | 1 | दो बिंदुओं के बीच दूरी निकालते समय z-अक्ष के घटक को भूल जाना | सभी तीन घटकों (x, y, z) के अंतर का वर्ग लेना चाहिए। | | 2 | विभाजन सूत्र में अनुपात m:n की जगह n:m लगा देना | ध्यान दें कि सूत्र में m x₂ + n x₁ का प्रयोग होता है (आंतरिक विभाजन के लिए)। | | 3 | निर्देशांक तल पर बिंदु की पहचान में भ्रमित होना | जिस अक्ष का निर्देशांक शून्य हो, वही तल। | | 4 | मध्य बिंदु निकालते समय दो बिंदुओं के निर्देशांकों को गलत जोड़ना/भाग देना | x, y, z सभी के लिए (x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2, (z₁+z₂)/2 लागू करें। | | 5 | ऑक्टेंट में संकेत (sign) की गलत पहचान | प्रथम ऑक्टेंट में सभी धनात्मक होते हैं; संकेतों की सही जानकारी रखें। | | 6 | बाह्य विभाजन में m-n की जगह m+n का प्रयोग | बाह्य विभाजन के लिए m-n ही प्रयोग करें। | | 7 | निर्देशांक लिखते समय क्रम (x, y, z) में गड़बड़ी | सदैव x पहले, फिर y, फिर z लिखें। | | 8 | गोले के समीकरण में त्रिज्या का वर्ग न लेना | समीकरण में r² (त्रिज्या का वर्ग) प्रयोग करें। | | 9 | बिंदु के निर्देशांक में ऋणात्मक संख्याओं को छोड़ देना | सभी निर्देशांकों, चाहे ऋणात्मक हों या धनात्मक, को सही-सही लिखें। | | 10 | दूरी सूत्र में वर्गमूल (root) लगाना भूल जाना | अंत में वर्गमूल अवश्य लगाएँ। |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (RBSE Exam Questions)
1 अंक (1-mark) प्रश्न
- त्रिविमीय निर्देशांक पद्धति में मूल बिंदु के निर्देशांक क्या हैं?
What are the coordinates of the origin in 3D coordinate system?
उत्तर: (0, 0, 0)
- यदि बिंदु (2, 0, 5) है, तो यह किस निर्देशांक तल पर स्थित है?
On which coordinate plane does the point (2, 0, 5) lie?
उत्तर: zx-तल (zx-plane)
- x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक कैसे होंगे?
What will be the coordinates of a point lying on the x-axis?
उत्तर: (x, 0, 0)
- प्रथम ऑक्टेंट में बिंदु के निर्देशांक के संकेत कैसे होते हैं?
What are the signs of the coordinates of a point in the first octant?
उत्तर: सभी धनात्मक (All positive)
- मध्य बिंदु सूत्र लिखिए।
Write the midpoint formula.
उत्तर: \((\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2},\ \frac{z_1 + z_2}{2})\)
2 अंक (2-mark) प्रश्न
- दो बिंदु A(1, 2, 3) और B(4, 5, 6) के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Find the coordinates of the midpoint of A(1, 2, 3) and B(4, 5, 6).
उत्तर: \[ M = (\frac{1+4}{2},\ \frac{2+5}{2},\ \frac{3+6}{2}) = (2.5, 3.5, 4.5) \]
- त्रिविमीय ज्यामिति में कितने ऑक्टेंट होते हैं?
How many octants are there in 3D geometry?
उत्तर: 8
- बिंदु (0, 5, –3) किस निर्देशांक तल पर स्थित है?
On which coordinate plane does the point (0, 5, –3) lie?
उत्तर: yz-तल (yz-plane)
- दो बिंदुओं A(2, 3, 4) और B(5, 7, 8) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Find the distance between A(2, 3, 4) and B(5, 7, 8).
उत्तर: \[ d = \sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2 + (8-4)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \]
- बिंदु P(3, –2, 0) किस निर्देशांक तल पर स्थित है?
On which coordinate plane does the point P(3, –2, 0) lie?
