संबंध एवं फलन
Relations and Functions
संबंध एवं फलन (Relations and Functions)
एक नज़र में: यह अध्याय संबंध (Relations) और फलन (Functions) की मूलभूत अवधारणाओं, उनके प्रकार, चित्रण, तथा दैनिक जीवन और गणित में उनके अनुप्रयोगों को विस्तार से समझाता है। (This chapter explains the fundamental concepts of relations and functions, their types, representations, and applications in daily life and mathematics.)
📌 अध्याय का परिचय (Introduction)
गणित में, 'संबंध' और 'फलन' दो अत्यंत महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं, जो विभिन्न सेट्स के तत्त्वों के बीच के संबंधों और नियमों को दर्शाती हैं।
Relations and functions are two fundamental concepts in mathematics, representing the connections and rules between elements of different sets.
यह अध्याय निम्नलिखित विषयों को कवर करता है:
- संबंध (Relations): परिभाषा, प्रकार, और उदाहरण
- फलन (Functions): परिभाषा, प्रकार, और चित्रण
- संबंध तथा फलन में अंतर
- समुच्चय, कार्डिनल नंबर, तथा चित्रण विधियाँ
📖 1. समुच्चय (Set)
परिभाषा (Definition)
सुस्पष्ट और भिन्न वस्तुओं का संग्रह जिसे एक साथ 'समुच्चय' कहते हैं।
A well-defined collection of distinct objects is called a set.
उदाहरण (Examples):
- प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय: N = {1, 2, 3, ...}
- स्वर (Vowels) का समुच्चय: V = {a, e, i, o, u}
📖 2. कार्तीय गुणनफल (Cartesian Product)
परिभाषा (Definition)
यदि A और B दो समुच्चय हैं, तो उनका कार्तीय गुणनफल A × B उस सभी क्रमबद्ध युग्मों (a, b) का समुच्चय है, जहाँ a ∈ A और b ∈ B।
If A and B are two sets, their Cartesian product A × B is the set of all ordered pairs (a, b), where a ∈ A and b ∈ B.
सूत्र (Formula): A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
उदाहरण (Example): यदि A = {1, 2} और B = {x, y}, तो A × B = {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y)}
नोट: n(A × B) = n(A) × n(B), जहाँ n(A) और n(B) क्रमशः A और B के तत्त्वों की संख्या है।
📖 3. संबंध (Relation)
परिभाषा (Definition)
यदि A और B दो समुच्चय हैं, तो A और B के बीच एक संबंध R, A × B का कोई उप-समुच्चय होता है।
If A and B are two sets, a relation R from A to B is any subset of A × B.
समीकरण (Notation): यदि (a, b) ∈ R, तो कहा जाएगा कि 'a' का 'b' से संबंध है, अर्थात् a R b.
उदाहरण (Example):
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5}, R = {(1, 4), (2, 5)} is a relation from A to B.
संबंध लिखने के तरीके (Ways to Represent Relations):
- रॉस्टर विधि (Roster Method):
सभी युग्मों को {} में लिखना e.g., R = {(1, 4), (2, 5)}
- सेट बिल्डर विधि (Set Builder Method):
R = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B, a + b = 6}
- चित्रात्मक विधि (Pictorial/Arrow Diagram):
एक चित्र में A और B के तत्त्वों को बिंदुओं द्वारा दर्शाकर, संबंधित तत्त्वों को तीर से जोड़ना।
संबंध के प्रकार (Types of Relations)
1. रिक्त संबंध (Void/Empty Relation)
अगर R ⊆ A × A में कोई भी युग्म नहीं है, तो उसे रिक्त संबंध कहते हैं।
If R = φ, it is called void relation.
2. सार्वत्रिक संबंध (Universal Relation)
यदि R = A × A, अर्थात् प्रत्येक संभव युग्म संबंध में है।
If R = A × A, it is called universal relation.
3. प्रतिबिंबित संबंध (Reflexive Relation)
यदि ∀ a ∈ A, (a, a) ∈ R, तो R प्रतिबिंबित है।
If for all a ∈ A, (a, a) ∈ R, then R is reflexive.
4. सममित संबंध (Symmetric Relation)
यदि (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R, तो R सममित है।
If (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R, then R is symmetric.
5. पारगम्य संबंध (Transitive Relation)
यदि (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R, तो R पारगम्य है।
If (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R, then R is transitive.
6. तुल्यता संबंध (Equivalence Relation)
यदि R प्रतिबिंबित, सममित और पारगम्य है, तो R तुल्यता संबंध है।
If R is reflexive, symmetric, and transitive, then R is an equivalence relation.
