स्थिरवैद्युत विभव तथा धारिता
Electrostatic Potential and Capacitance
स्थिरवैद्युत विभव तथा धारिता (Electrostatic Potential and Capacitance)
एक नज़र में:
यह अध्याय स्थिरवैद्युत विभव, विभव अंतर, विभव ऊर्जा, धारिता, संधारित्रों के प्रकार, संयोजन और उनकी ऊर्जा के सिद्धांतों को स्पष्ट करता है। इसमें स्थिरवैद्युत बल, गाऊस का प्रमेय, एवं धारिता से जुड़े सूत्रों व उनके अनुप्रयोगों की भी गहन चर्चा की गई है।
This chapter covers the concepts of electrostatic potential, potential difference, potential energy, capacitance, types of capacitors, their combinations, and the principles underlying their energy storage. It also explains electrostatic force, Gauss's theorem, and formulas related to capacitance.
📌 अध्याय का परिचय (Chapter Introduction)
स्थिरवैद्युतिकी भौतिकी की वह शाखा है जिसमें विश्रामावस्था में स्थित आवेशों के गुणधर्मों का अध्ययन किया जाता है। इस अध्याय में हम स्थिरावेशों द्वारा उत्पन्न विभव, ऊर्जा, तथा धारिता की व्याख्या करेंगे।
Electrostatics is the branch of physics which deals with the properties of charges at rest. In this chapter, we study the potential, energy, and capacitance associated with stationary charges.
📖 1. स्थिरवैद्युत विभव (Electrostatic Potential)
परिभाषा (Definition)
किसी बिंदु पर स्थिरवैद्युत विभव वह कार्य है, जो उस बिंदु से अनंत दूरी से एक इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश को उस बिंदु तक लाने में करना पड़ता है।
Electrostatic potential at a point is the work done in bringing a unit positive test charge from infinity to that point against the electrostatic force.
गणितीय रूप: \( V = \frac{W}{q_0} \) जहाँ,
- \( V \) = विभव (Potential)
- \( W \) = कुल कार्य (Total work done)
- \( q_0 \) = परीक्षण आवेश (Test charge)
सूत्र (Formula)
स्रोत बिंदु आवेश \( Q \) से दूरी \( r \) पर स्थित बिंदु पर विभव: \( V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r} \) Where,
- \( \varepsilon_0 \) = निर्वात का स्थैतिक नियतांक (Permittivity of free space)
उदाहरण (Example)
Q: 1 μC आवेश से 0.2 m दूरी पर स्थिरवैद्युत विभव ज्ञात करें। A: \( V = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Q}{r} = 9 \times 10^9 \times \frac{1 \times 10^{-6}}{0.2} = 45,000 \ V \)
📖 2. स्थिरवैद्युत विभवांतर (Electrostatic Potential Difference)
परिभाषा (Definition)
दो बिंदुओं के बीच स्थिरवैद्युत विभवांतर वह कार्य है, जो एक इकाई धनात्मक परीक्षण आवेश को एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक ले जाने में करना पड़ता है।
Potential difference is the work done in moving a unit positive test charge from one point to another.
गणितीय रूप: \( V_{AB} = V_B - V_A = -\int_A^B \vec{E} \cdot d\vec{r} \)
📖 3. विभव ऊर्जा (Electrostatic Potential Energy)
परिभाषा (Definition)
किसी प्रणाली में उपस्थित आवेशों के कारण उसमें संग्रहीत ऊर्जा को स्थिरवैद्युत विभव ऊर्जा कहते हैं।
The energy stored in a system due to the electrostatic interaction between charges is called electrostatic potential energy.
दो बिंदु आवेशों के लिए (For Two Point Charges)
\( U = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{q_1 q_2}{r} \) यह ऊर्जा धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती है, जो आवेशों के चिन्ह पर निर्भर करती है।
This energy can be positive or negative, depending on the nature of charges.