उत्तर: xy-तल (xy-plane)
5 अंक (5-mark) प्रश्न
- बिंदु A(1, 2, 3), B(4, 5, 6) तथा C(7, 8, 9) के लिए निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
(i) AB की दूरी (ii) BC की दूरी (iii) AC की दूरी (iv) AB के मध्य बिंदु के निर्देशांक (v) AB को 2:1 में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक
उत्तर: (i) \[ AB = \sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]
\[ BC = \sqrt{(7-4)^2 + (8-5)^2 + (9-6)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \]
ii
\[ AC = \sqrt{(7-1)^2 + (8-2)^2 + (9-3)^2} = \sqrt{36 + 36 + 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \]
iii
\[ \text{Midpoint of AB} = \left(\frac{1+4}{2},\ \frac{2+5}{2},\ \frac{3+6}{2}\right) = (2.5, 3.5, 4.5) \]
iv
(v) \[ P = \left(\frac{2\times4 + 1\times1}{2+1},\ \frac{2\times5 + 1\times2}{2+1},\ \frac{2\times6 + 1\times3}{2+1}\right) = (3, 4, 5) \]
- किसी गोले का केंद्र (2, –1, 3) तथा त्रिज्या 5 इकाई है। उसका समीकरण लिखिए।
A sphere has center at (2, –1, 3) and radius 5 units. Write its equation.
उत्तर: \[ (x-2)^2 + (y+1)^2 + (z-3)^2 = 25 \]
- बिंदु P(2, 4, –6) और Q(3, 5, –7) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
Find the distance between P(2, 4, –6) and Q(3, 5, –7).
उत्तर: \[ d = \sqrt{(3-2)^2 + (5-4)^2 + ((-7)-(-6))^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \]
- बिंदु A(1, –2, 3), B(4, 0, 5) और C(7, 6, 9) हैं। बिंदु D ऐसा है कि ABCD एक वर्ग (Rectangle) बने और D का z निर्देशांक 7 है। D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Given A(1, –2, 3), B(4, 0, 5), and C(7, 6, 9), and D such that ABCD forms a rectangle and the z-coordinate of D is 7. Find the coordinates of D.
उत्तर: D के निर्देशांक (x, y, 7) होंगे। Rectangle की भुजाओं के मध्य संबंध से, A + C = B + D \[ (1, -2, 3) + (7, 6, 9) = (4, 0, 5) + (x, y, 7) \] \[ (8, 4, 12) = (4+x, 0+y, 5+7) \] \[ 4+x = 8 \implies x = 4 \\ y = 4 \\ 5+7 = 12 \] अतः D के निर्देशांक (4, 4, 7) होंगे।
- दो बिंदु A(2, –1, 3) और B(5, 3, 2) को बाह्य रूप से 2:1 के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
Find the coordinates of the point dividing AB externally in the ratio 2:1.
उत्तर: \[ P = \left(\frac{2 \times 5 - 1 \times 2}{2-1},\ \frac{2 \times 3 - 1 \times (-1)}{2-1},\ \frac{2 \times 2 - 1 \times 3}{2-1}\right) = \left(\frac{10-2}{1},\ \frac{6+1}{1},\ \frac{4-3}{1}\right) = (8, 7, 1) \]
नोट:
- प्रत्येक प्रश्न के बाद हल विस्तार से लिखें।
- चित्रों का अभ्यास अवश्य करें; परीक्षा में चित्र बनाने से अंक अधिक मिलते हैं।
- सूत्र याद रखें, संकेत (sign) की विशेष सावधानी रखें।
अध्याय सारांश (Chapter Summary)
इस अध्याय में हमने त्रिविमीय ज्यामिति की मूल बातें, निर्देशांक पद्धति, बिंदुओं के निर्देशांक, दो बिंदुओं के बीच दूरी, विभाजन सूत्र, मध्य बिंदु सूत्र, तथा त्रिविमीय आकृतियों के समीकरण समझे। यह विषय आगे की कक्षाओं (कक्षा 12) और प्रतियोगी परीक्षाओं की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण है।
In this chapter, we learned the basics of 3D geometry, coordinate system, coordinates of points, distance formula, section formula, midpoint formula, and equations of 3D figures. This topic is very important for higher classes and competitive exams.
[RBSE Board परीक्षार्थियों के लिए यह नोट्स सम्पूर्ण, संक्षिप्त, और परीक्षा-उपयोगी हैं।]
मुख्य बिंदु (Key Points)
- जिस ज्यामिति में लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई तीनों आयामों का अध्ययन किया जाता है, उसे त्रिविमीय ज्यामिति कहते हैं।
- त्रिविमीय स्थान में किसी बिंदु को (x, y, z) क्रमबद्ध त्रय द्वारा दर्शाया जाता है।
- त्रिविमीय ज्यामिति में अक्षों को X-अक्ष, Y-अक्ष और Z-अक्ष कहा जाता है।
- मूल वह बिंदु है जहाँ तीनों अक्ष मिलते हैं, जिसे (0, 0, 0) द्वारा दर्शाते हैं।
- निर्देशांक तल XY-तल, YZ-तल और ZX-तल होते हैं।
- कोई भी बिंदु स्थान को आठ भागों में बाँटता है, जिन्हें अष्टक (octants) कहते हैं।
- दो बिंदुओं (x1, y1, z1) तथा (x2, y2, z2) के बीच की दूरी √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²] होती है।
- खंड सूत्र किसी रेखाखंड को दिए गए अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक देता है।
- त्रिविमीय में मध्य बिंदु सूत्र ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2) है।
- दिशा कोसाइन (l, m, n) किसी रेखा की अक्षों के सापेक्ष दिशा को दर्शाते हैं।
- दिशा कोसाइन के वर्गों का योग हमेशा 1 होता है: l² + m² + n² = 1।
- त्रिविमीय ज्यामिति का उपयोग अभियांत्रिकी, वास्तुकला और भौतिकी में व्यापक रूप से होता है।
Key Points
- Geometry dealing with three dimensions—length, breadth, and height—is called 3D geometry.