उदाहरण (Examples):
Q: A = {1, 2, 3}; R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}. जांचिए कि R प्रतिबिंबित, सममित, पारगम्य है या नहीं।
उत्तर (Solution):
- प्रतिबिंबित: (1,1), (2,2), (3,3) ∈ R ⇒ प्रतिबिंबित।
- सममित: (1,2) ∈ R और (2,1) ∈ R ⇒ सममित।
- पारगम्य: (1,2) ∈ R, (2,1) ∈ R ⇒ (1,1) ∈ R ⇒ पारगम्य।
तो, यह तुल्यता संबंध है।
📖 4. फलन (Function)
परिभाषा (Definition)
A और B दो समुच्चय हैं। यदि A का प्रत्येक तत्त्व B के एक और केवल एक तत्त्व से संबंधित है, तो उसे A से B में एक फलन कहते हैं।
Let A and B be two sets. A function f from A to B is a relation such that every element of A is related to exactly one element of B.
समीकरण (Notation): f: A → B, f(a) = b, जहाँ a ∈ A, b ∈ B
Domain, Co-domain, Range:
- Domain (प्रांत): A (जिससे फलन परिभाषित है)
- Co-domain (सहप्रांत): B
- Range (परास): B के वे तत्त्व जिनके लिए कोई a ∈ A है कि f(a) = b
उदाहरण (Example): A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6} f: A → B, f(1) = 4, f(2) = 5, f(3) = 4 यह एक फलन है क्योंकि A के हर तत्त्व के लिए B में एक ही तत्त्व है।
फलन के प्रकार (Types of Functions)
1. एक-एक फलन (One-One Function/Injective)
f: A → B, यदि f(a1) = f(a2) ⇒ a1 = a2, तो f एक-एक है।
f is one-one if different elements of A have different images in B.
2. कई एक फलन (Many-One Function)
यदि f(a1) = f(a2) और a1 ≠ a2, तो f कई-एक है।
f is many-one if two or more elements of A have the same image in B.
3. सहावी फलन (Onto Function/Surjective)
यदि B का हर तत्त्व A के किसी तत्त्व का फलन है, तो f सहावी है।
f is onto if every element of B is the image of some element of A.
4. एक-एक सहावी (One-One Onto Function/Bijective)
यदि f एक-एक भी है और सहावी भी है, तो f एक-एक सहावी (bijective) है।
f is bijective if it is both one-one and onto.
उदाहरण (Examples):
Q: f: {1, 2, 3} → {a, b, c} defined as f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c यह कौन सा फलन है? उत्तर: यह एक-एक सहावी (bijective) फलन है।
फलन का चित्रण (Representation of Functions)
- चित्रात्मक विधि (Arrow Diagram):
A और B के तत्त्वों को बिंदुओं द्वारा दर्शाकर, संबंधित तत्त्वों को तीर द्वारा जोड़ना।
- समीकरण (Equation):
जैसे, f(x) = x^2, f(x) = sin x
- तालिका (Table):
x: 1, 2, 3 f(x): 2, 4, 6
विशेष फलन (Special Functions)
- स्थिर फलन (Constant Function):
f(x) = c, ∀ x ∈ A
- पहचान फलन (Identity Function):
f(x) = x, ∀ x ∈ A
- शून्य फलन (Zero Function):
f(x) = 0, ∀ x ∈ A
- मूल्य फलन (Modulus Function):
f(x) = |x|
- घात फलन (Polynomial Function):
f(x) = ax^n + bx^{n-1} + ... + k
फलनों के बीच योग, गुणा, भाजन (Addition, Multiplication, Division of Functions)
- (f + g)(x) = f(x) + g(x)
- (f × g)(x) = f(x) × g(x)
- (f/g)(x) = f(x)/g(x), जहाँ g(x) ≠ 0
- (f – g)(x) = f(x) – g(x)
फलन का संयोजन (Composition of Functions)
f: A → B, g: B → C, तो, (g ∘ f): A → C, (g ∘ f)(x) = g(f(x))
उदाहरण (Example): f(x) = x + 3, g(x) = 2x (g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(x + 3) = 2(x + 3) = 2x + 6
📖 5. संबंध एवं फलन में अंतर (Difference between Relation and Function)
| विषय (Topic) | संबंध (Relation) | फलन (Function) | |-------------------|------------------|-----------------------| | परिभाषा (Def.) | कोई भी उप-समुच्चय | विशेष प्रकार का संबंध | | नियम | आवश्यक नहीं | प्रत्येक a ∈ A का एक ही b ∈ B | | चित्रण | तीर किसी भी तरह | हर a से केवल एक तीर |