उदाहरण (Example)
Q: 2 μC एवं 3 μC के दो आवेश 0.1 m दूरी पर स्थित हैं। उनकी विभव ऊर्जा ज्ञात करें। A: \( U = 9 \times 10^9 \times \frac{2 \times 10^{-6} \times 3 \times 10^{-6}}{0.1} = 0.54 \ \text{J} \)
📖 4. विभव तथा इलेक्ट्रिक क्षेत्र (Relation between Potential and Electric Field)
संबंध (Relation)
विद्युत क्षेत्र एवं विभव में निम्नलिखित संबंध होता है— \( E = -\frac{dV}{dr} \)
Electric field is the negative gradient of potential.
व्याख्या (Explanation)
इसका अर्थ है कि विभव में परिवर्तन की दिशा के विपरीत दिशा में विद्युत क्षेत्र होता है।
This means that electric field points in the direction of decreasing potential.
📖 5. धारिता (Capacitance)
परिभाषा (Definition)
किसी चालक की धारिता उसकी वह क्षमता है जिसके द्वारा वह किसी विभवांतर पर आवेश को संचित कर सकता है।
Capacitance is the ability of a conductor to store charge per unit potential.
गणितीय रूप: \( C = \frac{Q}{V} \) जहाँ,
- \( C \) = धारिता (Capacitance),
- \( Q \) = संचित आवेश (Stored charge),
- \( V \) = विभवांतर (Potential difference)
मात्रक (Unit)
- SI मात्रक: फैराड (Farad, F)
- 1 फैराड = 1 कुलम्ब/वोल्ट (1 F = 1 Coulomb/Volt)
📖 6. संधारित्र (Capacitor)
परिभाषा (Definition)
संधारित्र दो चालक प्लेटों का एक युग्म होता है, जिनके बीच एक डाइइलेक्ट्रिक माध्यम होता है, जो आवेश संचित करने के लिए प्रयोग में लिया जाता है।
A capacitor is a device consisting of two conductors separated by an insulating medium, used to store electric charge.
प्रकार (Types)
- समांतर प्लेट संधारित्र (Parallel Plate Capacitor)
- बेलनाकार संधारित्र (Cylindrical Capacitor)
- गोलाकार संधारित्र (Spherical Capacitor)
6.1 समांतर प्लेट संधारित्र (Parallel Plate Capacitor)
संरचना (Construction)
दो समानांतर प्लेटें, जिनके बीच डाइइलेक्ट्रिक पदार्थ (जैसे हवा, कागज, मिका) होता है।
धारिता (Capacitance)
\( C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r A}{d} \) जहाँ,
- \( \varepsilon_0 \) = निर्वात का स्थैतिक नियतांक (Permittivity of free space)
- \( \varepsilon_r \) = डाइइलेक्ट्रिक की सापेक्ष नियतांक (Relative permittivity of dielectric)
- \( A \) = प्लेटों का क्षेत्रफल (Area)
- \( d \) = प्लेटों के बीच दूरी (Separation)
उदाहरण (Example)
Q: 2 वर्ग मीटर क्षेत्रफल वाली दो प्लेटों के बीच 0.01 m दूरी है। डाइइलेक्ट्रिक हवा है (\( \varepsilon_r = 1 \))। धारिता ज्ञात करें। A: \( C = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 1 \times 2}{0.01} = 1.77 \times 10^{-9} \text{ F} = 1.77 \text{ nF} \)
6.2 डाइइलेक्ट्रिक का प्रभाव (Effect of Dielectric)
डाइइलेक्ट्रिक डालने से संधारित्र की धारिता \( \varepsilon_r \) गुणा बढ़ जाती है।
With a dielectric, the capacitance increases by a factor of \( \varepsilon_r \).