- A point in 3D space is represented by an ordered triplet (x, y, z).
- The axes in 3D geometry are called X-axis, Y-axis, and Z-axis.
- The origin is the point where all three axes intersect, denoted as (0, 0, 0).
- The coordinate planes are XY-plane, YZ-plane, and ZX-plane.
- Any point divides the space into eight regions called octants.
- The distance formula between two points (x1, y1, z1) and (x2, y2, z2) is √[(x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²].
- The section formula gives the coordinates of a point dividing a line segment in a given ratio.
- The midpoint formula in 3D is ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2, (z1+z2)/2).
- The direction cosines (l, m, n) define the direction of a line with respect to axes.
- The sum of the squares of direction cosines is always 1: l² + m² + n² = 1.
- 3D geometry is widely used in engineering, architecture, and physics.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
त्रिविमीय ज्यामिति में मूल बिंदु के निर्देशांक हैं:
बिंदु (0, 0, 5) किस अक्ष पर स्थित है?
यदि कोई बिंदु XY-समतल पर स्थित है, तो उसका z-निर्देशांक क्या होगा?
X और Z अक्षों को सम्मिलित करने वाले समतल को क्या कहते हैं?
निम्न में से कौन सा त्रिविमीय ज्यामिति में बिंदु का सही निरूपण है?
महत्वपूर्ण विषयपरक प्रश्न
अति लघु उत्तरीय प्रश्न (1 अंक)
- त्रिविमीय निर्देशांक पद्धति में मूल बिंदु के निर्देशांक क्या हैं? 1 अंक नोट्स
- यदि बिंदु (2, 0, 5) है, तो यह किस निर्देशांक तल पर स्थित है? lie?) 1 अंक नोट्स
- x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक कैसे होंगे? 1 अंक नोट्स
- प्रथम ऑक्टेंट में बिंदु के निर्देशांक के संकेत कैसे होते हैं? 1 अंक नोट्स
- मध्य बिंदु सूत्र लिखिए 1 अंक नोट्स
लघु उत्तरीय प्रश्न
- दो बिंदु A(1, 2, 3) और B(4, 5, 6) के मध्य बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। and B(4, 5, 6).) 2 अंक नोट्स
- त्रिविमीय ज्यामिति में कितने ऑक्टेंट होते हैं? 2 अंक नोट्स
- बिंदु (0, 5, –3) किस निर्देशांक तल पर स्थित है? lie?) 2 अंक नोट्स
- दो बिंदुओं A(2, 3, 4) और B(5, 7, 8) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। and B(5, 7, 8).) 2 अंक नोट्स
- बिंदु P(3, –2, 0) किस निर्देशांक तल पर स्थित है? lie?) 2 अंक नोट्स
दीर्घ उत्तरीय प्रश्न
- बिंदु A(1, 2, 3), B(4, 5, 6) तथा C(7, 8, 9) के लिए निम्नलिखित ज्ञात कीजिए: (i) AB की दूरी (ii) BC की दूरी (iii) AC की दूरी (iv) AB के मध्य बिंदु के निर्देशांक (v) AB को 2:1 में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक 5 अंक नोट्स
उत्तर कुंजी (Answer Key)
प्रश्न 1 का उत्तर
प्रश्न 2 का उत्तर
प्रश्न 3 का उत्तर
प्रश्न 4 का उत्तर
प्रश्न 5 का उत्तर
प्रश्न 6 का उत्तर
प्रश्न 7 का उत्तर
प्रश्न 8 का उत्तर
प्रश्न 9 का उत्तर
प्रश्न 10 का उत्तर
प्रश्न 11 का उत्तर
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त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय (Introduction to 3D Geometry) एक नज़र में: त्रिविमीय ज्यामिति में हम बिंदुओं, रेखाओं और विमाओं को तीन दिशाओं में समझते हैं, जिससे…
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