📖 6. व्यावहारिक उदाहरण (Practical Examples)
Example 1:
A = {1, 2, 3}, B = {x, y}; रॉस्टर विधि द्वारा A × B लिखिए। उत्तर: {(1, x), (1, y), (2, x), (2, y), (3, x), (3, y)}
Example 2:
f(x) = x^2, x ∈ {–2, –1, 0, 1, 2} तालिका द्वारा चित्रण करें x: –2, –1, 0, 1, 2 f(x): 4, 1, 0, 1, 4
Example 3:
यदि f(x) = x + 1 और g(x) = 2x, तो (f + g)(2) ज्ञात कीजिए। उत्तर: f(2) = 3, g(2) = 4; (f + g)(2) = 3 + 4 = 7
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Key Points)
- संबंध A × B का कोई उप-समुच्चय है।
- फलन एक विशेष प्रकार का संबंध है जिसमें A के प्रत्येक तत्त्व का B के केवल एक तत्त्व से संबंध है।
- प्रतिबिंबित संबंध में (a, a) ∈ R सभी a ∈ A के लिए।
- सममित संबंध में (a, b) ∈ R ⇒ (b, a) ∈ R।
- पारगम्य संबंध में (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R ⇒ (a, c) ∈ R।
- तुल्यता संबंध में तीनों गुण होते हैं।
- एक-एक फलन में कोई दो अलग-अलग तत्त्व एक ही छवि नहीं रखते।
- सहावी फलन में सहप्रांत (Co-domain) का हर तत्त्व किसी न किसी तत्त्व की छवि है।
- संयोजन फलन में (g ∘ f)(x) = g(f(x))
- फलन का चित्रण चित्रात्मक, समीकरण, तालिका आदि से किया जा सकता है।
- समुच्चय के तत्त्वों की संख्या ज्ञात करने के लिए n(A × B) = n(A) × n(B)।
- प्रत्येक फलन एक संबंध है, पर प्रत्येक संबंध फलन नहीं होता।
- रिक्त संबंध में कोई भी तत्त्व नहीं होता।
- सार्वत्रिक संबंध में सभी संभव युग्म होते हैं।
- स्थिर, पहचान, शून्य, मूल्य फलन के विशेष महत्व हैं।
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| क्रमांक (No.) | गलतियाँ (Mistake) | सही तरीका (Correction) | |---------------|----------------------------------------------------------------------|-----------------------------------------------------------------------| | 1 | फलन में एक तत्त्व से एक से अधिक तीर जोड़ना | हर तत्त्व से केवल एक तीर जोड़ें (Only one arrow from each element) | | 2 | हर संबंध को फलन मान लेना | हर संबंध फलन नहीं होता (Not all relations are functions) | | 3 | संयोजन फलन में क्रम बदलना | (g ∘ f)(x) ≠ (f ∘ g)(x) सामान्यतः | | 4 | सहप्रांत (Co-domain) और परास (Range) में भ्रमित होना | सहप्रांत = B, परास ⊆ B | | 5 | फलन को चित्र में ठीक से न दर्शाना | हर A के तत्त्व से केवल एक तीर होना चाहिए | | 6 | प्रतिबिंबित, सममित, पारगम्य संबंध की परिभाषा में गड़बड़ी | परिभाषाएँ ध्यान से याद करें | | 7 | कई-एक और एक-एक फलन में अंतर न समझना | एक-एक में हर छवि अलग, कई-एक में दो या अधिक तत्त्वों की छवि एक हो सकती है | | 8 | रिक्त और सार्वत्रिक संबंध में भ्रम | रिक्त में कोई युग्म नहीं, सार्वत्रिक में सभी युग्म होते हैं | | 9 | तालिका में गलत फलन मान निकालना | x के हर मान के लिए f(x) सावधानी से निकालें | | 10 | संयोजन फलन में पहले f(x), फिर g(f(x)) निकालना भूलना | क्रम (Order) सही रखें |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)
1-Mark Questions (1 अंक)
- संबंध की परिभाषा लिखिए।
Define relation.
- फलन का समीकरण लिखिए।
Write the equation of a function.
- यदि A = {1, 2}, B = {3, 4}, तो A × B में कुल कितने तत्त्व होंगे?
How many elements in A × B if A = {1, 2}, B = {3, 4}?
- प्रतिबिंबित संबंध की परिभाषा लिखिए।
Define reflexive relation.
- f(x) = x^2; x = 2, तो f(x) = ?
(f(x) = x^2; find f(2).)
2-Mark Questions (2 अंक)
- A = {1, 2}, B = {3, 4};
A × B और B × A लिखिए।
Write A × B and B × A.
- f(x) = x + 1, x ∈ {1, 2, 3};
तालिका द्वारा चित्रण कीजिए।
Represent f(x) = x + 1 in table form for x = 1, 2, 3.