6.3 संधारित्रों का संयोजन (Combination of Capacitors)
श्रेणीक्रम (Series Combination)
- कुल धारिता:
\( \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3} + \dots \)
समांतर क्रम (Parallel Combination)
- कुल धारिता:
\( C_{eq} = C_1 + C_2 + C_3 + \dots \)
उदाहरण (Example)
Q: \( 2 \mu F, 3 \mu F, 6 \mu F \) संधारित्र श्रेणीक्रम में जोड़े गए हैं। कुल धारिता ज्ञात करें। A: \( \frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1 \implies C_{eq} = 1 \mu F \)
📖 7. संधारित्र में संचित ऊर्जा (Energy Stored in Capacitor)
सूत्र (Formula)
\( U = \frac{1}{2}CV^2 = \frac{1}{2}QV = \frac{Q^2}{2C} \)
उदाहरण (Example)
Q: 5 μF संधारित्र पर 100 V विभवांतर है। उसमें संचित ऊर्जा ज्ञात करें। A: \( U = \frac{1}{2} \times 5 \times 10^{-6} \times (100)^2 = 0.025 \ \text{J} \)
📖 8. गोलाकार एवं बेलनाकार संधारित्र (Spherical and Cylindrical Capacitor)
गोलाकार संधारित्र (Spherical Capacitor)
- यदि दो संकेन्द्र गोलक, अर्धव्यास \( a \) एवं \( b \) (\( b > a \)),
\( C = 4\pi\varepsilon_0 \frac{ab}{b - a} \)
बेलनाकार संधारित्र (Cylindrical Capacitor)
- यदि दो सह-अक्षीय बेलन, त्रिज्या \( a, b \), लंबाई \( l \):
\( C = \frac{2\pi\varepsilon_0 l}{\ln(b/a)} \)
📖 9. स्थिरवैद्युत विभव का चित्रण (Equipotential Surfaces)
परिभाषा (Definition)
वे पृष्ठ जिन पर किसी बिंदु पर विभव समान रहता है, उन्हें समविभव पृष्ठ कहते हैं।
Surfaces on which potential at every point is the same are called equipotential surfaces.
गुण (Properties)
- विद्युत क्षेत्र सदैव समविभव पृष्ठ के लंबवत होता है।
Electric field is always perpendicular to equipotential surfaces.
- दो समविभव पृष्ठों के बीच कार्य = \( q \Delta V \)
📖 10. स्थिरवैद्युत प्रेरण (Electrostatic Induction)
यह वह प्रक्रिया है जिसमें किसी चालक के पास एक आवेशित वस्तु लाने पर चालक में आवेशों का पुनः वितरण हो जाता है।
It is the process in which bringing a charged object near a conductor causes redistribution of charges in the conductor.
📖 11. गाऊस का प्रमेय (Gauss’s Law) [संक्षिप्त पुनरावृति]
गाऊस का प्रमेय कहता है कि किसी बंद पृष्ठ के भीतर कुल फ्लक्स, उस पृष्ठ के भीतर उपस्थित कुल आवेश के समानुपाती होता है।
Gauss’s law states that the total electric flux through any closed surface is proportional to the total charge enclosed within the surface.
गणितीय रूप: \( \phi_E = \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = \frac{Q_{enclosed}}{\varepsilon_0} \)
🧠 महत्वपूर्ण बिंदु (Important Points)
- स्थिरवैद्युत विभव एक अदिश राशि है। (Electrostatic potential is a scalar quantity.)
- विभव का SI मात्रक वोल्ट (Volt) है।
- विभवांतर कार्य करने की क्षमता को दर्शाता है।
- विद्युत क्षेत्र एवं विभव में \( E = -\frac{dV}{dr} \) संबंध है।
- धारिता की SI इकाई फैराड (Farad) है।
- डाइइलेक्ट्रिक की उपस्थिति में धारिता बढ़ जाती है।
- संधारित्र विद्युत ऊर्जा का संचयक है।
- संधारित्रों का श्रेणीक्रम में जोड़ने पर कुल धारिता घटती है, समांतर क्रम में बढ़ती है।
- समविभव पृष्ठ पर किसी आवेश को ले जाने में कोई कार्य नहीं करना पड़ता।
- गाऊस का प्रमेय स्थिरवैद्युत क्षेत्र की गणना में अत्यंत उपयोगी है।
- किसी चालक का विभव, उसके सतह पर सर्वत्र समान होता है।
- संधारित्र से आवेश हटाने पर उसमें ऊर्जा समाप्त हो जाती है।
⚠️ सामान्य गलतियाँ (Common Mistakes)
| # | गलती (Mistake) | सुधार (Correction) | |----|------------------------------------------------------------------------------|---------------------------------------------------------------------------| | 1 | धारिता को आवेश के समान मानना | धारिता, विभवांतर पर संचित आवेश की क्षमता है, न कि स्वयं आवेश। | | 2 | श्रेणीक्रम में धारिता जोड़ते समय सीधा जोड़ना | श्रेणीक्रम में व्युत्क्रम जोड़ें: \( \frac{1}{C_{eq}} = \sum \frac{1}{C} \)| | 3 | समांतर प्लेट संधारित्र में डाइइलेक्ट्रिक की जगह हवा मानना | डाइइलेक्ट्रिक होने पर \( \varepsilon_r \) गुणा धारिता बढ़ती है। | | 4 | इलेक्ट्रिक क्षेत्र और विभव के चिन्ह में भ्रम | \( E = -\frac{dV}{dr} \), चिन्ह का ध्यान रखें। | | 5 | गोलाकार संधारित्र की धारिता में त्रुटिपूर्ण सूत्र का प्रयोग | सही सूत्र: \( C = 4\pi\varepsilon_0 \frac{ab}{b-a} \) | | 6 | ऊर्जा के सूत्र में \( \frac{1}{2} \) भूल जाना | ऊर्जा के सभी सूत्रों में \( \frac{1}{2} \) शामिल है। | | 7 | समविभव पृष्ठ पर कार्य करने की आवश्यकता मानना | समविभव पृष्ठ पर कार्य = 0 | | 8 | गाऊस के प्रमेय के अनुप्रयोग में सतह के बाहर के आवेशों को शामिल करना | केवल बंद सतह के भीतर के आवेश ही सम्मिलित होते हैं। | | 9 | धारिता की SI इकाई को गलत लिखना | धारिता की SI इकाई फैराड (F) है। | | 10 | संधारित्र को विद्युत ऊर्जा का स्रोत समझना | संधारित्र ऊर्जा संचित करता है, उत्पन्न नहीं करता। |
📝 RBSE परीक्षा प्रश्न (Exam Questions)
1-Mark Questions (एक अंक)
- स्थिरवैद्युत विभव का SI मात्रक क्या है?
What is the SI unit of electrostatic potential?
- समविभव पृष्ठ किसे कहते हैं?
What are equipotential surfaces?
- धारिता का सूत्र लिखिए।
Write the formula for capacitance.
- गाऊस के प्रमेय का गणितीय रूप लिखिए।
Write the mathematical form of Gauss’s Law.
- संधारित्र की धारिता किस पर निर्भर करती है?
On what factors does the capacitance of a capacitor depend?
2-Mark Questions (दो अंक)
- धारिता और विभव में संबंध लिखिए।
Write the relation between capacitance and potential.
- समांतर प्लेट संधारित्र में डाइइलेक्ट्रिक डालने से धारिता कैसे बदलती है?
How does capacitance change when a dielectric is introduced between the plates of a parallel plate capacitor?
- दो बिंदु आवेशों के बीच विभव ऊर्जा का सूत्र लिखिए और समझाइए।
Write and explain the formula for potential energy between two point charges.
- श्रेणीक्रम और समांतर क्रम में धारिता का योग कैसे होता है?
How is the total capacitance calculated in series and parallel combinations?
- संधारित्र में संग्रहीत ऊर्जा के दो सूत्र लिखिए।
Write two formulas for the energy stored in a capacitor.
5-Mark Questions (पाँच अंक)
- समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता का व्युत्पन्न कीजिए एवं डाइइलेक्ट्रिक के प्रभाव को स्पष्ट कीजिए।
Derive the expression for the capacitance of a parallel plate capacitor and explain the effect of a dielectric.
- स्थिरवैद्युत विभव और विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध स्थापित कीजिए।
Establish the relation between electrostatic potential and electric field.
- संधारित्रों के श्रेणीक्रम और समांतर क्रम में संयोजन के लिए कुल धारिता के सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।
Derive the formulas for total capacitance in series and parallel combinations of capacitors.
- गाऊस के प्रमेय का कथन दीजिए एवं इसका एक उपयोग स्पष्ट कीजिए।
State Gauss’s Law and explain one of its applications.
- एक गोलाकार संधारित्र की धारिता का व्युत्पन्न कीजिए।
Derive the expression for the capacitance of a spherical capacitor.