- f(x) = 2x, g(x) = x – 1;
(f + g)(2) ज्ञात कीजिए। (Find (f + g)(2).)
- एक-एक सहावी फलन का उदाहरण दीजिए।
Give an example of a one-one onto function.
- रिक्त संबंध क्या है?
What is a void relation?
5-Mark Questions (5 अंक)
- A = {1, 2, 3}; R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}
जाँचिए कि R प्रतिबिंबित, सममित, पारगम्य है या नहीं।
Check whether R is reflexive, symmetric, and transitive.
- निम्नलिखित फलनों के संयोजन ज्ञात कीजिए:
f(x) = x + 2, g(x) = 3x; (a) (g ∘ f)(x) (b) (f ∘ g)(x)
- संबंध और फलन में अंतर स्पष्ट कीजिए।
Differentiate between relation and function.
- एक तुल्यता संबंध का एक उदाहरण दीजिए और सिद्ध कीजिए।
Give an example of an equivalence relation and prove it.
- f(x) = x^2, x ∈ {–2, –1, 0, 1, 2}
तालिका एवं चित्र द्वारा फलन का चित्रण कीजिए।
Represent the function f(x) = x^2 for x = –2 to 2 in table and diagram.
नोट:
- सभी परिभाषाएँ, सूत्र, उदाहरण, और चित्र दो भाषाओं में समझें।
- परीक्षा की तैयारी हेतु, प्रत्येक प्रकार के संबंध और फलन के उदाहरण और उनके चित्रण अभ्यास करें।
- तालिका, चित्र और समीकरण के माध्यम से फलन को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत करना सीखें।
यह अध्याय संबंध एवं फलन की मजबूत नींव तैयार करता है, जो गणित के उच्चतर अध्ययन के लिए अत्यंत आवश्यक है।
This chapter builds a strong foundation of relations and functions, essential for higher studies in mathematics.
मुख्य बिंदु (Key Points)
- संबंध दो सेटों के कार्तीय गुणन का एक उपसमुच्चय होता है।
- यदि (a, b) संबंध R में है, तो a, b से R के अंतर्गत संबंधित होता है।
- संबंध का डोमेन सभी क्रमित युग्मों के पहले तत्वों का सेट होता है।
- संबंध की रेंज सभी क्रमित युग्मों के दूसरे तत्वों का सेट होती है।
- फलन संबंध का एक विशेष प्रकार है जिसमें डोमेन के प्रत्येक तत्व की कोडोमेन में केवल एक छवि होती है।
- जिस सेट से फलन मान लेता है, उसे डोमेन कहते हैं।
- जिस सेट में फलन मान निर्दिष्ट करता है, उसे कोडोमेन कहते हैं।
- यदि डोमेन के प्रत्येक तत्व को कोडोमेन के एक अद्वितीय तत्व से जोड़ा जाए, तो संबंध फलन होता है।
- फलनों को तीर आरेख, सारणी या समीकरण द्वारा दर्शाया जा सकता है।
- एक-एक फलन (इंजेक्टिव) डोमेन के भिन्न तत्वों को कोडोमेन के भिन्न तत्वों से जोड़ता है।
- ऑन-टू फलन (सर्जेक्टिव) कोडोमेन के सभी तत्वों को डोमेन से छवियों द्वारा कवर करता है।
- बिजेक्टिव फलन एक-एक और ऑन-टू दोनों होता है।
Key Points
- A relation is a subset of the Cartesian product of two sets.
- If (a, b) belongs to relation R, then a is related to b under R.
- Domain of a relation is the set of all first elements of ordered pairs.
- Range of a relation is the set of all second elements of ordered pairs.
- A function is a special type of relation where each element of domain has exactly one image in the codomain.
- The set from which the function takes values is called the domain.
- The set in which the function assigns values is called the codomain.
- If every element of domain is mapped to a unique element in codomain, the relation is a function.
- Functions can be represented by arrow diagrams, tables, or equations.
- One-to-one function (injective) maps distinct elements of domain to distinct elements of codomain.
- Onto function (surjective) covers all elements of codomain with images from domain.
- Bijective function is both one-to-one and onto.
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
2 अवयवों वाले समुच्चय A से 3 अवयवों वाले समुच्चय B पर कुल कितने संबंध बन सकते हैं?
निम्नलिखित में से कौन A = {1, 2, 3} से B = {4, 5} पर एक फलन है?
यदि R = {(1,2), (2,3), (3,4)}, तो R का डोमेन क्या है?
निम्नलिखित में से कौन सा समुच्चय संबंध R = {(2,5), (3,6), (4,5)} की रेंज है?
यदि f: R → R को f(x) = x^2 द्वारा परिभाषित किया गया है, तो f(–3) का मान क्या है?
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