संपूर्ण सारांश (Comprehensive Summary)
- स्थिरवैद्युत विभव, विभवांतर, विभव ऊर्जा, धारिता, संधारित्र, संयोजन एवं ऊर्जा के सूत्रों का गहन अध्ययन इस अध्याय में किया जाता है।
- डाइइलेक्ट्रिक का प्रभाव, समविभव पृष्ठ, स्थिरवैद्युत प्रेरण एवं गाऊस के प्रमेय की परिभाषा, सूत्र एवं उपयोग परीक्षा की दृष्टि से अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।
- सभी सूत्रों, परिभाषाओं और उदाहरणों का बार-बार अभ्यास करें एवं सामान्य गलतियों से बचें।
[यह अध्ययन-सामग्री RBSE कक्षा 12 भौतिकी के अध्याय ‘स्थिरवैद्युत विभव तथा धारिता’ के लिए एनसीईआरटी स्तर की परीक्षा-तैयारी हेतु पूर्ण, द्विभाषीय नोट्स प्रदान करती है।]
[This study material provides complete, NCERT-level, bilingual notes for RBSE Class 12 Physics Chapter “Electrostatic Potential and Capacitance” for exam preparation.]
मुख्य बिंदु (Key Points)
- किसी बिंदु पर स्थिरवैद्युत विभव वह कार्य है, जो एकांक धनात्मक आवेश को अनंत से उस बिंदु तक स्थिरवैद्युत बल के विरुद्ध लाने में किया जाता है।
- स्थिरवैद्युत विभव की एस.आई. इकाई वोल्ट (V) है।
- किसी बिंदु आवेश q द्वारा दूरी r पर विभव V = (1/4πε₀) × (q/r) होता है।
- दो बिंदु आवेश q₁ एवं q₂ के बीच दूरी r पर स्थिरवैद्युत स्थितिज ऊर्जा U = (1/4πε₀) × (q₁q₂/r) होती है।
- स्थिरवैद्युत संतुलन में चालक की सम्पूर्ण सतह पर विभव समान रहता है।
- धारिता चालक की वह क्षमता है जिसमें वह प्रति इकाई विभवांतर पर आवेश संचित कर सकता है।
- धारिता की एस.आई. इकाई फैराड (F) है।
- त्रिज्या R के पृथक गोलकीय चालक की धारिता C = 4πε₀R होती है।
- समांतर पट्टिक धारित्र की धारिता C = ε₀A/d होती है, जहाँ A क्षेत्रफल तथा d पट्टिकाओं के बीच की दूरी है।
- श्रृंखला संयोजन में धारित्र: 1/C_eq = 1/C₁ + 1/C₂ + ... होता है।
- समानांतर संयोजन में धारित्र: C_eq = C₁ + C₂ + ... होता है।
- धारित्र में संचित ऊर्जा U = (1/2)CV² होती है।
Key Points
- Electrostatic potential at a point is the work done in bringing a unit positive charge from infinity to that point against electrostatic force.
- The SI unit of electrostatic potential is volt (V).
- Potential due to a point charge q at distance r is V = (1/4πε₀) × (q/r).
- Electrostatic potential energy of a system of two point charges q₁ and q₂ separated by distance r is U = (1/4πε₀) × (q₁q₂/r).
- A conductor in electrostatic equilibrium has constant potential throughout its surface.
- Capacitance is the ability of a conductor to store charge per unit potential difference.
- SI unit of capacitance is farad (F).
- Capacitance of an isolated spherical conductor of radius R is C = 4πε₀R.
- A parallel plate capacitor’s capacitance is C = ε₀A/d, where A is area and d is plate separation.
- Capacitors in series: 1/C_eq = 1/C₁ + 1/C₂ + ...
- Capacitors in parallel: C_eq = C₁ + C₂ + ...
- Energy stored in a capacitor is U = (1/2)CV².
इंटरैक्टिव अभ्यास (MCQ)
5 वोल्ट के विभवांतर के पार 2 कूलॉम्ब आवेश को ले जाने में किया गया कार्य कितना है?
निम्नलिखित में से धारिता (C) के लिए सही संबंध कौन सा है?
दूरी r पर स्थित बिंदु आवेश +Q के कारण किसी बिंदु पर विद्युत विभव है:
समांतर पट्टिका संधारित्र की धारिता सीधे अनुपाती है:
विद्युत विभव की SI इकाई है:
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